Beispiel 1

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Verbesserung der
Entscheidungssicherheit bei der
Bestimmung von
Prüfmittelfähigkeitsindizes
Ausarbeitung zum Seminar im Studiengang
„Scientific Programming“
Nikolai Giesbrecht
Betreuer:
Prof. Dr. Horst Schäfer
Prof. Dr. Christoph Weigand
2
Inhalt
Einleitung .................................................................................................................................... 5
Grundlagen ................................................................................................................................. 6
Definitionen ............................................................................................................................ 6
Teilbereich Qualität............................................................................................................. 6
Teilbereich Messen ............................................................................................................. 7
Teilbereich Statistik ............................................................................................................. 8
Teilbereich Prüfmittel ....................................................................................................... 10
Qualität im Unternehmen .................................................................................................... 11
Prüfmittel .............................................................................................................................. 12
Verwendung ...................................................................................................................... 12
Auswahlmessungen/Kalibrierung ..................................................................................... 12
Berechnung signifikanter Werte ....................................................................................... 13
Auswertung von Ergebnissen bei der Bestimmung von Prüfmittelfähigkeitsindizes .............. 14
Allgemein .............................................................................................................................. 14
Prüfmittelpotential ............................................................................................................... 14
Prüfmittelfähigkeit ................................................................................................................ 15
Bootstrapping ........................................................................................................................... 16
Theorie .................................................................................................................................. 16
Durchführung........................................................................................................................ 16
Aufwand................................................................................................................................ 16
Fallbeispiele .............................................................................................................................. 17
Anmerkungen ....................................................................................................................... 17
Beispiel 1 ............................................................................................................................... 17
Beispiel 2 ............................................................................................................................... 18
Variante: Erhöhung des Stichprobenumfangs ......................................................................... 20
3
Fallbeispiele .......................................................................................................................... 20
Beispiel 1 ........................................................................................................................... 20
Beispiel 2 ........................................................................................................................... 20
Aufwand................................................................................................................................ 21
Variante: Bootstrapping ........................................................................................................... 22
Fallbeispiele .......................................................................................................................... 22
Beispiel 1 ........................................................................................................................... 22
Beispiel 2 ........................................................................................................................... 22
Aufwand................................................................................................................................ 23
Vergleich der Varianten............................................................................................................ 24
Fallbeispiel 1 ......................................................................................................................... 24
Fallbeispiel 2 ......................................................................................................................... 24
Zusammenfassung ................................................................................................................ 25
Fazit .......................................................................................................................................... 26
Literaturverzeichnis .................................................................................................................. 27
Anhang...................................................................................................................................... 31
4
Einleitung
Aussagen über eine Menge kann man treffen, wenn man deren alle Elemente kennt.
Möglicherweise ist die Mächtigkeit der Menge jedoch zu groß oder das Informieren zu
aufwändig. Eventuell genügt es dann, wenn die Aussagen mit einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit wahr sind.
Derartige Aussagen werden in verschiedenen Lebensbereichen getroffen, z. B. über das
politische Meinungsbild oder wie verbreitet eine Erkrankung ist. Im technischen Bereich
werden Aussagen z. B. über eine Fehlerquote oder die Verteilung von
Stichprobenparametern gemacht.
Die meisten von ihnen haben gemein, dass mit möglichst wenig Aufwand Aussagen
getroffen werden sollen, die mit hoher Wahrscheinlichkeit stimmen. Unter Umständen kann
ein anderes Verfahren oder Mehraufwand die Wahrscheinlichkeit relativ stark erhöhen.
In dieser Arbeit wird geprüft, ob und wie man bei der Bestimmung von
Prüfmittelfähigkeitsindizes die Aussagekraft stärken kann. Prüfmittel sind in der Produktion
von großer Bedeutung und können sich dabei deutlich auf die Qualität der Produkte
auswirken. Der Auswahl oder der Entscheidung über die Weiterverwendung eines
Prüfmittels sollte man sich deshalb sehr sicher sein.
Im ersten Kapitel der Arbeit werden verschiedene Grundlagen vorgestellt. Darin sind neben
Definition auch mehr Informationen über die Bedeutung von Qualität und über Prüfmittel
enthalten.
Anschließend folgt das Kapitel „Auswertung von Ergebnissen bei der Bestimmung von
Prüfmittelfähigkeitsindizes“. Daraufhin wird der Bootstrap vorgestellt.
In den nächsten vier Kapiteln werden Fallbeispiele vorgestellt und die Indizes mit
verschiedenen Varianten bestimmt. Dazu kommt auch ein Vergleich der Ergebnisse.
Am Schluss der Arbeit folgt noch ein Fazit.
Zu erwähnen ist noch das Literaturverzeichnis und der Anhang.
