Metrische Sätze über transzendente Zahlen in P

1.
0,-.
:;»,,..
1959 |
......
Postverlagsort Berlin
... I
MATHEMATISCHE
ZEITSCHRIFT
UNTER
STÄNDIGER M I T W I R K U N G VON
E. K A M K E
R. N E V A N L I N N A
TÜBINGEN
E. SCHMIDT
HELSINKI
BERLIN
F. K. SCHMIDT
HEIDELBERG
HERAUSGEGEBEN
VON
H.WIELANDT
TÜBINGEN
WISSENSCHAFTLICHER
W. B L A S C H K E
L . F E J E R
W.MAGNUS
BEIRAT
A. E . I N G H A M
O . P E R R O N
H.
G.PICKERT
72. B A N D , 1. H E F T
(ABGESCHLOSSEN
AM 11. S E P T E M B E R 1959)
B E R L I N . GÖTTINGEN . H E I D E L B E R G
S P R I N G E R
-
V E R L A G
1959
Q Math, z l j
A
4
K N E S E R
A
I n h a l t des 72. Bandes
Seite
ERHARD SCHMIDT t
vor
B A G E M I H L , F., P l a n a r sections of spatial sets
205
362
B E R G M A N , S., T h e n u m b e r of intersection points of t w o analytic surfaces i n the
Space of t w o c o m p l e x variables
294
B R A U E R , R., Z u r Darstellungstheorie der Gruppen endlicher O r d n u n g . I I
25
C A R L i T Z , L . , Congruences (inod 2 ) for the Coefficients of the Jacobi E l l i p t i c Functions
r
D E M B O W S K I , P . , Freie u n d offene p r o j e k t i v e Ebenen
307
410
F L E I S C H E R , I . , Über Dualität i n lineartopologischen M o d u l n
439
G E I R I N G E R , H . , O n a l i m i t t h e o r e m leading to a Compound Poisson d i s t r i b u t i o n
. .
229
G I L B ARG, D . , Some H y d r o d y n a m i c Applications of F u n c t i o n Theoretic Properties
of E l l i p t i c E q u a t i o n s
G I L L M A N , L . , and C . W . K O H L S , Convex and pseudoprime ideals in rings of continuous
165
functions
399
H E I N Z , E . Über die D i f f e r e n t i a l u n g l e i c h u n g 0 < a ^ r t — s
2
(
< oo
M I L L E , E., A n A p p l i c a t i o n of Prüfer's M e t h o d t o a Singular B o u n d a r y Yalue Problem
H O D G E S , J . H . , Some D e t e r m i n a n t a l Equations Over a F i n i t e Field
107
95
355
H O L D E R , E., E x t r e m a l e geschlossene Differentialformen. Unterschallströmungen i m
Großen
H O P F , E., Zur K e n n z e i c h n u n g der Euklidischen N o r m
J A R N I K , V., E i n e B e m e r k u n g über diophantische A p p r o x i m a t i o n e n
K A R L T N , S., a n d G. SZEGÖ, O n certain differential-integral equations
K A S C H , F., u n d B . V O L K M A N N , Metrische Sätze über transzendente Zahlen i n Padischen Körpern
K U R A T O W S K I , K . , U n critere de c011 pure de l'espace euclidien par im sous-ensemble
arbitraire
235
76
187
205
367
SS
L O E W N E R , C , A theorem on the p a r t i a l order derived f r o m a certain t r a n s f o r m a t i o n
semigroup
M A L G R A N G E , B., Sur une inegalite de F. Treves
53
184
M O R R E Y j r . , C H . B . , Second Order E l l i p t i c Equations in Several Variables and H o l d e r
Continuity
146
M O S E R , J . , T h e Order of a S i n g u l a r i t y i n Fuchs' Theory
379
N E H A R I , Z., O n a class of n o n l i n e a r i n t e g r a l equations
175
O S T R O W S K I , A . , Über P r o d u k t e Hermitescher M a t r i z e n u n d Büschel Hermitescher
Formen
P E R R O N , O., Über lineare Differenzengleichungen u n d eine A n w e n d u n g auf lineare
Differentialgleichungen m i t Polynomkoeffizienten
1
16
IV
Inhalt
Seite
R A D E M A C H E R , H . , O n the Phragmen-Lindelöf theorem and some applications . .
.192
R H O A D E S , B . E., T o t a l Comparison among some t o t a l t y Regulär .Hausdorff Methods 463
S A B I D U S S I , G., Graph M u l t i p l i c a t i o n
S A L I E , H . , Z u m W e r t e v o r r a t der Dedekindschen Summen
446
61
S C H M E I D L E R , W . , Die Kavier-Stokesschen Gleichungen der H y d r o d y n a m i k als System
quadratischer Integralgleichungen
S P E C H T , W . , Freie U n t e r g r u p p e n der binären unimodularen Gruppe
S T E I N H A U S , H . , u n d K . U R B A N I K , Poissonsche Folgen
S Y N G E , J . L . , A t h e o r y of elasticity in general r e l a t i v i t y
T H O M P S O N , J . G., N o r m a l ^-complements for F i n i t e Groups
279
319
127
82
332
T H O M P S O N , J . G., A Special Class of Non-Solvable Groups
458
W A L F I S Z , A., Über G i t t e r p u n k t e in vierdimensionalen Ellipsoiden
259
W A L S H , J . L . , Note on a p p r o x i m a t i o n b y bounded analytic functions (Problem a) 47
K A S C H , F . , n. B . V O L K M A N N
M a t h . Zeitschr. 72, 3 6 7 - 3 7 8 (i960)
Metrische Sätze über transzendente Z a h l e n
in P-adischen Körpern
Von
FRIEDRICH
K A S C H und
BODO
VOLKMANN
1. Fragestellung. D i e auf M A H L E R zurückgehende Klasseneinteilung der
transzendenten Z a h l e n ) ist v o n i h m [6] auch auf Z a h l e n i n den
1
Körpern K
P
übertragen w o r d e n .
