Strömungsmechanik

1
Strömungsmechanik
An der Hochschule Augsburg habe ich die Vorlesung „Strömungsmechanik“ in der nachfolgenden Fassung während meiner dortigen Lehrtätigkeit den Studenten des Maschinenbaus,
der Verfahrens- und der Umwelttechnik vorgetragen. Ziel war es dabei, den betreffenden
Hörerinnen und Hörern die wesentlichen Grundlagen dieses Fachs unter Berücksichtigung
der von ihnen gewählten Fachrichtungen zu vermitteln. Hierbei kam es mir besonders darauf
an, die Entwicklung der Gleichungen Schritt für Schritt nachvollziehbar herzuleiten. Die dabei erforderlichen Kenntnisse der Mathematik und Physik lehnten sich an dem an Fachhochschulen angebotenen Stoffumfang an.
Die Handhabung des erlernten Wissens ist unabdingbar an das selbständige Lösen konkreter
Anwendungsfälle gebunden. Eine Möglichkeit hierzu bietet sich unter „Lehrbuch“ mit dem
dort vorgestellten Werk „Prüfungstrainer Strömungsmechanik“ an.
Prof. Dr.-Ing.
Valentin Schröder
Königsbrunn, Januar 2012
2
Vorlesung „Strömungsmechanik“
Prof. Dr. V. Schröder
1. Literatur
2. Gliederung
3. Physikalische Eigenschaften von Fluiden
4. Fluid-Statik
4.1. Fluid bei beschleunigter Translationsbewegung
4.2. Fluid in Rotationsbewegung
4.3. Fluiddruck
4.3.1. Richtungseinfluss auf den Druck
4.3.2. Druckfortpflanzung
4.3.3. Druckkraft auf gekrümmte Fläche
4.3.4. Druck durch Gewichtskräfte
4.3.4.1. Druckverteilung in einer schweren Flüssigkeit
4.3.5. Fluidkräfte gegen ebene Wandung
4.3.6. Fluidkräfte gegen gekrümmte Wandung
4.3.7. Auftrieb
4.3.8. Druckverteilung in Gasen
5. Fluid-Dynamik
5.1. Durchflussgleichung, Kontinuitätsgleichung
5.1.1. Durchflussgleichung
5.1.2. Kontinuitätsgleichung
5.2. Fluidströmungen ohne Dichteänderungen
5.2.1. Bernoullische Gleichung für ruhende Systeme bei stationärer,
eindimensionaler Strömung idealer und realer Fluide.
3
5.2.2. Bernoullische Gleichung für ruhende Systeme bei instationärer,
eindimensionaler Strömung idealer und realer Fluide.
5.2.3. Druckänderung senkrecht zu den Stromlinien
5.2.4. Bernoullische Gleichung für rotierende Systeme bei stationärer,
eindimensionaler Strömung idealer und realer Fluide
5.2.4.1. Kräftegleichgewicht am Fluidteilchen in w-Richtung
5.2.4.2. Kräftegleichgewicht am Fluidteilchen in n-Richtung
5.2.4.3. Ermittlung der Geschwindigkeitsänderung dw/dn
5.2.5. Impulssatz
5.2.6. Rohrströmung
5.2.6.1. Laminare Rohrströmung
5.2.6.2. Turbulente Rohrströmung
5.2.6.3. Anlaufstrecke
5.2.6.4. Hydraulischer Durchmesser
5.2.6.5. Rohreinbauten
5.2.7. Grenzschichten
5.2.7.1. Grenzschichten an längsangeströmten Platten sowie mäßig
gewölbten, ablösungsfrei umströmten Oberflächen.
5.2.7.2. Plattenreibungsbeiwert cF und Widerstandsbeiwert cW
5.2.7.3. Grenzschichtströmung mit Ablösung
5.2.8. Umströmung von Körpern und Profilen
5.2.8.1. Kugel- und Zylinderumströmung
5.2.8.2. Tragflügelumströmung
5.2.8.3. Umströmung anderer technischer Körper
5.2.8.4. Freier Fall mit Strömungswiderstand
4
5.3. Fluidströmungen mit Dichteänderungen (kompressibel)
5.3.1. Schallgeschwindigkeit, Machzahl
5.3.2. Eindimensionale, kompressible Strömungen
5.3.2.1. Strömungsprozesse
5.3.2.2. Strömungsprozesse mit Wärmezufuhr bzw. -abfuhr
5.3.2.3. Strömungsprozesse ohne Wärmezufuhr bzw. -abfuhr
5.3.2.4. Strömungsprozesse ohne kalorische Größen
5.3.2.5. Totaltemperatur (Ruhe-, Kessel-, )
5.3.2.6. Adiabate Düsen- und Diffusorströmung
5.3.2.6.1. Reibungsfreie Düsenströmung
5.3.2.6.2. Reibungsfreie Diffusorströmung
5
1. Literatur
1.
Sigloch, H.
Technische Fluidmechanik;
VDI-Verlag
2.
Böswirth, L.
Technische Strömungslehre;
Vieweg-Verlag
3.
Becker, E.
Technische Strömungslehre;
Teubner-Studienbücher
4.
Becker, E.
Piltz, E.
Übungen zur Technischen Strömungslehre;
Teubner-Studienbücher
5.
Truckenbrodt, E.
Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik;
Springer-Verlag
6.
Eck, B.
Technische Strömungslehre;
Springer-Verlag
7.
Kalide, W.
Einführung in die Technische Strömungslehre;
Hanser-Verlag
8.
Tietjens, O.
Strömungslehre; Band 1 und 2;
Springer-Verlag
9.
Schlichting, H.
Grenzschicht-Theorie;
Verlag G. Braun
6
2. Gliederung
7
3. Physikalische Eigenschaften der Fluide
Begriffe, Dimensionen, Formelzeichen (Auswahl)
Grundgröße
SI-Basiseinheit
Abkürzung
Länge
Meter
m
Masse
Kilogramm
kg
Zeit
Sekunden
s
Temperatur
Kelvin
K
Hiervon abgeleitete Größen der Fluidmechanik sind z.B.
Kraft
Newton
N = kg*m/s²
Druck
Pascal
Pa = N/m²
Energie, Wärme,
Arbeit
Joule
J = Nm = kg*m²/s²
Leistung, Energiestrom
Watt
W = J/s = Nm/s
Auf die Zeit bezogene Größen (außer Geschwindigkeiten) werden mit dem Zusatz: - strom
versehen, z.B.
Volumen V : Volumenstrom V
Impuls
I : Impulsstrom I = Impulskraft FI
Häufig verwendete Einheit des Druckes ist
1 bar = 105 Pa = 105 N/m².
Zusätze vor den Einheiten Gramm (g), Meter (m), Sekunden (s):
10³
K(ilo)
10-³
m(illi)
106
M(ega)
10-6
µ(ikro)
109
G(iga)
10-9
n(ano)
1012
T(era)
10-12
p(ico)
8
Formelzeichen
Thermische und kalorische Größen
Temperatur
ϑ
K, °C
Wärme
Q, q (= Q/m)
J, J/kg ≡ Nm, Nm/kg
Enthalpie
H, h (= H/m)
J, J/kg ≡ Nm, Nm/kg
Innere Energie
U, u (= U/m)
J, J/kg ≡ Nm, Nm/kg
Entropie
S, s (= S/m)
J, J/kg ≡ Nm, Nm/kg
techn. Arbeit
Wt, wt (= Wt/m)
J, J/kg ≡ Nm, Nm/kg
spez. Verlustenergie
Yv
J, J/kg ≡ Nm, Nm/kg
Kraft
F
N
Drehmoment
T
Nm
Schubspannung
τ
Ν/m²
Druck
p
N/m²
Druckhöhe
H
m
Masse, Menge
m
kg
Arbeit (s.o.)
W
J ≡ Nm
spez. Arbeit (s.o.)
w = W/m
J/kg ≡ Nm/kg ≡ m²/s²
Leistung
P
W ≡ Nm/s
Verlustenergie (s.o.)
Yv
J/kg ≡ Nm/kg ≡ m²/s²
Impuls
I
kg*m/s
Impulsstrom
I ( = FI)
kg*m/s² ≡ N
Drall, Impulsmoment
L
kg*m/s*m
Drallstrom, Impulsmo-
L ( = T)
kg*m/s²*m ≡ Nm
Kinetische Größen
mentstrom
9
Kompressibilität
Zusammendrückbarkeit eines Fluids. Ist ähnlich definiert wie Hookesches Gesetz
∆L σ
(ε =
= ):
L
E
∆p
∆V
=−
V0
E
Negatives Vorzeichen, da bei Drucksteigerung eine Volumenverkleinerung stattfindet.
Flüssigkeiten:
E Fl < E Metall
z.B. Wasser:
E H 2O = 2000
N
mm 2
E Stahl ≈ 210000
1. Wenn z.B. ∆p = 1 bar ≡ 105
N
mm 2
N
N
,
= 0,1
2
m
mm 2
dann erhält man
N
0,1
⎛ ∆V ⎞
∆p
mm 2 = 1
⎟⎟ =
= −⎜⎜
E H 2O
20000
⎝ V0 ⎠ 2000 N
2
mm
∆p
= 5 *10 −5 oder
E
5 * 10 −3 %
∆V
∆p
= 0,005 % = −
E
V0
2. Wenn z.B. eine Volumenverkleinerung von 1 % erreicht werden soll, dann wird:
−
N
∆V ∆p
= 0,01 ⇒ ∆p = 0,01 * 2000 = 20
=
V0
E
mm 2
N
⎡N⎤
∆p = 20 * 106 ⎢ 2 ⎥ = 2 * 107 2 = 200 bar
m
⎣m ⎦
In den üblichen Druckbereichen sind Flüssigkeiten als inkompressibel zu bezeichnen.
10
Gase:
Bei
T = const. gilt nach nach Boyle-Mariotte :
p * V = const
p 0 * V0 = (p 0 + ∆p ) * (V0 + ∆V )
p 0 * V0 + p 0 * ∆V + ∆p * V0 + ∆p * ∆V − p 0 * V0 = 0
1
424
3
Glied
2.Ordnung <<
p 0 * ∆V + ∆p * V0 = 0 ⇒
∆p
∆V
1
=−
= − * ∆p
V0
p0
p0
p 0 ≡ E Gas
Somit wird:
Beispiel: Luft im Normalzustand t 0 = 0°C , p 0 = 1,0133 bar
p 0 ≡ (E Luft ) = 1,0133 bar = 101330
p 0 ≡ (E Luft ) = 0,10
E H 2O = 2000
N
m2
N
mm 2
N
mm 2
Damit ist Luft ca. 20000 mal kompressibler als Wasser.
Geschwindigkeitsgrenzwert strömender, inkompressibler Gase
Mit dem Massenerhaltungsgesetz
ρ 0 * V0 = (ρ 0 + ∆ρ ) * (V0 + ∆V )
d.h.
Masse ruhend = m 0
: m = const = ρ * V
=
m1 = Masse bewegt
ρ 0 * V0 + ρ 0 * ∆V + ∆ρ * V0 + ∆
ρ * ∆3
V − ρ 0 * V0 = 0
1
424
Glied
2.Ordnung <<
11
d.h.
∆ρ
∆V
=−
V0
ρ0
Eingesetzt in oben genannte Gleichung
∆p
∆ρ
∆V
=−
=−
V0
p0
ρ0
∆p = p 0 *
∆ρ
;
ρ0
erhält man:
∆p = E L *
∆ρ
ρ0
Wenn
∆p =
p 0 ≡ E Luft
ρ0
* c2
2
1
424
3
= Staudruck
gesetzt wird, gilt
ρ0 2
*c
∆ρ
≈ 2
.
ρ0
EL
Mit der (später behandelten) Laplace-Gleichung der Schallgeschwindigkeit a
a2 =
EL
ρ0
folgt:
ρ0
2
* c2
1 ⎛c⎞
∆ρ
2
≈ 2
= *⎜ ⎟
ρ0
a * ρ0 2 ⎝ a ⎠
Mit der Machzahl
Ma =
c
a
folgt
∆ρ 1
= * Ma 2
ρ0 2
Da Inkompressibilität vorliegt, wenn ∆V << , also
12
∆V ∆p ∆ρ
=
=
<< 1 ,
V0
p0 ρ0
wird somit auch
1
* Ma 2 << 1 .
2
m
km
( ≈ 1200
) im Normzustand t 0 = 0°C , p 0 = 1013,3 mbar erweis
h
m
sen sich Strömungsgeschwindigkeiten bis c ≈ 100 als inkompressibel wirkend auf die
s
strömende Luft:
Bei Luft mit a = 330
Mit Ma ≈ 0,3 wird
∆ρ 1
1
= * Ma 2 = * 0,32 =0,045
ρ0 2
2
∆ρ
≈5%
ρ0
Mit c Luft ≈ 100
bei c ≈ 100
m
.
s
m
ist die obere Grenze der inkompressiblen Luftströmung (Normzustand) ers
reicht.
Viskosität (DIN 1342)
Definiert als Eigenschaft eines fließfähigen Stoffsystems (flüssig oder gasförmig), bei Verformungen eine Spannung aufzunehmen. Diese hängt, neben den Stoffeigenschaften, von der
Verformungsgeschwindigkeit *) ab.
Umgekehrt kann durch eine aufgebrachte Spannung (Schub-) eine Verformungsgeschwindigkeit hervorgerufen werden.
Die Stoffgröße „Viskosität“ ist als Maß für die durch innere Reibung bestimmte Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander zu verstehen.
*)
Für die Verformungsgeschwindigkeit
D=
dc x
dz
sind noch weitere Bezeichnungen geläufig:
- Deformationsgeschwindigkeit
- Geschwindigkeitsgefälle (Scher-)
13
- Geschwindigkeitsgradient (Scher-)
- Schergefälle
- Scherrate
Fluidreibung nach Newton
Newton hat festgestellt, dass die Reibung zwischen zwei sich berührenden Fluidschichten abhängig ist von dem Geschwindigkeitsunterschied zwischen ihnen, nicht aber vom Druck. Dies
steht im Gegensatz zu Reibungskräften bei Festkörpern, die von Normalkräften abhängen.
Newton hat das nach ihm benannte Fluidreibungsgesetz aus Versuchen wie folgt ermittelt:
Mit dem Schergradient oder Schergefälle (Abb. 2)
⎛ dc ⎞
D = ⎜ x ⎟ ist bei:
⎝ dz ⎠
kleinen Wandabständen
D=
größeren Wandabständen
dc x ∆c x
= const
=
dz
∆z
dc x
≠ const
dz
dc
dc
D1 = x ,1 ; D 2 = x , 2
dz 1
dz 2
D=
1. Im Fall Newtonscher Flüssigkeiten und kleiner Schichtdicken des Fluids (CouetteStrömung), d.h. linearer c x -Verteilung hat Newton aus Versuchen zur Ermittlung der
Scherkraft F festgestellt:
⇒
1. F ~ A
F = k1 * A
2.
F ~ ∆c x
⇒
F = k 2 * ∆c x
3. F ~
1
∆z
F = k3 *
⇒
1
∆z
14
Abb. 1 Prinzipbild zur Herleitung des Newtonschen Fluidreibungsgesetzes
15
Die Kraft F hängt also von
A , ∆ c x und
1
ab; das heißt, man kann ganz allgemein for∆z
mulieren
F = f (A ; ∆cx ;
1
).
∆z
Die Änderung der Kraft DF wird mit dem „Totalen Differential“:
⎛ ∂F ⎞
⎛ 1 ⎞
∂F
⎛ ∂F ⎞
⎟⎟ * d(∆c x ) +
DF = ⎜ ⎟ * dA + ⎜⎜
* d⎜⎜ ⎟⎟
∆z
⎛ 1 ⎞
⎝ ∂A ⎠
⎝ ∂c x ⎠
∂⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠
⎝ ∆z ⎠
ermittelt. Mit den (experimentell) gefundenen Zusammenhängen 1. - 3. erhält man:
1.
F
∂F
= k1 =
A
∂A
2.
F
∂F
= k2 =
∂( ∆c x )
∆c x
3.
F
∂F
= k3 =
1
1
( )
∂( )
∆z
∆z
Somit:
DF =
F
F
* dA +
* d( ∆c x ) +
∆c x
A
1
)
∆z
DF dA d( ∆ c x )
=
+
+
1
∆c x
F
A
( )
∆z
d(
F
1
* d( )
1
∆z
( )
∆z
2
∫
1
1
)
d( ∆c x )
∆z
dF
dA
∫1 F = ∫1 A + ∫1 ∆c x + ∫1 1
( )
∆z
1
(
)
∆c x 2
F2
A2
∆z 2
ln
= ln
+ ln
+ ln
1
F1
A1
∆c x1
(
)
∆z 1
2
2
2
2
d(
16
1
⎡
(
)
⎢
∆z 2
F2
A 2 ∆c x 2
= ln ⎢
*
*
ln
F1
⎢ A 1 ∆ c x1 ( 1 )
⎢⎣
∆z 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
e
1
F2
∆z 2
=
1
F1
A 1 * ∆ c x1 *
∆z 1
A 2 * ∆c x 2 *
F1
1
A1 * ∆c x1 *
∆ z1
=
F2
1
A 2 * ∆c x 2 *
∆z2
=
F
1
A * ∆c x *
∆z
= const. = K
Als K = const. wird die dynamische Viskosität η definiert, somit:
F
=η
∆c x
A*
∆z
oder
F = η* A *
∆cx
.
∆z
Mit
τ =
F
A
erhält man das Newtonsches Fluidreibungsgesetz:
τ = η*
wobei
∆c x
= η∗D
∆z
η = dynamische Viskosität und
∆c x
∆z
= D = const =
Schergradient.
2. Allgemein (bei nichtlinearer c-Verteilung) lautet das Newtonsches Fluidreibungsgesetz:
τ = η*
dc x
= η∗ D
dz
dc x
= D ≠ const
dz
1
dc
Die Schubspannung τ ändert sich hierbei linear mit dem Schergradienten D = ⎛⎜ x ⎞⎟ .
dz ⎠
⎝
17
τ
τ1
τf
τ2
Fließverhalten verschiedener Fluide
Definitionen
D = dcx /dz
- Technische Fluidmechanik : Newtonsche Flüssigkeit
- Rheologie
: Nicht-Newtonsche Flüssigkeit
Pseudoplastische Flüssigkeit : Strukturviskose Flüssigkeit
Dilatante Flüssigkeit
: Strukturviskose Flüssigkeit
Pseudoplastisch
Dilatant
: Ausrichtung von Molekülen
: Verkettung von Molekülen
Scherspannung bei Flüssigkeiten ist verwandt mit Schubspannung bei Metallen.
Dynamische Viskosität η
η ist eine Stoffkonstante und hängt in vielen Fällen stark von der Temperatur ab, vom Druck
weniger.
⎡ N 2 ⎤
τ
m ⎥
⎢
;
η=
⎢m * 1 ⎥
⎛ dc x ⎞
⎜
m⎦
⎣ s
dz ⎟⎠
⎝
⎡ N *s⎤
η⎢ 2 ⎥ = [Pa * s]
⎣ m ⎦
Fluidität
:
ϕ=
1
η
18
Kinematische Viskosität ν
η
ρ
Definition
:
ν=
Dimension
:
⎡ N * s m 3 ⎤ ⎡ kg * m * s * m 3 ⎤ ⎡ m 2 ⎤
⎥
⎥=⎢
⎢ 2 * kg ⎥ = ⎢ 2
2
⎣ m
⎦ ⎣ s * m * kg ⎦ ⎣ s ⎦
Also
:
⎡ m2 ⎤
ν⎢
⎥
⎣ s ⎦
Da ν ~ η , hängt auch ν von der Temperatur und Druck ab. Bei Flüssigkeiten ist Druckabhängigkeit nur schwach ausgeprägt.
Bei t = 20 ° C, p = 1 bar
Wasser
Luft
ρ ⎡ kg 3 ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
η [Pa * s]
1000
1,2
1000* 10 −6
18* 10 −6
⎡ m2 ⎤
ν⎢
⎥
⎣ s ⎦
1* 10 −6
15* 10 −6
η
ϑ
Abb. 3 Temperaturabhängigkeit der dyn. Viskosität bei
Flüssigkeiten und Gasen
19
Beispiel
: Eine ebene Platte wird auf einem Ölfilm von 0,3 mm Dicke mit der
Geschwindigkeit c = 0,4 m bewegt. Der Kraftaufwand beträgt 12 N. Die
s
Dynamische Zähigkeit des Öles ist η = 0,15 Pa * s . Wie groß ist die benetzte
Fläche A der Plattenseite?
Annahme :
Lineare c-Verteilung in der dünnen Ölschicht:
⎛ ∆c ⎞
τ = η* ⎜ ⎟ ;
⎝ ∆z ⎠
τ=
F
;
A
∆c
F
= η*
A
∆z
⇒ A = F*
∆z 1
*
∆c η
∆c = 0,4
N
m
; ∆z = 0,3mm = 0,0003m ; η = 0,15Pa * s = 0,15 2 * s
s
m
A = 12 *
0,0003 1
*
0,4
0,15
⎡
m * s m2 ⎤
N
*
*
⎢
m
N * s ⎥⎦
⎣
A = 0,06m 2 ≡ 600cm 2
Schallgeschwindigkeit a
Bei der Herleitung der Schallgeschwindigkeit a lässt sich der in Abb. 4 dargestellte Bewegungsverlauf einer „kleinen Druckstörung“ wie folgt beschreiben:
1. zur Zeit t = 0
p
p
ρ
ρ
A
∆s
2. zur Zeit t = ∆t
p
ρ
(p + ∆p)
(ρ + ∆ρ)
∆x
∆s = a*∆t
Abb. 4 Skizze zur Herleitung der Schallgeschwindigkeit
20
1.
Kolben links wird in kurzer Zeit ∆t um ∆x verschoben.
2.
Diese Verschiebung um ∆x teilt sich allen eingeschlossenen Partikeln mit (in ∆t ).
∆x
, wenn auch zeitlich verteilt.
Somit besitzen alle Partikel die Geschwindigkeit c =
∆t
Aufgrund der Verschiebung entsteht am linken Kolben (rechte Seite) eine Druckerhöhung ∆p und eine Dichtevergrößerung ∆ρ .
3.
4.
Die Druckerhöhung (Druckstörung, Druckwelle) wandert im elastischen Gas mit einer
(zu bestimmenden) Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) a
nach rechts, bis sie nach der Zeit ∆t den rechten Kolben erreicht hat. In dieser Zeit hat
sie den Weg ∆s zurückgelegt. Als Masse werden die, zwischen den beiden Kolben
um ∆s entfernt, eingeschlossenen Partikel betrachtet.
5.
Zur Geschwindigkeitsänderung ∆c aller Partikel in ∆V = A * ∆s in der Zeit ∆t wird
∆c
benötigt.
eine Beschleunigung a b =
∆t
Diese Beschleunigung wird über die eingeleitete Kraft ∆F aufgebracht.
6.
Gleichungen:
t=0 ⇒ c=0
t = ∆t ⇒ c( ∆t )
ab =
∆c c(∆t ) − 0
=
∆t
∆t − 0
ab =
c(∆t )
∆t
a=
Beschleunigung aller Partikel
∆s
∆t
∆t =
Fortpflanzungsgeschwindigkeit
∆s
∆x
=
a c ( ∆t )
c( ∆t ) = a *
∆x
∆s
∆F = ∆p * A
∆F = ∆m * a b
∆m = ρ * ∆V = ρ * A * ∆s
somit
∆p * A = ρ * A * ∆s *
c(∆t )
∆t
/A
21
∆p = ρ * ∆s *
1
∆x
*a *
∆t
∆s
∆p = ρ * a 2 *
∆x
∆s
Die Massenerhaltung aller eingeschlossenen Partikel fordert
∆ m v = ∆m n
∆m v
∆m n
=
=
Masse vor Einleitung der Störung
Masse, wenn Druckwelle den rechten Kolben erreicht, aber noch
nicht verschoben hat.
∆ m v = ρ * A * ∆s
∆m n = (ρ + ∆ρ ) * A * (∆s − ∆x )
∆m n = A * (ρ * ∆s − ρ * ∆x + ∆ρ * ∆s − ∆ρ * ∆x )
ρ * A * ∆s = ρ * A * ∆s − ρ * A * ∆x + A * ∆ρ * ∆s ⇒
ρ * ∆x = ∆ρ * ∆s
∆x ∆ρ
=
∆s
ρ
Somit
∆p = ρ * a 2 *
a = ∆p
∆ρ
ρ
⇒
∆ρ
Ohne Einschränkungen kann man anstelle ∆ ... auch d... verwenden
a = dp
dρ
Bei Flüssigkeiten mit
∆V
∆p
=−
V0
E Fl
siehe auch [1]
∆ρ * ∆x <<
22
erhält man mit Massenerhaltungssatz:
m = ρ * V = const
ρ 0 * V0 = (ρ 0 + ∆ρ ) * (V0 + ∆V )
− (ρ 0 * V0 );
ρ 0 * V0 = ρ 0 * V0 + ρ 0 * ∆V + ∆ρ * V0 + ∆ρ * ∆V
∆ρ * ∆V <<
ρ 0 * ∆V = − ∆ρ * V0
Oben eingesetzt wird
−
oder
∆p
∆ρ
=−
E Fl
ρ0
∆p E Fl
=
∆ρ ρ 0
a=
Wasser:
E
ρ0
E = 2000 N
mm 2
ρ 0 = 1000 kg
a=
= 2 * 10 9 N
m2
m3
2 * 10 9 m 2
m
= 1414
3
2
s
10
s
Bei kompressiblen Gasen erhält man unter der Annahme eines idealen Gases und somit kleiner Druckänderung und kleiner Temperaturänderung:
Isentrope Verdichtung
p * v κ = const = k
p*
1
=k
ρκ
p = k *ρκ
dp
= k * κ * ρ κ −1 = k * κ * ρ κ * ρ −1
dρ
23
dp
1
= p * κ * ρ −1 = κ * p * = κ * p * v
dρ
ρ
= R *T
dp
= κ *R *T
dρ
⇒
a=
Damit
a = f (T )
z.B.
Luft bei:
κ*R *T
(bei kleinen Druckstörungen)
p = 1 bar
T = 293 K
R = 287
J
kg * K
a = 1,4 * 287 * 293
J
m
= 343
kg
s
24
4. Fluid-Statik
Begrenzungsflächen
- Trennfläche:
Fläche zwischen zwei sich nicht mischenden Flüssigkeiten
- Freie Oberfläche : Grenzfläche zwischen Flüssigkeitsspiegel und Gas (meist
Wasser und Luft).
Einige Feststellungen hierzu :
- Fluidteilchen sind sehr leicht verschiebbar. Sie passen sich jeder Körper
form an.
- Fluidteilchen verschieben sich unter Einwirkung von Tangentialkräften
(- komponenten) solange, bis sie verschwunden sind; d.h.
- Fluidteilchen kommen dann zur Ruhe, wenn nur noch Normalkräfte zwischen ihnen wirken.
- Freie Oberflächen stellen sich in jedem Punkt senkrecht zur Kraftresultieren
den ein.
- An freien Oberflächen ist der Druck konstant. Sie werden als „Niveauflächen“ oder auch „Äquipotentialflächen“ bezeichnet.
Kennzeichnung:
Fluid in Ruhe
25
4.1. Fluid bei beschleunigter Translationsbewegung
a>0
V
a = dc/dt
c(t)
α
α
Abb. 5
dm = Massenelement in
Nähe der freien Oberfläche
a=0
V
Fluid bei beschleunigter Translationsbewegung
Neigungswinkel α
tan α =
dm * a
dm * g
⎛a⎞
α = arctan ⎜⎜ ⎟⎟
⎝g⎠
Beispiel:
∆V
H*
B: Breite ⊥ zur
Zeichenebene
H
V
V1
α
L1
L*
L
Abb. 6 Skizze zum Beispiel
α
26
Ein Rechteckbehälter mit Innenabmessungen
L = 15
B = 2,8
H = 2,5
V = 50
m
m
m
m3
ist mit Wasser gefüllt.
1. Welche Wassermenge geht verloren, wenn der Wagen mit a = 3 m
s2
beschleunigt wird?
⎛a⎞
3
α = arctan ⎜⎜ ⎟⎟ = arctan
= 17°
9,81
⎝g⎠
V = 1 * L* * H * * B
2
V1 = 1 * L 1 * H * B
2
[
∆V = (V − V1 ) = 1 * B * L* * H * − L 1 * H
2
tan α = H
L* = H
*
L*
*
tan α
=H
]
L1
L1 = H
;
[
2
B
∆V = 1 *
* H* − H 2
2 tan α
tan α
]
H * aus b) ~ e)
2
H * = 2 * tan α * V
B
[
⇒ H * = 2 * tan 17° * 50
]
2,8
∆V = 1 *
* 3,3 2 − 2,5 2 = 21,25 m 3
2 tan 17°
2. Welche Maximalbeschleunigung ist möglich, damit nichts verloren geht?
tan α =
H a max
=
L2
g
2*V
V = 50 m 3 = 1 * H * L 2 * B ⇒ L 2 =
2
H*B
a max = g *
2,52 * 2,8
H2 *B
= g*
= 0,175* g =1,72 m 2
s
100
2* V
2,8
= 3,3 m
27
4.2 Fluid in Rotationsbewegung
Im Bereich des freien Spiegels im Beharrungszustand (keine Tangentialkräfte mehr, d.h. der
Spiegel stellt sich an jedem Punkt seiner Oberfläche senkrecht zur resultierenden Kraft ein)
gilt für jeden Punkt der Neigungswinkel
Abb. 7 Flüssigkeit in einem rotierenden Behälter
tan α(r ) =
dFF
dFG
dFF = dm * r * ω2 ;
dm * r * ω2
tan α(r ) =
g * dm
ω2
*r
g
dz
⇒
tan α(r ) =
dr
tan α(r ) =
dFG = g * dm ;
28
ω2
dz =
* r * dr
g
∫
ω2 r 2
z=
* +C
g 2
z=
ω2
*r2 + C
2*g
Parabel
Somit bildet die freie Oberfläche ein Rotationsparaboloid. Dieses ist unabhängig vom Fluid,
da kein Stoffwert enthalten ist.