5
Grundlagen
Definitionen
Teilbereich Qualität
Prozess
Ein Prozess ist ein Satz von in Wechselbeziehung oder Wechselwirkung stehenden
Tätigkeiten, der Eingaben in Ergebnisse umwandelt. (1)
Produkt
Ergebnis eines Prozesses. (1)
Qualität (allgemeine Definition)
Gesamtheit von Eigenschaften und Merkmalen eines Produkts oder einer Dienstleistung, die
sich auf deren Eignung zur Erfüllung festgelegter oder vorausgesetzter Erfordernisse
beziehen. (2)
Qualität (operationalisierte Definition):
Grad der Einhaltung von Planungsvorgaben für Eigenschaften und Merkmale bei Produkten
und Dienstleistungen. (3)
Qualtitätsmanagement
Qualitätsmanagement bezeichnet alle organisierten Maßnahmen, die der Verbesserung der
von Produkten, Prozessen oder Leistungen jeglicher Art dienen. (4)
Qualitätssicherung
Qualitätssicherung oder Qualitätskontrolle ist ein Sammelbegriff für unterschiedliche
Ansätze und Maßnahmen zur Sicherstellung festgelegter Qualitätsanforderungen. (5)
Qualitätsforderung
Gesamtheit der Einzelforderungen an die Beschaffenheit einer Einheit. (6)
Statistische Qualitätssicherung (Zielbeschreibung):
Die Statistische Qualitätssicherung (SQS) leitet anhand von Stichprobenprüfungen unter
Verwendung mathematisch-statistischer Methoden Aussagen über den Grad der Erfüllung
von Qualitätsforderungen ab. (7)
6
Messbare Qualitätsmerkmale
Produkt- oder Prozessmerkmale, die mit Hilfe von quantitativen Werten einer Messgröße
ausgedrückt werden. (6)
Konformität
Erfüllung einer Forderung. (6)
Ressource
Eine Ressource ist ein Mittel, um eine Handlung zu tätigen oder einen Vorgang ablaufen zu
lassen. (8)
Teilbereich Messen
Messung
Ermittlung von numerischen Werten kontinuierlicher Merkmale. (9)
Auflösung
Quantitatives Merkmal eines Messgerätes zur eindeutigen Unterscheidung zwischen nahe
beieinander liegenden Messwerten. (10)
Toleranz
Toleranz ist das Ausmaß der Abweichung einer Größe vom Normzustand oder Normmaß,
das die Funktion eines Systems nicht gefährdet. (11)
In dieser Arbeit ist die Toleranz die Differenz zwischen dem erlaubten oberen und unteren
Grenzwert.
Kalibrierung
Die Tätigkeiten, die unter vorgegebenen Bedingungen die gegenseitige Zuordnung zwischen
den ausgegebenen Werten einer Messeinrichtung oder einem Referenzmaterial
dargestellten Werten einerseits und den zugehörigen Werten einer durch ein Bezugsnormal
dargestellten Größe andererseits bestimmen. (12)
Prüfung
Eine Prüfung ist eine Tätigkeit wie Messen, Untersuchen, Ausmessen bei einem oder
mehreren Merkmalen einer Einheit, sowie Vergleichen der Ergebnisse mit festgelegten
7
Forderungen, um festzustellen, ob Konformität für jedes Merkmal erzielt ist. Sie wird auch
als innere Genauigkeit bezeichnet (s. u.). (13)
Genauigkeit
Genauigkeit wird in dieser Arbeit als Maß für die Überstimmung von berechneten
Mittelwerten mit dem tatsächlichen verwendet.