theorie i n den Körpern K
P
P-adischen
1936 führte d a n n TURKSTRA [8] eine Maß-
e i n , die auch die Übertragung einiger damals i m
Reellen bzw. K o m p l e x e n b e k a n n t e r metrischer Aussagen auf das P-adische
gestattete. Insbesondere ergab sich als A n a l o g o n zu einem Satz v o n M A H L E R
die Aussage, daß i m Sinne des T u r k s t r a s c h e n Maßes fast alle
P-adischen
Zahlen S-Zahlen sind. D a b e i bewies TURKSTRA als Gegenstück zu dem E r g e b nis von M A H L E R , wonach fast alle reellen Z a h l e n ! S-Zahlen v o n einem T y p )
2
(1)
#(f)^4
sind, daß für fast alle P-adischen Zahlen die U n g l e i c h u n g
(2)
0(1)^7
erfüllt ist.
Seither ist die Abschätzung (1) mehrfach verbessert
worden, u n d
das
kürzlich v o n uns erzielte, bisher beste Ergebnis [3] besagt insbesondere, daß
fast alle reellen f den Ungleichungen
l^# ,.(f)fg2-
(3)
genügen.
(n = 3 , 4 , . . . )
2
n
;
Dagegen liegen i m P-adischen F a l l , soweit den Verfassern b e k a n n t ,
bisher noch keine Resultate v o r , die über (2)
hinausgehen.
I n der vorliegenden A r b e i t w i r d für eine beliebige P r i m z a h l P
folgende
Verschärfung v o n (2) bewiesen, die ungefähr die Güte von (3) e r r e i c h t :
Satz 1. Für fast alle Zahlen
(4)
^ K
P
gilt )
3
*i(!)=2,
(3)
1 + • S # „ (<?) Sa 2 —
J
(n = 2,
%...).
) Siehe z . B . S C H N E I D E R [ 7 ] .
) Siehe [3], S. 442.
) Die genauen Definitionen der hier benutzten Begriffe sind i m nächsten A b s c h n i t t
enthalten.
2
3
368
F R I E D R I C H K A S C H und
BODO VOLKMANN
Der Beweis erfolgt d u r c h vollständige I n d u k t i o n nach n m i t dem I n d u k tionsbeginn n = \.
Beweis
von
(3),
Diskriminante
Sonst folgen w i r m e t h o d i s c h i m Wesentlichen
dessen
der
Grundgedanke
approximierenden
darin
Polynome
besteht,
für
unserem
Eigenschaften
der
die Abschätzung
des
Maßes auszunutzen.
I m F a l l n = 2 h a t für reelle Zahlen K U B I L Y U S [4] das bestmögliche Ergebnis,
l
l
ä
m
l
k
= !
h
für fast alle |,
erzielt. Sein Beweis w u r d e v o n einem der Verfasser [2] d u r c h einen einfacheren
ersetzt, wobei sich zugleich das bestmögliche Ergebnis für die
Zahlen m i t ergab.
komplexen
D u r c h Übertragung dieser Methode erhalten w i r auch
i m P-adischen F a l l die bestmögliche Aussage:
Satz 2. Für fast alle Zahlen f £ K
gilt
P
(6)
= 3
# (|)
2
2-
2. Voraussetzungen. Es sei P eine (für das Folgende feste) P r i m z a h l u n d
der zugehörige Henselsche Körper.
K
P
Die Bewertung | \ von K
P
P
d a n n eindeutig auf die algebraisch abgeschlossene Hülle K
P
von K
u n d soll auch i n diesem Sinne m i t | \ bezeichnet werden.
läßt sich
fortsetzen
P
A l l e i m folgenden
P
auftretenden algebraischen Zahlen sind als Elemente v o n K
P
zu b e t r a c h t e n .
W e n n n u n d H natürliche Zahlen s i n d , sei O (n, H) die Menge der Polynome
m i t ganzrationalen K o e f f i z i e n t e n a
q(x)
v o n einem
i
Grad
u n d einer
^n
Höhe ( = m a x | a \ ) ^ H . D a n n setzen w i r für ) jedes £ £ i £ p
4
{
=
\q(£)\ ,
min
P
q - !Q[n, H)
</(£) 4= 0
c
ferner
1
log
W
» (f) ^ „ ™
-
h
log H
^
S
0
W
1
C
(«
=
" n - >
schließlich
& (|) =
sup &„ (f)
w (f) = M
und
» = 1, 2, ...
E i n e Z a h l ££K
heißt (P-adische)
P
0„ ( f ) .
« —> co
S-Zahl,
wenn 0 < # ( | ) < o o ist.
