Lösung von Aufgabe 59 Wir können annehmen, dass ∥b∥ = ∥p1

Lösung von Aufgabe 59
Wir können annehmen, dass ∥b∥ = ∥p1 ∥ = 1 = ∥p2 ∥ ist. Dann ist
v
) eine ON-Basis der Ebene. Wir fassen die Vektoren in V und ihre
(b, ∥v∥
Koordinatenspalten bezüglich dieser ON-Basis als gleich auf. Dann ist
(
)
(
)
)
(
cos(α2 )
0
− cos(α1 )
, p2 =
und v =
.
p1 =
sin(α2 )
∥v∥
sin(α1 )
Wir suchen reelle Zahlen c1 und c2 so, dass c1 p1 + c2 p2 = v ist, das
heißt:
(
) ( )
(
)
− cos(α1 ) cos(α2 )
c1
0
·
=
.
sin(α1 ) sin(α2 )
c2
∥v∥
Als Lösung erhalten wir


 
−∥v∥·cos(α2 )
c1
− cos(α1 ) sin(α2 )−cos(α2 ) sin(α1 )

  = 
.

−∥v∥·cos(α1 )
c2
− cos(α1 ) sin(α2 )−cos(α2 ) sin(α1 )
Wenn α1 = α2 =: α und 0 < α < π2 ist, ist
 ∥v∥ 
 
c1
2 sin(α)

  = 
.

∥v∥
c2
2 sin(α)
∥v∥
Daher ist ∥u1 ∥ = ∥c1 p1 ∥ = |c1 | = 2 sin(α)
. Somit ist ∥u1 ∥ ≥ ∥v∥ genau
dann, wenn 1 ≥ 2 sin(α) ist, das heißt: 0 < α ≤ π6 .