Wiederholpräzision
Ausmaß der gegenseitigen Annäherung zwischen Ergebnissen aufeinanderfolgender
Messungen derselben Messgröße, ausgeführt unter denselben Messbedingungen. (14)
Systematische Abweichung
Als systematische Abweichung (oder systematischer Fehler) werden Messfehler bezeichnet,
die sich bei wiederholter Messung nicht im Mittel aufheben. (15)
Zufällige Abweichung
Als zufällige Abweichungen (oder Zufallsfehler) werden die Abweichungen der Messwerte
von ihrem Mittelwert bezeichnet. (16)
Vollprüfung
Prüfung aller Produkte der Grundgesamtheit auf vorgegebene Prüfmerkmale. (17)
Teilbereich Statistik
Grundgesamtheit
Die Grundgesamtheit ist eine Menge, die endlich oder auch unendlich viele Elemente
umfasst. (18)
Häufigkeitsverteilung
Eine Häufigkeitsverteilung ist eine Funktion, die zu jedem vorgekommenem Wert angibt, wie
häufig er vorgekommen ist. (19)
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die
möglichen Zufallsergebnisse verteilen. (20)
8
Dichte
Falls die Verteilungsfunktion F einer stetigen Zufallsvariablen differenzierbar ist, nennt man
ihre Ableitung
die Dichtefunktion oder die Dichte der Verteilung von X. (21)
Verteilungsfunktion
Sei P(X=x) die Eintrittswahrscheinlichkeit für das Eintreten von X=x. Die
Wahrscheinlichkeitsfunktion wird dann wie folgt definiert:
Sie gibt somit die Wahrscheinlichkeit an, dass X Werte bis einschließlich x annimmt. (22)
Stichprobe
Als Stichprobe bezeichnet man eine Teilmenge einer Grundgesamtheit, die unter
bestimmten Gesichtspunkten ausgewählt wurde. (23)
Lageparameter
Ein Lageparameter beschreibt eine der wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeits- oder
Wahrscheinlichkeitsverteilung. (24)
Mittelwert
Ein Mittelwert ist ein Lageparameter einer Häufigkeits- oder Wahrscheinlichkeitsverteilung,
der die Lage der Elemente einer Stichprobe oder Grundgesamtheit in Bezug auf die
Messskala beschreibt. (25)
Verwendet wird hier das arithmetische Mittel, das auch als Stichproben- bzw. als
empirischer Mittelwert für eine Stichprobe x1, x2, …, xn wie folgt definiert ist:
9
Erwartungswert
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist jener Wert, der sich (in der Regel) bei
oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden Experiments als Mittelwert der Ergebnisse
ergibt. (26)
Notation1:
µ
Berechnung des Erwartungswertes E(X) für die Zufallsvariable X:
-
Diskrete Zufallsvariable:
-
Stetige Zufallsvariable:
Varianz
Die Varianz ist ein Streuungsmaß der zugehörigen Zufallsvariable. (27)
Notation:
σ²
Die Stichproben- oder empirische Varianz für eine Stichprobe x1, x2, …, xn ist wie folgt
definiert:
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz.
Bei der Notation wird dem gefolgt.
Teilbereich Prüfmittel
Messprozess
Satz von Tätigkeiten zur Ermittlung eines Größenwertes. (6)
Messmittel
Ein Messgerät, Software, Messnormal, Referenzmaterial oder Hilfsmittel oder eine
Kombination davon, die für einen Messprozess benötigt wird, ist ein Messmittel. (28)
1
Bei Schätzwerten wird ein Dach über das Zeichen gesetzt, z. B. . Die Stichproben- bzw. empirische Werte
können als solche fungieren.
10
Prüfmittel
Prüfmittel sind Messmittel, die zur Darlegung der Konformität bezüglich festgelegter
Qualitätsforderungen benutzt werden. (29)
Prüfmittelfähigkeitsindizes
Die beiden Indizes sind Maßzahlen für die Güte von Messgeräten. (30)
Potential
Das Messgerätepotential cg gibt an, wie oft der 0,954-Zufallsstreubereich der Messwerte in
20 % der Toleranz enthalten ist. (30)
Mit der Toleranz T und der Standardabweichung σ berechnet man das Potential wie folgt:
Fähigkeit
Die Messgerätefähigkeit cgk enthält neben der zufälligen auch die systematische
Messabweichung. (30)
Die systematische Messabweichung Bi und die Standardabweichung σ werden zur
Berechnung benötigt:
Qualität im Unternehmen
Die Gewinnmaximierung ist für Unternehmen ein wichtiger Faktor (31). Allerdings wird diese
durch viele Aspekte bedingt. Wenn dieses Ziel auch langfristig erreicht werden soll, ist die
Qualität der Produkte, die man verkaufen will, von entscheidender Bedeutung, da sie für
Kunden neben dem Preis und dem Nutzen zu den wesentlichen Anhaltspunkten bei
Kaufentscheidungen gehört.
Folglich ist eine Qualitätssicherung erwägenswert. Diese ist in den verschiedenen Stufen
eines Produktlebenszyklus möglich. Um den Qualität nicht nur zu kontrollieren, kann ein
Qualitätsmanagement erforderlich sein. Die Maßnahmen können so organisiert und die Güte
11
der Qualität beeinflusst werden. Inzwischen gibt es viele Standards im Bereich des
Qualitätsmanagements, z. B. die ISO 9000 Familie.
Aus der Mischung der Marktsituation, den Kundenwünschen, den Ansprüchen und
verfügbaren Ressourcen des Unternehmens entstehen eigene Qualitätsforderungen an die
Verkaufsprodukte. Diese Produkte, eventuelle Einzelbestandteile oder Zwischenprodukte
sollten also geprüft werden, z. B. in Form von Kundenumfragen, Zählungen oder Messungen.
Bei der Prüfung von messbaren Qualitätsmerkmalen kann die SQS nützlich sein. Eine
Vollprüfung ist meistens nicht notwendig, bei zerstörender Prüfung schließt sie sich natürlich
aus. Zudem werden für jede Prüfung Ressourcen benötigt, d. h. sie kostet letztendlich Geld.