Das Turkstrasche Maß w i r d i n A n l e h n u n g an die v o n F E L L E R u n d TORNIER
für den Baireschen
[1]
eingeführt ):
N u l l r a u m e n t w i c k e l t e Maßtheorie folgendermaßen
M a n definiert als P-adisches
5
Intervall
n-ter
(bei
Stufe
ganz-
r a t i o n a l e m n) die Menge aller Zahlen £ £ Ä ' , i n deren P-adischer E n t w i c k l u n g
P
CO
£ =
2
r ^
( 0 ^ « < P ; a„ g a n z r a t i o n a l ; a = 0 für
J><i' (f))
v — oo
alle Koeffizienten a m i t v<n
denen einer vorgegebenen Z a h l gleich s i n d .
a
;
v
r
v
0
v
Es zeigt sich, daß jedes P-adische I n t e r v a l l sowohl offen als auch abgeschlossen
ist, u n d ferner läßt sich beweisen, daß jede offene Menge OQK
P
4
5
) V g l . [7] sowie [31.
) Siehe [8], K a p . V .
als V e r -
Metrische Sätze über transzendente Zahlen in P-adischen Körpern
369
e i n i g u n g v o n P-adischen I n t e r v a l l e n darstellbar i s t . A l s beschränkt w i r d eine
Menge MQK
bezeichnet, wenn es eine ganzrationale Z a h l t so g i b t , daß
M^K
(== Menge der ££K
m i t | f \ ^ P ) gilt.
P
p
P
l
P
Der A u f b a u der Maßtheorie w i r d dann i n mehreren S c h r i t t e n v o l l z o g e n :
1. Für jedes P-adische I n t e r v a l l E v o n n-tev Stufe setzt m a n
T(E)=sup\aL-ß\
=
P
P- .
n
2. Für jede beschränkte, offen-abgeschlossene Menge A QK w i r d , wenn
A = U E eine Zerlegung i n paarweise fremde P-adische I n t e r v a l l e i s t ,
P
l
i
T(A)
T{E )
= 2
l
i
gesetzt u n d gezeigt, daß die l i n k e Seite n i c h t v o n der speziellen W a h l der
Zerlegung abhängt.
3. Für jede beschränkte, offene Menge OCK
w i r d eine Zerlegung 0— U E
l
P
i
i n maximale P-adische Intervalle ( d . h . solche, die i n k e i n e m ganz zu 0 gehörenden P-adischen I n t e r v a l l echt e n t h a l t e n sind) eingeführt, die E i n d e u t i g k e i t
dieser Zerlegung bewiesen u n d
T(0)
=
2
i
gesetzt. Daraus erhält m a n Analoga zu den b e k a n n t e n Sätzen der I n h a l t s theorie für lineare, offene Mengen.
4. Für jede beliebige, beschränkte Menge MQK
w i r d das äußere T u r k s t r a -
P
S
C
h
e
M
a
T(ilf)=infr(0)"
ß
eingeführt, wobei 0 alle offenen, beschränkten Mengen m i t M^O durchläuft.
Es folgt insbesondere, daß für beschränkte, offene Mengen 0 stets T(0) = T(0)
i s t . Sodann lassen sich i n b e k a n n t e r Weise das zugehörige innere Maß u n d
der Begriff der Meßbarkeit definieren.
5. Für jede beliebige Menge M(,K
P
T(M)
w i r d Mr\K
p
= M
l
und
= l i m T(M )
l
gesetzt. D a m i t w i r d auch für nichtbeschränkte Mengen M der Begriff der
Meßbarkeit u n d des Maßes T(M) erklärt, sofern dieses e x i s t i e r t . M a n k a n n
d a n n u . a. nachweisen, daß das Turkstrasche Maß T(M) m o n o t o n u n d aa d d i t i v ist.
3. Hilfssätze. Z u den Beweisen benötigen w i r die folgenden Hilfssätze ):
6
Hilfssatz 1. Es seien
n
• • • 1 * » ) = LAti)
i\ o>
L
x
= 2 7a Xj
= 0, . . . , n)
) D a b e i sind C , C , . . . positive, reelle Zahlen, die v o n n u n d P, n i c h t aber v o n H
abhängen dürfen. Alle i m folgenden auftretenden P o l y n o m e haben ganzrationale K o e f f i zienten.
6
1
2
370
F R I E D R I C H K A S C H und B O D O V O L K M A N N :
n-\-\
Linear formen
Determinante
eine Linearform
positive
mit reellen
Koeffizienten
d) ferner sei
mit P-adisch
ganzen
reelle Zahlen mit 0<ß<\
punkt £ mit \L(^)\p<ß
und einer
nichtver
schwindenden
n
Koeffizienten.
und ßß
Sind
... ß ^\d
0
dann ß,ß ,
...,
0
\ P, so gibt es einen
n
ß
n
Gitter-
und
1^.(1)1^
( i
=
0 |
...,n).
Beweis. F o l g t aus [5], Satz 1.
Zu
Hilfssatz 2.
ganzen
jeder
Koeffizienten
Linear form
L(i) =y x -\0
£ =(= (o, . . . , 0) mit max(|# |,
Gitterpunkt
• •• + y x
0
gibt es für jedes hinreichend
n
große t>\
mit
n
P-adisch
wenigstens
einen
|# |)=i7, derart, daß H^t
0
und
lln
n
|^fe)|p< rS n^7
/
I n dem Ungleichungssystem
Beweis ).
7
\Yo O + 7I I
x
h 7nx |
H
X
n
<
P
t
\x \
^
l l n
<P»
0
\x \
^t ^
1
n
ist die D e t e r m i n a n t e der letzten n + 1 Ungleichungen offenbar gleich 1. Daher
sind die Voraussetzungen v o n H i l f s s a t z 1 m i t ß —
^
un<
ßo =
ßL= --=
z
t~
z
1,n
erfüllt, u n d somit folgt die B e h a u p t u n g .