Mit
r=0 ⇒
z = zS = C
Somit:
z (r ) =
ω2
* r 2 + zS
2*g
h1 :
Spiegelabsenkung
zS :
Scheitelhöhe
Bestimmung von h1, h2, zS:
1. Randbedingung r = R in oben genannte Gleichung eingesetzt:
r = 0 ; z = z S = (H 0 − h 1 )
r = R ; z = z R = (H 0 + h 2 )
Mit
r=R ;
zR =
z = zR = ⇒
ω2
* R 2 + zs
2*g
ω2
z R = (H 0 + h 2 ) =
* R 2 + (H 0 − h 1 )
2*g
= zS
(h ´1 + h 2 ) =
ω2
*R2
2*g
− H0
29
2. Volumengleichheit von Zylinder und Paraboloid:
V = π * R 2 * H 0 = VP
R
VP = ∫ 2 * π * r * dr * z (r )
0
R
⎛ ω2
⎞
VP = 2 * π * ∫ ⎜⎜
* r 2 + z S ⎟⎟ * r * dr
2*g
⎠
0⎝
R
R
ω2
VP = 2 * π *
* ∫ r 3 * dr + 2 * π * z S * ∫ r * dr
2*g 0
0
ω2 1
R2
4
VP = π *
* * R + 2 * π * zS *
2
g 4
⎡ ω2 R 2
⎤
+ zS ⎥
VP = π * R * ⎢
*
⎣2*g 2
⎦
2
⎡ ω2 R 2
⎤
= π*R2 *⎢
+ (H 0 − h 1 )⎥
*
⎣2*g 2
⎦
V = VP
⎡ ω2 R 2
⎤
π * R * H0 = π * R * ⎢
*
+ H 0 − h1 ⎥
⎣2 * g 2
⎦
2
2
H 0 = H 0 − h1 +
ω2 R 2
*
2*g 2
− H0
ω2 R 2
h1 =
*
2*g 2
ω2 R 2
*
2*g 2
somit
h1 = h 2 =
sowie
z S = H 0 − h1 = H 0 −
und
ω2 R 2
zR = H0 + h2 = H0 +
*
2*g 2
ω2 R 2
*
2*g 2
/ π*R2
30
Beispiel:
Zylindergefäß mit:
D = 250 mm
H = 150 mm
H 0 = 100 mm
Gesucht:
1. n bis Flüssigkeit H erreicht hat
2. H x , wenn ∆V = 0 und Boden gerade sichtbar (z S = 0 )
3. Drehzahl n zu Punkt 2
4. Drehzahl n, bis Boden gerade sichtbar (z S = 0 ) , aber H
beibehalten wird
5. Verlorengegangenes Volumen ∆V
zR = H = H0 + h2
zu 1.
ω2 R 2
h1 = h 2 =
*
2*g 2
H = H0 +
ω2 =
ω=
zu 2.
Gesucht H x bei:
⇒
4*g
* (H − H 0 )
R2
2
2
* 9,81 * (0,15 − 0,10)
g * (H − H 0 ) =
0,125
R
ω = 11,2
n=
ω2 R
*
2*g 2
1
s
ω
1
⎡ 1 ⎤
* 60 ⎢
= 107
⎥
2*π
min
⎣ min ⎦
z S = 0 und ∆V = 0
H x = (h 1 + h 2 ) bei z S = 0
31
z S = (H 0 − h 1 ) = 0 ⇒ H 0 = h 1
h1 = h 2
H x = h 1 + h 2 = 2 * h 1 = 2 * H 0 = 200 mm
somit
zu 3.
Gesucht Drehzahl zu 2.
⎡ ω2 R 2
⎤
VP = V = π * R * ⎢
*
+ zS ⎥
⎣2 * g 2
⎦
zS = 0
2
Mit
V = π * R2 * H0
⎡ ω2 R 2 ⎤
π * R2 * H0 = π * R2 * ⎢
*
2 ⎥⎦
2
*
g
⎣
ω2 =
ω=
4 * g * H0
R2
2
2
g * H0 =
* 9,81 * 0,10
R
0,125
ω = 15,84
n = 151
zu 4.
/ π*R2
1
⇒
s
1
min
Flüssigkeit erreicht bei gesuchter Drehzahl maximal z R = H bei z S = 0 !
Da H < H x gemäß Punkt 2 geht mit der Forderung z S = 0 ein Teil des
Volumens verloren.
H = h1 + h 2
h1 = h 2 =
ω2 R 2
*
2*g 2
ω2 R 2
H=
*
g
2
ω2 =
1
*2*g*H
R2
⇒
32
ω=
1
1
* 2*g*H =
* 2 * 9,81 * 0,15
R
0,125
ω = 13,72
zu 5.
1
1
⇒ n = 131
s
min
Gesucht: VP
n = 131
1
min
⇒ ω = 13,72
1
s
z R = H mit z S = 0
⎡ ω2 R 2
⎤
VP = π * R 2 * ⎢
*
+ zS ⎥
⎣2* g 2
⎦
mit z S = 0
⎡ 13,72 2
⎤
VP = π * 0,125 * ⎢
* 0,125 2 ⎥ = 0,00368 m 3
⎣ 4 * 9,81
⎦
2
VP = 3,68 l
V = π * R 2 * H 0 = π * 0,125 2 * 0,10 = 0,00491 m 3
V = 4,91 l
∆V = V − VP = (4,91 − 3,68) l = 1,23 l
33
4.3. Fluid - Druck
1. In einem in Ruhe befindlichen Newtonschen Fluid können nur Normalkräfte auftreten, d.h.
2. Schubspannungen sind (in Ruhe) nicht vorhanden (τ = 0).
3. Zugkräfte (-spannungen) können von Fluiden nicht (oder nur sehr geringfügig) übertragen
werden.
Bei einem in Ruhe befindlichen Fluid wird der Quotient aus der Normalkraft F, die auf einer
definierten Fläche A wirkt, und dieser besagten Fläche A als Druck p benannt.
Druckdefinition:
p=
F
A
Werden Fläche A und somit auch die Normalkraft F immer kleiner, so erhält man im Grenzfall lim A→ 0 den Druck in einem Punkt des Fluidsystems
p=
Dimensionen des Drucks
dF
dA
[ N/m²]; [Pa]; [bar]
1 [bar] = 105 [Pa]
Der Druck kann hervorgerufen werden durch:
Äußere Kräfte :
Pressung durch Kolben o.ä.
Innere Kräfte:
Gewichtskräfte; Trägheitskräfte
34
4.3.1. Richtungseinfluss auf den Druck
Es soll die Frage geklärt werden, ob an einem Punkt im Fluid der dort vorliegende Druck richtungsabhängig ist (Vektor) oder unabhängig von der Flächenorientierung ist (Skalar). Hierzu
dient die Herleitung gemäß der Kräfte an einem aus einer Flüssigkeit herausgeschnitten Prisma gemäß Abb. 8.
Abb. 8
Flüssigkeitsprisma mit angreifenden Kräften
35
1. Gleichgewichtszustand des Flüssigkeitsvolumens in Ruhe (τ = 0) bedeutet, dass die Flüssigkeitskräfte F1, F2 und F3 senkrecht auf den Flächen A1 = a * l, A2 = b * l und A3 = c * l
stehen.
2. Die Druckverteilungen in der Flüssigkeit entlang der Dreieckskanten p1(z), p2(z) und p3(z)
verlaufen linear.
3. F1, F2 und F3 wirken in den Schwerpunkten S1, S2 und S3.
4. Die Flüssigkeitskräfte F1, F2 und F3 werden mit den gemittelten Drücken p 1 , p 2 und p 3
gebildet.
Aus dem Gleichgewichtszustand lässt sich folgender Zusammenhang herleiten:
1.
∑F
ix
= 0 = F1 − F3 ∗ sin α
F
F
F1
a
, p 2 = 2 , p 3 = 3 , sin α =
c∗l
c
b∗l
a ∗l
p1 =
p 1 ∗ a ∗ l = p 3 ∗ c ∗ l ∗ sin α
p 1 ∗ c ∗ sin α = p 3 ∗ c ∗ sin α
p1 = p 3
2.
∑F
iy
= 0 = FG + F3 ∗ cos α − F2
FG = ρ ∗ g ∗
ρ∗g∗
a ∗b
∗l
2
a ∗b
∗ l + p3 ∗ c ∗ l ∗ cos α = p 2 ∗ b ∗ l :b ∗ l
2
c
a
∗ cos α + ρ ∗ g ∗ = p 2 .
b
2
a
p2 = p3 + ρ ∗ g ∗ .
2
p3 ∗
b
= cos α
c
Lässt man jetzt die Größe des Prismas nach Null konvergieren. indem man sich die Seite c
durch Parallelverschiebung in den Punkt P versetzt vorstellt, so wird im Grenzfall lim a = 0
und man erhält
p 2 = p 3 = p1
36
Somit kann festgestellt werden, dass der Druck p in irgendeinem Punkt der im Gleichgewicht
befindlichen Flüssigkeit ein Skalar ist und nur von den Koordinaten des Punktes abhängt.
4.3.2. Druckfortpflanzung
Durch äußere Kraft z.B. an einem Kolben (Presskraft) mit der Fläche A wird „Pressung“ erzeugt, die sich im geschlossenen Raum überall, auch an den Wänden, gleichmäßig fortsetzt.
Diese Pressung ist eine andere Form des Drucks.
Der Druck kann außer durch Presskräfte auch durch Gewichtskräfte (Schwerkräfte) oder
Fliehkräfte verursacht werden. Manchmal werden auch Presskräfte und Gewichtskräfte überlagert zu einem entsprechenden Druck:
4.3.3. Druckkraft auf gekrümmte Flächen
Annahme: Fluidkräfte (Gewichtskräfte) sind klein gegenüber den Druckkräften (Pressung!)
Fz :
resultierende Kraft am Deckel
p:
Druck im Fluid, erzeugt durch Pressung mit Kraft FK und Fläche A K , im Fluid und an
den Wänden ( ⊥ zur Wand) gleichmäßig verteilt.
dFN = p * dA
dFZ = dFN * cos α = p * dA * cos α ;
37
Abb. 9
Druckkraft auf gekrümmte Fläche
dA * cos α = dA proj
dFZ = p * dA proj
⇒
F´Z = ∫ dFZ = p * ∫ dA proj = p * A proj ;
A
FZ = p * A proj
4.3.4. Druck durch Gewichtskräfte
4.3.4.1. Druckverteilung in einer schweren Flüssigkeit
Neben Druckkräften aufgrund von Pressungen ( p =
FK
) müssen noch Druckkräfte, die aufAK
grund von Gewichtskräften (Volumenkräfte) entstehen, erfasst werden. In diesem Zusammenhang sollen Druckkräfte (aufgrund von Gewichtskräften) erfasst werden, die sich über
der Höhe (z) oder Tiefe (t) ändern. An einer Stelle im Fluid (einem Punkt) ist ja bekanntlich
der Druck unabhängig von der Orientierung des Teilchens (Prismas) und auf dessen Flächen
überall gleich groß.
38
Abb. 10
∑F
z
=0:
Kräfte an einem Flüssigkeitszylinder (ohne Pressungskräfte)
Fp1 + FG − Fp 0 = 0
Fp1 = p(z1 ) * A ;
Fp 0 = p(z 0 ) * A
FG = m * g = g * ρ * V = g * ρ * A * (z1 − z 0 )
Fp 0 − Fp1 = FG
p(z 0 ) * A − p(z1 ) * A = g * ρ * A * (z1 − z 0 )
oder
p(z 0 ) + g * ρ * z 0 = p(z1 ) + g * ρ * z 1
Wählt man Koordinatensystem so, dass z 0 = 0 und z 1 ≡ z (also beliebig) und gibt p(z 0 ) die
Bezeichnung p(z 0 ) = p 0 , so wird:
p(z ) = p 0 − ρ * g * z
bzw.
p(− z 1 ) = p B − ρ * g * (− z 1 ) = p B + ρ * g * z 1
39
Abb. 11
Druckverteilungen in Flüssigkeiten
Beispiele
1. Kommunizierende Röhren
Abb. 12
Kommunizierende Röhren
40
Linker Teil
Rechter Teil
p(z 1 ) = p 0 − ρ * g * z 1
p(z 2 ) = p 0 − ρ * g * z 2
p(z 1 ) = p B
p 0 = p B + ρ * g * z1
p(z 2 ) = p B
p0 = pB + ρ * g * z2
z 1 = z 2 !!
Dies ändert sich, wenn die Drücke in den Schenkeln p(z 1 ) verschieden sind.
2. Prandtl-Manometer
Abb. 13 Prandtl-Manometer
p(z ) = p 0 − ρ * g * z
Rechter Teil:
p(z 1 ) = p B = p 0 − ρ Fl * g * z 1
p 0 = p B + ρ Fl * g * z 1
Linker Teil:
p G = p 0 − (ρ Fl * g * z 2 + ρ G * g * z G )
⇒
41
p 0 = p G + ρ Fl * g * z 2 + ρ G * g * z G
somit
p G + g * (ρ Fl * z 2 + ρ G * z G ) = p B + ρ Fl * g * z 1
p G = p B + g * ρ Fl (z 1 − z 2 ) − g * ρ G * z G
= ∆z
⎡ ρ
z ⎤
p G = p B + g * ρ Fl * ∆´z * ⎢1 − G * G ⎥
⎣ ρ Fl ∆z ⎦
Im Allgemeinen ist:
ρ G << ρ Fl
Dann wird
p G = p B + g * ρ Fl * ∆z
Messgröße:
∆z
Zahlenbeispiel:
ρ Fl = ρ Hg = 13,6
Absolutdruck
g
kg
≡ 13600 3 ;
3
cm
m
p B = 1 bar
∆z = 500 mm
p G = 100000 + 9,81 * 13600 * 0,5
p G = 166700
m * kg
*m;
s2 * m3
N
≡ 1,667 bar
m2
3. Pascalsches Paradoxon
Nach
p(z ) = p 0 − ρ * g * z wird an der Stelle 1 mit p 1 = p B die Höhe z = z 1
p B = p 0 − ρ * g * z1
⇒
p 0 = p B + ρ * g * z 1 : Druck auf Kolbenfläche
p 0 ist bei allen drei Formen gleich groß. Bei gleichen Kolbenflächen ist die Kolbenkraft F
F = p0 * A
ebenfalls gleich groß.
42
Abb. 14 Pascalsches Paradoxon
4. Hydraulische Presse
p(z ) = p 0 − ρ * g * z
Nach
erhält man:
Linke Seite
p(z 1 ) = p B +
F1
Rechte Seite
p(z 2 ) = p B +
A1
p(z 1 ) = p 0 − ρ * g * z 1
pB +
F1
A1
F2
A2
p(z 2 ) = p 0 − ρ * g * z 2
= p 0 − ρ * g * z1
pB +
F2
A2
= p0 − ρ*g *z2
pB
2
pB
∆z
A2
1
z2
A1
z1
0
p0
Abb. 15 Hydraulische Presse
0
z
43
Nach p 0 auflösen:
pB +
F2
F1
A2
F2
A2
A1
=
F1
=
F1
+ ρ * g * z1 = p B +
A1
A1
Zahlenbeispiel:
F1 = 20000 N
D 1 = 250 mm
D 2 = 10 mm
F2 = ?
Im allgemeinen ist:
ρ * g * ∆z <<
Somit:
F2
A2
=
F1
F1 = F2 *
F2
A2
− ρ * g * (z 2 − z 1 ) =
F1
+ ρ * g * z2
A1
− ρ * g * ∆z
− ρ * g * ∆z
F1
A1
A1
A1
A2
D.h. die eingeleitete kleine Kraft F2 wird über das Flächenverhältnis
Kraft F1 verstärkt.
Kraftübersetzung:
− pB
ϕ th
π * D2
1
F1 A 1
ϕ th =
=
= 4
F2 A 2 π * D 22
4
⎛D
ϕ th = ⎜⎜ 1
⎝ D2
⎞
⎟⎟
⎠
2
A1
auf eine große
A2
44
5.
Hydraulischer Heber
Abb. 16 Hydraulischer Heber
p (x ) = p 0 , x − ρ * g * z x
p(z 1 ) = p B = p 0, x − ρ * g * z 1
Somit
p 0 , x = p (x ) + ρ * g * z x = p B + ρ * g * z 1
p(x ) = p B − ρ * g * (z x − z1 ) = p B − ρ * g * ∆z 1
p( y ) = p 0 , y − ρ * g * z y
p(z 2 ) = p 0, y − ρ * g * z 2 = p B
p 0 , y = p( y ) + ρ * g * z y = p B + ρ * g * z 2
p(y ) = p B − ρ * g * (z y − z 2 ) = p B − ρ * g * ∆z 2
p(x ) − p(y ) = ∆p = p B − ρ * g * ∆z1 − p B + ρ * g * ∆z 2
∆p = ρ * g * (∆z 2 − ∆z 1 ) = ρ * g * ∆z
Der das Fluid antreibende Druckunterschied (am zunächst geschlossenen) Ventil beträgt:
∆p = ρ * g * ∆z
45
4.3.5. Fluidkräfte gegen ebene Wandung
A = beliebiger Wandbereich der schrägen Fläche
Abb. 17 Fluidkraft gegen ebene Wandung
Ermittlung der Kraft F:
p(z ) = p 0 − ρ * g * z
(Mit z positiv nach oben)
Mit z = −z :
p(− z ) = p 0 + ρ * g * (− z )
Mit − z ≡ t :
p (t ) = p 0 + ρ * g * t
p0 = pB
p (t ) = p B + ρ * g * t
(Mit t positiv nach unten)
dF = p(t ) * dA − p B * dA
dF: Normalkraftunterschied am
Flächenelement dA
dF = (p B + ρ * g * t ) * dA − p B * dA
dF = ρ * g * t * dA
46
Mit
t = y * cos α
wird
dF = ρ * g * y * cos α * dA
F = ∫ dF = ρ * g * ∫ y * cos α * dA = ρ * g * cos α * ∫ y * dA
A
Aus der Mechanik kennt man das Statisches Moment:
∫ y * dA = y
S
*A
bezüglich der x-Achse!
A
Somit
F = ρ * g * cos α * y S * A
= tS
F = ρ * g * tS * A
= Druck aufgrund Schwerkraft im
Flächenschwerpunkt „S“
Angriffspunkt der Kraft F:
Mit der Festlegung, dass die resultierende Kraft F am (zu bestimmenden) Druckmittelpunkt
D( x D , y D ) angreift erhält man:
1. Bezüglich x-Achse
∫ dF * y = F * y
D
∫ dF * x = F * x
D
A
2. Bezüglich y-Achse
A
dF = ρ * g * y * cos α * dA
F = ρ * g * y S * cos α * A
1. Bezüglich x-Achse
∫ y * dF = ∫ y * ρ * g * y * cos α * dA = y
A
∫y
D
A
2
* dA = y D * y S * A
A
Ix =
Flächenmoment 2.Grades
bezüglich der x-Achse
* ρ * g * y S * cos α * A
47
wird:
2. Bezüglich y-Achse
yD =
Ix
yS * A
∫ x * dF = ∫ x * ρ * g * y * cos α * dA = x
A
D
* ρ * g * y S * cos α * A
A
∫ x * y * dA = x
D
* yS * A
A
I xy = Zentrifugalmoment von A
= I xy
wird:
xD =
auf Ursprung bezogen
I xy
yS * A
Unter Verwendung des „Steinerschen Satzes“
I x = I S + A * y S2
erhält man für y D noch:
yD =
IS
A * y S2
+
yS * A yS * A
y D = yS +
IS
yS * A
IS =
Flächenmoment 2.Grades
um Schwerpunkt S
Exzentrizität e:
e = y D − yS =
IS
yS * A
4.3.6 Fluidkräfte gegen gekrümmte Wandung
Der Barometerdruck p B wirkt auf beiden Seiten der Fläche dA und kann somit bei Differenzbildung wegfallen. Gemäß Abb. 17.1 lassen sich zunächst folgende Zusammenhänge formulieren:
dA t = dA*sin α
dA x = dA * cos α
48
Abb. 17.1 Fluidkraft gegen gekrümmte Wandung
dFt = dF * cos α
dFx = dF * sin α
dF = p(t ) * dA
p(t ) aus:
p(z ) = p 0 − ρ * g * z
t = −z
p(− z ) = p 0 + ρ * g * (− z)
p (t ) = ρ * g * t
dF = ρ * g * t * dA
dFt = ρ * g * t * dA * cos α
dA x
dFt = ρ * g * t * dA x
p 0 = p B hebt sich gegen p B auf
Außenwand auf.
49
dFx = ρ * g * t * dA * sin α
dA t
dFx = ρ*g * t *dA t
Fx = ∫ dFx = ρ*g* ∫ t *dA t
Fx:
A
mit
∫ t *dA
t
At
als erstes statisches Moment der Projektionsfläche A t bezüglich der y-Achse.
Wenn t s t der Abstand des Schwerpunktes St der Projektionsfläche A t von der y-Achse,
dann gilt:
∫ t *dA
t
= t S t *A t
At
Somit wird Fx :
Fx = ρ*g* t S t *A t
Zwischen Seitenkraft auf ebene Fläche und Horizontalkraft auf gekrümmte Fläche besteht
völlige Übereinstimmung.
Ft:
Mit
Ft = ∫ dFt = ∫ ρ * g * t * dA x .
t * dA x = dV
wird
Ft = ρ * g * ∫ dV
oder
V
Ft = ρ*g *V ≡ FG
FG = Gewichtskraft der Flüssigkeit über der gekrümmten Kontur. FG verläuft immer durch den Flüssigkeitsschwerpunkt S.
t Dt :
Wie schon bei ebener, schräger Fläche erhält man für die t D t -Koordinate des Druckmittelpunktes:
t Dt =
Iyt
t S t *A t
I y t = Flächenträgheitsmoment der Projektionsfläche A t bezogen auf die y-Achse
50
Mit „Steiner“
I y t = IS t + t S2 t *A t ,
wobei IS t das Flächenträgheitsmoment
der Projektionsfläche A t auf den Schwerpunkt S z bezogen ist, wird
t Dt
(I
=
St
+ t S2 t *A t
)
t S t *A t
t D t = t St +
oder
IS t
t S t *A t
Exzentrizität von Schwerpunkt und Druckmittelpunkt (-angriffspunkt)
(
)
et = t D t − t St =
IS t
t S t *A t
1. Die vertikale Komponente Ft der Kraft F auf eine gekrümmte Wand wird bestimmt durch
die Gewichtskraft FG des Volumens V über der gekrümmten Wandfläche A.
2. Die Wirkungslinie von Ft = FG geht durch den Schwerpunkt S des Volumens über der
gekrümmten Fläche.
F:
F = Fx2 + Ft2
ß:
⎛F
β = arctan⎜⎜ t
⎝ Fx
Angriffspunkt:
Schnittpunkt von F´x und Ft .
⎞
⎟⎟
⎠
4.3.7 Auftrieb
Auftriebskraft ist als „resultierende Druckkraft“ an einem in ein Fluid eingetauchten Körper zu verstehen. Die Definition Auftriebskraft am elementaren Volumenelement dV lautet:
dFa = dFt , 2 − dFt ,1
dFt , 2 = dF2 * cos α 2
dFt ,1 = dF1 * cos α1
51
Abb. 18 Auftriebskraft
dF2 = p(t 2 ) * dA 2
dF1 = p(t 1 ) * dA 1
p (t 2 ) = p 0 + ρ * g * t 2 = p B + ρ * g * t 2
p0 = pB
p (t 1 ) = p 0 + ρ * g * t 1 = p B + ρ * g * t 1
dFa = p(t 2 ) * dA 2 * cos α 2 − p(t 1 ) * dA 1 * cos α 1
= dA
= dA
dFa = (p B + ρ * g * t 2 ) * dA − (p B + ρ * g * t 1 ) * dA
dFa = ρ * g * dA * (t 2 − t 1 )
= dV
Somit
dFa = ρ * g * dV
Fa = ∫ dFa = ρ * g * ∫ dV
V
VK
52
Archimedes:
Fa = ρ * g * VK
ρ = Fluiddichte
Gewichtskraft des
verdrängten Fluids
Schwimmen:
Ein Körper schwimmt immer dann, wenn Gleichgewicht zwischen Gesamtgewichtskraft FG
des Körpers und der von ihm „verdrängten Flüssigkeitsgewichtskraft“, der Auftriebskraft Fa
herrscht.
Schwimmen :
Fa = FG
Steigen
:
Fa > FG
Sinken
:
Fa < FG
4.3.8. Druckverteilung in Gasen
Gemäß Sklizze wird:
p(z ) * dA − (p(z ) + dp) * dA − dFG = 0 ⇒
− dp * dA = dFG
dFG = g * dm = g * ρ * dV = g * ρ * dA * dz
Kräftegleichgewicht in z-Richtung:
53
dp * dA = − g * ρ * dA * dz
/ dA
dp = −g * ρ * dz
ρ=
mit
1
v
somit:
v * dp = − g * dz
1. Isotherme Schichtung ⇒ Barometrische Höhenformel
Annahme: In nicht zu dicken Schichten ändert sich die Temperatur wenig; man benutzt innerhalb der jeweiligen Schicht eine mittlere Temperatur Tm und legt hier eine isotherme Zustandsänderung zugrunde. Aus der thermischen Zustandsgleichung folgt:
p * v = p bo * v bo = R * Tm = C
ρ bo = Gasdichte (Luftdichte)
auf Bezugsniveau (hier Erdoberfläche) festgelegt
p bo = Atmosphärendruck auf Bezugsniveau (hier Erdoberfläche)
somit
v=
1
1 p bo
*
; da v =
p ρ bo
ρ
∫ v * dp = −g * ∫ dz
p
z
p bo b 1
*
* dp = − g * ∫ dz ;
ρ bo p∫bo p
z0
ln p
ln
pb
p bo
=−
ρ bo
* g * (z − z o )
p bo
pb
ρ
= − bo * g * z
p bo
p bo
⎛ ρ bo
z 0 = 0 = Erdoberfläche
z0 = 0
e~
⎞
*g*z ⎟⎟
− ⎜⎜
pb
p
= e ⎝ bo ⎠
p bo
oder
pb = pbo * e
⎛ρ
⎞
− ⎜⎜ bo *g*z ⎟⎟
p
⎝ bo
⎠
Barometrische Höhenformel
54
Nach ICAO-Norm:
ρ bo = 1,225
kg
m3
Tbo = 288,15 K = 15 °C
p bo = 1,01325 bar = 1013,25 mbar
2. Isentrope Schichtung
Bei größeren Luft- (Gas-)schichten kann man die Annahme konstanter Temperatur (in jeweiliger Schicht) nicht mehr aufrechterhalten. Hier benutzt man die Vorgabe einer
isentropen Zustandsänderung,
das heißt
- keine Wärmezufuhr oder –abfuhr q 12 = 0
- keine Verluste
w diss 12 = 0
Bei isentroper Zustandsänderung gilt mit κ als Isentropenexponent des Gases
p * v κ = p b 0 * v bκ0 = const.
Somit
⎛p
v = v b 0 * ⎜⎜ b 0
⎝ p
1
pκ
v = b0
ρ b0
Integration von
1
⎞κ
⎟⎟
⎠
wobei mit
1
⎛ 1 ⎞κ
* ⎜⎜ ⎟⎟
⎝p⎠
v * dp = −g * dz :
1
p( z)
z
p bκ0
1
* ∫ 1 *dp = −g * ∫ dz
ρb 0 p b 0 κ
z0
p
1
p(z)
1
−
p bκ0
* ∫ p κ *dp = −g *(z − z 0 )
ρ b 0 pb 0
v=
1
ρ
55
p( z)
1
κ
b0
1
− +1
p
1
*
*p κ
= −g*(z − z 0 )
ρb 0 − 1 +1
κ
pb0
1
κ
b0
p
κ
*
*p
ρb 0 (κ −1)
κ−1 p ( z )
κ
= −g *(z − z 0 )
pb0
κ−1
κ−1
⎛
⎞ ρ κ −1
⎜ p(z) κ − p bκ0 ⎟ = b10 *
*(− g )*(z − z 0 )
⎜
⎟
κ
⎝
⎠ pκ
b0
p
κ−1
κ
b0
κ−1
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
p
(
z
)
ρ κ −1
⎢
⎟⎟ −1⎥ = b10 *
* ⎜⎜
*(− g )*(z − z 0 )
⎢⎝ p bo ⎠
⎥
κ
κ
⎣⎢
⎦⎥ p b 0
⎛ p( z ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ pb0 ⎠
1
κ−1
κ
ρb 0
=1+
1
κ
b0
p *p
κ−1
κ
b0
*
κ −1
*(− g )*(z − z 0 ) ;
κ
κ −1
p bκ0 * p b 0κ = p b 0
κ
⎡ ρ (κ −1)
⎤ κ−1
p(z) = pb 0 ⎢1− b 0 *
*g*z⎥
κ
⎣ pb0
⎦
Hieraus ist p(z) bestimmbar. Ebenso lassen sich mit Gleichungen der isentropen Zustandsänderung die Temperatur und die Dichte bei bekanntem p(z ) ermitteln.
Fallbeschleunigung:
1.
In Meereshöhe: ϕ = geographische Breite
[
]
g 0 = 9,78049* 1+ 0,005288*sin 2 ϕ − 0,000006*sin 2 (2ϕ)
m
s2
56
5. Fluiddynamik
Aufgabe der Fluiddynamik
Beschreibung des Verhaltens der Zustandsgrößen:
-
Geschwindigkeit
r
c
-
Druck
p
-
Dichte
ρ
-
Temperatur
T
innerhalb eines Strömungsfeldes z.B.
-
Rohrleitungsdurchströmungen
-
Fluss-, Gewässerströmungen
-
Tragflächen-, Profilumströmungen u.s.w.