Im Rahmen der SQS wird deshalb versucht, den Stichprobenumfang zu reduzieren und
gleichzeitig die Konformität in Bezug auf das jeweilige Prüfmerkmal zu gewährleisten. Die
Bewertung von Produktionsprozessen im Hinblick auf messbare Qualitätsmerkmale samt der
Bestimmung von sinnvollen Grenz- und Eingriffswerten können ebenfalls mit der SQS
geregelt werden.
Prüfmittel
Verwendung
Prüfmittel werden zu messenden Prüfungen verwendet. Diese werden vor allem im
Anfertigungsprozess von Produkten, bei ankommenden und ausgehenden Lieferungen
durchgeführt. Das setzt voraus, dass sie selbst hohen Anforderungen genügen müssen.
Bei der Auswahl eines Prüfmittels werden deshalb nicht nur grundsätzliche Kriterien, wie
beispielsweise die Art der Messgröße und die Spezifikationsgrenze berücksichtigt. Es werden
auch eigene Messungen im Sinne einer Kalibrierung durchgeführt, um die Eignung zu
bewerten.
Auswahlmessungen/Kalibrierung
Bei Messprozessen kann es viele Ursachen für Messabweichungen geben. In (32) werden u.
a. folgende genannt: Messgeräteabweichungen, Umwelteinflüsse und das Messverfahren.
Dadurch können systematische und zufällige Abweichungen entstehen. Bei der
Messsystemanalyse, s. (33), wird genauer unterschieden. Bei der Bestimmung von
Prüfmittelfähigkeitsindizes sind die Genauigkeit für die systematische und die
12
Wiederholpräzision für die zufällige Abweichung von Bedeutung. Vor allem in der Produktion
sollte auch die Vergleichspräzision, die Stabilität und die Linearität eines Messverfahrens
beachtet werden.
Abhängig von der Kategorie der Messabweichung, die man betrachten will, sind
verschiedene Verfahren notwendig. In diesem Fall sind die Genauigkeit und die
Wiederholbarkeit von zentraler Bedeutung.
Für diese Prüfung werden hintereinander 50, jedoch mindestens 25, Messungen, mit dem
Prüfmittel durchgeführt. Dazu misst derselbe Bediener die entsprechenden Eigenschaften
eines Normals oder eines Produkts, deren Größenwerte bekannt sind. Zu beachten ist, dass
die Messungen unabhängig voneinander stattfinden müssen.
Die Aussagekraft eines Messwertes wird auch durch die Auflösung des Prüfmittels bedingt.
Der Quotient aus Auflösung und Toleranz sollte möglichst klein sein. In (34) wird dafür ein
Maximum von 5 % als „anzustreben“ bezeichnet.
Berechnung signifikanter Werte
Aus der Stichprobe können einige signifikante Werte berechnet werden. Benötigt werden
zunächst der Stichprobenmittelwert und die –varianz. Daraus können das Potential und die
Fähigkeit des Prüfmittels berechnet werden.
Die Ergebnisse können mit in die Entscheidung einfließen, ob oder welches Prüfmittel
ausgewählt oder weiterverwendet wird.
13
Auswertung von Ergebnissen bei der Bestimmung von
Prüfmittelfähigkeitsindizes
Allgemein
Die Stichprobenergebnisse der oben erwähnten Prüfung sind zufällige Ereignisse und damit
nur bedingt aussagekräftig. Ein Stichprobenwert bzw. Schätzwert von 1,33 für das Potential
ergibt, dass das Potential nur mit einer Wahrscheinlichkeit, in die verschiedene Faktoren
einfließen, einen Wert von größer oder gleich dem erhaltenen hat.
Als Prüfmittelpotential wird oft ein Mindestwert von mindestens 1,33 gefordert. Die
Prüfmittelfähigkeit sollte am besten gleich dem –potential sein, da es dann keine
systematische Messabweichung gäbe, was für Prüfmittel sinnvoll wäre.
Bei der Entscheidung hinsichtlich der Auswahl oder Weiterbenutzung eines Prüfmittels ist es
also wichtig zu wissen, wie wahrscheinlich es bei einem tatsächlichen Index ist, dass der
Schätzwert über oder unter dem geforderten liegt2. In den folgenden Unterkapiteln werden
Berechnungsmöglichkeiten dafür hergeleitet.
Prüfmittelpotential
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert über dem geforderten Mindestwert liegt, kann
man für das Prüfmittelpotential wie folgt berechnen:
Es ergibt sich eine χ² - Verteilung.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert unter dem geforderten Wert liegt, ist
komplementär zur obigen:
2
Einbezogen ist auch die Gleichheit.
14
So kann sich folgende beispielhafte Rechnung ergeben:
n = 50;
= 1,33
Prüfmittelfähigkeit
Für die Prüfmittelfähigkeit kann man die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert über dem
geforderten Mindestwert liegt, wie folgt berechnen:
Dies ist leider keine bekannte Verteilung. Man könnte sie simulieren, was in dieser Arbeit
unterlassen wird.