Hilfssatz 3. Für jede transzendente,
#
r t
insbesondere
(f)^l + |
also für jede S-Zahl
££K
P
ist
(n = l , 2 , . . . ) -
Für jede P-adisch ganze Z a h l f u n d jedes h i n r e i c h e n d große t
Beweis ).
8
ergibt sich d u r c h A n w e n d u n g v o n Flilfssatz 2 m i t y = £ u n d x = a [i = 0, .. •, n)
t
i
die E x i s t e n z eines Polynoms q(x)£Q,{n
t
l i c h ist
i
i
mit | ?(f)| ^ P / ~
[t ])
ljn
P
( 1 + v
" .
}
Folg-
r
^ ( / / , | ) < _ . V
T
(# =
i
>
2
l
...),
woraus die B e h a u p t u n g leicht zu folgern i s t .
Sei q(x) = a x
Hilfssatz 4.
stellen
x
11 J
0
a , a , . . . , oc .
2
n
schieden sind, die
Dann
a x ~ -\
r
1
n
0
) Siehe [ 5 ] , K a p . V , Satz 2*.
8) V g l .
[i],
S.
n
die Indizes
Ungleichung
| a a^ . . .
7
\-a ein Polynom
1
gilt, wenn
67-68.
| ^ 1.
P
t
lf
...,i
k
mit den
Null-
voneinander
ver-
Metrische Sätze über transzendente Zahlen i n P-adischen Körpern
N a c h dem Beweis v o n [7], Hilfssatz 17 ist jedes P r o d u k t der
Beweis.
Form
... a
ganzalgebraisch, u n d daraus folgt die B e h a u p t u n g .
ik
Hilfssatz 5. Sei q(x) ein Polynom
Nullstellen
371
a , . . . , a . Dann
x
vom Grade n^2
\q'(a )\ ^}/\D(q)\
m
mit lauter
gilt, wenn D (q) die Diskriminante
n
P
=
P
verschiedenen
bezeichnet,
...,»).
B e w e i s . N a c h [3], G l . (4) ist
<-*
n
(*> - <*,-)
i,j^pm\i<j
I
"P
B e i der A u s m u l t i p l i k a t i o n des P r o d u k t e s i m Nenner entsteht eine
v o n P r o d u k t e n m i t je ^
OL m i t i^=m.
D a i n diesen P r o d u k t e n jedes OL höchstens i n der (n — 2)-ten
{
{
Potenz v o r k o m m t , läßt sich jedes v o n i h n e n i n F a k t o r e n der F o r m a a
0
zerlegen.
Summe
F a k t o r e n aus der Menge der n — i W u r z e l n
j
1
2
Somit h a t nach
H i l f s s a t z 4 jeder
S u m m a n d des
t i
Nenners
. . . oc
ik
einen
P-adischen W e r t ^ 1, so daß
k -
n
2
(«,•-«,-)|
^1
i,j3zm;i<j
I
IP
u n d d a m i t die B e h a u p t u n g folgt.
Unter den Voraussetzungen
Hilfssatz 6.
beliebige,
von a , . . . , a
x
verschiedene
n
I <
=
m i n
5 gilt, wenn f
mit
P
|f - a m | p = = .
1 S t >
von Hilfssatz
Zahl aus K
J^~^|
P
I^^IP
]\&(q)\p
Beweis. Für jedes i =$=m ist
Wm-^i\p
= | K -
I ) + (f — a,:)|p S |a t;
|| ,
P
u n d somit w i r d
I
K ) |
P
= | o | p 17
ia
m
-
a |P
f
g | Ä j i 7 | a- 0
i =}= w
P
f
f | .
P
i 4=w
F o l g l i c h ergibt sich nach Hilfssatz 5
Y\D{q)\p^\^\pUWi~^\p
und damit
i +
1
Hilfssatz 7.
m
l'PWIPiif
1
S^'ow </ W,
0
£i(#)>•••>
V|JDte)|p
Polynome
mit
r
q (x)=
Grad ? = «
I I q (x),
0
{
0
Höhe q = H
{
{
(i = 0, . . . , n).
r
D a n n gilt H ^
0
(4ny l'IH .
n
Mathematische Zeitschrift. Bd. 72
i
26
eine
372
F R I E D R I C H K A S C H und
BODO VOLKMANN :
Beweis. Siehe [7], Hilfssatz 16.
Hilfssatz 8. Für jedes
folgenden
Aussagen ):
Polynom
q(x)
vom Grad n gilt wenigstens
eine
der
9
1. q ist Produkt
von n linearen
2. q ist Produkt
von zwei Polynomen
3. q hat lauter verschiedene
Polynomen,
mindestens
zweiten
Grades,
Nullstellen.
I m R i n g der Polynome m i t ganzrationalen Koeffizienten sei
Beweis.
die eindeutige Zerlegung v o n q i n Primelementpotenzen; ferner sei G r a d qi = n
(i=i,
...,r).
W i r d n u n angenommen, es gelte weder 1. noch
so g i b t es
wenigstens ein n , etwa n , m i t \<n <n.
D a n n k a n n auch n i c h t n = n — \
sein, w e i l daraus 3. bzw. 1. folgen würde. Somit g i l t \<n <n
— 1, woraus u n mittelbar folgt, daß
^
^
{
{
x
{
1
x
q
=
ft
eine Zerlegung m i t der Eigenschaft 2. i s t .
