1 Quickies [1 Punkt je Teilaufgabe]

F̈ ̈ P  LMU M̈
P. D. I. S
Thermodynamik und Statistik, T IV, SS08
1. Klausur am 26.5.2008
1 Quickies [1 Punkt je Teilaufgabe]
a) Geben Sie den ersten Hauptsatz der Thermodynamik an.
b) Bei einem irreversiblen Prozess
gilt
δQ
T
> dS ,
gilt
δQ
T
< dS ,
ist beides möglich.
c) Wie ist das mikrokanonische Ensemble definiert?
d) Wie lautet die konsistente Normierung A der kanonischen Zustandssumme
Z
ZN = A d3N pd3N x e−βE(p,q)
für ein nicht-wechselwirkendes, einatomiges Gas?
e) Drücken Sie den Wirkungsgrad eines C-Prozesses durch die thermodynamische
Temperatur aus.
f) Ist das chemische Potenzial extensiv?
g) Welches thermodynamische Potenzial ist durch die kanonische Zustandssumme gegeben?
h) Ist P(E) = exp(−βE) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
i) Die klassische, statistische Mechanik ist gültig für
VN
λ3
1,
j) Wie lautet die --W-Zustandsgleichung
2 P − N2VB2 V + NA
2 = NkB T mit A, B ≥ 0,
PV = NkB T ,
2 P + N2VD2 V −
NC
2
= NkB T mit C, D ≥ 0.
1
V
λ3 N
1,
Vλ3
N
1.
2 Ideales Gas [10 Punkte]
Berechnen Sie für ein ideales Gas aus nicht-wechselwirkenden Teilchen die keine inneren Freiheitsgrade besitzen
a) die kanonische Zustandssumme und
b) die Entropie. Zeigen Sie weiterhin, dass die Entropie eine extensive Größe ist.
c) Berechnen Sie die innere Energie und
d) die spezifische Wärme bei konstantem Druck ( δQ| p=const. = C p dT ).
Hinweis: Verwenden Sie die S-Formel ln N! ≈ N ln Ne .
3 Teilchenzahl-Fluktuationen [10 Punkte]
Das großkanonische Potential Ω(µ, V, T ) ist gegeben durch
1
Ω(µ, V, T ) = F(N, V, T ) − Nµ = − ln ZΩ .
β
P P
F(N, V, T ) bezeichnet die freie Energie und ZΩ = N E N C(E N , N)e−β(E N −µN) die großkanonische Zustandssumme.
q D
E
2
1
a) Zeigen Sie allgemein, dass die Fluktuationen der Teilchenzahl ∆N =
2 (N − hNi)
durch den Ausdruck
!
1 ∂ hNi
(∆N)2 =
β ∂µ V,T
gegeben sind.
V
b) Drücken Sie (∆N)2 durch κT , T , hNi und v = hNi
aus, wobei die isotherme Kompressibi1 ∂V
lität κT = − V ∂p endlich sei.
∆N
Zeigen Sie, dass hNi
im thermodynamischen Limes verschwindet.
Hinweis: es gilt dµ = vdp − sdT mit s =
S
hNi .
c) Für den Fall eines idealen Gases, berechnen Sie die großkanonische Zustandssumme ZΩ
und die Teilchenzahl-Fluktuationen ∆N.
P
Hinweis: ZΩ = N eβµN ZN , wobei ZN die Zustandssumme im kanonischen Ensemble mit
N Teilchen bezeichnet.
2
4 I-Modell [10 Punkte]
Betrachten Sie das eindimensionale I-Modell ohne Magnetfeld auf einem Gitter mit N Gitterplätzen und freien (ohne) Randbedingungen. Die H-Funktion ist
H(s1 , . . . , sN ) = −
N−1
X
gi si si+1 ,
gi = g > 0 ∀i.
i=1
a) Leiten Sie die zugehörige Zustandssumme her.
b) Berechnen Sie die Korrelationsfunktion
D
E
1 X
si s j =
si s j e−βH(s1 ,...,sN )
ZN s ,...,s
1
N
für i < j.
Hinweis: Für eine ortsabhängige Kopplung gi zwischen si und si+1 ist die Zustandssumme
gegeben durch
ZN = A
N−1
Y
cosh(βgi ),
i=1
wobei A eine Konstante ist.
c) Berechnen Sie den Mittelwert der Energie.
Formelblatt
• Gßsche Integrale:
Z
∞
e
0
∞
Z
−a2 x2
2 x2
x2 e−a
0
√
π
dx =
2a
√
π
dx = 3
4a
für a > 0
(1)
für a > 0
(2)
• S-Formel:
ln N! ≈ N ln
3
N
e
(3)