Hierbei spielen die Randbedingungen des Strömungsfeldes eine wesentliche Rolle. Ein Strö-
mungsfeld wird vollständig beschrieben mit:
1.
c x (x , y, z, t )
2.
c y (x, y, z, t )
3.
c z (x , y, z , t )
4.
p (x , y , z , t )
5.
ρ (x , y , z , t )
6.
T (x , y, z, t )
r
c
Für die somit 6 Unbekannten werden 6 Gleichungen benötigt, um das Strömungsfeld mathematisch formulieren zu können. Diese 6 Gleichungen sind:
1.
Bewegungsgleichung für c x
2.
Bewegungsgleichung für c y
3.
Bewegungsgleichung für c z
4.
Kontinuitätsgleichung
5.
Thermische Zustandsgleichung
6.
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
57
Fluiddynamik = Fluidkinematik + Fluidkinetik
Fluidkinematik
=
Lehre über Bewegungen von Fluiden
Fluidkinetik
=
Lehre über Kräfte an bewegten Fluiden
„Fluidteilchen = abgeschlossene Fluidmenge mit sehr kleiner Ausdehnung“
Im Grenzfall nähert sich das so definierte Fluidteilchen dem „materiellen Punkt“, für den nur
allein Geschwindigkeit oder Beschleunigung exakt definierbar sind. Wenn auch bei Fluidteilchen sehr kleine, aber immer noch endliche Abmessungen vorliegen, so kann z.B. die Geschwindigkeit entlang der Teilchenkontur verschieden sein. Im weiteren Sprachgebrauch wird
also unter einem Fluidteilchen streng genommen ein „materieller Punkt“ verstanden
(E.Becker; „Technische Strömungslehre“).
Fluidkinematik
Die Bewegung aller Teilchen eines Raums wird durch das Geschwindigkeitsfeld
beschrieben mit:
ci (x;y;z;t),
i = 1; 2; 3; ...
cx (x;y;z;t)
Komponente in x-Richtung
cy (x;y;z;t)
Komponente in y-Richtung
cz (x;y;z;t)
Komponente in z-Richtung.
Mit ci (x;y;z;t) werden die Geschwindigkeiten aller Flüssigkeitsteilchen an den Stellen Pi
(x;y;z) zur Zeit t angegeben. Sie besitzen die o.g. Komponenten (Eulersche Betrachtungsweise).
Stromlinien
(Eulersche Betrachtung)
Stromlinien sind Kurven zu einer festen Zeit t, deren Tangenten mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren ci der materiellen Punkte (Teilchen) Pi zu dieser festen Zeit t übereinstimmen. Die Stromlinien sind bei instationären Vorgängen zeitlich veränderlich. Das Geschwindigkeitsfeld besteht i.a. aus einer Vielzahl solcher Stromlinien mit jeweils unterschiedlichen Tangentenrichtungen.
Sichtbarmachung: Kurzzeitaufnahme (∆t <<) von mit schwimmenden Schwebeteilchen.
Bahnlinien
(Lagrangsche Betrachtung)
Als Bahnlinien werden solche Linien bezeichnet, die einzelne Teilchen in einem Zeitraum
(∆t >) durchlaufen. Bahnlinien sind nur ortsabhängig. Es liegen also zu allen Zeiten dieselben
ortsabhängigen Linien vor.
Sichtbarmachung: Langzeitaufnahme eines einzelnen Teilchens (t >) ; z.B. Leuchtkurve des
PKW-Rücklichts bei Nachtaufnahme.
58
Bei stationären (zeitunabhängigen) Strömungsvorgängen sind
Stromlinien = Bahnlinien.
Stationäre Strömung
Alle Strömungsgrößen c; p; ρ; T hängen nur vom Ort, nicht aber von der Zeit t ab:
-Fadenströmung (eindimensional)
: c(x); p(x); ρ(x); Τ(x)
-Ebenenströmung (zweidimensional) : c(x;y); p(x;y); ρ(x;y); Τ(x;y)
-Raumströmung (dreidimensional)
: c(x;y;z); p(x;y;z); ρ(x;y;z); Τ(x;y;z)
An ein und derselben Stelle sind die o.g. Größen zu jeder Zeit t gleich groß. An verschiedenen
Stellen können sie dagegen unterschiedlich sein.
Instationäre Strömung
Die Strömungsgrößen c; p; ρ; T hängen vom Ort und der Zeit t ab:
-Fadenströmung (eindimensional)
: c(x;t); p(x;t); ρ(x;t); Τ(x;t)
-Ebenenströmung (zweidimensional) : c(x;y;t); p(x;y;t); ρ(x;y;t); Τ(x;y;t)
-Raumströmung (dreidimensional)
: c(x;y;z;t); p(x;y;z;t); ρ(x;y;z;t); Τ(x;y;z;t)
An ein und derselben Stelle sind die o.g. Größen zeitlich verschieden groß. Instationäre Strömung liegt auch dann vor, wenn nur eine der Größen c; p; ρ; T zeitlich veränderlich ist.
Inkompressible Fluide
Die Fluiddichte ist konstant ρ = const. und somit auch das spez. Volumen v = const. Bei den
meisten Flüssigkeiten in „normalen“ Druckbereichen ist dies der Fall. Einfluss des Temperaturfeldes (-verteilung) ist vernachlässigbar.
Kompressible Fluide
Die Dichte des Fluids ist nicht mehr konstant ρ ≠ const. bzw. v ≠ const. Bei Gasströmungen
mit merklichen Druckunterschieden der Fall. Temperaturfeld (-verteilung) ist zu berücksichtigen. Siehe auch Kap. 5.2.
Ideales Fluid
Annahme, dass keine Schubspannungen zwischen Fluidschichten vorhanden sind, d.h.
η = 0.
Grundlage vieler theoretischer Strömungsberechnungen
59
Reales Fluid
Schubspannungen bei Strömungen mit Geschwindigkeitsgradienten (d.h. örtlichen Geschwindigkeitsunterschieden) aufgrund von Reibungskräften zwischen benachbarten Fluidschichten
vorhanden.
η > 0.
Laminare Strömung
Schichtenströmungen, d.h. die Fluidteilchen bewegen sich auf parallelen Bahnen. Sie weisen
keine Querbewegungen auf. Die einzelnen Bahnen (Schichten) können verschiedene Geschwindigkeiten aufweisen. Dann entstehen Gleitbewegungen zwischen den Schichten, was
bei realen Fluiden zu entsprechenden Reibungsverlusten führt.
Αbb. 19
Farbfadenversuch nach Reynolds bei laminarer Strömung
Laminare Strömung liegt vorzugsweise bei:
- kleinen Geschwindigkeiten
- großen Zähigkeiten
- kleinen Abmessungen
durch- oder umströmter Körper vor. Ein zahlenmäßiges Kriterium, ob eine laminare Strömung vorliegt, ist die Reynoldszahl, die für diese Strömungsform kleine Werte aufweist:
Re = c*D/ν (Rohr)
Re = c∞*L/ν (Platte, Tragflügel).
Laminare Strömungen lassen sich theoretisch leichter bearbeiten als im turbulenten Fall. Sie
kommen in folgenden Fällen ausschließlich bzw. vorrangig vor (Eck; „Technische Strömungslehre“)
1. Strömung durch Kapillaren. Wenn größere Durchmesser, dann nur bei sehr
kleinen Geschwindigkeiten.
2. Strömung in laminaren Grenzschichten
3. Strömung in Warmwasserheizungen aufgrund Schwerkraftwirkung
60
4. Strömung in Filtern und Geweben
5. Grundwasserströmung
6. Strömung in Schmierfilmen von Lagern
7. Bewegung von Teer, Lavamassen
8. Bewegung in Flammen
Turbulente Strömung
Technisch betrachtet die häufigste Strömungsform. Keine Schichtenströmung (geordnete
Bahnen) mehr, sondern eine ungeordnete Bewegung, die man sich als Bewegungsablauf so
genannter „Turbulenzballen“ vorzustellen hat. Neben der Hauptströmungsgeschwindigkeit c
weisen sie unregelmäßige Schwankungsgeschwindigkeiten c’ auf, die sich c überlagern. Bei
turbulenten Strömungen ist eine intensive Durchmischung der Fluidgebiete zu verzeichnen
(Wärmeübertragung, Mischungsaufgaben, etc.). Aufgrund der Querbewegungen führt dies zu
höheren Energieverlusten (Druckverlusten) als bei der laminaren Strömung. Die Geschwindigkeitsverteilungen sind völliger, kolbenähnlicher als die parabelförmigen der laminaren
Rohrströmung.
Abb. 20 Farbfadenversuch nach Reynolds bei turbulenter Strömung
Turbulente Strömung tritt auf, wenn:
- große Geschwindigkeiten
- kleine Zähigkeiten
- große Abmessungen
der Strömungssysteme vorliegen, d.h.
Re = c*D/ν
(Rohr)
Re = c∞*L/ν (Platte, Tragflügel)
soll möglichst groß sein.
61
Stromröhre
Beinhaltet ein Bündel von Stromlinien (∞), die eine ortsfeste (an einer Stelle) Raumkurve berühren z.B. Rohr, Rechteckkanal, Ringspalt, etc. Geschwindigkeiten in Stromröhren werden mit mittleren Geschwindigkeiten dargestellt. Wenn ungleichmäßige Verteilungen z.B.
c(r) vorliegen, kann man die mittlere Geschwindigkeit durch Volumenstrommittlung bestimmen:
1
c=
∗ c(r ) ∗ dA
A A∫
Stromfaden
Stromfaden = Stromröhre mit infinitesimal kleinem Querschnitt dA.
- Geschwindigkeit
c (die am Stromfaden vorliegende, über
dA konstante Geschwindigkeit)
- Druck
p
- Dichte
ρ
- Temperatur
T
sind über dem Querschnitt dA konstant. Es existieren keine Geschwindigkeitskomponenten
quer zur Geschwindigkeitsrichtung. Die Fluidteilchen bewegen sich in Stromlinienrichtung.
Der Massenfluss erfolgt nur über die Ein- und Austrittsflächen, nicht über die Mantelflächen.
Stromfadentheorie
Eindimensionale Strömung entlang des Stromfadens mit relativ einfachen Strömungsgleichungen beschreibbar. Alle Größen c, p, ρ, T ändern sich nur noch in Abhängigkeit von der
Stromfadenkoordinate s (eindimensional) und ggf. der Zeit t (instationär).
Eindimensionale Strömungen
Reine Stromfadenströmung. Bewegung nur in Stromfadenrichtung s. Gesucht wird der Bewegungszustand der Teilchen an jedem Punkt der Stromlinie.
Geschwindigkeit c
ds
;
dt
ds
c= ;
dt
c=
Beschleunigung a
a=
Dc
dt
c(s, t )
instationäreStrömung
c (s )
stationäre Strömung
62
Bei eindimensionaler Strömung lautet Dc wegen c(s;t)
Dc =
∂c
∂c
∗ dt +
∗ ds
∂s
∂t
a=
Dc ∂c ds ∂c
=
∗ +
dt
∂s dt ∂t
Mit
c=
ds
dt
erhält man
a=
∂c ∂c
Dc
=c∗
+
.
dt
∂s ∂t
Hierin ist
ak = c ∗
und
al =
Totales Differential
∂c
∂s
∂c
.
∂t
a = Gesamt-; Substantielle Beschleunigung
ak = Konvektive Beschleunigung (ortsabhängig, z.B. Diffusor)
al = Lokale Beschleunigung (zeitabhängig, an einer festen Stelle)
Bei stationärer Strömung (eindimensional) ist die lokale Beschleunigung gleich Null, d.h.
∂c
= al = 0 .
∂t
Somit
a=
∂c
Dc
=c∗
∂s
dt
5.1. Durchflussgleichung, Kontinuitätsgleichung
Fundamentale strömungsmechanische Zusammenhänge sind ohne Kenntnisse der Durchflussgleichung und der Kontinuitätsgleichung nicht lösbar. Bei den folgenden Betrachtungen wird
von der eindimensionalen, stationären Strömung ausgegangen.
5.1.1. Durchflussgleichung
& :
Volumenstrom V
Mit der Definition des Volumenstroms
& = dV
V
dt
63
1. ds
A
2. ds über A konst., hieraus
Stromfadentheorie
Abb. 21
Volumenelement in einer Stromröhre
und dem in Abb. 21 erkennbaren infinitesimal kleinen Volumen dV
dV = A * ds
wird
& = A ∗ ds .
V
dt
Des Weiteren ist
c=
und somit folgt
& = c*A .
V
Zu beachten ist, dass
c ⊥ A.
(wobei ds ⊥ A)
ds
dt
Voraussetzung bei dieser Herleitung ist die "ortsfeste Stromröhre" = zeitlich unveränderlicher
Querschnitt A sowie eine über ds vernachlässigbare Querschnittsänderung dA.
1.
Bei gleichmäßiger c-Verteilung über dem Querschnitt A, also c = c
(Rechteckverteilung), wird:
& = c*A
V
64
2.
Bei ungleichmäßiger c-Verteilung über dem Querschnitt A erhält man:
Abb. 22 Ungleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung in einer Stromröhre
& = c(r ) ∗ dA
dV
dA = 2 * π * r * dr
& = 2 * π * r * dr * c(r )
dV
R
& = 2 * π * r * c(r ) * dr
V
∫
0
3.
Mittlere Geschwindigkeit aus gegebener Geschwindigkeitsverteilung:
R
& = c * A = 2 * π * r * c(r ) * dr = c * π * R 2
V
∫
0
R
& = c * A = 2 * r * c(r ) * dr = c * R 2
V
∫
0
R
2
c = 2 * ∫ r * c(r ) * dr
R 0
&:
Massenstrom m
Mit der Masse
m = ρ*V
und
& =
m
Dm
dt
65
Dm =
∂m
∂m
* dρ +
* dV
∂ρ
∂V
=V
=ρ
Dm = V * dρ + ρ * dV
& =
m
Dm
dρ
dV
= V* + ρ*
dt
dt
dt
=0
&
=V
Bei stationären Strömungen ist die Dichte ρ an jeder Stelle zeitlich konstant, somit dρ
dt
= 0.
& = ρ*c *A
& = ρ*V
m
5.1.2. Kontinuitätsgleichung
Nach Massenerhaltungsgesetz bleibt die in einem abgegrenzten Fluidvolumen befindliche
Masse erhalten, das heißt die Summe der eintretenden Massenströme ist gleich der Summe
der austretenden Massenströme. Bei einer Stromröhre können aufgrund ihrer Definition über
die Mantelflächen keine Massenströme treten, dies ist nur über die Flächen der Randkurven
möglich. Somit ist
&1 =m
& 2 =m
& = const
m
Mit
& = ρ*c*A
& = ρ*V
m
erhält man allgemein (auch bei kompressiblen Fluiden)
ρ1 * A1 * c1 = ρ 2 * A 2 * c 2 = ρ * A * c = const
Bei Flüssigkeiten (inkompressibel) mit ρ1 = ρ 2 = ρ = const wird:
& = c *A = V
& = c * A = const
V
1
1
1
2
2
2
also
& = const
c1 * A 1 = c 2 * A 2 = c * A = V
66
5.2. Fluidströmungen ohne Dichteänderungen
Die folgenden Kapitel befassen sich mit Strömungsvorgängen, bei denen die Dichte als konstant betrachtet werden kann. Dies ist bei Flüssigkeitsströmungen und Gasströmungen mit nur
geringfügigen Druck- und Temperaturänderungen i.a. der Fall.
5.2.1. Bernoullische Gleichung für ruhende Systeme bei stationärer, eindimensionaler
Strömung idealer und realer Fluide.
Ausgehend vom Kräftegleichgewicht an einem Fluidelement, welches sich entlang einer
Stromlinie (=Bahnlinie) bewegt, lässt sich das erste Newtonsche Gesetz anwenden
n
r
r
∑F = m*a
i
1
r
∑ F = Summe aller äußeren am Fluidteilchen angreifenden Kräfte.
i
+
-
in Strömungsrichtung
entgegen Strömungsrichtung
n
z
s
dA
x
dO
α
S
ds dz
2
α
mittlerer
Stromfaden
RKr
1
dz = ds * sin α
z
MKr
Bezugsebene, z.B. Erdoberfläche
Abb. 23
Prinzipskizze zur Herleitung der Bernoullischen Energiegleichung
67
Gemäß Abb. 23 und Abb. 24 erhält man:
r
dFp ,1 − dFG * sin α − dFp , 2 − dFR = dm * a
= 0: siehe ideales Fluid
p * dA − ( p + dp ) * dA − g * dm * sin α = dm * a
− dp * dA − g * dm * sin α = dm * a
Mit
dm = ρ * dV = ρ * dA * ds
r
− dp * dA − g * ρ * dA * ds * sin α = ρ * dA * ds * a
r
− dp − g * ρ * ds * sin α = ρ * ds * a
dp
+ g * ds * sin α + ds * a = 0
ρ
dz
1
* dp + g * dz + ds * a = 0 ;
ρ
a=
: (− ρ)
dc
bei stationärer Strömung
dt
1
ds
* dp + g * dz + * dc = 0
dt
ρ
Bei eindimensionaler, stationärer Strömung hängt die Geschwindigkeit c nur vom Weg s und
nicht von der Zeit ab:
c = c(s)
Die Geschwindigkeitsänderung Dc dagegen bei eindimensionaler, instationärer Strömung
gemäß „Totalem Differential“ lautet:
Dc =
∂c
∂c
* ds + * dt ;
∂t
∂s
dc t =const dc s =const
Somit stationär
Mit
wird
Hieraus
1
∂c
⎛ ∂c
⎞ ds
* dp + g * dz + ⎜ * ds + * dt ⎟ * = 0
∂t
ρ
⎝ ∂s
⎠ dt
= 0
ds
= c(s)
dt
1
∂c
* dp + g * dz + * ds * c = 0 .
ρ
∂s
= dc t =const
68
dp
+ g * dz + c * dc = 0
ρ
Eulersche Bewegungsgleichung der eindimensionalen, stationären Strömung des idealen
Fluids.
Abb. 24 Abmessungen und Kräfte am Fluidelement
1. Teilchenabmessungen
ds
Elementlänge (Koordinatensystem so, dass s in c-Richtung
liegt)
dn
Elementhöhe (n-Koordinate senkrecht s-Richtung)
b
Elementbreite (senkrecht Zeichenebene)
dA
Stirnfläche = dn * b
dO
Ober-, Unterfläche = ds * b
69
z
Abstand des Teilchens zur Bezugslinie
dz
elementare Höhe = ds * sinα
dm
Elementmasse = ρ * ds *dn * b
2. Kräfte am Element auf dem mittleren Stromfaden an der Stelle S.
dFFKr
Zentrifugalkraft aufgrund Bewegung entlang gekrümmter
Bahn = dm * c²/RKr.= ρ * ds *dn * b* c²/RKr
dFp1
Druckkraft auf linke Stirnfläche dA in Bewegungsrichtung
= p * dA = p * dn * b.
dFp2
Druckkraft auf rechte Stirnfläche dA entgegen Bewegungsrichtung = (p + dp) * dA = (p+dp) * dn * b.
dFpn1
Druckkraft auf Elementunterfläche dO in Krümmungsrichtung = pn * dO = pn * ds* b.
dFpn2
Druckkraft auf Elementoberfläche dO entgegen Krümmungsrichtung = (pn+dpn) * dO = (pn+dpn) * ds* b.
dFG
Gewichtskraft des Elements = g*dm = g * ρ *dV =
g* ρ * ds *dn * b
dFR
Reibungskraft = τ * dO
Die unbestimmte Integration eines dichtebeständigen, das heißt inkompressiblen Fluids ergibt
dann die
„Bernoullische Gleichung“
1
* dp + g * ∫ dz + ∫ c * dc = C
ρ ∫
p
c2
+ g * z + = C = Integrationskonstante oder Bernoullische
2
ρ
Konstante
Dies ist die Bernoullische Gleichung als Energiegleichung mit
p
ρ
:
spez. Druckenergie
⎡ N * m 3 Nm J ⎤
=
= ⎥
⎢ 2
⎣ m * kg kg kg ⎦
70
g*z
:
spez. Lageenergie
⎡m m
Nm J ⎤
⎢ s 2 * kg * kg = kg = kg ⎥
⎦
⎣
c2
2
:
spez. Geschwindigkeitsenergie
⎡ m 2 kg Nm J ⎤
⎢ 2 * kg = kg = kg ⎥
⎣s
⎦
Als Druckgleichung formuliert:
p + ρ*g*z +
ρ 2
* c = C1
2
p
:
statischer Druck
ρ*g*z
:
geodätischer Druck
ρ 2
*c
2
:
dynamischer Druck
N⎤
⎡
⎢⎣Pa = m 2 ⎥⎦ ≡ p stat
N
⎡ kg m
⎤
⎢⎣ m 3 * s 2 * m = m 2 = Pa ⎥⎦
⎡ kg m 2
⎤
N
⎢ 3 * 2 = 2 = Pa ⎥ ≡ p dyn
m
⎣m s
⎦
(Staudruck)
Häufig formuliert man die "Druckgleichung" auch wie folgt (ohne "geod. Druck", d.h. bei horizontalen Anwendungen bzw. wo ρ*g*h vernachlässigbar)
p g (≡ p tot ) = p Stat . + p dyn.
Als Höhengleichung formuliert:
p
1
+z+
* c2 = C2
ρ*g
2*g
p
ρ*g
:
Druckhöhe
⎡ N m3 s2
⎤
* = m⎥
⎢ 2*
kg m
⎣m
⎦
z
:
geodätische Höhe
[m]
⎡m2 s2
⎤
⎢ 2 * = m⎥
m
⎣s
⎦
c2
2*g
:
Geschwindigkeitshöhe
C2
:
Gesamthöhe
In den folgenden Kapiteln wird nur von der Energieform der Bernoullischen Gleichung
Gebrauch gemacht.
71
Zwischen zwei Punkten auf einem Stromfaden 1 und 2 lautet somit die Bernoulligleichung
p1 c12
p
c2
+ + g * z1 = 2 + 2 + g * z 2
ρ 2
ρ 2
(verlustfrei)
Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme, stationäre Strömung realer Fluide,
eindimensional.
Unter Berücksichtigung der Reibungskräfte dFR lassen sich folgende Gleichungen zwischen zwei Stellen eines Stromfadens angeben:
1.
Energieform :
p 1 c12
p
c2
+
+ g * z 1 = 2 + 2 + g * z 2 + YV ,1÷ 2
ρ
ρ
2
2
YV ,1÷ 2 :
2.
Druckform
:
p1 +
ρ
ρ 2
* c 1 + ρ * g * z 1 = p 2 + * c 22 + ρ * g * z 2 + p V ,1÷ 2
2
2
p V ,1÷ 2 :
3.
Höhenform :
Verlustenergie zwischen 1 ÷ 2
Druckverlust zwischen 1 ÷ 2
p1
c2
p
c2
+ 1 + z1 = 2 + 2 + z 2 + ZV ,1÷ 2
ρ*g 2*g
ρ*g 2*g
Z V ,1÷ 2 :
Verlusthöhe zwischen 1 ÷ 2
p c2
Das heißt, die Summe der drei Größen
, g * z ist nicht immer konstant, sondern un,
ρ
2
terscheidet sich um die Verluste YV . Die Bernoullischen Gleichungen sind streng genommen
nur für die Stromlinien anwendbar. Unter Voraussetzung gleich bleibender Geschwindigkeiten über dem Strömungsquerschnitt ( c = c ) können sie aber auch allgemein verwendet werden.
72
Abb. 25 Energieanteile bei einer mit Gefälle verlaufenden Rohrleitung
Die Energieanteile bei einer mit Gefälle verlaufenden, reibungsfreien Rohrströmung sind in
Abb. 25 exemplarisch dargestellt.
73
5.2.2. Bernoullische Gleichung für ruhende Systeme bei instationärer, eindimensionaler
Strömung idealer und realer Fluide.
Als instationäre Strömungen betrachtet man solche Fälle, bei denen sich die Geschwindigkeit
c nicht nur entlang des Weges s (bei einer festen Zeit), sondern auch (an einer festen Stelle s)
mit der Zeit ändert.
c = c (s , t )
Aus dem 1. Newtonschen Gesetz am Fluidelement gemäß Kap. 5.2.1. folgt dann:
1
⎛ Dc ⎞
* dp + g * dz + ds * ⎜
⎟=0
ρ
⎝ dt ⎠
Dc =
∂c
∂c
* dt + ds
∂s
∂t
Dc ⎛ ∂c ∂c ds ⎞
=⎜ +
* ⎟
dt ⎝ ∂t ∂s dt ⎠
1
1⎞
⎛ ∂c ∂c
* dp + g * dz + ds * ⎜ + * ds * ⎟ = 0
ρ
dt ⎠
⎝ ∂t ∂s
dc t = const
1
ds
∂c
* dp + g * dz + * ds + * dc t = const = 0
dt
ρ
∂t
c
1
∂c
* dp + g * dz + c * dc + * ds = 0
ρ
∂t
Eulersche Bewegungsgleichung der eindimensionalen, instationären Strömung idealer, inkompressibler Fluide.
Die Integration liefert die Bernoullische Gleichung der instationären, eindimensionalen Strömung idealer, inkompressibler Fluide
p
c2
∂c
+ g * z + + ∫ * ds = C(t )
2
ρ
∂t
Zwischen 1. und 2. folgt:
s
s
1
2
∂c
∂c
p1 c12
p
c2
+ + g * z1 + ∫ * ds = 2 + 2 + g * z 2 + ∫ * ds
ρ 2
∂t
ρ 2
∂t
0
0
oder
74
s
2
p1 c12
p 2 c 22
∂c
+ + g * z1 =
+ + g * z 2 + ∫ * ds + YV ,1÷ 2
ρ 2
ρ
2
s1 ∂t
ohne Verluste
mit Verlusten
Beispiel: Absperrorgan in horizontaler Rohrleitung
Abb. 26 Rohrleitung mit Absperrarmatur (z.B. Schieber)
Gesucht p2(t):
Zunächst gleichmäßiger Strömungsvorgang bei stationären Verhältnissen bei 1. und 2.. Dann
wird ab der Zeit t = 0 ein gleichmäßiger Verzögerungsvorgang mittels eines geeigneten Absperrorgans bei 2. vorgenommen, bis zur Zeit t die Geschwindigkeit c1 ( t ) = c 2 ( t ) = 0 wird.
Zur Zeit t = 0 hat die Flüssigkeit die Geschwindigkeit c1 ( t = 0) = c 2 ( t = 0) .
Zu jeder Zeit gilt wegen A 1 = A 2 = const :
c1 (t ) = c 2 ( t ) = const.
Bestimmung des Druckes p 2 ( t = t ) nach Abschluss des Absperrvorgangs:
75
s
2
p 1 c 12
p 2 c 22
∂c
+
+ g * z1 =
+
+ g * z 2 + ∫ * ds
2
2
ρ
ρ
∂t
s1
s2
∂c
* ds
∂t
s1
p 2 (t ) = p1 − ρ * ∫
Hinweis:
Die Schließzeit t muss so gewählt werden, dass die entstehende Druckwelle
innerhalb des Schließvorgangs nach Reflexion an einer entsprechenden
Reflexionsebene noch nicht den Druck p 2 beeinflusst.
Gleichmäßige Verzögerung bedeutet:
∂c ∆c
=
∂t ∆t
∆c = c 2 ( t ) − c 2 ( t = 0) ;
c 2 (t) = 0
∆t = t − 0
c
∆c − c 2 ( t = 0)
=
=− 1 ;
∆t
t
t
s2
Somit
p 2 ( t ) = p 1 − ρ * ∫ (−
s1
p 2 (t ) = p1 +
da c1 ( t = 0) = c 2 ( t = 0)
2
c1
c
) * ds = p 1 + 1 * ρ * ∫ ds
t
t
0
c1
*L*ρ
t
m
; ρ = 1000 kg/m³
s
p1 = 5,2 bar ; t = 10 s ⇒ p2 = 8,95 bar
L = 2,5 km;
c1 = 1,5
Der Abschlussvorgang bewirkt eine Drucksteigerung, die umso größer ist, je kleiner die
Schließzeit t und je größer c1 und L sind.
5.2.3 Druckänderung senkrecht zu den Stromlinien
Ein Fluidteilchen, welches sich auf einer gekrümmten Stromlinie in s-Richtung bewegt, kann
nur dann seine Richtung (s-) beibehalten, wenn den Fliehkräften ( R kr ,c) eine entsprechende
äußere Kraft (Gewichtskraft, Druckkraft) entgegenwirkt. Bei einem horizontal angelegten
System kann nur die Druckkraft allein die Gegenkraft sein.
Es soll eindimensionale, stationäre Strömung eines inkompressiblen, idealen Fluids vorliegen.
76
Kräftegleichgewicht am Fluidelement in Normalen(n-)- Richtung gemäß Abb. 24, wenn ein
horizontales System angenommen wird ( dFG * cos α entfällt):
↑ ∑ Fi = 0
n
dFp , n1 + dFF, kr − dFp , n 2 = 0
da keine Bewegung in n-Richtung,
ist dm * a n = 0
c2
p * ds * b + dm *
− (p + dp n ) * ds * b = 0
R kr
dm *
c2
− dp n * ds * b = 0
R kr
dm = ρ * ds * b * dn
dp n * ds * b = ρ * ds * b * dn *
dp n = ρ *
c2
R kr
c2
* dn
R kr
Man kann anstelle R kr auch r verwenden, so dass man auch schreiben kann:
dp n = ρ *
c2
* dn
r
Wenn r = ∞ , also parallele Strömung, wird
dp n
=0
dn
d.h. bei paralleler Strömung kann sich der Druck senkrecht zur Strömungsrichtung nicht ändern. Der Druck ist also im ganzen Strömungsraum konstant. Wenn dann noch gleiche Geschwindigkeiten vorliegen, so ist auch die Bernoullische Konstante (d.h. die Energie) von
Stromlinie zu Stromlinie konstant . Liegt dagegen parallele Strömung (Stromlinien sind parallel) , aber verschiedene
77
Geschwindigkeiten von Stromlinie zu Stromlinie vor (z.B. Geschwindigkeitsverteilungen laminar oder turbulent im Rohr), so ändert sich die Gesamtenergie (Bernoullische Konstante)
von Stromlinie zu Stromlinie. Die Gleichheit des Druckes macht man sich bei Parallelströmung zur Messung des statischen Druckes durch Wandanbohrungen zunutze.