Bei
Hilfssatz 9.
vorgegebenen
H =\=x hat die Gleichung
H
2
höchstens C H ^
2
c
ganzrationalen
— 4a a
2
(i
1
Zahlen
Lösungen in ganzen Zahlen
ogloeH
H>\
und
a
a mit \ a^^LH,
Q)
10
2
a -AHa
| a \ f^H,
lo
4 H) H
Lösungen
CziXo?,XogH
H
Zahlen
H>i
und x hat die
= x
x
2
c
Bei vorgegebenen ganzrationalen
Gleichung
höchstens C r[x,
so beträgt
x)^C H ^ ^ .
2
Hilfssatz 10.
mit
[a^^H.
x
B e w e i s ) . I s t d(M) die A n z a h l der p o s i t i v e n Teiler v o n M,
die Lösungsanzahl höchstens
2d(H -
x
= x
in ganzen Zahlen
wobei r(u, v) der größte gemeinsame quadratische
a
lt
a mit
\a \^H,
1
Teiler von u und v ist.
Beweis. Siehe [2], Seite 267.
Sind N und M natürliche Zahlen,
Hilfssatz 11.
so gilt
M
2 > ( * , N)
log N.
x=l
Beweis. Sei d jN; d a n n g i l t r(x,N)
= d genau für die x v o n der F o r m
% = dx
m i t r(x
N) = i. Es g i b t also höchstens Mjd Z a h l e n * m i t dieser
Eigenschaft, u n d daher w i r d
2
2
1
2
lf
M
x=X
d*JN
4. Beweis von Satz 1.
MS)
(7)
£2
dJN
I m H i n b l i c k auf Hilfssatz 3 ist n u r noch
™<*
W ) ^
2
~ - k
( = '3.--0
W
2
) Dabei ist an die oben getroffene Vereinbarung zu erinnern, wonach n u r Polynome
über dem R i n g der ganzrationalen Zahlen betrachtet werden.
) V g l . [2], S. 266.
9
10
Metrische Sätze über transzendente Zahlen i n P-adischen Körpern
373
für fast alle | £ K zu beweisen. D a die Menge der algebraischen Zahlen
aus K das Maß 0 besitzt, können w i r uns dabei auf die Menge K der t r a n s zendenten P-adischen Zahlen beschränken.
Sei S (a) die Menge der
m i t # ( f ) > o \ D a n n g i b t es, wie m a n der
D e f i n i t i o n leicht e n t n i m m t , zu jeder Z a h l f £ S (a) unendlich viele H, zu denen
Polynome q (x) £ O (n, # ) , ? (x) $ Q («, / / — 1) m i t
p
P
n
n
n
(8)
| (f)| <Ä—
?
P
existieren; die Menge aller f-^K,
für die dies z u t r i f f t , bildet also eine Ober-
menge 5* (a) v o n S (or). I s t n u n für alle o>o
die Gleichung
0
w
bewiesen, so folgt auch P ( S * (a )) = T(S (o ))
0
n
0
einigung der abzählbar vielen Mengen S* (a +
--^
0
W i r werden diese Überlegung i m F a l l n=\
cr = 2—
T(S%(o))=0
= 0 ; denn S*(<r ) ist als V e r -
0
2, ...) darstellbar.
{j=i,
m i t a = 2 u n d i m F a l l n^2
mit
0
anwenden, so daß dann (7) folgt.
0
U m für jedes £ > 0 die Gleichung P ( S * ( 2 + e ) ) = 0 zu beweisen, bemerken
w i r , daß i n diesem F a l l für jede Lösung v o n (8) wegen )
11
\<l(£)\p = \ o£ + i\p =
a
K|P
a
<
P<
^
K| H
P
H
- 2 - e
P
offenbar
#
2 + e
2 + e
g i l t , w e n n | a | = P ~ * i s t . W i r überdecken n u n jede rationale Z a h l —
0
P
d u r c h das P-adische I n t e r v a l l i(a
der Zahlen ££K
Q)
P
mit
. P
D a n n i s t offenbar die Menge Sf(2+e)
für jedes H
U
0
enthalten.
\ o\p '
a
i n der Vereinigung
0
U
H=H
"0
tK>>#l)
max(!a |,|a j)=i/
0
1
Für das Turkstrasche Maß verwenden w i r die Zerlegung
u n d die beiden letzten Summanden nennen w i r
bzw.
.
Z u r Abschätzung v o n
ist zu berücksichtigen, daß bei den a u f t r e t e n den I n t e r v a l l e n stets
2HP~ y
}o H
O^x^k--
g
logP
ist u n d jedes solche K höchstens
m a l v o r k o m m t . Daher w i r d
^
c
P*
Für 2# erhält m a n entsprechend die U n g l e i c h u n g
CR H
\H\pH
2+£
CR
\H\pH
1+e
) D a keine k o n s t a n t e n Polynome als Lösungen a u f t r e t e n können,
betrachtenden q (x) den genauen G r a d 1.
n
haben alle zu
26*
374
F R I E D R I C H K A S C H und
u n d somit ergibt sich
+ e)) S lim
T(S*(2
BODO V O L K M A N N :
oo
po
2
+
(H
T
IM
<
'H)
T
oo
r
+ 1™
Z
Z
'
TÜFH^
D a der erste Grenzwert verschwindet, bleibt n u r der zweite zu betrachten.
Es i s t )
1 2
CO
H=l
OO OO
^
1
|
/=0
r
CO oo
p{
//=1
PI H
pi
m=l
/=0
v
oo
p
E
^
w=l
;
woraus
lim
J#=0
2
folgt, u n d daher g i l t T ( S f ( 2 + e)) = 0.