Der komplementäre Wert, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert unter dem
geforderten Mindestwert liegt, ist dann entsprechend:
15
Bootstrapping
Theorie
Durchführung
Aus einer Stichprobe von einer unabhängig identisch verteilten Zufallsvariable wird der
gewünschte Parameter geschätzt. Anschließend werden aus der originalen Stichprobe
Stichproben gezogen und jeweils ebenfalls der gewünschte Parameter geschätzt.
Die Auswertung kann auf verschiedene Weisen geschen.
Falls der geschätzte Parameter normalverteilt ist, kann die normale
Approximationsmethode, s. (35), verwendet werden. Zu den berechneten BootstrapParametern wird die empirische Standardabweichung berechnet, mit deren Hilfe man ein
Konfidenzintervall um den geschätzten Parameter bilden kann.
Eine andere Möglichkeit ist die Perzentil-Methode, s. (36). Die geschätzten BootstrapParameter werden geordnet und daraus dann ein Konfidenzintervall gebildet. D. h. bei
einem beidseitigen Konfidenzintervall von 90 %, fallen jeweils die kleinsten und größten fünf
Prozent weg. Diese Methode setzt jedoch eine hohe Anzahl an Bootstrap-Stichproben voraus
und funktioniert bei kleinen Stichproben nicht immer.
Aufwand
Der Mehraufwand besteht hauptsächlich aus der Verfügbarkeit einer geeigneten Software.
Die Messwerte werden normalerweise auch elektronisch gespeichert werden und die
Berechnungen dauern meist maximal nur wenige Sekunden.
16
Fallbeispiele
Anmerkungen
Die in den Beispielen verwendeten Stichproben wurden mithilfe der Programmiersprache
Java erzeugt. Der Code ist dem Anhang beigefügt. Zur Funktionsweise der Methoden zur
Zufallszahlengenerierung s. (37).
In der unten stehenden Tabelle erfolgt die Zählung der Stichprobenwerte zeilenweise.
Beispiel 1
Für das erste Beispiel wurde eine Stichprobe mit standardnormalverteilten Zufallszahlen
erzeugt:
1,562; -0,608; -1,091; -0,625; -1,118; -1,658; -1,882; 0,059; -0,408;
0,445; -0,956; -0,335; -0,991; 0,611; 0,957; -0,190; 0,009; 0,426;
-1,161; 2,831; 0,355; -1,360; 0,455; -1,163; -1,305; 0,164; -0,498;
-0,381; -1,497; 1,032; 1,734; -0,829; 0,332; -2,224; -0,650; -1,935;
0,001; 0,090; 0,236; 0,741; 2,593; -2,894; -0,658; -1,772; -0,484;
1,829; 2,073; 0,412; 1,358; 0,651; -0,966; -0,724; 0,821; 0,421;
-1,044; 0,426; -0,249; 0,324; 0,957; 1,033; 0,006; 0,322; -0,782;
0,288;
-0,626;
-1,333;
-0,660;
-0,546;
0,466;
0,475;
Die Werte könnten beispielsweise die Abweichung von einer Füllhöhe eines
Flüssigkeitsbehälters, gemessen in Millimeter, angeben.
Von den 70 Werten werden an dieser Stelle nur die ersten 50 verwendet. Die zusätzlichen
werden an anderen Stellen der Arbeit benötigt.
Als Toleranz wird T = 30,4 gewählt. Die Auflösung beträgt ein Tausendstel. Sie ist damit
kleiner als fünf Prozent der Toleranz, d. h. sie ist hinreichend klein.
Die daraus berechneten signifikanten Werte sind:
-
Stichprobenmittelwert:
-
Stichprobenvarianz:
-
Stichprobenstandardabweichung:
-
Prüfmittelpotential:
-
Prüfmittelfähigkeit:
17
Das Prüfmittelpotential kann nach unten abgeschätzt werden. Die Zufallsvariable
ist chi-quadrat-verteilt. Daraus kann man folgern:
Z ≥ χn-1; 1-γ²  (n – 1) s²/σ² ≥ χn-1; 1-γ²  σ² ≤ (n-1) s² / χn-1; 1-γ²
Mit einem Vertrauensniveau von γ = 95 % kann man für das obige Beispiel berechnen:
σ² ≤ (n-1) s² / χ49; 0,05² = 49 ∙ 1,30 / 33,9 ≈ 1,88 => cg ≥ 0,20 ∙ 30,4 /(4 ∙ √1,88) ≈ 1,11
Die Prüfmittelfähigkeit wird hier nicht nach unten abgeschätzt, weil die Bildung eines
Vertrauensintervalls aufgrund der zwei Stichprobenwerte in diesem Fall schwierig ist.