Beispiel:
Potentialwirbel
Abb. 27 Kreisströmung
Strömung auf konzentrischen Kreisen um Mittelpunkt sei eine „Potentialströmung“, d.h. verlustfrei und drehungsfrei, d.h. wirbelfrei. Hier stellt man fest, dass die Gesamtenergie (Bernoullische Konstante) von Stromlinie zu Stromlinie gleich ist. Somit gilt bei senkrechter Achse (Volumenkräfte ⊥ zur Zeichenebene)
p c2
+
=C
ρ 2
Hieraus:
ρ
p = ρ*C − *c2
2
dp
ρ
= 0 − *2*c
dc
2
oder
dp = −ρ * c * dc
Erläuterung zu o.g. Gleichung:
p c2
+
= const für alle kreisförmigen Stromlinien. Somit ist an jedem Radius ri sowohl
ρ 2
Druck p(ri ) als auch Geschwindigkeit c(ri ) konstant. Änderungen von c(r) und p(r) sind so-
78
mit nur in Normalenrichtung n, d.h. hier in r-Richtung möglich. Infolgedessen ändern sich die
Größen in n-, bzw. r-Richtung wie folgt:
1 d(p) 1 d (c 2 ) dC
*
+ *
=
=0
ρ dn
2
dn
dn
gemäß
dy d ( x 2 )
≡
= 2*x
dx
dx
d ( x 2 ) = 2 * x * dx wird:
y = x 2 mit
und somit
1 dp n 1 2 * c * dc
*
+ *
=0
ρ dn
2
dn
1 dp n c * dc
+
=0
*
ρ dn
dn
dp n = −ρ * c * dc
s.o.
Die Druckänderung in Normalenrichtung, d.h. hier in radialer Richtung lautet:
dp n = ρ *
c2
* dr
r
Da im vorliegenden Fall C bei allen Stromlinien gleich ist, somit dp entlang den jeweiligen
Stromlinien den Wert Null annimmt und aus diesem Grund dp der Druckänderung dpn in
Normalenrichtung entspricht, muss sein:
dp = dp n
Man erhält
dp n = ρ *
c2
* dr = −ρ * c * dc
r
c
* dr = −dc
r
oder
dr dc
+
=0.
r
c
Integriert zwischen 1 und 2:
2
2
1
dr
dc
dc
∫1 r = − ∫1 c = + ∫2 c
ln
e
ln
r2
c
= ln 1 e ...
r1
c2
r2
r1
=e
ln
c1
c2
79
Somit
r2 c1
=
r1 c 2
oder
r1 * c 1 = r 2 * c 2 = r * c = k
Gesetz des Potentialwirbels
Es entsteht hieraus eine hyperbelförmige c(r)-Verteilung
c=
k
,
r
wobei mit r ⇒ 0 c ⇒ ∞ anwächst. Bei tatsächlichen Fluiden bildet sich aufgrund der tatsächlich vorhandenen Reibung ein Wirbelkern aus, der c ⇒ ∞ verhindert. Anwendung des Potentialwirbels z.B.:
- Berechnung von Spiralgehäusen
- Berechnung von Leitringen
etc.
1. Geschwindigkeitsverteilung c(r):
Bei einer an einem Radius r0 bekannten Geschwindigkeit c 0 erhält man die c(r)-Verteilung
wie folgt:
r * c = r0 * c 0 ⇒
r0
r
c( r ) = c 0 *
Potentialwirbel, reibungsfrei, drehungsfrei
2. Druckverteilung p(r):
Bei einem an einem Radius r0 bekannten Zustand p 0 , c 0 , ρ lässt sich die Druckverteilung
p(r) wie folgt angeben:
p(r ) c 2 (r ) p 0 c 02
+
=
+
ρ
ρ
2
2
p( r ) = p 0 +
Mit
c( r ) = c 0 *
ρ
* (c 02 − c(r ) 2 )
2
r0
r
ρ 2 ⎡ r02 ⎤
p(r ) = p 0 + * c 0 * ⎢1 − 2 ⎥
2
⎣ r ⎦
80
Abb. 28 Druck- und Geschwindigkeitsverteilung eines Potentialwirbels mit "starrem Kern"
(Rankine - Wirbel).
5.2.4 Bernoullische Gleichung für rotierende Systeme bei stationärer, eindimensionaler
Strömung idealer und realer Fluide.
Ausgangspunkt ist wieder die Bewegungsgleichung der reibungsfreien, inkompressiblen, stationären, eindimensionale Stromfadenströmung.
Annahme: Horizontale Lage des Systems, dadurch wirkt Schwerkraft ⊥ zur Zeichenebene
und hat keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichung.
5.2.4.1 Kräftegleichgewicht am Fluidteilchen in w-Richtung.
Aus Kräftegleichgewicht am Fluidteilchen in w-Richtung folgt gemäß Newtonschem Gesetz:
→
→
∑ Fi = m * a
→
←
→
→
dFp,1 − dFp, 2 + dFF * sin β = dm * a
→
p * dA − (p + dp) * dA + dm * r * ω 2 * sin β = dm * a
→
− dp * dA + dm * r * ω 2 * sin β = dm * a
81
dp =
dm = ρ * dA * ds ;
∂p
* ds
∂s
→
− dp * dA + ρ * dA * ds * r * ω 2 * sin β = ρ * dA * ds * a
→
− dp + ρ * ds * r * ω 2 * sin β = ρ * ds * a / (− ρ )
→
dp
− r * ω 2 * ds * sin β + ds * a = 0
ρ
= dr
Dw ∂w ∂w ds
*
=
+
∂t
∂s dt
dt
Beschleunigung
a=
Stationäre Strömung:
∂w
=0 ⇒
∂t
a=
∂w ds dw
∗ =
∂s dt
dt
dp
ds
− r * ω 2 * dr + * dw = 0
dt
ρ
=w
dp
− r * ω 2 * dr + w * dw = 0
ρ
Bewegungsgleichung der eindimensionalen, stationären Strömung idealer, inkompressibler
Fluide im Relativsystem.
Gliedweise unbestimmte Integration liefert die Bernoullische Energiegleichung des rotierenden Systems (Relativsystem).
p r2 2 w2
− ω +
= C*
ρ 2
2
Mit
u =r*ω
p w2 u2
+
−
= C*
ρ
2
2
folgt die
Energiegleichung
82
Abb. 29 Kräfte an einem mit w bewegten Fluidteilchen in einem mit ω rotierenden System
horizontaler Anordnung
83
1. Teilchenabmessungen
ds
Elementlänge (Koordinatensystem so, daß s in w-Richtung
liegt)
dn
Elementhöhe (n-Koordinate senkrecht s-Richtung)
b
Elementbreite (senkrecht Zeichenebene)
dA
Stirnfläche = dn * b
dO
Ober-, Unterfläche = ds * b
dr
elementarer Radius = ds * sinß
dm
Elementmasse = ρ * ds *dn * b
2. Kräfte am Element, das sich mit w(s) im mit ω rotierenden System bewegt.
dFF
Zentrifugalkraft aufgrund Systemrotation = dm * r * ω².
dFFKr
Zentrifugalkraft aufgrund Bewegung entlang gekrümmter
Bahn = dm * w²/RKr.
dFp1
Druckkraft auf linke Stirnfläche dA in Bewegungsrichtung
= p * dA = p * dn * b.
dFp2
Druckkraft auf rechte Stirnfläche dA entgegen Bewegungs
richtung = (p + dp) * dA = (p+dp) * dn * b.
dFpn1
Druckkraft auf Elementunterfläche dO in Krümmungsrich
tung = pn * dO = pn * ds* b.
dFpn2
Druckkraft auf Elementoberfläche dO entgegen Krümmungsrichtung = (pn+dpn) * dO = (pn+dpn) * ds* b.
dFCo.
Corioliskraft (senkrecht auf w) = 2 * dm * w* ω.
84
ρ
ρ
p + * w 2 − * u 2 = C 1*
2
2
Druckgleichung
p
w2
u2
+
−
= C *2
ρ*g 2*g 2*g
Höhengleichung
Zwischen zwei Punkten eines Stromfadens ohne Verluste:
p1 w 12 u 12 p ′2 w 22 u 22
+
−
=
+
−
ρ
ρ
2
2
2
2
Zwischen zwei Punkten eines Stromfadens mit Verlusten:
p 1 w 12 u 12 p 2 w 22 u 22
+
−
=
+
−
+ YV ,1÷ 2
ρ
2
2
ρ
2
2
5.2.4.2. Kräftegleichung am Fluidteilchen in n-Richtung.
Betrachtung des Kräftegleichgewichts am Fluidelement in n-Richtung gemäß Abb. 29.
Da keine Bewegung in n-Richtung (eindimensionale Strömung in s-Richtung) muss gelten:
↑ ∑ Fi ,n = 0
dFF, kr + dFp , n1 − dFp , n 2 + dFF * cos β − dFCo = 0
w2
dm *
+ p * ds * b − (p + dp n ) * ds * b
R kr
+ dm * r * ω2 * cos β − dm * 2 * w * ω = 0
Mit
dm = ρ * dV = ρ * ds * dn * b
und
dp n =
wird
w2
ρ * ds * dn * b *
+ p * ds * b − p * ds * b
R kr
∂p n
* dn
∂n
85
−
∂p n
* dn * ds * b + ρ * ds * dn * b * r * ω2 * cos β
∂n
− 2 * ρ * ds * dn * b * w * ω = 0 .
Hieraus erhält man:
ρ*
w 2 ∂p n
−
+ ρ * ω2 * r * cos β − 2 * ρ * w * ω = 0 .
R kr ∂n
Da eindimensionale, stationäre Strömung:
∂p n dp n
=
dn
∂n
⎛ w2
⎞
dp n
= ρ * ⎜⎜
+ ω2 * r * cos β − 2 * w * ω ⎟⎟
dn
⎝ R kr
⎠
Bei rückwärts gekrümmten Kanälen (gemäß Abb. 29), z.B. Radialpumpen, -kompressoren, gebläse.
5.2.4.3. Ermittlung der Geschwindigkeitsänderung dw/dn.
Gesamtenergie jeder Stromlinie in einem rotierenden System
p w2 u2
+
−
=C
ρ
2
2
ist konstant.
Differenziert man einzeln nach d n , ermittelt also die Änderungen in Normalenrichtung, so
erhält man mit
1
1
1
* p + * w 2 − * ω2 * r 2 = C
2
2
ρ
( )
( )
1 d (p ) 1 d w 2 1 2 d r 2
dC
*
+ *
− *ω *
=
=0
ρ dn 2 dn
2
dn
dn
1 dp n 1 2 * w * dw 1
2 * r * dr
*
+ *
− * ω2 *
=0
ρ dn 2
dn
2
dn
Mit
dr
= cos β
dn
wird
1 dp n
dw
*
+ w*
− ω 2 * r * cos β = 0 ⇒
ρ dn
dn
86
dp n
dw ⎤
⎡
= ρ * ⎢ r * ω 2 * cos β − w *
dn ⎥⎦
dn
⎣
⎡ w2
⎤
dp n
= ρ*⎢
+ r * ω2 * cos β − 2 * w * ω⎥
dn
⎣ R kr
⎦
r * ω 2 * cos β − w *
dw w 2
=
+ r * ω 2 * cos β − 2 * w * ω ⇒
dn R kr
dw
w
= 2*ω−
dn
R
Lineare DGL 1. Ordnung zur Bestimmung von w(n ) bei „Rückwärts gekrümmten Schaufeln“
dw
w⎞
⎛
= −⎜ 2 * ω + ⎟
dn
R⎠
⎝
Lineare DGL 1. Ordnung zur Bestimmung von w(n ) bei „Vorwärts gekrümmten Schaufeln“
Beispiel:
Laufrad mit geraden Schaufeln
Laufrad mit geraden Schaufeln heißt : R kr = ∞
87
mit :
dw
w
= 2*ω− ;
dn
R
w
=0 ⇒
R
dw
= 2*ω
dn
Somit:
w
n
w′
0
∫ dw = 2 * ω * ∫ dn
w − w ′ = 2 * ω * (n − 0)
w(n ) = w ′ + 2 * ω * n ;
Linearer w(n ) -Verlauf senkrecht zu den Schaufeln.
Die Auswertung der DGL für andere Schaufelformen als die lineare zeigt aber, dass in vielen
Fällen mit guter Näherung die lineare w(n ) -Verteilung benutzt werden kann
5.2.5 Impulssatz
Wichtige Gesetzmäßigkeit zur Berechnung strömungstechnischer Fragestellungen. Immer erforderlich ist es bei der Anwendung, einen sinnvollen Kontrollraum zu verwenden, an dessen
Grenzen die Strömungsgrößen bekannt sind bzw. ermittelt werden sollen. Hierbei werden
auch äußere Kräfte, die auf den Kontrollraum wirken, mit eingeschlossen.
Grundlage des Impulssatzes der Fluide ist der Impuls für einen massebehafteten Körper
( = Summe aus n - Massepunkten; siehe [3]).
Fester Körper der Masse m mit Geschwindigkeit c(s).
Definition:
Impuls ( ≡ Bewegungsgröße)
I = m*c
m⎤
⎡
⎢kg * s ⎥
⎦
⎣
Impulskraft FI ist die zeitliche Impulsänderung, also
FI =
DI & ⎡ kg * m
⎤
≡ I) ⎢
= N⎥
(
dt
⎣ s*s
⎦
DI =
∂I
∂I
* dm +
* dc
∂c
∂m
Totale Impulsänderung DI:
88
Mit
I = m*c
wird
∂I
= c;
∂m
Somit
DI = c * dm + m * dc
∂I
=m
∂c
Nach dem Massenerhaltungsprinzip m = const. ist
Es wird
dm = 0
DI = m * dc
und somit
→
→
→
DI
dc
= m* = m*a
FI ≡ &I =
dt
dt
→
Gleichzeitig gilt das Newtonsche Gesetz bewegter Massen
n
→
∑F
i
→
= m*a .
1
Die Kräfte werden hierbei positiv in c-Richtung und negativ entgegen c-Richtung gezählt.
Damit erhält man für stationär bewegte Massen:
→
→
n
→
→
FI ≡ &I = ∑ Fi = m * a
1
Impulskraft am Körper ist gleich der resultierenden äußeren Kraft und gleich der
d’Alembertschen Trägheitskraft.
Fluidelement dm, das sich mit c(s) stationär durch den Kontrollraum bewegt.
Der Bewegungsvorgang des Massenelements dm entlang Stromlinie von 1 nach 2 in Abb. 30
wird durch die am Element wirkende resultierende Kraft dF (differentielle Kraft) hervorgerufen. dF kann das Resultat verschiedener äußerer Kräfte (Druck, Gewicht, Wandkraft,...) sein.
Es gilt das Newtonsche Gesetz "Lex secunda" (äußere Kraft = Masse * Beschleunigung), also
am Element dm:
→
→
dF = dm * a
mit
→
a=
Dc
.
dt
Wenn bei eindimensionaler Strömung c = c(s,t), dann wird die Gesamtgeschwindigkeitsänderung nach dem „Totalen Differential“:
89
Dc =
∂c
∂c
* ds + * dt
∂s
∂t
= dc t = const + dc s = const
partielle Differentiale
Abb. 30
Somit:
Skizze zur Herleitung des Impulssatzes in der Fluiddynamik
Dc ∂c ds ∂c
= * +
dt ∂s dt ∂t
→
⎡ ∂c ∂c ds ⎤
* ⎥;
dF = dm * ⎢ +
⎣ ∂t ∂s dt ⎦
Im Fall „stationärer Strömung“ wird
∂c
= 0 , da c ≠ f ( t ) .
∂t
90
→
⎛ ∂c ds ⎞ ⎛ dm ⎞ ∂c
dF = dm * ⎜ * ⎟ = ⎜
⎟ * * ds
⎝ ∂s dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ∂s
&
= m
→
→
= dc t = const
→
& * dc
dF = m
&
& = ρ*V
m
Mit
→
→
& * dc
dF = ρ * V
dF:
Resultierende differentielle äußere Kraft am Masseelement dm.
1. Auswertungsmöglichkeit:
Die gesamte, längs eines Strömungsbereichs 1 ÷ 2 auf das strömende Fluid ausgeübte resultierende, äußere Kraft (aus verschiedenen äußeren Kräften bestehend) ergibt sich aus der Integration über dem Strömungsbereich
2 r
2
& * dcr
F = ∫ dF = ρ * V
∫
→
1
1
→
& * (cr − cr )
F = ρ*V
2
1
→
→
F = ∑ Fi ≡ Summe aller äußeren Kräfte
Komponentendarstellung:
n
x-Richtung:
& * (c − c ) = ∑ F
ρ*V
2x
1x
ix
1
Hinweis:
Die Vorzeichen von c 2 x , c1x und Fix richten sich nach den gewählten Koordinatenrichtungen.
& * (c − c ) = ∑ F
ρ*V
2y
1y
iy
n
y-Richtung:
1
Hinweis:
Die Vorzeichen von c 2 y , c 1y und Fiy richten sich nach den gewählten Koordinatenrichtungen.
91
2. Auswertungsmöglichkeit: Unbestimmte Integration
( )
r
r
r
r
d
F
=
d
F
≡
∫
∫ I ∫ &I = ρ * V& * ∫ dc ⇒
& *c + C
FI = ρ * V
Für
c = 0 ist I = 0 und damit FI = 0 .
C=0
Somit
r
→
→
→
& *c = m
& *c
FI ≡ &I = ρ * V
Die Impulskräfte FI sind am Kontrollvolumen wie äußere Kräfte einzutragen, und zwar immer wie folgt.
Eintritt (Stelle 1): FI 1 in
c1-Richtung
Austritt (Stelle 2): FI 2 entgegen
auf die Kontroll-
c2-Richtung flächen
Am Kontrollvolumen dann bilden:
n
x-Richtung
∑F
i,x
=0
1
n
y-Richtung
∑F
i,y
=0
1
Beispiel:
Horizontaler Krümmer in allgemeiner Lage
Gesucht ist die resultierende Wandkraft FW bei den im nachstehenden Zahlenbeispiel angegebenen Daten.
x-Richtung:
( + c 1x ; + c 2 x )
& * (c 2 x − c 1x ) = Fp ,1x + Fw , x − Fp , 2 x
m
& * (c 2 x − c 1x )
Fw , x = (Fp , 2 x − Fp ,1x ) + m
92
y-Richtung:
( + c 1y ; − c 2 y )
& * (− c 2 y − c 1y ) = Fp ,1y + Fp , 2 y − Fw , y
m
& * (c 2 y + c 1y )
Fw , y = (Fp ,1y + Fp , 2 y ) + m
Abb. 31 Krümmer in allgemeiner Anordnung
Zahlenbeispiel:
& = 32000 kg ;
m
s
α 1 = 70° ;
ρ = 1000 kg
m3
;
p1 = 3bar ;
α 2 = 30° ;
c1 = 8 m
s
A1
ξ kr = 0,20 auf c1 bezogen
A2
=2;
Fp ,1x = Fp ,1 * cos α 1 = p 1 * A 1 * cos α 1
Fp , 2 x = Fp , 2 * cos α 2 = p 2 * A 2 * cos α 2
Fp ,1y = Fp ,1 * sin α 1 = p 1 * A 1 * sin α 1
93
Fp , 2 y = Fp , 2 * sin α 2 = p 2 * A 2 * sin α 2
c1x = c1 * cos α 1
c 2 x = c 2 * cos α 2
c1y = c1 * sin α1
A1 :
c 2 y = c 2 * sin α 2
& =c *A ⇒
V
1
1
&
A1 = V
c1
=
&
m
32000
=
= 4m 2
ρ * c1 1000 * 8
A2 :
A 2 = 1 * A 1 = 2m 2
2
c2 :
&
c2 = V
p2
Bernoullische Gleichung mit Verlusten von 1 nach 2:
A2
=
&
m
32000
=
= 16 m
s
ρ * A 2 1000 * 2
p1 c12 p 2 c 22
+
=
+
+ YV , kr
ρ
2
ρ
2
c2
YV , kr = ξ kr * 1
2
ρ
p 2 = p 1 − * (c 22 − c 12 ) − ρ * YV , kr
2
(
)
1000
82
2
2
p 2 = 300000 −
* 16 − 8 − 1000 * 0,2 *
2
2
p 2 = 197600 N
FWX :
m2
Fw , x = (197600 * 2 * cos 30° − 300000 * 4 * cos 70°) +
+ 32000 * (16 * cos 30° − 8 * cos 70°)
Fw , x = 287677 N
FWy :
Fw , y = (300000 * 4 * sin 70° + 197600 * 2 * sin 30° ) +
+ 32000 * (16 * sin 30° − 8 * sin 70°)
94
Fw , y = 1821792 N
Fw = Fw2 , x + Fw2 , y = 1844365 N = 1844kN
F:
Sonderfall:
90°-Krümmer mit A 1 = A 2 = A
Fp ,1x = 0
Fp , 2 x = p 2 * A
Fp ,1y = p 1 * A ;
Fp , 2 y = 0
c 1x = 0
c 2x = c 2 = c
c 1y = c 1 = c
c 2y = 0
& *c
Fw , x = p 2 * A + m
& *c
Fw , y = p1 * A + m
Zahlenbeispiel:
p1 = 300000Pa ;
A = 4m 2
&
m
32000
m
=
=8 ;
c1 = c 2 = c =
s
ρ * A 1000 * 4
kg
& = 32000 kg ;
m
ξ = 0,20 ;
ρ = 1000 3
s
m
p2 :
p1 c12 p 2 c 22
+
=
+
+ YV ,kr ; c1 = c 2 = c ⇒
ρ
2
ρ
2
p1 p 2
=
+ YV , kr
ρ
ρ
p 2 = p1 − ρ * ξ *
p 2 = 300000 − 1000 * 0,20 *
c2
2
82
= 293600Pa
2
Fwx = 293600 * 4 + 32000 * 8 = 1430400 N = 1430kN
Fwx = 300000 * 4 + 32000 * 8 = 1456000 N = 1456kN
Fw = 2041073 = 2041kN
95
5.2.6. Rohrströmung
Grundsätzlich muss zwischen zwei Strömungsformen unterschieden werden, der
laminaren Rohrströmung und der
turbulenten Rohrströmung.
Welche der beiden möglichen Formen vorliegt ist eine Frage von
Rohrabmessung
D
Strömungsgeschwindigkeit
c
Fluidzähigkeit
ν.
Diese drei Größen lassen sich bei Rohrströmungen aus
Ähnlichkeitsüberlegungen oder auch
Dimensionsanalytischen Überlegungen
zu einer Kennzahl, der
Reynoldszahl
Re
zusammenstellen in der Form
Re =
Trägheitskräfte c * D
=
.
ν
Zähigkeitskräfte
Unterschreitet die Reynoldszahl einen kritischen Wert Re krit , so stellt sich im Rohr immer
laminare Strömung ein, umgekehrt muss dagegen bei einem größeren Re krit -Wert nicht unbedingt turbulente Strömung vorliegen.
Laminare Strömung:
Re < Re krit = 2300
Im Unterschied zu den bisherigen Kapiteln, wo oft die Reibungskräfte vernachlässigt wurden
bzw. eine untergeordnete Rolle spielen, werden sie bei den Rohrströmungen i. a. berücksichtigt und ihre Berechnungsmöglichkeiten aufgezeigt. Hierbei ist wieder die laminare oder turbulente Strömungsform von besonderer Bedeutung. Grundlage der diesbezüglichen Fluideigenschaften ist das Newtonsche Fließverhalten
gemäß
⎛ dc ⎞
τ = η* ⎜ x ⎟
⎝ dz ⎠
(lineares Verhalten).
96
Die anderen Möglichkeiten wie dilatant, strukturviskos, Binghamsches Fluid kommen hier
nicht zur Anwendung.
Im Vorgriff auf das Kapitel „Grenzschichten“ sei vorab bemerkt, dass die Grenzschichtdicke
der Rohrströmung in einer Anlaufstrecke L a vom Eintritt in die Rohrleitung an entwickelt
und am Ende der Anlaufstrecke die Größe des Rohrradius erreicht.
Abb. 32 Ausbildung der Geschwindigkeitsverteilung in der Anlaufstrecke
5.2.6.1. Laminare Rohrströmung
Betrachtungen zu den folgenden Punkten unter den Voraussetzungen:
- stationäre Strömung
- hydrostatische Verteilung im Rohr beeinflusst die Ergebnisse
nicht
- Newtonsches Fließverhalten
- Fluid haftet an der Rohrwand
- Stromlinien achsparallel (eindimensional)
Erweiterte Bernoulligleichung (mit Verlusten):
97
p1 c12
p
c2
+
+ g * z 1 = 2 + 2 + g * z 2 + Yv ,12
ρ
2
ρ
2
Die Strömungsverluste im Rohr Y v ,12 können ihre Energie nur aus der Druckenergie beziehen, da
& = const und A = const unveränderlich sind
c1 und c 2 über V
1, 2
z 1 und z 2 aus Anlagegründen ebenfalls unveränderlich sind.
Man spricht deswegen anstelle von Y v ,12 auch häufig von den
Druckverlusten ∆p v12 = ρ * Yv ,12 .
Die laminare Geschwindigkeit bildet sich aufgrund der laminaren Schubspannungen im realen
Fluid aus und zwar vom Wert c( R ) = 0 auf c( o) = c max . Diese Schubspannung folgt dem Gesetz
τ = − η*
dc
.
dr
Das negative Vorzeichen erscheint deshalb, weil sich im Unterschied zur bewegten Platte auf
einer Flüssigkeit im vorliegenden Rohr mit zunehmendem Radius r die Geschwindigkeit verkleinert
Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrströmung
Im vorliegenden Fall ist entgegen der turbulenten Rohrströmung eine rein analytische Lösung
der c-Verteilung, Verluste, etc. möglich.
Das Kräftegleichgewicht am koaxialen Fluidzylinder in s-Richtung bei gleichförmiger Bewegung (a = 0) ergibt:
∑F
i ,s
=0
Fp ,1 − Fp , 2 − Fw = 0
Fp ,1 = p1 * A ;
A = π* r2 ; O = 2*π*r * L
Fp , 2 = p 2 * A
Fw = τ * O ;
98
Abb. 33 Kräfte an einem Fluidzylinder bei laminarer Strömung
τ = − η*
dc
dr
p1 * π * r 2 − p 2 * π * r 2 − τ * 2 * π * r * L = 0 : (π ∗ r )
Somit erhält man
r * (p1 − p 2 ) + η *
1.
2*η*
dc
*2*L = 0
dr
dc r
+ * (p1 − p 2 ) = 0
dr L
/L
DGL der c-Verteilung
Bernoulligleichung zwischen 1. und 2.
p1 c12
p c2
+ + g * z1 = 2 + 2 + g * z 2 + Yv ,12
ρ 2
ρ 2
da
2.
c1 = c 2
Yv ,12 =
und
p1 − p 2
ρ
z1 = z 2
99
2*η*
dc r
+ * (p1 − p 2 ) = 0
dr L
2*η*
dc
r
= − * (p1 − p 2 )
dr
L
erhält man
dc = −
r
* ( p1 − p 2 ) ∗ dr
2∗η∗ L
Integration
∫
Mit
dc = −
c(r ) = −
1
* (p1 − p 2 ) ∗
2 ∗ η∗ L
r = R ist c = 0
Es folgt
C=
c(r ) =
∫
r ∗ dr
( p1 − p 2 ) 2
*r + C
4* η* L
Bei
Somit
: (2 ∗ η)
(Haften an der Wand)
( p1 − p 2 )
* R2.
4*η*L
( p1 − p 2 )
* R2 − r2
4*η*L
(
)
Parabel nach „Stokes“
Abb. 34 Geschwindigkeitsverteilung der laminaren Rohrströmung
Maximale Strömungsgeschwindigkeit c max
Bei
r = 0 ⇒ c = c max
c max =
( p1 − p 2 )
* R2;
4*η*L
R=
D
2
100
c max =
(p1 − p 2 ) 2
*D
16*η*L
&
Volumenstrom V
& = 2 * π * r * dr * c(r )
dV
& = 2*π*r*
dV
( p1 − p 2 )
* (R 2 − r 2 ) * dr
4*η*L
π * ( p1 − p 2 ) R 2
3
&
∫ dV = 2 * η * L * ∫0 R * r − r * dr
(
π * ( p1 − p 2 ) ⎡ R 2 * r 2
&
V=
*⎢
2*η*L
2
⎢⎣
)
R
0
r4
−
4
R
0
⎤
⎥
⎥⎦
4
4
& = π * ( p1 − p 2 ) * ⎡ R − R ⎤
V
⎢
⎥
4 ⎦
2*η*L
⎣ 2
& = π * (p1 − p2 ) * R 4
V
8
η* L
Mittlere Strömungsgeschwindigkeit c
&
V
;
A
c=
A = π*R2
c =
(p − p 2 )
R4
π ( p1 − p 2 )
*
*
* R2 ;
= 1
2
8
8*η*L
η*L
π*R
c=
( p1 − p 2 )
* D2
32 * η * L
somit auch:
c max
( p1 − p 2 ) * D 2
32 * η * L
=
*
c
16 * η * L
( p1 − p 2 ) * D 2
c max
=2
c
⇒
R=
D
2
101
Verlustenergie Yv :
( p1 − p 2 )
ρ
Yv ,12 =
(p1 − p 2 )
1
η
= 32 * * L * c * 2
ρ
ρ
D
Yv =
Yv = 32 * ν * L * c 2 *
Yv = 64 *
1
1
*
c D*D
*
*
c
c
mit ν =
η
ρ
2
2
ν
L c2
* *
c*D D 2
Mit der Definition der Reynoldszahl
Re =
c*D
ν
64 L c 2
Yv =
* *
Re D 2
erhält man das Hagen-Poisseuillesche Gesetz der laminaren Rohrströmung. Führt man die
Rohrreibungszahl λ der laminaren Rohrströmung ein,
λ=
64
Re
so wird
2
⎛L⎞ c
Yv = λ * ⎜ ⎟ *
⎝D⎠ 2
.
