¨Ubungen zur Vorlesung Logik WS 2011 ¨Ubungsblatt 1 17.10.2011

Übungen zur Vorlesung Logik
Thomas Schwentick
Daniela Huvermann und Thomas Zeume
WS 2011
Übungsblatt 1
17.10.2011
Abgabe bis zum 24.10.2011 um
10:10 Uhr (vor der Vorlesung) im HGII HS6, oder
10:00 Uhr im Briefkasten von Lehrstuhl 1,
OH-16, gegenüber von Raum E22, oder
10:30 Uhr im Briefkasten 38 am Audimax
Die Abgabe soll für diesen Übungszettel einzeln erfolgen. Sie dürfen
natürlich (und sollen) in Gruppen zusammenarbeiten, müssen Ihre
Lösungen dann aber einzeln aufschreiben und abgeben. Ab Blatt 2
ist eine Abgabe in Zweiergruppen möglich.
Bezüglich der Form der Abgabe beachten Sie bitte: Abzugeben sind
Lösungen auf DINA4-Blättern, die Sie unbedingt zusammenheften.
Auf der ersten Seite der Abgabe oben links müssen folgende Informationen zu finden sein: Ihr Name, die Nummer Ihrer Übungsgruppe
und die Nummer des bearbeiteten Übungsblattes. Also zum Beispiel:
James Bond, Übungsgruppe 7, Blatt 1
Lösungen sind nur dann vollständig, wenn sie begründet und erklärt
werden. Falls Beweise erwartet werden, wird dies in der Aufgabenstellung ausdrücklich gesagt.
Am Anfang jedes Übungsblattes finden Sie eine Sammlung von Quizfragen. Diese sollen Ihnen helfen festzustellen, ob Sie den Stoff der
Vorlesung verstanden haben. Die Lösungen dafür sollen nicht abgegeben werden.
Übungsblatt 1
Übungen zur Logik
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum?
Seite 2
keine Punkte
1. Folgende Zeichenketten sind aus AL:
• (⊤ ∧ ⊥)
• ¬¬¬¬A9
2. Auch folgende Zeichenketten sind aus AL:
• ((A1 → A2 ) ∨ A3 )
• A1 ∧ ¬A6 ∧ A1
3. Wenn in der aussagenlogischen Formel ϕ genau n Variablen vorkommen, dann hat die Wahrheitstafel für ϕ genau 2n Zeilen.
4. Für die aussagenlogische Formel ϕ = ¬(¬A1 ∨ ¬A2 ) und alle zu ϕ passenden Belegungen α
gilt JϕKα = min(JA1 Kα , JA2 Kα ).
5. Zu jeder aussagenlogischen Formel existieren unendlich viele verschiedene zu ihr äquivalente
aussagenlogische Formeln.
Aufgabe 1.1 [Modellierung]
3 Punkte
Modellieren Sie die folgenden Situationen mit Hilfe der Aussagenlogik. Geben Sie dazu zunächst
die verwendeten aussagenlogischen Variablen und deren intendierte Bedeutung an. Stellen Sie
anschließend aussagenlogische Formeln auf, die den Sachverhalt beschreiben.
a) Der Drucker funktioniert nur, wenn der Treiber installiert ist und das Stromkabel in der
Steckdose ist.
(1 Punkt)
b) Der kleine Tim und seine Freunde überlegen, ob sie sich nächste Woche die Logik-Vorlesung
anhören. Wenn sich Tim in die Vorlesung setzt, dann auch Anna. Anna hört sich die Vorlesung
aber nur an, wenn Beate und Chris auch kommen. Es kommt entweder Tim oder Chris, wenn
Chris kommt dann auch Dorothea.
(2 Punkte)
Hinweis: Beispielsweise kann die Situation Wenn der Kaffee heiß ist, kann er nicht getrunken
”
werden.“ durch die aussagenlogischen Variablen
• H: der Kaffee ist heiß
• T : der Kaffee kann getrunken werden
und die aussagenlogische Formel H → ¬T modelliert werden.
Übungsblatt 1
Übungen zur Logik
Aufgabe 1.2 [Normalformen]
Wir betrachten die aussagenlogische Formel
Seite 3
5 Punkte
ϕ = ¬(((A → B) ∧ (¬C → ¬D)) ∨ E)
a) Sei die Belegung α durch α(A) = 1, α(B) = 0, α(C) = 1, α(D) = 1 und α(E) = 0 gegeben.
Bestimmen Sie den Wahrheitswert JϕKα .
(1 Punkt)
b) Konstruieren Sie mit den Verfahren der Vorlesung
(i) eine zu ϕ äquivalente Formel in Negationsnormalform.
(ii) eine zu ϕ äquivalente Formel in konjunktiver Normalform.
[2 Punkte]
[2 Punkte]
Geben Sie die einzelnen Schritte an!
Aufgabe 1.3 [Äquivalenzen]
Seien ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 aussagenlogische Formeln. Zeigen Sie:
2 Punkte
((ϕ1 → ϕ2 ) ∨ ϕ3 ) ∧ (ϕ3 ∨ (ϕ2 → ϕ1 )) ≡ (ϕ1 ↔ ϕ2 ) ∨ ϕ3
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für alle aussagenlogischen Formeln ψ1 und ψ2
gilt:
ψ1 ↔ ψ2 ≡ (ψ1 → ψ2 ) ∧ (ψ2 → ψ1 )
Auf manchen Übungsblättern wird es neben den Quizaufgaben und
den zu bearbeitenden Aufgaben eine Zusatzaufgabe geben. Diese Aufgabe ist für diejenigen, die Freude daran haben, an etwas herausfordernden Problemen zu knabbern. Bitte beachten Sie, dass diese
Aufgaben nicht in den Übungen besprochen werden.
Zusatzaufgabe [Logelei]
2 Punkte
Bürgermeister Schulze ist nervös. Morgen muss er sich dem zehnköpfigen Gemeinderat zur Wiederwahl stellen. Seine Frau hat einige Diskussionen mitbekommen und gibt das Wesentliche wieder.
Niemand will sich der Stimme enthalten. Wenn Amann für und Kamann gegen dich stimmt, stimmt
auch Gemann gegen dich. Stimmt Jotmann für dich, tut dies auch Efman. Stimmt Bemann für und
Gemann gegen dich, so stimmt Emann gegen dich. Stimmt Jotmann gegen dich, so stimmt Emann
für dich. Stimmt einer der Räte Amann und Emann gegen dich, so stimmen sowohl Efmann als
auch Imann gegen dich. Stimmt Demann gegen dich, so stimmt Bemann für dich und Hamann
gegen dich. Stimmt Emann für dich, so stimmt Kamann gegen dich. Stimmt Demann für dich, so
tut dies auch Imann, aber Emann stimmt gegen dich.
Genug, genug!“, rief der schlaue Bürgermeister, Ich weiß jetzt, wer für und wer gegen mich
”
”
stimmt.“ Wissen Sie es auch?
Formalisieren Sie die Aussagen und begründen Sie, dass Ihre Vermutung über die Personen und ihr
Abstimmungsverhalten korrekt ist.