Beispiel 2
Die folgende Stichprobe stammt von einer Normalverteilung mit µ = 58,9 und σ² = 0,10.
59,17660;
59,04002;
58,81725;
58,82020;
59,06810;
58,37409;
58,94407;
59,55664;
58,81236;
58,90706;
59,13118;
59,20330;
58,95561;
59,86536;
58,60928;
58,82534;
59,31280;
58,52816;
59,08031;
59,12474;
58,81915;
59,52188;
59,00366;
59,27400;
58,65951;
58,89254;
58,85279;
58,88104;
59,25828;
59,04609;
58,47960;
59,37833;
59,28173;
58,65176;
58,50989;
58,73018;
58,39779;
58,88953;
58,98562;
58,95127;
58,41758;
59,18553;
58,75459;
58,83895;
58,74483;
58,66168;
58,89611;
58,86512;
58,61198;
58,79431;
59,09662;
58,97949;
58,95183;
58,49232;
59,70542;
58,39240;
59,13205;
58,89263;
58,30462;
59,16530;
58,87674;
59,45481;
58,76099;
58,94151;
58,88598;
58,65455;
58,95241;
58,92724;
59,04293;
59,34591;
Diese Werte könnten z. B. für die Länge eines Werkstücks, gemessen in Zentimeter, stehen.
Wie auch beim ersten Beispiel werden hier nur die ersten 50 Stichprobenwerte verwendet.
Als Toleranz wird diesmal T = 10 gewählt. Die Toleranz ist mit einem Hunderttausendstel im
Vergleich dazu deutlich kleiner als 5 % und somit ausreichend.
Somit kann man folgende Kennwerte berechnen:
-
Stichprobenmittelwert:
-
Stichprobenvarianz:
-
Stichprobenstandardabweichung:
0
18
-
Prüfmittelpotential:
-
Prüfmittelfähigkeit:
Die Abschätzung des Prüfmittelpotentials gegen einen unteren Grenzwert ergibt:
σ² ≤ (n-1) s² / χ49; 0,05² = 49 ∙ 0,0854 / 33,9 ≈ 0,123 => cg ≥ 0,20 ∙ 10 /(4 ∙ √0,123) ≈ 1,43
19
Variante: Erhöhung des Stichprobenumfangs
Fallbeispiele
Beispiel 1
Bei diesem Beispiel werden alle 70 Werte aus dem ersten Fallbeispiel zur Stichprobe
gerechnet.
Daraus können die folgenden Werte berechnet werden:
-
Stichprobenmittelwert:
-
Stichprobenvarianz:
-
Stichprobenstandardabweichung:
-
Prüfmittelpotential:
-
Prüfmittelfähigkeit:
Die Abschätzung des Prüfmittelpotentials nach unten ergibt:
σ² ≤ (n-1) s² / χ69; 0,05² = 69 ∙ 1,237 / 50,9 ≈ 1,68 => cg ≥ 0,20 ∙ 30,4 /(4 ∙ √1,68) ≈ 1,17
Beispiel 2
Die gesamte Stichprobe mit dem Umfang 70 aus dem zweiten Fallbeispiel wird hier genutzt.
Als signifikante Werte ergeben sich:
-
Stichprobenmittelwert:
-
Stichprobenvarianz:
-
Stichprobenstandardabweichung:
-
Prüfmittelpotential:
-
Prüfmittelfähigkeit:
Hinzu kommt die Abschätzung des Prüfmittelpotentials nach unten:
20
σ² ≤ (n-1) s² / χ69; 0,05² = 69 ∙ 0,0997 / 50,9 ≈ 0,135 => cg ≥ 0,20 ∙ 10 /(4 ∙ √0,135) ≈ 1,36
Aufwand
Die zusätzlichen Prüfungen bereiten den hinzukommenden Aufwand, da diese Ressourcen
binden. Bei der Nutzung dieser Variante muss also überprüft werden, ob die Aussagekraft in
einem guten Verhältnis zur Aufwendung der Ressourcen steht. Z. B. sehr kosten- oder
zeitintensive Prüfungen sind deshalb möglichst zu vermeiden.
21
Variante: Bootstrapping
Fallbeispiele
Beispiel 1
Aus der 50er-Stichprobe aus Beispiel 1 wurden B = 1000 Stichproben gezogen.
Zu den Stichproben wurden jeweils die Mittelwerte und die Varianzen berechnet. Es ergaben
sich folgende Werte:
-
Mittelwert (der Mittelwerte):
-
Mittelwert der Varianzen:
-
Mittelwert der Standardabweichungen:
-
Prüfmittelpotential:
-
Prüfmittelfähigkeit:
Die Varianzen wurden der Größe nach geordnet und 95 % - Perzentil ausgelesen, um das
Prüfmittelpotential nach unten abzuschätzen:
|P(σ² ≤ y) ≥ 0,95 => σ² ≤ 1,81 => cg ≥ 0,20 ∙ 30,4 / (4 ∙ √1,81) ≈ 1,13
Beispiel 2
Von Beispiel 2 wurde die 50er-Stichprobe genommen und daraus wurden B = 1000
Stichproben gezogen.
