Grundlagen und Diskrete Strukturen WS 2014/15

8. Übungsblatt
Grundlagen und Diskrete Strukturen
WS 2014/15
Jens M. Schmidt, Tutor: Jens Schreyer
Aufgabe 1: Binomialkoeffizienten
Wieviele Wörter kann man aus den Buchstaben des Worts MISSISIPPI bilden?
Dabei sollen alle Buchstaben in der gegebenen Vielfachheit verwendet werden. Die
Wörter müssen weder eine Bedeutung haben, noch vernünftig aussprechbar sein.
Drücken Sie Ihre Lösung weiterhin durch Fakultäten aus.
Aufgabe 2: Allgemeines Fußball
Begründen Sie die folgende Gleichung, indem Sie auf verschiedene Arten abzählen,
wie viele Möglichkeiten es gibt, eine Mannschaft mit k Spielern, von denen einer
Kapitän ist, aus insgesamt n Spielern auszuwählen.
!
!
n
n−1
k
=n
k
k−1
Aufgabe 3: Identitäten II
Formulieren Sie eine allgemeine Formel für n3 , n ∈ N+ , die
i) die folgenden Beobachtungen wiedergibt und
ii) beweisen Sie die Formel durch vollständige Induktion.
13
23
33
43
=1
=3+5
= 7 + 9 + 11
= 13 + 15 + 17 + 19
..
.
Hinweis: Sie können die aus einer anderen Vorlesung bekannte Summenformel für die
ersten n natürlichen Zahlen und die aus dieser Vorlesung bekannte Summenformel
für die ersten n ungeraden natürlichen Zahlen benutzen.
Aufgabe 4: Inklusion / Exklusion
Wir möchten alle Primzahlen der Menge M = {2, . . . , 100} abzählen.
i) Wie viele Zahlen aus M sind durch 2 und wie viele durch 3 teilbar? Wie viele
sind durch eine gegebene Zahl k ∈ N+ teilbar?
ii) Seien k und l zwei teilerfremde Zahlen aus N+ . Wie viele Zahlen aus M sind
sowohl durch k als auch durch l teilbar?
iii) Seien A, B, C und D die Teilmengen von M der jeweils durch 2, 3, 5 und 7
teilbaren Zahlen. Begründen Sie, dass die Anzahl der Primzahlen P in M sich
durch die folgende Formel bestimmen läßt: |P | = |M | − |A ∪ B ∪ C ∪ D| + 4.
iv) Bestimmen Sie diese Anzahl durch das Inklusions-Exklusions-Prinzip.
v) Für die Vereinigung wie vieler Mengen müßte man dieses Prinzip anwenden,
um die Anzahl der Primzahlen aus der Menge {2, . . . , 10000} zu bestimmen?