Es sei n u n bereits für m = 1, 2, . . . , w — 1 die Gleichung r ( S * ( c r ) ) = 0 m i t
0
{
für ra = 1,
2
2 - - L _
für
« =
2,...,«-1
2m
bewiesen. D a n n ist zu zeigen, daß für jedes £ > 0 , wenn c r = 2 — - — + £ gesetzt
w i r d , r(S*(cr)) = 0 g i l t . D a z u stellen w i r die Menge S = S * ( c r ) als Vereinigung
v o n vier Teilmengen S°, 5 , S , S dar, die folgendermaßen definiert s i n d :
Es sei S°(a) die Menge der ££K,
für die (8) u n e n d l i c h viele Lösungen q(x)
m i t G r a d < 7 ( * ) < w b e s i t z t ; ferner seien S (a),
S (a) u n d S (a) die Menge der
für die (8) u n e n d l i c h viele Lösungen q(x) besitzt, die v o m G r a d n
s i n d u n d außerdem i m Sinne v o n Hilfssatz 8 die Aussagen 1., 2. bzw. 3. er1
2
3
1
2
3
n-l
füllen. D a n n g i l t sicher 5 = S ° w S w S w S . W i r setzen n u n V=
1
2
3
U S*(<7 (m))
0
u n d zeigen zunächst
(10)
2 ^ ( S ° w S w 5 ) ^ T(V),
woraus T(S° ^ S u S ) = 0 folgt, da nach Induktionsvoraussetzung T ( F ) = 0 ist.
I s t £ £ 5°, so g i b t es offenbar ein m<n d e r a r t , daß u n e n d l i c h viele Lösungen
v o n (8) existieren, die den G r a d m haben. Wegen
1
1
n [2 —
(11)
2
2
+ fij > ^
#0
(ra)
(w = 1, . . . , n — 1)
folgt dann f £ S* (cr (w)), also auch | £ F u n d d a m i t S ^ F .
I s t £ 6 5 , so g i b t es u n e n d l i c h viele Lösungen der F o r m q = qi ... q m i t
linearen Polynomen ^ v o r {$}• Bezeichnet m a n deren Höhen m i t H u n d n i m m t
m a n £(JS* (2) an, so besitzt die Ungleichung
0
0
1
n
{
\qMp< T
H
2
n u r endlich viele Lösungen i n linearen Polynomen q (x), für die wegen f £ Ä'
stets |^i(f)|p>0 g i l t . Es g i b t also eine K o n s t a n t e y = y ( f ) > o m i t
i
k,(f)|p>y^r
12
) P ' # bedeutet, daß P ,
l
n i c h t aber P
/ + 1
2
Teiler v o n H ist.
Metrische Sätze über transzendente Zahlen i n P-adischen Körpern
375
für alle linearen P o l y n o m e der Höhe H . D a m i t folgt unter Berücksichtigung
von Hilfssatz 7
\q{ü)\p>y nn-*>c (!;)H^.
i
n
n
1
Wegen (11) steht dies i m W i d e r s p r u c h zu der Voraussetzung, daß (8) unendlich
viele Lösungen q(x) der angegebenen A r t h a t . Folglich muß 5 ^ F w S f ( 2 )
gelten, also auch T(S )t^
T(V).
I s t | g S , so g i b t es für wenigstens ein m unendlich viele Lösungen q = q q
von (8) m i t Gmd q = n u n d 1 < G r a d q = m<, n. N i m m t m a n ! ( f S * (or (w)) w
Sn- { o(
~ ))
>
folgt analog zur vorhergehenden Überlegung
1
x
2
x
x
a
m
n
a n
m
s 0
U ( I ) I p > Yi 72 i
H
m i t a = m i n {mo
t
Q
2
0
m a
°
( w )
n
m
{n
0
(
2
~ i n
+
)
e
m)
°
a
8
Wegen
(m), (n — m) a (n — m)).
n
C H-f
H-l ~ ^ ~ >
>
f
t
steht dies i m W i d e r s p r u c h zur Voraussetzung, daß (8) u n e n d l i c h viele derartige Lösungen q(x) besitzt. F o l g l i c h muß auch T(S )f^T(V)
gelten.
I s t | £ S , so g i b t es u n e n d l i c h viele Polynome q (x) v o m G r a d n m i t lauter
verschiedenen N u l l s t e l l e n , die (8) genügen. W i r ordnen jeder Nullstelle Cheines solchen Polynoms das P-adische I n t e r v a l l i ( a j der Zahlen tj£K
mit
2
3
P
zu, wobei die l i n k e Seite i m Sinne der B e w e r t u n g i n K
zu verstehen ist.
D a n n g i l t offenbar für alle diese Polynome i n der Bezeichnungsweise von
P
Hilfssatz 6 m i t o~2
—
+ £ die Ungleichung
| | - a
I
< J 1 ^ \ P
<
H
y\D{q)\
~
H
O
y\D(q)\
P
P
'
d. h . , es ist f £ i ( a ) . F o l g l i c h w i r d für jedes # die Menge S d u r c h die Gesamtheit dieser I n t e r v a l l e m i t H^H
überdeckt, u n d somit g i l t für das Turkstrasche
Maß
w
3
0
Ö
(12)
y
p ( s ) ^ um
3
y
H
.....
wobei i n der inneren Summe q(x) alle Polynome v o m G r a d n, der Höhe H
u n d m i t der (durch den S t r i c h a m Summenzeichen ausgedrückten) Nebenbedingung D(q) =#0 durchläuft.