Die folgenden Kennwerte wurden errechnet:
-
Mittelwert (der Mittelwerte):
-
Mittelwert der Varianzen:
-
Mittelwert der Standardabweichungen:
-
Prüfmittelpotential:
-
Prüfmittelfähigkeit:
22
Mit dem 95 % - Perzentil für die Varianzen ergibt sich für das Prüfmittelpotential als untere
Grenze:
|P(σ² ≤ y) ≥ 0,95 => σ² ≤ 0,110 => cg ≥ 0,20 ∙ 10 / (4 ∙ √0,119) ≈ 1,51
Aufwand
Bei dieser Variante müssen zusätzlich zur grundsätzlichen Prüfung viele Berechnungen
durchgeführt werden. Auch dafür müssen Ressourcen zur Verfügung stehen, beispielsweise
ein Computer und einer geeigneten Software. Die Berechnungen an sich gehen innerhalb
weniger Sekunden vonstatten. In diesem Fall ist also zu prüfen, ob sich die entsprechenden
Anschaffungen rechnen und ob dafür qualifizierte Mitarbeiter/innen verfügbar sind.
23
Vergleich der Varianten
Fallbeispiel 1
Ursprüngliche Verteilung Standardprüfung Variante 1 Variante 2
0
-0,338
-0,130
-0,340
s²
1
1,30
1,237
1,28
s
1
1,14
1,112
1,13
1,52
1,33
1,37
1,35
1,52
1,18
1,31
1,19
-
1,11
1,17
1,13
Beide Alternativvarianten ergaben im Vergleich zur Standardprüfung eine Verbesserung (s.
obige Tabelle). Die Schätzungen des Prüfmittelpotentials änderten sich jedoch nicht sehr. Die
Variante 1 ergab zwar eine Verbesserung von etwa 5 %, jedoch steht dem eine Erhöhung des
Stichprobenumfangs von 40 % gegenüber. Diese verringerte jedoch die Abweichung des
Stichprobenmittelwertes vom tatsächlichen, sodass die Schätzung für die Prüfmittelfähigkeit
mit 1,31 zu 1,18 deutlich besser ist. Die Variante 2 brachte nur eine geringe Verbesserung.
Fallbeispiel 2
Ursprüngliche Verteilung Standardprüfung Variante 1 Variante 2
58,9
58,9110
58,9335
58,9133
s²
0,10
0,0854
0,997
0,0835
s
0,316
0,292
0,316
0,289
1,58
1,71
1,58
1,73
1,58
1,69
1,53
1,71
-
1,43
1,36
1,51
24
In diesem Beispiel (s. obige Tabelle) bekommt man mit der Variante 1 schlechtere
Abschätzungen als mit der Standardprüfung, da die Abweichung des
Stichprobenmittelwertes zum tatsächlichen sich deutlich erhöhte. Die Variante 2 hat im
Vergleich zur Standardprüfung ebenfalls eine Erhöhung der Abweichung ergeben und
gleichzeitig eine etwas niedrigere Varianz. Die grundsätzlichen Schätzwerte für das
Prüfmittelpotential und die –fähigkeit sind für die Standardvariante und der Variante 2
ähnlich mit leichtem Vorteil für letztere. Bei der Abschätzung des Prüfmittelpotentials nach
unten ist sie sogar deutlich besser, da die Varianzen nur geringfügig streuten (Varianz der
Varianzen: Ungefähr 0,00024).
Zusammenfassung
Die Variante 1 brachte im ersten Fallbeispiel im Vergleich zur Standardprüfung merkliche
Verbesserungen. Ob diese den Aufwand rechtfertigen, hängt davon ab, ob und welche
Ressourcen zur Verfügung stehen. Im zweiten Fallbeispiel hingegen brachte der höhere
Stichprobenumfang keinerlei Vorteile, eher das Gegenteil. Möglicherweise ist dies der
konkreten Stichprobe geschuldet, denn die Stichprobenergebnisse konvergieren für einen
gegen unendlich gehenden Stichprobenumfang gegen die ursprüngliche Verteilung. Jedoch
kann man aus dem Beispiel auch schließen, dass eine Erhöhung des Stichprobenumfangs bei
unbekannten Prüflingen eventuelle Abweichungen leichter aufzeigt.
In beiden Fallbeispielen waren die Ergebnisse der Variante 2 eine Verbesserung gegenüber
der der Standardprüfung. Allerdings waren die Änderungen in den meisten Fällen nur
geringfügig. Falls die benötigten Ressourcen verfügbar sind, kann die Variante verwendet
werden, da sie nur wenig Mehraufwand verlangt und teilweise auch merklich bessere Daten
liefert.