Merke:
λ ist bei laminarer Rohrströmung unabhängig von Rauhigkeit. Bei laminarer Rohrströmung
sind Verluste linear abhängig von der Geschwindigkeit c gemäß:
Yv =
( p1 − p 2 ) 32 * ν * L
=
*c
ρ
D2
Yv , ∆p : Bei voll ausgebildeter laminarer Rohrströmung zwischen 1. und 2.
102
Wandschubspannung τ 0
dc
dr
Aus
τ = −η *
mit
dc
r
=−
* (p1 − p 2 )
dr
2∗η∗ L
Abb. 35
Schubspannungsverteilung bei laminarer Strömung.
r
* (p1 − p 2 )
2∗η∗ L
erhält man
τ = η*
oder
τ(r ) =
An der Rohrwand ist
r=R
und somit
τ(R ) = τ 0 =
Yv =
τ0 =
.
1
r
* (p1 − p 2 ) * .
2
L
1
R
* (p1 − p 2 ) * .
2
L
( p1 − p 2 )
L c2
= λ* *
ρ
D 2
L c2
D
ρ
*λ * * *
2
D 2 2*L
λ
τ0 = * ρ * c 2 Laminare Strömung
8
Die Schubspannungsverteilung und die Wandschubspannung der turbulenten Rohrströmung
folgen den gleichen Gesetzmäßigkeiten wie im laminaren Fall, jedoch mit anderen Werten.
103
Beispiel:
Viskositätsbestimmung mittels horizontalem Kapillarviskosimeter
Abb. 36 Horizontales Kapillarviskosimeter
Gegeben:
H = 72,5 cm; D = 4 mm; L = 5 m
Gesucht:
m = 0,378 kg; t = 60 s
ν
Re
λ
τ0
ν:
Aus
c=
YV
* D2
32 * ν * L
wird
ν=
YV
* D2
32 * c * L
c:
c=
&
V
;
A
&
& =m
;
V
ρ
& = m
V
t *ρ
c =
A=
& =
m
π
*D2
4
m
t
m*4
=
t * ρ * π * D2
0,378 * 4
60 * 1000 * π * 0,004
2
m
s
104
c = 0,501 m
s
YV :
Mit Bernoulli von 0 ÷ 2 :
p 0 c 02
p
c2
+
+ g * z 0 = 2 + 2 + g * z 2 + YV
ρ
2
ρ
2
p0 = pB = p2 ;
c0 = 0 ;
(z 0 − z 2 ) = H ;
c2 = c
YV = g * H −
c2
2
YV = 9,80665 * 0,725 −
YV = 6,984
0,5012
2
Nm
kg
2
6,984
2 m
* 0,004
ν=
32 * 0,501 * 5
s
ν = 1,394 * 10 − 6
Dynamische Viskosität:
m2
bei
s
ϑ = 6 °C
η = ν*ρ
η = 1,394 * 10 −6 * 1000 [Pa*s]
η = 1394 * 10 −6 [
Re:
N
*s]
m2
Re =
c*D
ν
Re =
0,501 * 0,004
* 10 6
1,394
Re = 1438
laminare Strömung
105
λ:
λ=
64
Re
λ=
64
1438
λ = 0,0445
τ0 :
τ0 =
λ
*ρ* c2
8
τ0 =
0,0445
⎡ N ⎤
* 1000 * 0,5012 ⎢ 2 ⎥
8
⎣m ⎦
τ 0 = 1,4
Beispiel:
N
m2
Kapillarviskosimeter mit senkrechtem Ausfluss
Ableitung von YV aus gegebenen Viskosimetergrößen:
YV :
p − p2 ⎤
⎡
YV = g * L * ⎢sin α + 1
ρ * g * L ⎥⎦
⎣
bei vollausgebildeter laminarer Rohrströmung
α = 90° ⇒
p1 :
sin α = 1
′
p1 = p B + ρ * g * H
′
′2
2
p1
c1
′ p1 c
+
+ g * z1 =
+
+ g * z1 ;
ρ
2
ρ
2
YV ,1′ ÷1 = 0
angenommen: gute Abrundung vorsehen!!
′
p1
p1 c 2
=
+
⇒
2
ρ
ρ
ρ
′
p1 = p1 + * c 2
2
106
p1 = p B + ρ * g * H −
ρ
* c2
2
p2 :
p2 = p B
(p1 − p 2 ) :
(p1 − p 2 ) = ρ * g * H − ρ * c 2
2
ρ
⎡
2 ⎤
⎢ ρ*g*H − 2 *c ⎥
YV = g * L * ⎢1 +
⎥
ρ*g*L
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎡⎛ H ⎞ 1 c 2 ⎤
YV = g * L * ⎢⎜1 + ⎟ − *
⎥
L ⎠ L 2*g⎦
⎣⎝
1 c2
<< ; [ 3 ]
Wenn Re <<, ist *
L 2*g
Zur weiteren Berechnung aller anderen Größen YV in die entsprechenden Gleichungen einsetzen.
Im Übrigen kann in YV auch mit der Bernoullischen Energiegleichung zwischen den Punkten
0 und 2 ermittelt werden, wenn die Verluste in der Anlaufstrecke vernachlässigt werden.
107
Abb. 37 Vertikales Kapillarviskosimeter
108
5.2.6.2.Turbulente Rohrströmung
Bei laminarer Strömung bewegen sich Fluidteilchen mit konstanter Geschwindigkeit
(abhängig von r) entlang achsparalleler Bahnen durch das Rohr. Ab einer Reynoldszahl
Re > 2320
kann ein Umschlag der laminaren Strömung in die turbulente Strömung erfolgen, wenn keine
besonderen Maßnahmen bezüglich Rohreinlaufabrundung, etc. getroffen wurde.
Die turbulente Strömung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Geschwindigkeit der einzelnen
Fluidteilchen nicht mehr geradlinig und konstant verläuft, sondern unregelmäßig schwankt
(statistisches Problem).
Abb. 38
Zeitlicher Geschwindigkeitsverlauf bei turbulenter Rohrströmung
Damit ist die turbulente Strömung eine instationäre Strömung. Bis heute existieren keine theoretischen Lösungsmöglichkeiten, die turbulente Strömung exakt zu formulieren.
109
Die tatsächlichen Bewegungsabläufe der turbulenten Strömung, die durch das Geschwindigkeitsfeld
r
c (x , y, z, t )
beschrieben werden, sind aus technischer Sicht oft nicht von besonderem Interesse. Es interessiert dagegen meist nur der über einer ausreichend lange Zeit gemittelte Geschwindigkeitswert an einer bestimmten Stelle.
Die so über der Zeit gemittelte Geschwindigkeit ist wiederum achsparallel gerichtet.
Somit sind auch alle aus den zeitlichen Mittelwerten der Geschwindigkeitsverteilungen abgeleiteten Größen (wie z.B. der Volumenstrom) ebenfalls als zeitlich gemittelte Werte zu verstehen.
Die turbulente Schwankungsgeschwindigkeitskomponente c ′(t, r ) ist als Resultat der sich
schräg zur Hauptströmungsrichtung hin und her bewegenden Fluidballen mit Geschwindigkeitsverzögerungen und – beschleunigungen zu verstehen. Der intensive Durchmischungsvorgang der beteiligten Fluidelemente ruft neben der Newtonschen Schubspannung (reine Reibung) noch zusätzliche, aufgrund der Querbewegúngen entstehende sogenannte „scheinbare
Schubspannungen τ′ “ hervor.
Die gesamte Schubspannung der turbulenten Strömung setzt sich dann wie folgt zusammen.
τ tu = τ + τ ′
τ : laminar
τ′ : aufgrund der Turbulenz
τ ′ >> τ
Das heißt, daß die Schubspannung der turbulenten Strömung im wesentlichen bestimmt wird
durch die „scheinbare Schubspannung“, die als Resultat des Impulsaustausches (teilelastische
Stöße der Fluidelemente) zu verstehen ist. Die Verluste der turbulenten Strömung sind daher
erheblich größer als die der laminaren Strömung.
Da exakte theoretische Lösungsmöglichkeiten bei der turbulenten Strömung nicht vorliegen,
hat man halbempirische (Prandtlsche Mischungswegtheorie) Ansätze und rein empirische
(Potenzgesetze) Ansätze zur Beschreibung der Geschwindigkeitsverteilung und
Abb. 39 Schubspannungsanteile bei turbulenter Rohrströmung
110
hieraus abgeleiteter Größen, wie z.B. die Reibungsziffer nach „Prandtl-Colebrook“,
entwickelt.
Potenzgesetz der c-Verteilung
Nach „Nikuradse“ lässt sich aufgrund umfangreicher Messungen ein Gesetz zur Beschreibung
der turbulenten c-Verteilung wie folgt aufstellen:
c(r ) ⎛
r⎞
⎛y⎞
⎛R −r⎞
= ⎜1 − ⎟ = ⎜
⎟ =⎜ ⎟
c max ⎝
R⎠
⎝R⎠
⎝ R ⎠
n
(R − r ) = y =
n
n
Wandabstand ;
n = Exponent der Geschwindigkeitsverteilung
Abb. 40 Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Rohrströmung
Verhältnis
k=
wobei
k=
c
c max
,
2
(n + 1) * (n + 2 )
Re
4 * 10 3
2,3 * 10 4
n
1
1
k
6
0,791
6,6
0,807
1,1 * 10 5
1
7
0,817
1,1 * 10 6
1
8,8
0,85
-Gesetz der c-Verteilung
siehe „Eck“
1
7
(2 − 3) *10 6
1
10
0,865
111
Logarithmisches Gesetz der c-Verteilung
(Aus Prandtlschem Mischungswegansatz)
⎛ y *ν 0* ⎞
c( y )
⎜
⎟
=
5
,
75
*
log
⎜ ν ⎟ + 5,5
v0*
⎝
⎠
y = Wandabstand = R − r
v *0 = Schubspannungsgeschwindigkeit
v *0 = c *
λ
8
Vorteil: keine direkte Abhängigkeit von Re
Verlustenergie Yv der turbulenten Rohrströmung
1.
Aufgrund von Versuchen lässt sich die Widerstandskraft an der Oberfläche eines rohrgleichen* Zylinders in Abhängigkeit von folgenden Größen feststellen:
(*An Rohrwand können Fluidteilchen die Mantelfläche nicht überschreiten, was bei einem beliebigen Zylinder gemäß Abb. 33 im Fall turbulenter Strömungen möglich wäre.)
Fw ~ O = 2*π*R *L = π*D*L
Fw ~
c2
2
Fw ~ ρ
Fw ~ π*D*L*ρ*
c2
2
c2
1. Fw = k 1 *π*D*L*ρ*
2
2. Des Weiteren erhält man an einem rohrgleichen, horizontalen Zylinder aus dem Kräftegleichgewicht in s-Richtung (Abb. 33):
p1 *
π
π
* D 2 − p 2 * * D 2 − Fw = 0
4
4
π
2. Fw = (p1 − p 2 )* *D 2
4
3. Mit der Bernoulligleichung:
p
c2
p1 c 12
+
+ g * z 1 = 2 + 2 + g * z 2 + Yv ;
2
2
ρ
ρ
z 1 = z 2 (horizontal)
112
(Bei D = const. wird c1 = c2)
3. (p1 − p 2 ) = ρ * Yv
Aus 1. ÷ 3. folgt:
π
ρ
ρ*Yv * *D 2 = k 1 *D*L* *c 2 / D*L
4
2
2
L c
YV = 4∗ k 1 ∗ ∗
D 2
4∗ k 1 ≡ λ gesetzt führt zu
L c2
Yv = λ * *
D 2
λ:
gemäß „Darcy“
Rohrreibungszahl der turbulenten Rohrströmung: Diese lässt sich nicht theoretisch
herleiten, sondern kann nur im Versuch ermittelt werden.
Die Rohrreibungszahl der turbulenten Rohrströmung hängt von der Reynoldszahl Re und der
k
ab:
Rohrrauhigkeit s
D
k
λ = f ⎛⎜ Re, s ⎞⎟
D⎠
⎝
ks :
Äquivalente Sandrauhigkeit nach Nikuradse
„Ein Rohr mit der „natürlichen Rauhigkeit k“ hat den Rauhigkeitswert k s einer „definierten
künstlichen Sandrauhigkeit“, wenn bei gleichen geometrischen Abmessungen, gleichem Volumenstrom und Fluid dieselben Verluste entstehen.“
Bei technischen Oberflächen (Gießen, Drehen, Fräsen, etc.) gilt:
k s ≈ (1 ÷ 1,6) * k
k:
ks :
meist k s ≈ k
tatsächlich gemessene Oberflächenrauhigkeiten; liegen in
Tabellen vor.
k
liegt dem Diagramm λ ⎛⎜ Re, s ⎞⎟ zugrunde
D⎠
⎝
Folgende, für verschiedene Re -Zahlenbereiche und Oberflächenbeschaffenheiten gültigen
Gesetze der Rohrreibungszahlen sind bekannt.
Abhängigkeiten der Rohrreibungszahl λ:
1. Laminares Gebiet:
Re < 2320
λ = f (Re)
113
2. Turbulentes Gebiet:
Re > 2320
2.1. Hydraulisch glattes Verhalten
λ = f (Re)
2.2. Mischgebiet
λ = f (Re; kS/D)
2.3. Raues Verhalten
λ = f (kS/D)
Gleichungen der Rohrreibungszahl λ
1. Laminares Gebiet:
Re < 2320
λ=
2. Turbulentes Gebiet:
64
Re
Re > 2320
2.1. Hydraulisch glattes Verhalten
0 , 3164
„Blasius“
λ=
„Nikuradse“
λ = 0 , 0032 + 0 , 221 ∗ Re −0 , 237
4
: 2320 < Re < 105
Re
: 105 < Re < 108
„Prandtl-Colebrook“
1
λ
2.2. Mischgebiet
2.3. Raues Verhalten
(
)
= 2 ∗ log Re ∗ λ − 0 , 8
⎛
= − 2 ∗ log ⎜
λ
⎝
1
λ=
2, 51
λ ∗ Re
: Re > 2320
+ 0 , 27 ∗
1
⎡
⎛ kS ⎞ ⎤
⎢ 1,14 − 2 ∗ log ⎜⎝ D ⎟⎠ ⎥
⎦
⎣
2
kS ⎞
⎟
D⎠
114
Die Rohrreibungszahl λ in Abhängigkeit von der Re-Zahl und der bezogenen Sandrauhigkeit
kS/D ist in nachstehender Abbildung dargestellt.
115
5.2.6.3.Anlaufstrecke
In der Anlaufstrecke findet die Ausbildung des am Eintritt in ein Rohr aus einem Behälter
vom (bei guter Abrundung des Eintrittsquerschnitts: Einschnürung vermieden!) ursprünglich
vorliegenden Rechteckprofil in das voll ausgebildete laminare oder turbulente Profil statt.
Voll ausgebildet heißt, die Abweichung darf nur weniger als ein Prozent betragen. Aufgrund
des in der Anlaufstrecke immer höheren Geschwindigkeitsgradienten sind die Verluste dort
auch höher als bei Vollausbildung. Alle Geschwindigkeitsprofilgleichungen und Verlustangaben (einschließlich λ ) beziehen sich auf Vollausbildung.
Abb. 41
Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils in der Anlaufstrecke
Laminare Strömung:
LA
Turbulente Strömung:
LA
LA
D
D
D
= 0,065 * Re
(nach Tietjens)
≈ 20 ÷ 50
scharfkantiger Einlauf, daher ≠ f (Re)
=
3 * 10 5
Re
abgerundeter Einlauf
116
5.2.6.4 Hydraulischer Durchmesser:
Der "Hydraulische Durchmesser" wird in der Literatur auch öfters „Gleichwertigkeitsdurchmesser“ benannt. Um die Anwendung der Widerstandszahlen auch auf beliebige Querschnitte zu erweitern, wird dieser so genannte
„Hydraulischer Durchmesser“ d hyd
eingeführt, der sich wie folgt bestimmen lässt.
Abb. 42 Fluidvolumen in einem Rechteckkanal mit Kern
∑F
i
= 0 = p1 * A UR − p 2 A UR − τ gr * O gr − τ kl * O kl
(p 1 − p 2 )* A UR
= τ UR * (O gr − O kl ) ;
∆p UR
τ gr = τ kl = τ UR (Annahme)
p1 > p 2 wegen Verlusten zwischen 1 ÷ 2
∆p UR = τ UR *
O gr + O kl
A UR
O UR
A UR
O UR = Gesamte benetzte Oberfläche
∆p UR = τ UR *
117
Man führt nun ein „gedachtes“ Ersatzrohr (Index: "hyd") mit dem Durchmesser
d hyd
ein, an dem derselbe Druckunterschied
∆p UR = ∆p hyd ,
dieselbe Wandschubspannung
τ UR = τ hyd
und dieselbe Länge L vorliegen soll:
∆p hyd * A hyd = τ hyd * π * d hyd * L
∆p hyd =
4
1
* 2 * π * d hyd * L * τ hyd
π d hyd
∆p hyd = 4 *
1
d hyd
∆p hyd = 4 * L *
Somit
τ UR *
* L * τ hyd
τ hyd
d hyd
τ hyd
O UR
= 4*L*
A UR
d hyd
/ τ hyd ;
O UR = (U gr + U kl ) * L = U UR * L
d hyd = 4 * L *
d hyd =
A UR
U UR * L
4 * A UR
U UR
A UR : durchströmter Querschnitt
U UR : Gesamter benetzter Umfang
da τ UR = τ hyd
118
Reibungsverluste bei unrunden Querschnitten lassen sich somit wie folgt bestimmen.
YV = λ *
L
d hyd
*
c2
2
(siehe oben)
d hyd
c
=
&
V
λ
=
⎛
⎞
k
f ⎜ Re UR ; S
⎟
d
hyd ⎠
⎝
Re UR =
A UR
c * d hyd
ν
Bei glatten Oberflächen (Schiller, Nikuradse), turbulent
λ=
0,2236
4
Re UR
Bei rauen Oberflächen:
wie Kreisrohr
Bei laminarer Strömung:
siehe [1]
Beispiel:
Ringspalt
Abb. 43
Ringspalt
119
d hyd
(
)
)(
) (
2
2
π
4 * A UR 4 * 4 * d a − d i
=
=
U UR
π * da + π * di
(
4 * A UR
d + di da − di
= a
= da − di
U UR
(d a + d i )
d hyd =
)
d hyd = 2 * s
&
&
&
V
V
V
=
=
π * D Sp * s
A UR π * d a2 − d i2
4
c Sp * d hyd c Sp * 2 * s
= Re Sp =
=
ν
ν
c = c Sp =
Re UR
λ=
(
0,2236
4
Re Sp
⎛
k
λ = f ⎜ Re; S
⎜
d hyd
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
)
:
glatte Oberflächen
:
Mischgebiet
Geschlossener Rechteckkanal
Abb. 44
d hyd =
Geschlossener Rechteckkanal
4 * A UR
4*b*h
2*b*h
=
=
U UR
2 * b + 2 * h (b + h )
120
c=c =
&
V
b*h
Re UR = Re =
λ=
c*2*b*h
ν * (b + h )
0,2236
4
Re
Beispiel: Offener Rechteckkanal
Abb. 45 Offener Rechteckkanal
d hyd =
4 * A UR 4 * b * h 2 * b * h
=
=
U UR
2*h + b h + b
2
u.s.w.
5.2.6.5 Rohreinbauten
Außer geraden Rohrstrecken finden verschiedene Formteile des Rohrleitungsbaus in diesbezüglichen Anlagen Verwendung:
- Formteile für Richtungsänderungen
- Formteile für Querschnittsänderungen
- Formteile für Durchflussänderungen
- Armaturen
121
Die verschiedenen Verluste sind praktisch auf theoretischem Wege nicht lösbar. Man muss
sich zu ihrer Ermittlung des Versuchswesens bedienen. Neben den Reibungsverlusten und
Verlusten des turbulenten Impulsaustauschs wird bei den
Ablenk- und Umlenkvorgängen
der Strömungen in besagten Elementen die Strömungsablösung ( ∂c
≤ 0 ) mit Toträumen,
∂y
die von Wirbeln durchsetzt sind, zu erhöhten Verlusten führen. Aus Versuchen hat man festgestellt, dass die Verluste der Einbauten, in ähnlicher Weise wie die der Rohre, abhängig sind
von:
⎛
⎞
c2
Yv = f ⎜⎜ Geometrie, Re, , Rauhigkeit ⎟⎟ .
2
⎝
⎠
c2
, nicht immer gemeinsam wirksam sein.
2
Bei der Ermittlung der Verlustenergie der betreffenden Rohreinbauten geht man von der Darcyschen Widerstandsgleichung
Diese Einflussgrößen müssen jedoch, außer
Yv = ζ *
c2
2
aus. Alle Einflüsse der Geometrie, Rauhigkeit und Re-Zahl sind in der
Widerstandszahl oder Verlustziffer ζ
eingebunden. Sie ist demnach für die verschiedenen Rohreinbauten in unterschiedlicher Weise zu verwenden.
Beim Rohr ist z. B.:
ζ = λ*
L
k
; λ = f ⎛⎜ Re, s ⎞⎟
D⎠
⎝
D
Geometrie
Rauhigkeit
Formteile für Richtungsänderungen (Krümmer)
Die Strömungsvorgänge in Krümmern sind sehr verwickelt und können hier nicht im einzelnen besprochen werden. Die Verluste werden aus Einflüssen der
- Ablösung (Totraumbildung)
- Sekundärströmung (Doppelwirbel)
- Wandreibung
bestimmt. Die diesbezügliche Verlustziffer ζ Kr gemäß
122
Abb. 46 Strömung in einem Rohrkrümmer
Yv ,Kr = ζ Kr *
c2
2
weist folgende Abhängigkeiten auf. Diese können, müssen aber nicht immer gleichzeitig vorliegen.
k
ζ Kr = f ⎛⎜ δ, R Kr , Re, s ⎞⎟
D
D⎠
⎝
Geometrie
Rauhigkeit
Umfangreiche Messungen von Hoffmann, Ito, Gregoric; et al. führten zu folgenden qualitativen Ergebnissen (Abb. 47¸ Abb. 48). Gregoric weist noch eine Abhängigkeit von der Länge
der Nachlaufstrecke nach. Weitere Angaben sind der einschlägigen Literatur zu entnehmen,
wie auch zu:
- Hintereinandergeschaltete Krümmer
- Krümmer mit Rechteckquerschnitt
- Kniestücke
- Leitbleche in Krümmern
- Segmentkrümmer
123
Abb. 47 Krümmerverlustziffer in Abhängigkeit vom Krümmungsradius
Formteile der Querschnittsänderung
Die Strömungsverluste in den nachstehenden Formteilen beruhen auf reibungsbedingten Wirkungen (laminare und turbulente Schubspannungen) und häufiger noch auf Verwirbelungen
nach Strömungsablösungen. Die Herleitungen der folgenden Gleichungen wurden in Kap.
5.2.1. und Kap. 5.2.5. ausführlich behandelt. Zur besseren Übersicht erfolgt anschließend eine
Zusammenstellung dieser Gleichungen.
Unstetige Erweiterung
Auf c1 bezogen:
Yv = ζ1 *
c12
2
⎛
A ⎞
ζ 1 = ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟
A2 ⎠
⎝
2
A1 < A 2
Auf c2 bezogen:
c 22
Yv = ζ 2 *
2
⎞
⎛A
ζ 2 = ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟
⎝ A1 ⎠
2
A 2 > A1
124
Abb. 48 Krümmerverlustziffer in Abhängigkeit von der Re-Zahl bzw. dem UmlenkWinkel
125
Stetige Erweiterung (Gerader Diffusor)
Auf c1 bezogen:
c12
Yv = ζ1 *
2
⎛ A2 ⎞
ζ1 = (1 − ηD ) * ⎜⎜1 − 12 ⎟⎟
⎝ A2 ⎠
A1 < A 2
Auf c2 bezogen:
c 22
Yv = ζ 2 *
2
⎛ A2 ⎞
ζ 2 = (1 − ηD ) * ⎜⎜ 22 − 1⎟⎟
⎝ A1
⎠
A 2 > A1
Bei Öffnungswinkeln δ ≤ 4° kann man in erster Näherung setzen: ηD ≈ 0,80 ÷ 0,85
2
Unstetige Verengung
Auf c1 bezogen:
Yv = ζ1 *
c12
2
2
2
⎛ 1 ⎞ A1
ζ1 = ⎜ − 1⎟ * 2
⎝ α ⎠ A2
α:
A 2 < A1
Kontraktionszahl = f (A2/A1; Kantenform)
Auf c2 bezogen:
c 22
Yv = ζ 2 *
2
⎛1 ⎞
ζ 2 = ⎜ − 1⎟
⎝α ⎠
2
A 2 < A1
126
Stetige Verengung (Gerader Konfusor, Düse)
Auf c1 bezogen:
c12
Yv = ζ1 *
2
⎞
⎞ ⎛ A2
⎛ 1
ζ 1 = ⎜⎜
− 1⎟⎟ * ⎜⎜ 12 − 1⎟⎟ ;
⎠ ⎝ A2
⎝ η Dü
⎠
A 2 < A1
k
⎞
η Dü = f ⎛⎜ δ; Re; s
D 2 ⎟⎠
⎝
η Dü ≈ 0,93 bei δ = 4°
η Dü ≈ 0,98 bei δ = 20°
⎛ A2
⎞
ζ 1 = (0,02 ÷ 0,075) * ⎜⎜ 12 − 1⎟⎟
⎝ A2
⎠
δ = 20°
δ = 4°
Auf c2 bezogen:
Yv = ζ 2 *
c 22
2
⎞ ⎛ A2 ⎞
⎛ 1
ζ 2 = ⎜⎜
− 1⎟⎟ * ⎜⎜1 − 22 ⎟⎟
⎠ ⎝ A1 ⎠
⎝ η Dü
⎛ A2 ⎞
ζ 2 = (0,02 ÷ 0,075) * ⎜⎜1 − 22 ⎟⎟
⎝ A1 ⎠
δ = 20°
δ = 4°
Formteile für Durchflussänderungen (z.B. T-Stücke)
Durch Umlenkungs- und Ablösungsverluste treten an entsprechenden Verzweigungsstellen
erhebliche Verluste auf. Sie hängen davon ab, ob an den Verzweigungen Volumenströme zuoder abgeführt werden, den Richtungen der Massenströme und den Volumenstromverhältnissen:
127
Abb. 49 Verzweigungen
&
⎛V
⎞
ζ = f ⎜ a & ; δ; zu − oder abgef . ⎟
⎝ V
⎠
Verluste im abgezweigten Strang:
YVa = ς a ∗
c2
2
Verluste im durchgehenden Strang:
YVd = ς d ∗
c2
2
ς a und ς d können dem "VDI-Wärmeatlas" oder anderen Literaturquellen entnommen werden. c bezieht sich auf den Gesamtvolumenstrom V.
128
Armaturen
Armaturen haben die Aufgabe, durch Drosselung (Verlusterzeugung) in (und nach) diesen Elementen, den Massen- bzw. Volumenstrom zu regeln. Es gibt im wesentlichen drei Gruppen:
-
Ventile
Schieber
Hähne,
die dieser Aufgabe nachkommen.
Abb. 50 Schieberverlustziffer in Abhängigkeit vom Öffnungsverhältnis a/D
Zur Ermittlung der Verluste wird wieder
Yv = ζ *
c2
2
benutzt. Hierbei ist c die im unversperrten Querschnitt druck- oder saugseitig vorliegende
mittlere Geschwindigkeit. Die Verlustziffer ändert ihren Wert von demjenigen bei völlig geöffnetem Zustand bis zu dem des geschlossenen Zustands. Neben der Abhängigkeit der Verlustziffern genannter Armaturen vom Schließzustand a ist bei verschiedenen Exemplaren
D
auch eine Größenabhängigkeit (Nennweite D) bekannt.
129
5.2.7. Grenzschichten
Prandtl hat erstmals Anfang dieses Jahrhunderts das Vorhandensein von „Grenzschichten“ an
umströmten und durchströmten Körpern theoretisch und experimentell festgestellt. Hiermit
konnten bislang viele offene Fragen der Strömungsmechanik gelöst sowie wichtige technische
Anwendungen und Verbesserungen (z.B. Grenzschichtabsaugungen an Tragflächen zur Auftriebsverbesserung ) geschaffen werden. So ist auch erst die deutliche Widerstandsreduzierung an Profilen (Kugeln, Zylinder, Tragflächen, etc.) mittels „Stolperdrähten“ durch entsprechende positive Grenzschichtenveränderungen hervorgegangen.
Mit „Potentialströmungen“, d.h. der angenommenen drehungs- und reibungsfreien Strömung
kann z.B. sehr gut die „Querkraftentstehung“ (Auftrieb) an umströmten Tragflügeln erklärt
werden. Die tatsächlich auch vorhandenen „Widerstandskräfte“ lassen sich dagegen mit den
reibungsfreien Potentialströmungen nicht belegen (d’Alembertsches Paradoxon). Aus Messungen weiß man, dass außerhalb der näheren Körperumgebung die tatsächliche Strömung
der Potentialströmung sehr nahe kommt. Nur in unmittelbarer Nähe und nach dem Körper
sind Abweichungen feststellbar. Somit sind zur Ermittlung der Querkräfte die Gegebenheiten
der Potentialströmung um den Körper zu verwenden, zur Bestimmung der Widerstandskräfte
sind die veränderten Verhältnisse in unmittelbarer Körpernähe bedeutsam.