Z u r Abschätzung v o n
Z=Y'
(13)
1
berücksichtigen w i r , daß die A n z a h l der Summanden ^C H
i s t , da jeweils
einer der K o e f f i z i e n t e n , e t w a a den B e t r a g H h a t . W e n n d a n n alle übrigen
Koeffizienten bis auf einen, etwa a - ( / = M ) , festgehalten w erden, ist D(q)
ein P o l y n o m V{a ) v o n einem G r a d g ' ^ l , so daß die F u n k t i o n
jeden
9
11
it
?
]
r
376
F R I E D R I C H K A S C H und
BODO V O L K M A N N :
W e r t höchstens 2g' = g m a l annehmen k a n n . D i e Summe E ist also (bei festem
/ u n d i) i n eine A n z a h l ^C H ~
v o n Summanden der F o r m
n
10
1
H
(14)
Y
E*=
—=L^-
t ^ H
}/\V(t)\
P
zerlegbar. Es soll gezeigt werden, daß für jede dieser Summen
gleichung der F o r m
(15)
eine U n -
E*<C H -^
n
11
g i l t u n d somit
(16)
E<C H '^
2n
12
2
ist.
Die Werte
s i n d ganze Z a h l e n * m i t 1 ^ x ^ C #
homogenes P o l y n o m v o m Grad 2n — 2 i n den V a r i a b l e n a
g i l t , wenn die natürliche Z a h l k d u r c h die U n g l e i c h u n g
1 3
0>
(17)
- , da D(q) ein
..., a i s t . Daher
2 M
2
n
P ^C H ~ <P
k
2n
lz
2
k+1
definiert w i r d , stets | % | p = / " * m i t O^x^k,
u n d zwar w i r d jedes solche x
für höchstens A = C R ~ \P
W e r t e x angenommen, da d a n n P / / # s e i n muß.
Jede dieser Zahlen x die a u f t r i t t , liefert zur Summe E* den B e i t r a g P * ,
u n d so ergibt sich d u r c h B e t r a c h t u n g des ungünstigsten Falles, wo die Zahlen x
m i t den größtmöglichen W e r t e n v o n P *
— u n d jeder v o n ihnen g m a l —
angenommen werden, die Abschätzung
3
y
2n
xz
2
K
/2
t
/2
Z * < g{A
P
P ~
+ A„
kl2
k
h
( Ä
x
+ • • • + A_
1 ) / 2
k
p(*-")/ )
2
u
f
wenn u eine natürliche Z a h l m i t
(18)
A
+•••+ A _ ^
+ A_
h
h
x
k
2H + 1
u
ist. Daraus folgt weiter
^*
< g C
+ p-(*-D/2 +
H ~ {P- '
2n
1Z
2
k 2
— r
— 5
letzteres wegen (17).
~
.
9
^
pw/2
r/2 N-2
13 ""pV/2"
"pi72_
pw/2
H~
P
^
^
^
n
6 ^13
p-(*-«)/2j
+
„
<r ?C
1>2
1
...
_
l
1 / 2
-
J
~
"piTäZT-i
'
F o l g l i c h ist
(19)
E*<C H - P^ .
n 1
lA
2
Ferner g i l t auf G r u n d v o n (18)
2H M < e
l 3
ii*»- (p2
+ P
k
: ••• !• P ") = c
• '^;',
y
13
also, wieder nach (17),
pu+i^r*
1
p
U
k
r
H
1 5 7^2n-2 ^
r
H
15 °13
U
p
,
d . h . P >C H,
u n d somit k a n n m a n P — C H
setzen, wenn C > C
geeignet gewählt w i r d . D a m i t ergibt sich aus (19) die U n g l e i c h u n g (15), so
daß (16) bewiesen i s t .
u
U
lß
11
1 7
Setzt m a n (16) i n (12) ein, so erhält m a n
oo
T{S*)^C ljm
2 #< - > - / ,
2 ff
12
H ^oo
0
H —H
0
n 3 2
1 6
Metrische Sätze über transzendente Zahlen i n P-adischen Körpern
u n d da i n dieser Reihe wegen a=2
+ s der E x p o n e n t < — 1 i s t , t r i t t
—^
Konvergenz e i n , so daß T ( S ) — T ( S ) = 0 folgt.
3
377
D a m i t ist alles bewiesen.
3
5. Beweis v o n Satz 2. A n a l o g z u m vorangehenden Beweis haben w i r j e t z t
für er— Y + s
m
i t beliebigem e > 0 die Gleichung T[S (a))
= 0 nachzuweisen.
2
Die D a r s t e l l u n g v o n S=S$(a)
sich j e t z t zu S = S ° \ J S ^ - ^ S * ,
als V e r e i n i g u n g von Mengen S vereinfacht
wobei diese Mengen m i t dem jetzigen W e r t
J
von a i n (8) definiert sind. Wegen 2^-5- + e j > 2 ergibt sich d a n n wie i m Beweis
von Satz 1 die Gleichung
T{S°r,S )=0.
1
U m die noch fehlende Aussage
(20)
T(S ) = 0
3
zu beweisen, können w i r zunächst dem Beweisgang v o n Satz 1 bis z u m A u f treten der Summe E i n (13) folgen. D a j e t z t für jedes P o l y n o m q(x) = a x
0
offenbar D(q) = a\ — 4a a
ax a
J
1
r
2
0
+
2
ist u n d mindestens einer der d r e i K o e f f i -
2
zienten den B e t r a g H haben muß, g i l t die Ungleichung
E^2
(21)
\H*-4a a \pW
f'
0
+ 4
t
a, a2= —H
\4 -
2'
aa
0
—
u
4Ha\p .