25
Fazit
Man konnte sehen, dass es Möglichkeiten gibt, die Entscheidungssicherheit bei der
Bestimmung von Prüfmittelfähigkeitsindizes zu verbessern. Allerdings ging aus den
Fallbeispielen nicht hervor, ob und welche der verwendeten Varianten sinnvoll ist.
Die Erhöhung des Stichprobenumfangs ergibt nicht zwangsläufig eine Verbesserung. Falls sie
relativ kostengünstig ist, sollte man sie jedoch in Erwägung ziehen, da Besserungen deutlich
sein können. Hinzu kommt, dass man sich in den Fällen gegen falsche Entscheidungen besser
abgesichert ist.
Bootstrapping hat bei den Fallbeispielen nur geringe Verbesserungen hervorgebracht. Dies
könnte auch durch den Umfang der Bootstrapstichprobe bedingt sein. Zumindest kleinere
Verbesserungen gab es und da das Verfahren kein großer Mehraufwand ist, könnte es
vorteilhaft sein, es bei jeder Stichprobe zu benutzen. Zu berücksichtigen ist auch, dass es
weitere Bootstrap-Verfahren gibt, die auch andere Eigenheiten der Bootstrapstichprobe
berücksichtigt. Alternativ könnte man auch die Verwendung anderer Resampling-Methoden
prüfen.
Somit ist von Fall zu Fall zu unterscheiden, ob und welche Varianten man verwendet. Wobei
man, wie schon im ersten Absatz dieses Kapitels angedeutet, vorher eingehender prüfen
sollte, wie groß der Nutzen jeweils ist.
26
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Prüfprozessen. 2. Auflage. Frankfurt : Deutsche Gesellschaft für Qualität e. V., 2003. S. 121.
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http://webrum.uni-mannheim.de/sowi/shikanos/Publikation/BootstrapMethodenbuch-2012-05.pdf
36. Chernik, Michael R. Bootstrap Methods – A Guide for Practitioners and Researchers. 2.
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http://download.oracle.com/javase/1.3/docs/api/java/util/Random.html#nextDouble().
30
Anhang
Java - Code, der zur Erzeugung von Zufallsvariablen genutzt wurde:
package Beispielmethoden;
import java.util.Random;
public class Methoden {
public static double[][] normalverteilteWerte(long seed, int anzahl,
double mittelwert, double varianz) {
double[][] feld = new double[1][anzahl];
Random generator = new Random(seed);
double standardabweichung = Math.sqrt(varianz);
for (int i = 0; i < feld[0].length; i++) {
feld[0][i] = mittelwert + standardabweichung
* generator.nextGaussian();
}
return feld;
}
public static double[] mittelwerteBerechnen(double[][] stichproben,
int anzahlStichproben) {
double[] feld = new double[stichproben.length];
int obergrenze = anzahlStichproben;
if (obergrenze > stichproben[0].length)
obergrenze = stichproben.length;
for (int i = 0; i < stichproben.length; i++) {
double summe = 0;
for (int j = 0; j < obergrenze; j++) {
summe += stichproben[i][j];
}
feld[i] = summe / obergrenze;
}
return feld;
}
public static double[] varianzenBerechnen(double[][] stichproben,
double[] mittelwerte, int anzahlStichproben) {
double[] feld = new double[mittelwerte.length];
int obergrenze = anzahlStichproben;
if (obergrenze > stichproben[0].length)
obergrenze = stichproben.length;
for (int i = 0; i < stichproben.length; i++) {
double summe = 0;
for (int j = 0; j < obergrenze; j++) {
summe += Math.pow(stichproben[i][j] - mittelwerte[i], 2);
}
feld[i] = summe / (obergrenze - 1);
}
return feld;
}
public static double[][] bootstrappen(long seed, double[][] stichproben,
int anzahlBsStichproben, int anzahlStichproben) {
int obergrenze = anzahlStichproben;
if (obergrenze > stichproben[0].length)
obergrenze = stichproben.length;
double[][] feld = new double[anzahlBsStichproben][obergrenze];
Random generator = new Random(seed);
for (int i = 0; i < feld.length; i++) {
for (int j = 0; j < feld[i].length; j++) {
feld[i][j] = stichproben[0][generator.nextInt(obergrenze)];
}
}
31
return feld;
}
public static double quantil(double[][] feld, double quantil) {
for (int i = 0; i < feld[0].length; i++) {
for (int j = i + 1; j < feld[0].length; j++) {
if (feld[0][i] > feld[0][j]) {
double wert = feld[0][i];
feld[0][i] = feld[0][j];
feld[0][j] = wert;
}
}
}
for(int i=0; i<feld[0].length; i++) {
//System.out.println(feld[0][i]);
}
return feld[0][((int)(feld[0].length*quantil))+1];
}
}
32
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