Von technischen Fluiden weiß man, dass sie neben Druckspannungen (Drücken) auch Schubspannungen übertragen. Diese Schubspannungen (Newtonsche Flüssigkeiten) hängen vom
dc
Geschwindigkeitsgradient ⎛⎜ x ⎞⎟ und der Fluidzähigkeit η ab. Wenn auch die Schubspandz ⎠
⎝
nungen i. a. gegenüber den Druckspannungen sehr klein und oft unbedeutend sind, so kann
erst mit ihrer Hilfe (also reibungsbehaftete Strömung!) die Entwicklung der Widerstandskräfte in den wandnahen, reibungsbehafteten Schichten (Grenzschichten) des Körpers begründet
werden.
Es lassen sich also zwei Bereiche an umströmten Körpern bei tatsächlichen, reibungsbehafteten Strömungen nennen:
1.
Außenströmungen; d.h. hier liegt eine (quasi) „Potentialströmung“ vor, es sind hier
dc
keine Schubspannungen wirksam ⎛⎜ x = 0 ⎞⎟
dz
⎠
⎝
2.
Grenzschichtbereich und evtl. Verwirbelungsgebiet (bei abgelöster Grenzschicht).
Aufgrund der Haftbedingung tatsächlicher Fluide steigt innerhalb der Grenzschicht die
Geschwindigkeit vom Wert Null an der Wand auf den Wert der Außenströmung an:
c∞
bei längsangeströmten Platten
c a (x ) bei längsangeströmten Profilen
Aus Messungen und Theorie weiß man, dass diese Grenzschichten sehr dünn sind, d.h. die
Grenzschichtdicke δ << und somit der Geschwindigkeitsgradient dcx/dz >>. Die gebräuchlichste Definition der Grenzschichtdicke δ ist so festgelegt, dass aufgrund des fließenden
Übergangs von Grenzschicht zur Außenströmung bei 99 % der Geschwindigkeit c ∞ bzw. c a
erreicht sein müssen; also liegt δ bei c = 0,99 * c ∞ vor.
130
Abb. 51 Grenzschichtentwicklung an einer ebener Platte und einem keilförmigen Profil
131
Abb. 52 Geschwindigkeitsverteilungen in der laminaren und turbulenten Grenzschicht
Weitere Definitionen:
Verdrängungsdicke δ1 ,
Impulsverlustdicke δ 2 .
Geschwindigkeitsverteilungen in der Plattengrenzschicht:
Laminare Strömung in der Grenzschicht
Lineare Verteilung:
c( z ) z
= ;
c∞
δ
Parabelförmige Verteilung:
c( z )
⎛δ − z⎞
=1− ⎜
⎟ ;
c∞
⎝ δ ⎠
0 ≤ z ≤ δ
2
0 ≤ z ≤ δ
Turbulente Strömung in der Grenzschicht
Potenzgesetz:
c( z )
z
= ( )m ;
c∞
δ
z.B. m =
Logarithmisches Gesetz:
0 ≤ z ≤ δ
1
⇒ 1/7 – Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung
7
nach Blasius
⎛ z ∗ v∗ ⎞
c( z )
⎜⎜
⎟⎟ + 5,56
=
∗
5
,
85
ln
v∗
⎝ ν ⎠
v∗ =
τW
ρ
Schubspannungsgeschwindigkeit
132
Feststellungen zu Grenzschichtströmungen
1. Wie bei der Rohrströmung können sich
laminare und
turbulente
Grenzschichten ausbilden. Im Fall der turbulenten Grenzschicht ist immer eine sehr dünne,
laminare (viskose) Unterschicht (viscous sublayer) an der Wand vorhanden, auf der sich
dann die turbulente Grenzschicht aufbaut.
2. Die turbulente Grenzschicht ist vergleichsweise immer dicker als die laminare
Grenzschicht.
3. Der Geschwindigkeitsgradient der turbulenten Grenzschicht ist wie bei der Rohrströmung
steiler als derjenige der laminaren Grenzschicht:
(dcx/dz)t > (dcx/dz)l
Demzufolge wird wegen
τ = (η + At) * (dcx/dz)
die Schubspannung τ und somit auch der Widerstand ( ∼ Verluste) aufgrund des größeren
Geschwindigkeitsgradienten (dcx/dz) und der zusätzlichen Impulsaustauschgröße At immer
größere Werte annehmen als im laminaren Fall.
4. Eine laminare Grenzschicht kann ab einer bestimmten Strecke xKr. (Lauflänge) in die turbulente Grenzschicht übergehen (umschlagen : Umschlagpunkt U).
Bei scharfkantigen Profilnasen liegt der Umschlagpunkt weiter stromabwärts. Bei stumpfen, rechteckigen Profilen ist die Grenzschicht meist von vornherein turbulent. Als Maß
zur Ermittlung von xKr. benutzt man die Reynoldszahl ReKr wie folgt
Re Kr. =
c ∞ ∗ x Kr.
= 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5 ÷ ( 3 ∗ 10 6 )
ν
x Kr . = ( 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5 ) ∗
Laminare Grenzschicht:
Re =
c∞ ∗ x
< (3÷5) ∗ 10 5
ν
Re =
c∞ ∗ x
> (3÷5) ∗ 105
ν
Turbulente Grenzschicht:
ν
c∞
133
5. An einer bestimmten Stelle x des Profils wird mit zunehmender Geschwindigkeit c∞ die
Grenzschichtdicke δ kleiner (bei gleichem Fluid).
6. Über dem Weg x wird (bei gleichem c∞ und gleichem Fluid ) die Grenzschichtdicke δ anwachsen.
7. Die Ausbildung und Form der Grenzschicht (lam., turb., Umschlagpunkt, Ablösungspunkt)
hängt in starkem Maß von der Druckverteilung in der Außenströmung und somit auch in
der Grenzschicht ab. Bei längsangeströmten Platten ist der Druck p(x) = p∞ konstant.
5.2.7.1 Grenzschichten an längsangeströmten Platten sowie mäßig gewölbten,
ablösungsfrei umströmten Oberflächen.
Ohne auf die Herleitungen wegen des Aufwandes eingehen zu können, seien hier einige Gleichungen über Grenzschichtgrößen der längsangeströmten ebenen Platte sowie der mäßig gewölbten, ablösungsfrei umströmten Oberflächen genannt:
1. Umschlag von der laminaren zur turbulenten Grenzschicht:
Re Kr. =
Hieraus folgt:
c ∞ ∗ x Kr.
= 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5
ν
x Kr . = ( 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5 ) ∗
ν
c∞
2. Laminare Grenzschichtdicke, wenn
Re =
erfüllt ist:
c∞ ∗ x L
≤ Re Kr. = 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5
ν
δL = 5 ∗
xL
⎛ c ∞ ∗ x L. ⎞
⎜
⎟
⎝ ν ⎠
1
2
∼ x 0L,5
3. Turbulente Grenzschichtdicke, wenn
Re =
c∞ ∗ xT
≥ Re Kr. = 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5
ν
134
erfüllt ist :
δ T = 0,37 ∗
xT
⎛ c ∞ ∗ x T. ⎞
⎜
⎟
⎝ ν ⎠
1
5
∼ x 0T,8 : glatteWände
Die Grenzschichtdicke wächst demnach im turbulenten Fall nahezu linear mit x 0T, 8 , dagegen
im laminaren Fall mit x 0L, 5 an, wenn c ∞ und ν konstant bleiben.
Beispiel:
Gegeben:
Grenzschichtdickenberechnung an einer ebener Platte
c∞ = 20 m / s ;
Fluid:
Luft mit ν = 15 *10 −6 m
ϑ = 20°C
Gesucht:
2
s
1. δ L bei x L = x Kr
2. δ T bei x T = 300mm
x Kr aus Re Kr =
x Kr * c ∞
≈ (3 ÷ 5) *10 5 ≈ 400000
ν
x Kr = 400000 *
ν
1
= 400000 *15 *10 −6 *
20
c∞
x L = x Kr = 0,3m = 300mm
1. δ L
δL = 5*
xL
xL
= 5*
Re L
c∞ * x L
δL = 2,37 mm
= 5*
ν
0,3
20 * 0,3
15 *10 −6
bei
135
2. δ T
xT
xT
0,3
= 0,37 *
= 0,37 *
0, 2
0, 2
0, 2
(Re T )
⎛ 20 * 0,3 ⎞
⎛ c∞ * x T ⎞
⎜
⎜
⎟
−6 ⎟
⎝ 15 *10 ⎠
⎝ ν ⎠
δ T = 8,4mm
δ T = 0,37 *
5.2.7.2. Plattenreibungsbeiwert cF(x) und Widerstandsbeiwert cW
Mit Hilfe des Impulssatzes, der Wandschubspannung τW(x) an der Plattenoberfläche, dem
Schubspannungsansatz für „Newtonsche Fluide“ τ = η * (δcx(x,z)/ δz), der Strömungsart
in der Grenzschicht (laminar, turbulent), der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der
Grenzschicht cx (x,z) und der Grenzschichtdicke δL bzw. δT lassen sich
der Plattenreibungsbeiwert cF(x) und
der Widerstandsbeiwert cW
einer längsangeströmten Platte wie folgt herleiten. Der Plattenreibungsbeiwert muss als örtlicher und damit von x abhängiger Wert verstanden werden, da aufgrund der Definition
c F ( x) =
τ W ( x)
ρ
∗ c ∞2
2
die vom Weg x abhängige Schubspannung
τ W (x L ) = 0,664 ∗
ρ
ν
∗ c ∞2 ∗
2
c∞ ∗ xL
dies so vorgibt (hier bei laminarer Grenzschicht an der Stelle xL).
Bei der Bestimmung der Widerstandskraft FW an der Oberfläche einer Plattenseite wird die
Schubspannung τW(x) über der Plattenlänge von x = 0 bis x = l integriert. Hieraus definiert
man den Widerstandsbeiwert
cW =
FW
ρ
A ∗ ∗ c ∞2
2
mit A = b ∗ l .
Im Einzelnen lauten die Plattenreibungsbeiwerte cF(x) und Widerstandsbeiwerte cW wie
folgt:
136
1. Laminare Grenzschicht
Plattenreibungsbeiwert:
0,664
c F (x L ) =
Re L (x L )
=
0,664
c∞ ∗ xL
ν
xL = beliebige Lauflänge in der lam. Grenzschicht
Widerstandsbeiwert:
cW =
1, 328
Re l
1, 328
=
c∞ ∗ l
ν
l = Plattenlänge mit nur lam. Grenzschicht
wobei
Re l =
c∞ ∗ l
≤ 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5 .
ν
2. Turbulente Grenzschicht, glatte Oberfläche
Voraussetzungen:
Von Beginn an turbulent; glatte Oberfläche
Grundlage:
1/7 - tel Gesetz der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung.
Plattenreibungsbeiwert:
c F (x T ) =
0,058
(Re T )
1
5
0,058
=
1
⎛ c∞ ∗ xT ⎞ 5
⎜
⎟
⎝
ν ⎠
xT = beliebige Lauflänge in der turb. Grenzschicht
Widerstandbeiwert:
cW =
0,074
(Re l )
1
5
=
0,074
1
⎛ c ∞ ∗l ⎞ 5
⎜
⎟
⎝ ν ⎠
Da dem o.g. cW-Wert das „Blasiussche 1/7 - tel Gesetz“ der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung zugrunde liegt, das aber nur in einem relativ engen Re-Bereich gültig ist, hat Schlichting ein allgemeingültigeres Gesetz zur Ermittlung von cW bei turbulenter Grenzschicht entwickelt.
137
cW =
Widerstandsbeiwert:
0,455
[log Re ]
2 , 58
l
=
0,455
⎡ ⎛ c∞ ∗ l⎞ ⎤
⎟⎥
⎢ log ⎜⎝
ν ⎠⎦
⎣
2 , 58
l = Plattenlänge mit nur turb. Grenzschicht
wobei:
Re l =
c∞ ∗ l
≥ 3 ∗ 10 5 ÷ 5 ∗ 10 5 .
ν
3. Turbulente Grenzschicht, vollkommen raue Oberfläche
Voraussetzungen:
Von Beginn an turbulent; vollkommen raue Oberfläche.
cW
Widerstandsbeiwert:
⎡
⎛ k ⎞⎤
= ⎢1,89 − 1,62 ∗ log ⎜ s ⎟ ⎥
⎝ l ⎠⎦
⎣
−2 , 5
für
⎛k ⎞
10 −6 ≤ ⎜ s ⎟ ≤ 10 −2
⎝ l ⎠
4. Turbulente Grenzschicht mit laminarer Anlaufstrecke
Nach Prandtl:
c W = c Wvollturbulent −
A
Re l
wobei
ReKr.
3 * 105
5 * 105
1 * 106
3 * 106
A
1050
1700
3300
8700
Die Gesetzmäßigkeiten der Plattenwiderstandsbeiwerte in Abhängigkeit von der Re-Zahl und
der bezogenen Rauhigkeit k/l sind in Abb. 53 zu erkennen.
138
Abb. 53 Widerstandsbeiwert längs angeströmter Platten
139
5.2.7.3. Grenzschichtströmung mit Ablösung
Bisher wurde die Plattenströmung ohne Ablösung betrachtet. Da hier c a (x ) = c ∞ = const., ist
somit auch in der „Außenströmung“ der Druck p a (x ) = p ∞ = const.. Dieser Druck prägt sich
auch der Grenzschicht auf. Über der Lauflänge (Koordinate x) bildet sich eine laminare, eine
turbulente oder eine laminare und turbulente Grenzschicht auf, die mit x ansteigt.
Liegt dagegen z.B. ein stark gekrümmtes Profil (Zylinder, Kugel oder ähnliches) vor, so wird
die Geschwindigkeit c a (x ) der „Außenströmung“ verändert. Dies hat gemäß Bernoullischer
Energiegleichung für die Stromfäden einen entsprechend veränderten Druck zur Folge. Dieser
veränderte Druck liegt in gleicher Weise (in veränderter Form) auch in der Grenzschicht vor.
Prinzipieller Ablösungsvorgang an stark gekrümmten Oberflächen:
Der prinzipielle Ablösungsvorgang lässt sich gemäß Abb. 54 wie folgt beschreiben:
1. Ab dem Staupunkt wird Fluid an der gekrümmten Profilkontur beschleunigt, d.h. vom
Wert 0 auf ca(x) > c∞ vergrößert (Stromlinienverdichtung d.h. Geschwindigkeitsanstieg).
Dies hat gemäß Bernoullischer Energiegleichung einen entsprechenden Druckabfall dpa(x)
< 0 zur Folge. Die Geschwindigkeit in der Grenzschicht c(x;z) < ca(x) wird ebenfalls beschleunigt. In diesem Gebiet
abfallenden Drucks
sind
keine Grenzschichtablösungen
festzustellen.
Abb. 54 Druck- und Geschwindigkeitsverlauf an einem umströmten Profil mit Strömungsablösung
140
2. Ab dem Scheitel wird das Fluid wieder verzögert (Stromlinienerweiterung d.h. Geschwindigkeitsabnahme). Es folgt somit ein Druckanstieg dpa(x) > 0. Die Verzögerung der Außenströmung mit entsprechender Druckerhöhung bewirkt, dass letztere auch der Grenzschicht ( mit kleinerem Geschwindigkeitsenergieinhalt c(x;z)²/2 < ca(x)²/2 ) aufgeprägt
wird. Dies hat zur Folge, dass die Druckenergiezunahme der Außenströmung (mit: p(x;z) =
pa(x) ) in der Grenzschicht die dort vorhandene Geschwindigkeitsenergie c(x;z)²/2 <
ca(x)²/2 eher aufzehrt als in der „Außenströmung“ mit ca(x)²/2. Im Punkt „A“ kommt die
Geschwindigkeit in der Grenzschicht zur Ruhe, d.h. es wird
(δc(x;z)/ δz)W = 0
3. Stromabwärts erfolgt bei weiterem Druckanstieg „Rückströmung“ in der Grenzschicht,
d.h. zwischen Profil und Außenströmung bilden sich Wirbelgebiete mit aufrollenden Wirbeln aus, die von der Außenströmung weggeschwemmt werden. Da die Außenströmung
bei Ablösung nicht mehr dem Profil (wie bei reibungsfreier Strömung) folgen kann, wird
auch nicht mehr der volle Druckanstieg der reibungslosen Strömung erreicht. Somit liegt
am Profil ein „Druckwiderstand“ vor, welcher aufgrund der Ablösung reibungsbehafteter
Fluide zu erklären ist.
4. Der Widerstand FW eines von reibungsbehaftetem Fluid umströmten Körpers setzt sich
wie folgt zusammen:
- Schubspannungswiderstand (aufgrund von Reibung in Grenzschicht)
FWR
- Druckspannungswiderstand (aufgrund von Ablösung)
FWD
FW = FWR + FWD
Hinweis:
- Der Schubspannungswiderstand wird auch häufig mit Flächenwiderstand, Oberflächenwiderstand, Reibungswiderstand;
- der Druckspannungswiderstand auch mit Formwiderstand benannt.
5.2.8. Umströmung von Körpern und Profilen
Bei der Überströmung von Platten bzw. nur schwach gekrümmten Konturen kommt es, wie
erwähnt, in der sich ausbildenden Grenzschicht δ(x) zu einem Schubspannungswiderstand
FWR (τ = η*(dcx/dz). Die Grenzschicht bildet sich (ohne Ablösung) bei (nahezu) konstantem
Druck und gleicher Außengeschwindigkeit c∞ aus. Aufgrund der Stromlinienverdrängung
(Verdrängungsdicke δ1) wird die Druckverteilung p(x) hierdurch geringfügig verändert (an
ebener Platte !!), was zu einem (reibungsbedingten) Druckwiderstand FWD führt. Dieser ist
aber im genannten Fall der ebenen Platte von untergeordneter Bedeutung: FWD <<. Bei stärker gekrümmten Körpern, wie zum Beispiel
Zylinder
Kugel
Tragflügel, usw.
141
wird durch die Stromlinienverdichtung (bzw. Stromlinienerweiterung) der Druck in der Außenströmung (gemäß Bernoulli) verkleinert bzw. vergrößert. Diese Druckreduzierung bzw. –
erhöhung der Außenströmung ist in gleicher Weise in Schnitten x auch in der Grenzschicht
vorhanden: p a (x ) = p(x, z ) . Im Fall des Druckanstiegs bei Geschwindigkeitsverzögerungen in
der Außenströmung kommt es, wie schon erwähnt, in der Grenzschicht aufgrund der dort
kleineren Geschwindigkeiten sehr bald zur Strömungsablösung. Hierbei sind die turbulenten
Grenzschichten (völligeres Profil) weniger anfällig als die laminaren Grenzschichten (Es ist
jedoch in diesem Zusammenhang nicht der geringere Schubspannungswiderstand der laminaren Grenzschicht gegenüber dem einer turbulenten Grenzschicht gemeint).
Die Vorgänge, die zum Entstehen von abgelösten Grenzschichten führen, können als physikalisch geklärt angesehen werden. Mit der Grenzschichttheorie lassen sich bei ebener und drehsymetrischer Strömung die Stellen der Ablösung, d.h. der Zustand, wo Rückströmung in der
wandnahen Schicht beginnt, ermitteln. Ablösungserscheinungen an um- oder durchströmten
Körpern lassen sich dagegen noch nicht bestimmen.
Die Einflüsse von Strömungsablösung auf die Druckverteilungen von umströmten Körpern
können, da nicht theoretisch vorausbestimmbar, am einfachsten aufgrund von
Wasserversuchen
Luftversuchen
oder
festgestellt werden. Man erhält dann wegen der Schubspannungswirkung (in der Grenzschicht) und der Wirkung des Druckunterschieds durch die Strömungsablösung die gesamte
Widerstandskraft des Körpers:
Fw = Fw , R + Fw , D
Durch Messen des Gesamtwiderstandskraft Fw (Kraftmessung) und der Druckverteilung vor
und nach dem Körper (⇒ Fw , D ) kann man indirekt auf den Schubspannungsanteil Fw , R
schließen (Fw , R = Fw − Fw , D ) . Aufgrund von Versuchen hat man festgestellt:
Fw ~ A
(charakteristische Fläche)
Fw ~ ρ
Fw ~
c 2∞
2
Mit einem noch zu bestimmenden Proportionalitätsfaktor c w erhält man:
ρ
Fw = c w * A * * c 2∞
2
A
charakteristische Fläche (z.B. projizierte Fläche;
Grundrissfläche; Schattenfläche): Bezugsfläche für c w
ρ
Fluiddichte
c∞
Zuströmgeschwindigkeit
cw
Widerstandsbeiwert
142
Der Widerstandsbeiwert c w hängt von folgenden Größen ab:
c w = f(Profilform)
z.B. Zylinder, Kugel, etc.
c∞ * l
; wobei
ν∞
l = charakteristische Länge
ν ∞ = kinematische Zähigkeit des
Fluids im Zustrom
c
Ma = ∞ ; wobei
c w = f(Machzahl)
a∞
a ∞ = Schallgeschwindigkeit im Zustrom
c w = f(Anströmrichtung, außer Kugel und quer angeströmten
Zylinder)
c w = f(Reynoldszahl)
Re =
c w = f(Oberflächenbeschaffenheit)
Neben der Gesamtwiderstandskraft Fw an einem umströmten Körper kann es bei entsprechender
Profilform (Tragflügel, o.ä.)
aufgrund von Druckverteilungen an der Oberfläche noch zu einer Auftriebskraft FA
kommen. Aus FA und Fw setzt sich die an solchen Körpern wirksame Strömungskraft FR zusammen (Resultierende Strömungskraft). Dies wird im Kapitel 5.2.8.2. näher erläutert.
Im Weiteren sollen nur die
„Gesamtwiderstandskräfte Fw “
an plumpen, quasi auftriebsfreien Körpern betrachtet werden.
Die Gesamtwiderstandskraft Fw von umströmten Körpern (mit und ohne Auftrieb) lässt sich
gemäß Abb. 55 aus der Integration der Schubspannung τ (in der Grenzschicht) und des Druckes p über der Gesamtoberfläche wie folgt darstellen:
Fw , R = ∫ τ * cos ϕ * dO
O
Fw , D = ∫ p * sin ϕ * dO ;
O
Die Auswertung ist mit einer gemessenen p-Verteilung möglich. Bei verschiedenen Körpern
sind die beiden Anteile Fw , R und Fw , D an Fw wie folgt verteilt:
143
Abb. 55
Kräfte an umströmten Körpern
Körper
Fw , R
Fw , D
Tragfläche ( Re = 10 7 )
Flugzeug (gesamt)
Pkw
Längs angeströmte
Platte
Quer angeströmte Platte
Kugel, Zylinder
≈ 80 – 95 %
≈ 5 – 20 %
≈
≈
≈
50 %
10 %
100 %
≈
≈
≈
50 %
90 %
0%
≈
0%
≈
100 %
≈
10 %
≈
90 %
1.
Im Fall schlanker umströmter Körper (längs angeströmte Platte, Tragflügelprofile ohne Ablösung, etc.) sind ausnahmslos oder vorrangig die in der Grenzschicht wirksamen Schubspannungen für den Gesamtwiderstand verantwortlich. Hier sind wegen der
kleineren τ - Werte laminare Grenzschichten anzustreben.
2.
Beim Druckwiderstand der (abgelösten) Köperumströmung erweist sich die turbulente
Grenzschicht als günstiger, da der Ablösepunkt bei Druckanstieg weiter stromabwärts
verlagert wird, und somit
-
ein größerer Druckanstieg ( ⇒ kleinerer Druckunterschied am Körper)
und eine verkleinerte Totraumzone
erzielt werden können, auch wenn der Schubspannungsanteil im nicht abgelösten Teil
der Grenzschicht vergrößerte Werte aufweist.
144
Der Schubspannungsanteil lässt sich (wenn hydraulisch glatt) nur durch Verhinderung des
Umschlags laminar → turbulent oder durch Verlagerung nach hinten konstruktiv beeinflussen.
Der Druckwiderstand bei (reibungsbehafteter) Körperumströmung kann durch konstruktive
Maßnahmen beeinflusst werden.
5.2.8.1 Kugel- und Zylinderumströmung
Kugelumströmung
⇒
räumliche Strömung (3 D-Strömung)
Zylinderumströmung
⇒
ebene Strömung
(2 D-Strömung)
Im Fall der Zylinder- beziehungsweise Kugelumströmung lassen sich die oben genannten
Feststellungen gegenüber geometrisch komplexeren Formen “relativ einfach” belegen.
In den Abb. 56 - 58 sind die qualitativen Druckverläufe eines umströmten Zylinders (o.a. Kugel) im Fall der
Potentialströmung (Abb. 56),
laminaren Grenzschicht (Abb. 57),
laminaren Anfangsschicht mit Umschlag zur turbulenten Grenzschicht (Abb. 58)
dargestellt.
1.
Bei „potentialtheoretischer Betrachtung“ entsteht am Zylinder keine resultierende
Kraft, da Reibungsfreiheit angenommen wird. (somit τ = 0 ) und des weiteren nach der
Stromlinienverdichtung bis ϕ = 90° eine anschließende Stromlinienerweiterung mit
dem vollkommenen Druckanstieg bis p ∞ stattfindet. Somit ist auch kein Druckwiderstand FW , D wirksam 1). Der entsprechende Geschwindigkeitsverlauf lässt sich als Lösung der „stationären Grenzschichtgleichung der ebenen, inkompressiblen Strömung“
[9] berechnen.
2.
Unter Zugrundelegung der reibungsbehafteten Strömung bildet sich ab dem „Staupunkt: 0° “ eine Grenzschicht an der Zylinderoberfläche aus, die bei Unterschreitung
einer kritischen Reynoldszahl
Re ∞ ≤ 1,8 * 10 5
Re ∞ =
1) d’Alembertsches Paradoxon
c∞ * D
ν∞
145
Abb. 56 Druckverteilung bei Potentialströmung um einen Zylinder.
146
Abb. 57 Druckverteilung an einen Zylinder bei reibungsbehafteter Strömung und laminarer
Grenzschicht.
147
Abb. 58 Druckverteilung an einen Zylinder bei reibungsbehafteter Strömung und turbulenter
Grenzschicht.
148
2
immer laminar ist. Da der Anteil der Geschwindigkeitsenergie c
in der laminaren Grenz2
schicht relativ klein ist, reichen schon geringe Druckerhöhungen in der Nähe des höchsten
Punktes (ϕ ≈ 80°) aus, um den Ablösungsvorgang der Strömung in der Nähe dieses Punktes
in Gang zu setzen. Nach der Ablösung findet keine weitere Druckerhöhung (wie dagegen bei
Potentialströmung) mehr statt. Der Druck bleibt ab dem Scheitel nahezu gleich bleibend niedrig. Der Druckwiderstand FW , D (∆p > ) ist im Vergleich zum Schubspannungswiderstand
FW , R , der sich vom Staupunkt bis zum Ablösungspunkt entwickelt, groß. Die sehr große
Totraumzone A Totraum verstärkt diesen Einfluss noch. Somit werden bei laminarer Grenzschicht große Widerstandsbeiwerte im Fall der Zylinderumströmung (u.ä. bei der Kugel) gemessen.
cW =
FW
ρ
A * * c 2∞
2
FW = FW , R + FW , D
FW , D ~ ∆p * A Totraum
A = D*L
Zwischen 10 3 ≤ Re
∞
≤ 1,8 * 10 5 liegt bei „laminarer Grenzschicht“ der c W -Wert
bei c W = 1,2 .
3.
Bei Vergrößerung der Reynoldszahl Re ∞ >> 2 * 10 5 findet ein Umschlag der laminaren Grenzschicht zur turbulenten Grenzschicht statt 0° < ϕ < 90° , d.h. die laminare
Schicht kann sich nur in einem begrenzten Bereich um den Staupunkt herum halten.
Da das turbulente Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht völliger ist als das lami2
nare, liegen entsprechend größere c -Werte im turbulenten Fall vor. Bei einem
2
Druckanstieg der Außenströmung (und somit auch in der Grenzschicht) nach dem
höchsten Punkt (Scheitel) wird die Geschwindigkeitsenergie in der turbulenten Grenzschicht stromabwärts erst später aufgezehrt sein. Dies bedeutet, dass der Ablösungspunkt ∂c = 0 entsprechend weiter nach hinten verlagert wird. Als Folge hiervon
∂z
sind zwei Veränderungen hervorzuheben:
(
)
Die „Totraumzone“ wird verkleinert, d.h. die Fläche A Totraum
(als Schattenfläche) verringert sich.
Der Druckanstieg nach dem Scheitel bis zum Ablösepunkt bewirkt eine kleinere Druckdifferenz ∆p am Zylinder.
Beide Veränderungen wirken sich unmittelbar auf die Größe des c W -Wertes bei turbulenter Grenzschicht aus. Wenn auch der Schubspannungsanteil
149
FW , R ⎛⎜ τ = (η + A t ) * ∂c x ⎞⎟ anteilmäßig am Gesamtwiderstand FW größer wird, so
∂z ⎠
⎝
stellt man durch den erheblich verkleinerten Druckwiderstand FW , D (~ ∆p * A Tot ) deutlich kleinere Widerstandsbeiwerte ( c W ≈ 0,3 ) fest.
Der Umschlag von laminarer zur turbulenten Grenzschicht findet beim Zylinder im
Re -Bereich
2 * 10 5 < Re ∞ < 5 * 10 5
statt. Der Umschlag hängt unter anderem auch davon ab, wie die Struktur der Außenströmung (Vorturbulenzgrad) beschaffen ist. Im Fall turbulenzfreier Außenströmung
(z.B. Schleppversuche in ruhender Luft (d.h. c ∞ ≡ c Zyl ) findet der Umschlag bei größeren Re ∞ - Zahlen statt. Ist dagegen der Außenströmung eine Turbulenz (z.B. im
Windkanal) aufgeprägt, so wird der Umschlag schon bei kleineren Re ∞ - Zahlen festgestellt. Die Abhängigkeit des Umschlags laminarer zur turbulenten Grenzschicht von
der Turbulenz der Außenströmung (Vorturbulenzgrad) und der damit verbundenen
c W - Verkleinerung macht man sich durch „künstliche Erzeugung“ der turbulenten
Grenzschicht mittels
„Stolperdraht“
zunutze
Die Kugelumströmung (räumliches Problem) verläuft in den prinzipiellen Vorgängen ähnlich, wenn auch die c W - Werte andere Größen aufweisen.