112
—H
W i r bezeichnen die beiden S u m m e n auf der rechten Seite m i t E
bzw.
x
Z u ihrer Abschätzung berücksichtigen
Zahlen x m i t 1
|#|f£5#
w i r , daß die W e r t e v o n D(q)
sind u n d Gleichungen der F o r m \x\ = P~
2
x
P
genügen, w e n n k wie i n (17) ( m i t C
O^x^k
solche x w i r d somit höchstens \0H /P
2
1 3
= 5 ) definiert w i r d .
E.
2
ganze
mit
Jedes
W e r t e v o n x angenommen, u n d ferner
x
g i b t H i l f s s a t z 9 eine obere Schranke für die Vielfachheit a n , m i t der eine
Z a h l x i n der Summe E
auftreten k a n n .
x
E ^4H
+
X
Somit erhält m a n
\H ~4a a \ f ^4H+C H ^ ^ i0H
2'
2
0
2
1 2
P
c
2
l
H
ZP-»
2
12
a ,a. = —H
4 a a., 0
ü
x=0
2
0
Ähnlich folgt auf G r u n d der Hilfssätze 10 u n d 11
k
[5H*P-x]
E ^ C Z/^/iogiog// 2
2
2
2
y.=0
k
^ C H ^°^
2
< C
19
C
H
x 2
t
x
[5//«P-*]
2
H
r (*! P* 4H) P '
x = l
2
r (* , 4H) P
x
t
^ C H ^ (£
c
2
+ 1) 5 #
logH
°z .
2+C2oß
]ogH
Setzt m a n dies i n (12) ein, so ergibt sich
00
T{S*) ^ C
2 1
lim
2
woraus die zu beweisende G l . (20) folgt.
Ä-
2 t f
+ + «/ « ß ,
2
c
l o
l o
w
2
log(4H)
F R I E D R I C H K A S C H u n d B O D O V O L K M A N N : Metrische Sätze über transzendente Z a h l e n
378
6. Schlußbemerkung. I m Reellen bzw. i m K o m p l e x e n k a n n m a n b e k a n n t l i c h d i e Mahlersche V e r m u t u n g so aussprechen ), daß für fast alle f die
Gleichungen
13
=
*
bzw. #
B
(f)=±-J-.
(n = 1 , 2 , . . . )
gelten. Ersteres h a t sowohl die Aussage
(22)
#(£) =
sup
= 1
für fast alle reeUen £
« = 1,2,...
als auch
= Ilm # (f) = 1
(23)
für fast alle reellen f
n
zur Folge. A n a l o g dazu w i r d m a n i m P-adischen F a l l v e r m u t e n dürfen, daß
fast alle i^K
den Gleichungen
p
(24)
# ( | ) i + JL
n
=
(
w
=
=
1
,
2
|
...)
genügen, woraus einerseits
= 2
(25)
und
für fast alle
££K
P
andererseits
(26)
w (f) = 1
für fast alle £ £ Ä >
f o l g t . Für n = \ u n d w = 2 i s t (24) d u r c h Satz 1 bzw. Satz 2 bewiesen, während
für n ^ 3 d i e entsprechende Frage noch offensteht. D i e R i c h t i g k e i t der A u s sage (25) dagegen e r g i b t sich als u n m i t t e l b a r e Folge v o n Satz 1. Jeder weitere
F o r t s c h r i t t i n R i c h t u n g a u f (26) b z w . (24) dürfte — w i e i m gewöhnlichen
F a l l — v o n neuen E i n s i c h t e n i n die W e r t e v e r t e i l u n g der D i s k r i m i n a n t e n D (q)
abhängig sein.
Literatur
[1] F E L L E R , W . , U . E . T O R N I E R : Maß- u n d I n t e g r a t i o n s t h e o r i e des Baireschen N u l l raumes. M a t h . A n n . 107, 165 — 187 (1932). — [2] K A S C H , F . : Über eine metrische E i g e n schaft der S-Zahlen. M a t h . Z. 70, 263 — 270 (1958). — [3] K A S C H , F . , u . B . V O L K M A N N :
Z u r Mahlerschen V e r m u t u n g über S-Zahlen.
M a t h . A n n . 136, 442 — 453 (1958). —
[4] K U B I L Y U S , J . F . : Über eine A n w e n d u n g der Winogradowschen Methode a u f die
Lösung eines Problems aus der metrischen Zahlentheorie. [Russ.] D o k l . A k a d . N a u k
SSSR, N . S . 67, 783 — 786 (1949). — [<5] M A H L E R , K . : Über Diophantische A p p r o x i m a t i o n e n i m Gebiete der P-adischen Zahlen. Jahresber. D M V 44, 250 — 255 (1934). —
[6'] M A H L E R , K . : Über eine Klasseneinteilung der P-adischen Zahlen.
Mathematica
(Zutphen) 3, 177 — 185 (1934/35). — [7] S C H N E I D E R , T H . : Einführung i n die transzendenten
Zahlen. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1957. — [8] T U R K S T R A , H . : Metrische
b i j d r a g e n t o t de theorie der Diophantische approximaties i n h e t l i c h a a m der P-adische
getallen. Diss. Freie U n i v . A m s t e r d a m 1936, 146 S.
Heidelberg,
Mainz,
Mathematisches
Mathematisches
(Eingegangen
13
) V g l . [31 § 1 .
Institut
Institut
der Universität
der Universität
am 29. April 1959)