Im Fall der schleichenden Kugelumströmung hat „Stokes“ eine Gesetzmäßigkeit des Widerstandsbeiwertes auf theoretischer Basis wie folgt hergeleitet:
cW =
24
Re ∞
Re ∞ =
c∞ * D
ν
Re ∞ < 1
Die Widerstandsbeiwerte für umströmte Zylinder und Kugeln in Abhängigkeit von der ReZahl sind Abb. 59 zu entnehmen.
150
Abb. 59
Widerstandsbeiwerte von umströmten Zylindern und Kugeln.
151
5.2.8.2. Tragflügelumströmung
Tragflügel (-flächen) sind umströmte, plattenähnliche Flächen, die verschiedene Konturen
aufweisen können:
Profile mit verschiedenen Krümmungen an Ober- und Unterseite, oder auch
nicht profilierte Flügel oder symmetrische Profile bei Neigung gegen Strömungsrichtung.
Bei der Umströmung oben genannter Tragflügel entstehen im Fall der
Potentialströmung; d.h. reibungsfreier, paralleler, drehungsfreier Strömung
keine Widerstandskräfte am Flügel, dagegen im Fall der
realen Strömung; d.h. reibungsbehafteter, drehungsbehafteter Strömung sowohl
Auftriebskräfte
FA (⊥ c ∞ )
Widerstandskräfte
FW ( c ∞ ) .
wie auch
Diese Kraftentstehung der realen Fluidströmung an den Tragflügeln (-flächen) macht man
sich in der technischen Anwendung auf verschiedene Weise zunutze:
Flugzeugtragflächen
Strömungsmaschinen wie z.B.
Axialturbinen
Axialverdichter
Windkraftanlagen
Propeller.
Wenn auch im Fall der Potentialströmung (ohne Reibung und Drehung der Fluidteilchen)
keine Widerstandskräfte wirksam werden, so kann man die Entstehung der Auftriebskraft
(Querkraft) als Ergebnis des Zusammenwirkens zweier (reibungs- und drehungsfreier)
verschiedenartiger Potentialströmungen
Parallelströmung
Zirkulationsströmung
erklären. Man muß natürlich wissen, daß die Zirkulationsströmung im realen Fall nur
aufgrund der Fluidreibung wirksam wird.
152
“Kutta” und “Joukowski” stellten getrennt voneinander fest, daß bei “reibungsfreier”
Parallelanströmung eines Profils (im Gitter oder auch einzeln angeordnet) eine Auftriebskraft
nur dann vorliegt, wenn gleichzeitig eine Zirkulation um den Flügel besteht:
FA = ρ * b * Γ * c ∞
Γ = t * (c1u − c 2 u )
Zirkulation
Eine einfache Darstellung dieses prinzipiellen Vorgangs läßt sich mit Hilfe des in einer
Parallelströmung befindlichen (Potentialströmung), um die Drehachse rotierenden Zylinders
(Zirkulationsströmung des Fluids, hervorgerufen durch Zylinderrotation und Fluidreibung
(Widerspruch zur Potentialströmung!!) vornehmen.
Abb. 60 Strömungsüberlagerung beim Magnuseffekt
153
Oberes Bild:
Zylinder bei Parallelanströmung.Da keine Reibung (Potentialströmung),
sind keine Grenzschichten vorhanden. Strömung löst nicht ab.
Stromlinien
somit
symmetrisch.
Daher
symmetrische
Geschwindigkeits- und Druckverteilung. Keine resultierenden Kräfte
vorhanden.
Mittleres Bild:
Zylinder mit Kreisströmung; z.B. Potentialwirbel d.h. reibungs- und
drehungsfreie Kreisströmung. Symmetrische Geschwindigkeits- und
Druckverteilung. Keine resultierenden Kräfte vorhanden.
Unteres Bild:
Überlagerung der parallelen Potentialströmung mit der kreisförmigen
Potentialströmung.
Vektorielle
Geschwindigkeitsaddition
auf
Zylinderoberseite führt zur Stromlinienverdichtung. Hier also große
Geschindigkeiten. Vektorielle Geschwindigkeitssubtraktion auf
Zylinderunterseite führt zur Stromlinienverdünnung (-aufweitung). Hier
also kleine Geschindigkeiten. Nach Bernoullischer Energiegleichung
beinhaltet dies höhere statische Drücke auf Unterseite und geringere
statische Drücke auf Oberseite. Dieser Druckunterschied über der
Fläche integriert führt zu der senkrecht zur Anströmrichtung wirksamen
Auftriebskraft FA (oder auch Querkraft). Somit läßt sich die Entstehung
der Auftriebskraft aus dem Zusammenwirken zweier reibungsfreier
Potentialströmungen erklären Magnus-Effekt (1850). Anwendungen
sind:
Flettner-Rotor
(Schiffsantrieb)
Geschnittene Bälle
(Tennis, Fußball)
Geschoßabweichungen von Kugeln (Magnus: 1852)
Mit der Entstehung einer Auftriebskraft aus der Überlagerung zweier reibungsfreier
Potentialströmungen kann aber nicht die tatsächlich vorhandene Widerstandskraft
(reibungsbedingt und formbedingt) erklärt werden:
“Eulersches Paradoxon”
Fehlt auch die kreisförmige Potentialströmung (Zirkulation) am Zylinder bei reibungsfreier
Parallelanströmung, so wirken, entgegen der Erfahrung, keinerlei Kräfte am Zylinder:
“d’Alembertsches Paradoxon”
Die zusammengesetzte Strömung ist im untersten Bild gut erkennbar.
Die Feststellung über Auftriebskraftentstehung an einem Zylinder (oder auch Kugel) aus
Strömungsüberlagerungen von Potentialströmungen
Parallele Potentialströmung (c ∞ )
Kreisförmige Potentialströmung (Potentialwirbel)
154
lassen sich prinzipiell auch auf die Auftriebskraft an einem Tragflügel
Abb. 61 Strömungsüberlagerung am umströmten Tragflügel
übertragen (siehe hierzu die oben dargestellten Skizzen). Die Strömung in weiterer
Umgebung des Flügels kann als Parallelströmung (ohne Reibung) betrachtet werden (bei
155
angeströmtem Flügel), natürlich auch, wenn der Flügel in quasi ruhender Luft bewegt wird
(Flugzeug). Die zur Erzeugung der Auftriebskraft zusätzlich erforderliche
Zirkulationsströmung
wird vom Tragflügel beim Startvorgang selbst erzeugt (Anfahrwirbel) und bleibt danach
erhalten. Hierzu ist, neben einer Abrundung der Flügelnase, eine möglichst
“scharfe Hinterkante”
erforderlich. Desweiteren muß bei einem “symmetrischen Profil” eine
“Anstellung gegen die Strömung”
(Anstellwinkel δ )
oder ein “asymetrisches Profil” in Strömungsrichtung oder auch mit Anstellung vorliegen.
Die Entstehung der Auftriebskraft FA am Targflügel läßt sich [1], [5], [6] wie folgt darstellen
. Siehe hierzu die vorangegangenen und nachstehenden Abb.
1)
-
Flügel werde von paralleler Potentialströmung angeströmt. Die hier vorausgesetzte Reibungs- und Drehungsfreiheit hat zur Folge, dass auch am Flügel keine Grenzschichten entstehen, dass die Stromlinien auf Ober- und Unterseite sich weder verdichten noch verdünnen, d.h. die Geschwindigkeiten und somit auch die Drücke bleiben gleich. Dies bewirkt,
dass weder Auftriebs- noch Reibungskräfte entstehen können. Der hintere Staupunkt liegt
auf der Oberseite, d.h. die Hinterkante wird umströmt. In der Fotografie ist die Potentialströmung sehr gut erkennbar. In der ersten, sehr kurzen Anfahrphase (t << ) ist noch keine
Grenzschicht (genauer: superdünn!!) entwickelt: Potentialströmung! Auch die Hinterkantenumströmung ist deutlich ausgeprägt.
-
Die Zirkulationsströmung wird in Realität vom Profil selbst erzeugt. Dies hat seine
Ursache in der Entwicklung der Grenzschicht (insbesondere auf Flügelunterseite) bei der
tatsächlichen reibungsbehafteten Fluidströmung um den Flügel. Bei der
Hinterkantenumströmung und Verzögerung der Geschwindigkeit c ∞ auf den Wert Null im
hinteren Staupunkt S h der Potentialströmung äußert sich dies in einem großen
Druckanstieg von der Hinterkante bis S h . Die in der Grenzschicht der Unterseite erheblich
kleinere Geschwindigkeit kann diesem Druckanstieg nicht folgen; die Strömung löst ab
Hinterkante ab und wickelt sich zu einem Einzelwirbel, dem Anfahrwirbel, auf. Da Wirbel
nur als entgegengesetzt gerichtete Doppelwirbel (Thomsonscher Zikulationssatz)
existieren, muß also ein dem Anfahrwirbel entgegengesetzt gerichteter Wirbel am
Tragflügel sich ausbilden, der als Zirkulation um den Flügel vorliegt. Die Größe dieser
Zirkulation stellt sich so ein, daß an der Hinterkante auf Ober- und Unterseite gleiche
Geschwindigkeiten vorliegen (Kutta-Joukowskische Abströmbedingung).
- Aus der Überlagerung der Parallelströmung und der Zirkulationsströmung (des mit dem
Anfahrwirbel am Flügel erzeugten, gebundenen Wirbels) entsteht durch Addition bzw.
Subtraktion der Geschwindigkeitsvektoren das Stromlinienbild am Flügel. Auf der
Flügeloberseite findet eine Vektoraddition
1)
Die folgenden Betrachtungen und Ergebnisse sind nur für die “gesunde”, d.h. anliegende, nicht
abgelöste Strömung gültig
156
(Stromlinienverdichtung ⇒ Geschwindigkeitsvergrößerung) statt, auf der
Unterseite eine Subtraktion der Vektoren (Stromlinienverdünnung ⇒
Geschwindigkeitsverkleinerung). Dies hat nach Bernoullischer
Energiegleichung einen entsprechenden Einfluss auf
Abb. 62 Strömungsbilder bei der Entstehung des Anfahrwirbels
die Druckverteilungen . Auf der Flügeloberseite entsteht ein stark
verkleinerter Druckverlauf (Absolutdrücke), auf der Unterseite eine
Druckvergrößerung. Aus der Fläche zwischen den Kurven ermittelt sich die
Auftriebskraft.
FA = ∫ ∆p * dA
157
Die Entstehung der Auftriebskraft FA lässt sich somit auch am Tragflügel aus Überlagerung
von
Parallelströmung
(Potentialströmung)
Zirkulationsströmung (Potentialströmung)
(Gebundener Wirbel)
Abb. 63 Fotografische Aufnahmen zur Entstehung des Anfahrwirbels
herleiten und berechnen. Sie steht ⊥ zur Anströmrichtung c ∞ (nach Kutta-Joukowski). Die
theoretischen Berechnungsmöglichkeiten von FA sollen hier nicht erörtert werden. Im Weiteren soll die experimentelle Ermittlung von
Auftriebskräften
FA
Widerstandskräften
FW
und
158
an realen Tragflügelprofilen bei der Strömung reibungsbehafteter, inkompressibler Fluide im
Vordergrund stehen. Die Untersuchungen werden an so genannten Windkanälen
Abb. 64 Strömungsbilder und Druckverteilungen am umströmten Tragflügel
Abb. 65 Fotografische Aufnahme einer günstigen Tragflügelumströmung
159
durchgeführt. Die Kräfte, die beim Umströmen eines Profils (Annahme: unendlich lang) entstehen, sind in folgender Abbildung dargestellt:
Abb. 66 Kräfte und wichtige Größen am umströmten Tragflügel
FA
Auftriebskraft senkrecht c ∞
FW
Widerstandskraft parallel c ∞
FR
Resultierende Kraft oder Profilkraft
Fn
Normalenkomponente von FR , senkrecht zur Bezugslinie
Ft
Tangentialkomponente von FR , parallel zur Bezugslinie
FR = FA2 + FW2
Die Anwendung der Kräfte an Tragflügeln ist vielfältig. Allen Anwendungen gemeinsam ist
jedoch, dass
FA
möglichst groß
FW
möglichst klein
sein sollen. Dies leuchtet an Hand der beiden Flugzeuge gemäß Abb. 67 leicht ein.
160
Abb. 67 Kräfte beim Gleit- und Motorflug
Gleitflug
Erwünscht ist möglichst lange Gleitstrecke L, d.h.
tan γ = H
tan γ =
L
FW
⇒ L=
FA
H
tan γ
⇒ γ <<
FR = FG
Motorflug
Erwünscht ist eine möglichst kleine Motorleistung , d.h. mit
P ~ FSch <<
Gesamtgewichtskraft ist in diesem Fall gleich Auftriebskraft FA
FW = FSch
( Gleitwinkel)
⇒ FW = FA * tan γ ⇒ FW <<
Die Gewichtskraft FG ist in diesem Fall gleich der Profilkraft FR
FA = FG ;
γ
161
FA sollte also möglichst groß sein, FW dagegen möglichst klein. Bei der Anwendung von Profilen in Turbinenlaufrädern sollte auch aus Verlustgründen FW immer kleine Werte ausweiF
wird häufig auch mit Gleitzahl
sen. Das Verhältnis W
FA
ε = tan γ =
FW
FA
benannt. Auch die Gleitzahl sollte möglichst klein ausfallen. Sie ist somit eine „Güteziffer“.
Die Gleitzahl wird über die beiden zugrunde liegenden Kräfte von folgenden Größen beeinflusst.
ε = f(Profilform, Dickenverteilung)
ε = f(Anstellwinkel: δ )
ε = f(Reynoldszahl: Re =
ε = f(Machzahl: Ma =
ε = f(Rauhigkeit:
Kleinstwerte von ε wurden erreicht mit:
ks
L
c∞ * L
)
ν
c∞
)
a
)
ε min = 0,015
Um eine einheitliche Sprachregelung bei Tragflügeln zu benutzen, hat man sich auf die in der
nachstehenden Abbildung eingetragenen Benennungen geeinigt.
Abb. 68
Benennungen und Größen eines Tragflügels
162
163
Aus verschiedenen Anwendungen sind mehrere Profilsystematiken entwickelt worden. Zwei
der wichtigsten sind die Göttinger – Profilsystematik
(G-Profile) und die NACA – Profilsystematik (NACA-Profile :National – Advisory – Commitee for Aeronautics).
Aufgrund von experimentellen Untersuchungen hat man folgende Zusammenhänge zwischen den gemessenen Kräften FA , FW sowie dem Moment M und verschiedenen Haupteinflüssen festgestellt:
Auftriebskraft FA :
FA ~ ρ1∞
FA ~ A 1F
Bei sonst gleich großen anderen Größen
FA ~ c 2∞
Widerstandskraft FW :
FW ~ ρ1∞
FW ~ A 1F
Bei sonst gleich großen anderen Größen
FW ~ c 2∞
Hieraus lässt sich mit „Totalem Differential“ und Integration bestimmen:
c 2∞
FA = k 1 * ρ ∞ * A Fl *
2
FW = k 2 * ρ ∞ * A F *
c 2∞
2
Ersetzt man k 1 und k 2 mit den bekannteren Proportionalitätsfaktoren
k 1 ≡ c A = Auftriebsbeiwert
k 2 ≡ c W = Widerstandsbeiwert
so erhält man
FA = c A * A Fl *
ρ∞
* c 2∞
2
FW = c W * A Fl *
ρ∞
* c 2∞
2
164
Hierin ist:
A Fl = ∫ L(b ) * db
L(b ) : Flügellänge, Flügeltiefe
b : Flügelbreite bei
Rechteckflügel
A Fl = L * b
Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte als dimensionslose Kennzahlen sind keine Konstanten. Sie hängen ab von:
Profil
c A , c W = f(Profil: Systematik und Dickenverteilung)
Anstellwinkel δ
c A , c W = f( δ )
Reynoldszahl Re
c A , c W = f( Re )
Rauhigkeit:
c A , c W = f(
ks
L
)
Unter Verwendung der schon erwähnten Gleitzahl ε
ε=
FW
FA
= tan γ
kann man auch formulieren:
⎛c ⎞
ε = tan γ = ⎜⎜ W ⎟⎟ .
⎝ cA ⎠
(Abhängigkeiten s.o.)
Die experimentelle Ermittlung des Tragflügelverhaltens (cA; cW) wird wie folgt festgestellt.
cA =
cW =
FA
ρ∞
* A Fl * c 2∞
2
FW
ρ∞
* A Fl * c 2∞
2
Bekannt dabei sind nachstehende Größen
ρ∞
ν∞
A Fl ; L ; k s ;
c∞
Dichte
Zähigkeit
Profilform; Tragflügel
Anströmgeschwindigkeit.
165
Veränderliche Größe ist der
δ
Anstellwinkel.
Beeinflusst und gemessen werden bei den verschiedenen Anstellwinkeln δ die
Auftriebskraft
FA
(senkrecht c ∞ -Richtung)
Widerstandskraft
FW
( parallel c ∞ -Richtung)
Die Kräfte werden heute mit Mehrkomponentenwaagen gemessen. Aufgrund dieser vorliegenden Größen lässt sich das Tragflügelverhalten unter Verwendung von zwei Darstellungsvarianten auswerten.
Abb. 69 Aufgelöstes Polardiagramm
Variante 1
Variante 1 ist das „aufgelöste Polardiagramm“, in welchem bei den konstanten Größen
Re ∞ , Profil-Nr., Rauhigkeit, Ma die Zusammenhänge
c A = f (δ ) , c W = f (δ ) , ε = f (δ ) und c M = f (δ )
166
als Kurvenverläufe (Abb. 69) aufgetragen sind.
Besonderheiten im Diagramm:
c A ,max : Maximal erreichbarer Auftriebsbeiwert bei zugeordnetem Anstellwinkel. Bei weiterer
Vergrößerung von δ reißt die im allgemeinen turbulente Grenzschicht und damit die
Strömung weit vorn am Flügel ab. Dies beeinflußt die Druckverteilung an der
Oberseite 1) sehr negativ, d.h. es werden nicht mehr die kleinen Drücke wie bei der
anliegenden Strömung erreicht. Folglich ist der Druckunterschied zwischen Ober- und
Unterseite erheblich kleiner, was sich in einer drastischen FA - und somit c A Reduzierung äußert: Gefährlicher Flugzustand, d.h. Überziehen des Flugzeugs.
c A , min :
dto.
nur auf Unterseite. Hat im allgemeinen nicht die Bedeutung wie c A ,max
c
ε min : Nach ε = tan γ = ⎛⎜ W ⎞⎟ ergibt sich mit ε min = tan γ opt die kleinstmögliche Gleitzahl.
⎝ cA ⎠
Diese sollte bei Flugzeugen dem Reiseflug zugeordnet werden.
δ0 :
sogenannter Nullauftriebswinkel. Unter diesem Anstellwinkel sind die
Druckverteilungen auf Ober- und Unterseite so beschaffen, dass keine resultierende
Druckdifferenz vorliegt und somit FA = 0 wird.
Variante 2
Diese Darstellung der Versuchsergebnisse eines Tragflügels wird “Polardiagramm” oder
“Polare” nach Lilienthal benannt. In diesem Diagramm (Abb. 70) werden die
Zusammenhänge
c A = f (c W )
c A = f (c M )
(hier nicht besprochen)
mit dem Anstellwinkel δ als gekennzeichnete Kurvenpunkte. Man erhält diese
Kurvendarstellung aus senkrechten Schnitten des “aufgelösten Polardiagramms”. Auch in
diesem Diagramm sind die besonderen Kurvenpunkte: c A ,max , c A ,min , δ 0 deutlich erkennbar.
Wenn im “aufgelösten Polardiagramm” die günstigste Gleitzahl im Berührpunkt der
horizontalen Tangente an den Verlauf ε = f (δ ) zu finden ist, so gewinnt man im
“Polardiagramm” diesen Wert mittels Tangente vom Ursprung an die Polare. Bei gleichem
Maßstab für c A und c W erhält man so:
tan γ min = tan γ opt = ε min
1)
Das Verlagern des Ablösepunktes nach vorn hat wegen des vergrößerten Totwassergebiets ( FW , D >) und
Verwirbelungen einen deutlichen Anstieg von c W zur Folge ( FW = FW , R + FW , D ).
167
Abb. 70
Polardiagramm (nach Lilienthal)
Die Bedeutung dieses Wertes wurde auf an anderer Stelle erwähnt. Eine Auswahl
verschiedener Profilsystematiken mit verschiedenen Profilen sowie die zugeordneten
“Polaren” sind in den folgenden Abbildungen zu erkennen.
Abb. 71
Verschiedene Profilformen und Numerierungen
168
Abb. 72
Polaren verschiedener Profile
169
Die Einflüsse auf die Polaren durch
Reynoldszahl
Rauhigkeiten
Endliche Flügelbreite
Vorturbulenzen
Mach-Zahl
sollen hier, mit Ausnahme der Re-Zahl, im einzelnen nicht besprochen werden. Siehe hierzu
die einschlägige Literatur.
Bei kleinen Reynoldszahlen Re ∞ < Re kr ∞ = (1,5 ÷ 5) * 10 5 bilden sich laminare
Grenzschichten am Profil aus. Hier können keine allzu großen c A ,max -Werte erreicht werden,
weil bei laminarer Grenzschicht die Ablösung an der Profiloberseite schon bei relativ kleinen
Anstellwinkeln δ eintritt. Anwendungen bei Kleinwindkanälen, Modellflugzeugen,
Segelflugzeugen, zum Teil bei Strömungsmaschinen.
Bei großen Reynoldszahlen Re ∞ > Re kr ∞ = (1,5 ÷ 5) * 10 5 erfolgt der Umschlag von
laminarer in turbulente Grenzschicht (laminar: 20 ÷ 30% von L; turbulent 70 ÷ 80% von L).
Aufgrund der in der turbulenten Grenzschicht höheren Geschwindigkeitsenergie kann sie
einem größeren Druckanstieg auf der Oberseite standhalten, was sich in größeren c A ,max Werten bei höheren δ -Werten äußert. Anwendungen bei Flugzeugtragflächen und ähnlichen
Elementen.
Ablösungszustände am Flügel:
Strömung liegt überall an ( δ <)
Strömung löst weit hinten an Oberseite ab
Strömung löst vorne an Oberseite ab; abgerissene Strömung bei
überzogenem Anstellwinkel
Abgerissene Strömung tritt bei turbulenter Grenzschicht bei
größeren Anstellwinkeln auf
Turbulente Grenzschicht:
δ kr ≈ 15°
Laminare Grenzschicht:
δ kr ≈ 5 ÷ 10° Abriss
Abriss
170
5.2.8.3. Umströmung anderer technischer Körper
Ermittlung der Widerstandskräfte FW an Körpern, die im Allgemeinen aus einem Oberflächenwiderstand FW , R durch Reibungseinflüsse in der Grenzschicht und aus einem Formwiderstand FW , D aufgrund des Druckunterschieds durch Strömungsablösung (Totwassergebiet)
bestehen:
Widerstandskraft FW
FW = FW , R + FW , D
Je nach Körperform sind die zwei Anteile verschieden groß ausgebildet.
FW , R = ∫ τ * cos ϕ * dO
O
FW , D = ∫ p * sin ϕ * dO
O
FW , R = c W , R * ρ ∞ * A O *
ρ∞ , c ∞
c W,R
c 2∞
2
: bei ungestörter Strömung vor Körper
: reibungsbedingter Widerstandsbeiwert =
f( Re , k s )
AO
FW , D
Widerstandskraft FW :
: benetzte Körperoberfläche = Wirkfläche
c 2∞
= c W , D * ρ ∞ * A St *
2
ρ∞ , c ∞
c W,D
: bei ungestörter Strömung vor Körper
: Druck-, Formwiderstandsbeiwert = f(Form, Re )
A St
: Bezugsfläche
FW = FW , R + FW , D
FW = ρ ∞ * A St *
c 2∞
= ρ∞ *
* (c W , R * A O + c W , D * A St )
2
A ⎤
c ∞2 ⎡
* ⎢c W , D + c W , R * O ⎥
2 ⎣
A St ⎦
AO
A St
Mit
c W = c W,D + c W,R *
wird
FW = c W * ρ ∞ * A St *
c 2∞
.
2
171
Abb. 73 gibt Aufschluss über die c W -Werte und Bezugsflächen A St einiger wichtiger angeströmter technischer Körper.
Beispiele:
1.
Längsangeströmte Platte:
c W ,D = 0 ⇒ c W = c W ,R *
FW = c W ,R *
A0
c2
* A St * ρ ∞ * ∞
A St
2
FW = c W ,R * A 0 * ρ ∞ *
2.
c ∞2
;
2
A 0 - benetzte Oberfläche
Querangeströmte Platte:
c W ,R = 0 ⇒
c W = c W ,D
FW = c W ,D * A St * ρ ∞ *
3.
A0
A St
Beliebiger Körper:
c ∞2
;
2
⎛
A
c W = ⎜⎜ c W ,D + c W ,R * 0
A St
⎝
A St - Schattenfläche
⎞
⎟⎟
⎠
c W : aus gemessener Kraft FW bestimmt
FW = c W * A St * ρ ∞ *
4.
c ∞2
;
2
A St - Schattenfläche
Tragflügel:
c W : aus Polardiagramm
FW = c W * A Fl * ρ ∞ *
c ∞2
;
2
A Fl - projizierte Fläche auf Bezugslinie
172
Abb. 73
Widerstandsbeiwerte verschiedener umströmter Körper
173
5.2.8.4 Freier Fall mit Strömungswiderstand
Annahmen:
- Auftriebskräfte in der Luft vernachlässigt
- c W -Wert ist konstant
1. Ermittlung der Endgeschwindigkeit c ∞ .
Nach Erreichen der Endgeschwindigkeit c ∞ bleibt diese konstant. Dann gilt
↓ ∑ Fi = m * a = 0 ,
da
a = 0
FG = FW ;
FG = m * g
ρ
FW = c W * A Sch * * c ∞2
2
ρ
c W * A * * c ∞2 = m * g
2
c∞ =
2* m *g
ρ*c W * A
2. Ermittlung der Geschwindigkeit c(t) während der Beschleunigungsphase.
Von t = 0 bis t = t ∞ bei c = 0 bis c = c ∞ , also in der Beschleunigungsphase, gilt:
↓ ∑ Fi = m * a
dc
dt
dc
ρ
m * g − cW * A * * c2 = m *
2
dt
FG − FW = m * a ;
a=
174
⎡ A c
⎤
ρ
dc
= g * ⎢1 − * W * * c 2 ⎥
dt
⎣ m 2 g
⎦
=k
1
dc
dt = *
g 1 − k * c2
)
z2 = k * c2
z = k *c
(
Substitution:
⇒
dz = k * dc
Somit:
dt =
1 1
dz
*
*
2
g
k 1− z
(
)
Integration:
t
∫ dt = t =
0
z
dz
1
*∫
2
g * k 0 1− z
(
)
= arctanh z
Aus 1. folgt mit
Somit:
(
t=
1
* arctan h c * k
g* k
k=
ρ*cW * A 1
.
=
2 * m * g c ∞2
k=
t=
)
1
c∞
⎛ c( t ) ⎞
c∞
⎟⎟
*arctanh⎜⎜
g
⎝ c∞ ⎠
Zur Ermittlung der Geschwindigkeit c(t) muss wie folgt umgeformt werden:
c
c
≡x; ∞ ≡C.
g
c∞
Andere Benennungen
t ≡ y;
Somit:
y = C * arctan h x
y
= arctan h ( x )
C
(1 + x ) = ln (1 + x ) 2
1
arctan h ( x ) = * ln
1
(1 − x )
2
(1 − x ) 2
1
Mit
175
(1 + x ) 2
y
= ln
1
C
(1 − x ) 2
1
wird
e
e
⎛y⎞
⎜ ⎟
⎝C⎠
2*y
C
(1 + x ) 2
=
1
(1 − x ) 2
1
=
2*y
2* y
C
x *e
x *e
~2
(1 + x )
(1 − x )
(1 − x )* e C
e
e~
− x *e
2*y
C
2*y
C
−e
= (1 + x )
2*y
C
2*y
C
= (1 + x )
* (−1)
= −1 − x
+x=e
2*y
C
−1
⎛ 2C*y ⎞
⎜ e − 1⎟
⎟ : eyC
⎜
⎝
x = 2*y ⎠
⎞ : eyC
⎛ C
⎜ e + 1⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
e
Somit:
2* y
C
y
−
y
+
C
x = e2*y
e C
e
C
1
e
y
C
1
e
y
C
Man erhält:
−y
1
⎛y⎞
⎛ yC
C ⎞
sinh ⎜ ⎟
e
e
−
⎜
⎟*
⎠ 2 =
⎝C⎠
x=⎝ y
−y
⎛y⎞
⎛e C + e C ⎞* 1
cosh⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠ 2
⎝C⎠
oder
⎛y⎞
x = tanh ⎜ ⎟ .
⎝C⎠
176
Unter Zurückführen von
c
c( t )
; y = t; C = ∞
g
c∞
x=
⎛ g ⎞
c( t ) = c∞ * tanh⎜⎜ * t ⎟⎟
⎝ c∞ ⎠
3. Ermittlung der Anlaufstrecke x A .
Als Anlaufstrecke x A wird die Strecke festgelegt, innerhalb welcher der Körper 99% von c ∞
dx
ersetzen und integerreicht hat. Sucht man allgemein den Fallweg x , so muss man c( t ) =
dt
rieren:
c( t ) =
⎛ g
⎞
dx
= c ∞ * tanh⎜⎜ * t ⎟⎟
dt
⎝ c∞ ⎠
⎛ g
⎞
dx = c ∞ * tanh⎜⎜ * t ⎟⎟ * dt
⎝ c∞ ⎠
Substitution
z=
g
* t ⇒ dz = g
dt
c∞
c∞
dt =
c∞
* dz
g
dx = c ∞ *
c∞
* tanh z * dz
g
Integration:
x
c ∞2 z
∫0 dx = x = g * ∫0 tanh (z ) *dz
= ln(cosh z )
Somit erhält man den Fallweg x(t) in der Beschleunigungsphase wie folgt.
x=
⎡
⎛ g ⎞⎤
c ∞2
*ln ⎢cosh⎜⎜ *t ⎟⎟ ⎥
g
⎝ c ∞ ⎠⎦
⎣
Die Anlaufstrecke x A gemäß Definition c(t A ) = 0,99 * c ∞ mit der Anlaufzeit tA
177
tA =
⎛ 0,99 * c ∞
c∞
* arctan h ⎜⎜
g
⎝ c∞
= 2,647
t A = 2,647 *
c∞
g
lässt sich dann aus nachstehender Gleichung feststellen.
xA =
⎡
⎞⎤
⎛ g
c∞2
* ln ⎢cosh ⎜⎜ * t A ⎟⎟⎥
g
⎠⎦⎥
⎝ c∞
⎣⎢
.
⎞
⎟⎟
⎠
178
5.3.
Strömungen mit Dichteänderungen
5.3.1. Schallgeschwindigkeit; Machzahl
Schallgeschwindigkeit:
a=
dp
dρ
(siehe Kap. 3)
a = κ⋅p⋅ v
a = κ ⋅ R ⋅T
Bezieht man die thermischen Zustandsgrößen auf den
Ruhezustand (Index R)
eines Gases: pR; vR; TR , d.h. die Strömungsgeschwindigkeit cR des Gases ist
cR = 0 ,
so erhält man mit der Isentropenbeziehung zwischen dem Zustand (R) und einem beliebigen
Zustand (ohne Index):
κ
p ⋅ v κ = pR ⋅ v R
p
κ
vκ = ( R ) ⋅ vR
p
⎛p ⎞
v = v R ⋅ ⎜⎜ R ⎟⎟
⎝ p ⎠
Mit der Schallgeschwindigkeit umgeformt:
1
κ
a2 = κ ⋅ v ⋅ p
⎛ p
p = ⎜⎜
⎝ pR
und
⎞
⎟⎟ ⋅ p R
⎠
1
⇒
⎛ p ⎞κ ⎛ p ⎞
⎟ ⋅ pR
a 2 = κ ⋅ v R ⋅ ⎜⎜ R ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
p ⎠ ⎝ p R ⎟⎠
⎝
14243 1424
3
=v
=p
⎛ p
a 2 = κ ⋅ v R ⋅ p R ⋅ ⎜⎜
⎝ pR
a 2 = κ ⋅ v R ⋅ pR ⋅
⎞ ⎛ pR
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎠ ⎝ p
p ⋅ pR
1
1
pR ⋅ p
1
κ
1
κ
1
⎞κ
⎟⎟
⎠
= κ ⋅ v R ⋅ pR ⋅
p ⋅p
1
⎛ 1⎞
⎜− ⎟
⎝ κ⎠
⎛ 1⎞
− ⎟
κ⎠
p R ⋅ p R ⎜⎝
1
179
1−
a 2 = κ ⋅ v R ⋅ pR ⋅
p
pR
1
κ
= κ ⋅ v R ⋅ pR ⋅
1
1−
κ
⎛ p
a 2 = κ ⋅ v R ⋅ p R ⋅ ⎜⎜
⎝ pR
⎞
⎟⎟
⎠
p
κ −1
κ
pR
κ −1
κ
κ −1
κ
Mit der Schallgeschwindigkeit im ruhenden Gas aR (cR = 0):
a R = κ⋅ v R ⋅p R
oder
a R = κ⋅ R i ⋅TR
2
⎛ p
⋅ ⎜⎜
⎝ pR
wird
a = aR
oder
⎛ p
a = a R ⋅ ⎜⎜
⎝ pR
2
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
κ −1
⎞ 2κ
⎟⎟
⎠
p = örtl. Druck im strömenden Gas
Mit der Eulerschen Bewegungsgleichung (eindimensional, stationär, verlustfrei)
dp
+ g ⋅ dh + c ⋅ dc = 0 ;
ρ
h ≡ z = Ortshöhe, nicht Enthalpie
bei horizontaler Anordnung: dh = 0
dp
+ c ⋅ dc = 0
ρ
c ⋅ dc = −
⇒
dp
= −dp ⋅ v ;
ρ
c ⋅ dc = −
v=
Isentropengleichung zwischen Ruhe (R) und bewegtem Gas:
p ⋅ v κ = pR ⋅ v R
κ
v = vR
κ
p
⋅ R
p
κ
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝κ⎠
1
ρ
dp
ρ
180
1
v = vR ⋅
pR κ
p
1
κ
1
κ
= v R ⋅ pR ⋅ p
1
κ
c ⋅ dc = − v R ⋅ p R ⋅ p
−
1
κ
−
1
κ
⋅ dp
Integration zwischen Zustand in Ruhe (pR; cR=0; (TR)) und Zustand in Bewegung (p; c; (T)):
c
∫ c ⋅ dc = − v
c R =0
R
1
κ
p
⋅ pR ⋅ ∫ p
−
1
κ
⋅ dp
pR
c
1
c2
1
= −v R ⋅ pR κ ⋅
2 0
⎛ 1
⎞
⎜ − + 1⎟
⎠
⎝ κ
⎛ 1 ⎞
⎜ − +1⎟
κ ⎠
⋅ p⎝
p
pR
κ −1
1
κ −1 ⎤
κ ⎡ κ
c2
= −v R ⋅ pR κ ⋅
⋅ ⎢p − p R κ ⎥
κ −1 ⎣
2
⎦
κ −1
1
⎤
κ ⎡ κ −1
c2
= v R ⋅ pR κ ⋅
⋅ ⎢p R κ − p κ ⎥
κ −1 ⎣
2
⎦
⎡
κ −1
1
⎛ p
c2
κ
=
⋅ v R ⋅ p R κ ⋅ p R κ ⋅ ⎢1 − ⎜⎜
14243 ⎢ ⎝ p R
2 κ −1
= p R1
⎣⎢
c = f ( p) :
⎡
⎛ p
2κ
2
c =
⋅ v R ⋅p R ⋅ ⎢1− ⎜⎜
⎢ ⎝ pR
κ −1
⎢⎣
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
c = Geschwindigkeit des
Gases bei geg.: p; pR; vR
Größen des Gases in Ruhe
2
oder mit:
a R = κ ⋅ v R ⋅ pR
c = f ( p) :
⎡
⎛ p
2
2 ⎢
2
c =
⋅a R ⋅ 1− ⎜⎜
⎢
p
κ −1
⎢⎣ ⎝ R
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Die größte Geschwindigkeit des Gases wird erreicht, wenn
p = 0 (Vakuum),
d.h., das Gas in das Vakuum strömt:
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
s.o.
181
c ≡ c gr
(Grenzgeschwindigkeit; nur theoretisch vorhanden!)
2
c gr =
2. κ
⋅ vR ⋅ pR
κ −1
cgr rein theoretisch, da p = 0
nur im Weltall existiert
oder
2
c gr =
2
2
⋅aR
κ −1
Verwendet man:
⎡
⎛ p
2
2 ⎢
2
c =
⋅ a R ⋅ 1 − ⎜⎜
⎢ ⎝ pR
κ −1
⎣⎢
und
2 ⎛ p
a 2 = a R ⋅ ⎜⎜
⎝ pR
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
⇒
⎛ p
⎜⎜
⎝ pR
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
=
a2
2
aR
so erhält man:
c2 =
2
a2 ⎤
2 ⎡
⋅ a R ⋅ ⎢1 − 2 ⎥
κ −1
⎣ aR ⎦
2
2
2
2 ⎡aR − a ⎤
c =
⋅ aR ⋅ ⎢
⎥
2
κ −1
⎣ aR
⎦
2
κ −1 2
⋅c
2
2
aR − a2 =
2
a2 = aR −
κ −1 2
⋅c
2
Die Schallgeschwindigkeit a nimmt von dem Größtwert aR bei Ruhe (c = 0) mit zunehmender
Geschwindigkeit c ab.
Die Schallgeschwindigkeit a wird gleich Null, wenn das Gas mit der Grenzgeschwindigkeit
cgr (in das Vakuum p = 0 hinein) strömt.
2
c gr =
2
2
⋅aR
κ −1
2
a2 = aR −
κ −1 2
2
⋅
⋅aR = 0
2 κ −1
!
Sonderfall:
Aus
2
a2 = aR −
κ −1 2
⋅c
2
erhält man die Lavalgeschwindigkeit cL
182
unter der Annahme, dass die Strömungsgeschwindigkeit c gleich der Schallgeschwindigkeit a
ist, wie folgt. Die sich einstellende Schallgeschwindigkeit wird auch als
kritische Schallgeschwindigkeit a kr ( ≡ a )
oder neuerdings
Lavalgeschwindigkeit c L ( ≡ c)
bezeichnet. Es folgt mit
c = a = cL
2
2
cL = a R −
2
cL +
⇒
κ −1 2
⋅ cL
2
κ −1 2
2
⋅ cL = a R
2
κ −1⎞
2 ⎛
2
c L ⋅ ⎜1 +
⎟ = aR
2
⎝
⎠
2 ⎛ 2 + κ −1⎞
2
cL ⋅ ⎜
⎟ = aR
2
⎝
⎠
2 ⎛ κ + 1⎞
2
cL ⋅ ⎜
⎟ = aR
⎝ 2 ⎠
⎛ 2 ⎞
2
2
cL = ⎜
⎟ ⋅ aR
⎝ κ + 1⎠
2
cL =
cL
2
kritische Schallgeschwindigkeit
2κ
⋅ v R ⋅ pR
κ +1
oder
2κ
⋅ R i ⋅ TR
=
κ +1
Machzahldefinitionen:
c
a
1.
Ma =
2.
Ma kr =
3.
c
c
=
a kr c L
c
Ma R =
aR
örtliche Machzahl
kritische Machzahl = „Lavalzahl: La“
Ruhe - Machzahl
5.3.2. Eindimensionale, kompressible Strömungen
Es gilt:
& = ρ⋅c⋅A
m
Durchflussgleichung
&1=m
& 2 = const.
m
Kontinuitätsgleichung
183
5.3.2.1 Strömungsprozesse
Bei Strömungsprozessen wird keine Arbeit:
*
w i12 = 0
über die Systemgrenzen gebracht. Somit lautet der 1. Hauptsatz für offene, bewegte Systeme
allgemein:
q12 = (h 2 − h1 ) +
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 )
2
Wenn verlustfreie Strömungsvorgänge vorliegen, äußert sich dies in c2. Zur Unterscheidung
′
von dem tatsächlichen Strömungsvorgang (mit Verlusten: c 2 ) wird hier c 2 verwendet.
5.3.2.2 Strömungsprozesse mit Wärmezufuhr bzw. –abfuhr (Diabate Prozesse)
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 )
2
kann bei Strömungsprozessen mit Gasen häufig
Gemäß o. g. Gleichung
q12 = (h 2 − h1 ) +
g ⋅ (z 2 − z 1 ) <<
gesetzt werden. Bei horizontalen Leitungen ist grundsätzlich
g ⋅ (z 2 − z 1 ) = 0
Somit wird:
(
)
1 2
2
c 2 − c1
2
1 2⎞
1 2⎞ ⎛
⎛
q12 = ⎜ h 2 + c 2 ⎟ − ⎜ h 1 + c1 ⎟
2
2 ⎠
⎠ ⎝
⎝
q12 = (h 2 − h1 ) +
Mit der Totalenthalpie
h* = h +
oder
c²
2
*
*
q12 = h 2 − h1 ;
*
h2 = h2 +
c2 ²
c ²
*
; h1 = h1 + 1 ;
2
2
Wärmezufuhr (+q12) oder –abfuhr (−q12) verändert somit die Totalenthalpie h* eines strömenden Fluids. Eine Geschwindigkeitsänderung ist aber nur bei einer gleichzeitigen Druckänderung möglich.
5.3.2.3 Strömungsprozesse ohne Wärmezufuhr bzw. –abfuhr (Adiabate Prozesse)
*
Mit
q 12 = 0 und w i12 = 0
wird
0 = (h 2 − h1 ) +
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 )
2
allgemein
184
oder:
1
1
h 2 + c 2 ² + g ⋅ z 2 = h 1 + c1 ² + g ⋅ z 1
2
2
Verwendet man
h = u + p ⋅ v,
so folgt
1
1
u 2 + p 2 ⋅ v 2 + c 2 ² + g ⋅ z 2 = u 1 + p1 ⋅ v 1 + c 1 ² + g ⋅ z 1 .
2
2
allgemein
Bei horizontaler Leitung (z2 = z1) bzw. Gasströmung g ⋅ (z 2 − z 1 ) << wird:
(h1 − h 2 ) = 1 (c 2 2 − c12 )
2
D.h. die Enthalpieänderung wird in einer beschleunigten Strömung (c2 > c1) zur Änderung der
Geschwindigkeitsenergien benötigt (adiabates, horizontales Strömungssystem).
Somit:
c 2 = 2 ⋅ (h 1 − h 2 ) + c1
2
Dies gilt für verlustfreie wie auch für verlustbehaftete adiabate (q12 = 0) Strömungsprozesse
*
( w i12 = 0) in horizontalen Leitungen (z1 = z2). Es muss gleichzeitig noch die allgemeine Be*
ziehung von Strömungsprozessen ( w i12 = 0; z1 = z2) erfüllt sein:
2
1
∗ (c 22 − c12 ) = − ∫ v ∗ dp −
2
1
w diss1− 2
h
(T)
c1²/2
h1
h1* = h2*
c2²/2
ˌ
h2
s1
s2 > s1
s
185
5.3.2.4 Strömungsprozesse ohne kalorische Größen
In den bisherigen Gleichungen sind kalorische Zustandsgrößen (h;u) enthalten. Es besteht die
Möglichkeit, auch ohne diese Größen Strömungsprozesse wie folgt zu beschreiben.
Mit dem 1. H.S. für offene Systeme
q12 + w i12 = (h 2 − h1 ) +
*
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z1 )
2
sowie
h = u + p⋅v
wobei
dh = du + p ∗ dv + v ∗ dp
und
q 12 − ∫ p ⋅ dv + w diss12 = u 2 − u 1
2
1
wird:
2
w i12 = ∫ v ⋅ dp +
*
1
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z1 ) + w diss12
2
allgemein
*
Die Gleichung gilt bei adiabaten und diabaten Vorgängen. w i12 ist die über die Systemgrenzen transportierte Arbeit ( ≡
Pi
), die bei Strömungsprozessen entfällt.
&
m
*
w i12 = 0
2
Somit:
0 = ∫ v ⋅ dp +
1
(
)
1 2
2
c 2 − c 1 + g ⋅ (z 2 − z 1 ) + w diss12
2
Gleichung gilt für Strömungsprozesse adiabater und diabater Systeme, also allgemeine Strömungsprozesse. Bei horizontalen Leitungen z2 = z1 oder unter Vernachlässigung von
g ⋅ (z 2 − z 1 ) << erhält man nach Umformung:
(
)
2
1 2
2
c 2 − c 1 = − ∫ v ⋅ dp − w diss12
2
1
Um eine Geschwindigkeitsänderung (c2 < c1) herbeizuführen, muss eine Druckverkleinerung
(p2 < p1)
stattfinden, da w diss12 immer positiv ist.
186
z. B. Annahme:
v = const.
(
)
(
)
(
)
2
1 2
2
c 2 − c1 = − v ∫ dp − w diss12
2
1
1 2
2
c 2 − c1 = − v ⋅ (p 2 − p1 ) − w diss12
2
1 2
2
c 2 − c1 = (p1 − p 2 ) ⋅ v − w diss12
2
Damit c2 > c1 , muß p1 > p2 sein, also ein Druckabfall von p1 auf p2 vorliegen.
2
Dies gilt auch allgemein für: − ∫ v ⋅ dp .
1
Bei den meisten Strömungsprozessen mit Wärmezufuhr bzw. –abfuhr kann die Änderung der
c2
Geschwindigkeitsenergie ∆
aufgrund des Druckabfalls vernachlässigt werden. Dann dient
2
dieser Druckabfall dazu, die Verlustenergie abzudecken:
Mit
c 2 ≈ c1
2
⇒
− ∫ v ⋅ dp = w diss12
wobei p1 > p2
1
1. Beispiel:
Ruhende Luft wird mit p1 = 2 bar, ϑ1 = 60°C ohne Verluste und adiabat in einer Düse beschleunigt, wobei eine Endtemperatur ϑ2 = 20°C erreicht wird. Des
J
.
Weiteren ist z1 = z2 und c pm = 1006
kg ⋅ K
Wie groß wird c2?
Bei adiabatem Strömungsvorgang in horizontaler Leitung gilt:
h2
*
2
2
c
c
= h1 = h 2 + 2 = h1 + 1
2
2
*
c 2 = 2 ⋅ (h 1 − h 2 ) + c1
c1 = 0
2
ruhende Luft
(h1 − h 2 ) = c p ⋅ (T1 − T2 ) = c p ⋅ (ϑ1 − ϑ2 )
m
m
c 2 = 2 ⋅1006 ⋅ (60 − 20) = 283,7
m
s
187
2. Beispiel:
Defekter Erdgasbehälter mit
J
;
κ = 1,32;
kg ⋅ K
p1 = 1140 mbar;
p2 = pB = 990 mbar;
ϑ1 = 12°C;
c1 = 0 m/s;
(ruhendes Gas)
z1 = z2;
horizontale Leitung
Ri = 449
c2
Gesucht:
′
(verlustfreies, adiabates Ausströmen)
1 ′
c2 = c2
2
1.
′
c2 :
(bei tatsächlichem Ausströmen mit Verlusten)
Es gilt allgemein bei adiabatem Strömungsvorgang:
*
h1 = h 2
oder
*
c 2 = 2 ⋅ (h 1 − h 2 ) + c1
2
′
′
2
c 2 = 2 ⋅ ⎛⎜ h 1 − h 2 ⎞⎟ + c1
⎠
⎝
Ohne Verluste:
mit und ohne Verlusten
oder
′
′
2
c 2 = 2 ⋅ c pm ⋅ ⎛⎜ T1 − T2 ⎞⎟ + c1
⎠
⎝
Da c1 = 0
⇒
′
′
c 2 = 2 ⋅ c pm ⋅ ⎛⎜ T1 − T2 ⎞⎟
⎝
⎠
c pm :
Aus
c pm =
κ=
cp
cv
′
T2 :
J
kg ⋅ K
T1 = 273,2 + 12 = 285,2 K
bei verlustfreiem, adiabatem Strömungsvorgang, also isentroper
Zustandsänderung gilt:
p ⋅ vκ = const. sowie p ⋅ v = Ri ⋅ T
κ
Somit
folgt:
κ
1,32
⋅Ri =
⋅ 449
κ −1
0,32
c pm = 1852,1
T1:
Ri = cp − cv
;
′
κ
p1 ⋅ v 1 = p 2 ⋅ ⎛⎜ v 2 ⎞⎟ ;
⎝ ⎠
188
v1 =
Hieraus:
R i ⋅ T1
;
p1
⎛p ⎞
T2 = T1 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
′
′ R ⋅T
v2 = i 2
p2
′
κ −1
κ
0 , 32
⎛ 990 ⎞ 1,32
T2 = 285,2 ⋅ ⎜
⎟
⎝ 1140 ⎠
′
′
T2 = 275,61 K
m
′
c 2 = 2 ⋅1852,1 ⋅ (285,2 − 275,61) = 188,48
s
2.
c2 :
Weiterer Weg:
c2 =
1
m
⋅188,48 = 94,2
2
s
*
Für Strömungsprozesse ( w i12 = 0 in horizontalen Leitungen z1 = z2)
(
)
2
1 2
2
c 2 − c1 = − ∫ v ⋅ dp − w diss12
2
1
Bei verlustfreiem Vorgang: w diss12 = 0
2
1 ⎛ ⎛ ′ ⎞2
2⎞
⎜ ⎜ c 2 ⎟ − c1 ⎟ = − ∫ v ′ ⋅ dp
2 ⎝⎝ ⎠
⎠
1
Bei c1 = 0:
c2
′
⎞
⎛ 2
= 2 ⋅ ⎜⎜ − ∫ v ⋅ dp ⎟⎟
⎠
⎝ 1
Bei verlustfreier, adiabater Zustandsänderung (isentrop) wird:
κ −1
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
p
κ
2
⎢
∫1 v ⋅ dp ≡ Yp = κ − 1 ⋅ R i ⋅ T1 ⋅ ⎢⎜⎜⎝ p1 ⎟⎟⎠ − 1⎥⎥
⎣⎢
⎦⎥
2
0 , 32
⎤
⎡
1, 32
1,32
990
⎛
⎞
⎥
⎢⎜
v
dp
449
285
,
2
1
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⎟
∫1
⎥
⎢⎝ 1140 ⎠
0,32
⎦
⎣
2
2
J
∫ v ⋅ dp = −17760,4 kg
1
m
′
c 2 = 2 ⋅ (− 1) ⋅ (− 17760,4 ) = 188,47
s
c2 =
1 ′
m
⋅ c 2 = 94,2
2
s
189
5.3.2.5 Totaltemperatur, Ruhetemperatur, Kesseltemperatur
Voraussetzungen:
Ideales Gas; κ = const.; Ri = const., isentrope Zustandsänderungen, d.h.
adiabate, verlustfreie Strömungsprozesse.
1. Hauptsatz für offene, durchströmte Systeme allgemein
q12 + w i12 = (h 2 − h1 ) +
*
q 12 = 0
(
adiabat
*
w i12 = 0
Strömungsprozess
z2 = z 1
horizontale Leitung
2
′ 1⎛ ′
2⎞
∆h ′ = h 1 − h 2 = ⎜ ⎛⎜ c 2 ⎞⎟ − c1 ⎟
2 ⎝⎝ ⎠
⎠
Enthalpie
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 )
2
h=u+p⋅v
h
T
h0
T0
Index “ ' “: Isentrop
bzw.
∫ dh = c p ⋅ ∫ dT
(h − h 0 ) = c p ⋅ (T − T0 )
Bei T0 = 0 [K] wird h0 = 0, da u0 = 0 (Molekülbewegung ist gleich 0) und
p0 ⋅ v0 = Ri ⋅ T0 = 0.
=0
Somit:
h = cp ⋅ T
Mit
p⋅v=R⋅T
T=
wird
h=
cp
R
h=
p⋅v
R
cp
R
=
⋅p⋅v ;
κ
κ −1
κ
⋅p⋅v
κ −1
190
h=
oder
κ
⋅ Ri ⋅T
κ −1
Dann bei 1 bzw. 2′
h1 = cp ⋅ T1
h2 = cp ⋅ T2
h1 =
′
κ
⋅ R i ⋅ T1
κ −1
κ
′
′
⋅ R i ⋅ T2
h2 =
κ −1
h1 =
Somit:
κ
⋅ p1 ⋅ v 1
κ −1
′
′
∆h ′ = h 1 − h 2 = c p ⋅ ⎛⎜ T1 − T2 ⎞⎟
⎝
⎠
′
∆h ′ = h1 − h 2 =
κ
′
⋅ R i ⋅ ⎛⎜ T1 − T2 ⎞⎟
⎝
⎠
κ −1
′
∆h ′ = h1 − h 2 =
κ ⎛
′
⋅ ⎜ p1 ⋅ v 1 − p 2 ⋅ v 2 ⎞⎟
⎠
κ −1 ⎝
κ
′
′
⋅ p2 ⋅ v 2
h2 =
κ −1
1⎛ ′ 2
2⎞
′
∆h ′ = ⎜ ⎛⎜ c 2 ⎞⎟ − c1 ⎟ = c p ⋅ ⎛⎜ T1 − T2 ⎞⎟
⎝
⎠
2 ⎝⎝ ⎠
⎠
oder
1 2
1 ′ 2
′
c1 + c p ⋅ T1 = ⎛⎜ c 2 ⎞⎟ + c p ⋅ T2
2⎝ ⎠
2
T * = T1 +
1
1
′
2
⋅ c1 = T2 +
2 ⋅ cp
2 ⋅ cp
′
⋅ ⎛⎜ c 2 ⎞⎟
⎝ ⎠
: cp
2
Totaltemperatur
5.3.2.6 Adiabate Düsen- und Diffusorströmung (kompressible Gase);
Energieumwandlung in Düsen und Diffusoren)1
Düse:
c-Vergrößerung bei p-Verkleinerung: Expansionsströmung
Diffusor: c-Verkleinerung bei p-Vergrößerung: Kompressionsströmung
1
Alle Herleitungen werden unter Voraussetzung verlustfreier Strömung gemacht. Verlustbehaftete Vorgänge:
s. Sigloch
191
In allen Fällen wird z1 = z2 gesetzt, d.h. horizontale Lage angenommen.
*
Bei Strömungsprozessen ist w i12 = 0, da keine Zu- oder Abfuhr von Leistung Pi.
Aus
2
w i12 = ∫ v ⋅ dp +
*
1
wird
(
)
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 ) + w diss12
2
2
1 2
2
c 2 − c1 = − ∫ v ⋅ dp − w diss12
2
1
Im Fall adiabater Strömungsvorgänge wird nach:
q12 + w i12 = (h 2 − h1 ) +
*
(
)
1 2
2
c 2 − c1 = (h1 − h 2 )
2
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 )
2
adiabater Vorgang
Bei reibungsfreier Strömung ( w diss12 = 0) ist bei adiabaten Kanälen und gegebenem Druckverhältnis die Enthalpieabnahme und die Geschwindigkeitszunahme am größten. Bei reibungsbehafteter Diffusorströmung tritt eine Druckerhöhung nur dann ein, wenn:
w diss12 <
(
1 2
2
c 2 − c1
2
)
ist. Die Güte der Energieumsetzung wird durch Wirkungsgrade beschrieben.
Def. des Düsenwirkungsgrad (Isentrop):
ηDü =
h1 − h 2
′
h1 − h 2
Bei Düsen ist neben dem Düsenwirkungsgrad ηDü oft noch der Düsenbeiwert α gebräuchlich:
α=
c2
′
c2
′
c 2 : Austrittsgeschwindigkeit (verlustlos: w diss12 = 0)
c2 : Tatsächliche Austrittsgeschwindigkeit (mit Verlusten)
192
h
p1
h1
1
p2
mit Verlusten
2
p1
h2
h2
c2 , c 2
c1
′
A1
′
p2
A2
2
2′
1
s1 = s 2
′
s2 > s1
s
Def. des Diffusorwirkungsgrad (Isentrop)
η Diff .
′
h 2 − h1
=
h 2 − h1
h
p1
h2
h2
′
2
2′
p2
A2
c1
c2 , c 2
A1
p1
1
mit Verlusten
h1
1
s1 = s 2
′
p2
2
s2 > s1
s
′
193
5.3.2.6.1
Reibungsfreie Düsenströmung ( w diss12 = 0)
Geschwindigkeit in der Düse cx = f(px):
2
w i12 = ∫ v ⋅ dp +
*
Mit:
Ström.prozeß
2
1
2
(
)
1 2
2
c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 ) + w diss12
2
horizontal
reibungsfrei
2
c 2 − c1
= − ∫ v ⋅ dp
2
1
Annahme: Geschwindigkeit c1 im Zustrom vernachlässigbar, d.h.
c1 ≈ 0
Anstelle der Stelle 2 tritt der lfd. Index „x“ in der Düse:
z ≡ x,
2
Somit:
x
cx
= − ∫ v ⋅ dp
2
1
Da adiabate Düsenströmung und reibungsfreie Strömung vorausgesetzt werden, handelt es
sich zwischen den Zuständen 1 und x bzw. 2 um eine isentrope Zustandsänderung.
Hierzu lässt sich herleiten:
( Yp ≡ )
⎡
⎛p
κ
∫1 v ⋅ dp = κ − 1 ⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢⎢⎜⎜⎝ px1
⎢⎣
oder
⎡
⎛p
κ
− ∫ v ⋅ dp =
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢
κ −1
p
1
⎢⎣ ⎝ 1
x
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
x
⎤
− 1⎥
⎥
⎥⎦
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Somit :
cx =
⎡
⎛p
2⋅κ
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢ ⎝ p1
κ −1
⎢⎣
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Ideales Gas;
Isentrope Zustandsänderung
194
Kanalquerschnitt der Düse: Ax = f(px)
Kontinuitätsgleichung:
& =m
&1=m
& x = const.
m
& = ρ ⋅A ⋅c ;
& x = ρx ⋅ V
m
x
x
x
x
Ax =
Folglich:
ρx =
1
vx
& x ⋅ vx m
& ⋅ vx
m
=
cx
cx
vx aus isentroper Zustandsänderung zwischen 1 und x:
p1 ⋅ v 1 = p x ⋅ v x
κ
κ
⎛p ⎞
v x = v 1 ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ px ⎠
κ
1
⎛ p1
⎜⎜
⎝ px
1
⎞κ
⎟⎟
⎠
& ⋅ v1 ⋅
Ax = m
⎡
⎛p
2⋅κ
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢
p
κ −1
⎢⎣ ⎝ 1
Somit wird Ax:
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Zwischen p1 und p2 verschiedene px-Werte als Variable vorgeben. Danach cx und Ax berechnen. Für Ax ergibt sich folgende Düsenform:
Ma = 1
1
2
Ax
c1 ≈ 0
cL = akr
cx
c2 > a
p1
pL
px
p2
Amin
A1
A2
Trotz Erweiterung noch cx-Beschleunigung
Laval-Düse
195
Laval-Druck: pL (≡ p an der Stelle Amin)
pL wird häufig auch „kritischer Druck“ genannt. Da Ax = f(px) gemäß o.g. Gleichung, ergibt
sich der Minimalquerschnitt aus der Minimierungsrechnung der Differentialrechnung mit
dy
= 0, d.h. horizontale Tangente. Hieraus lässt sich auch der bei Amin vorliegende
dx
Druck pL, der „Laval-Druck“, bestimmen:
y′ =
dA x
=0
dp x
!
Formt man Ax = f(px) wie folgt um,
Ax = K ⋅ y
& ⋅ v1
m
= konstant
2κ
⋅ p1 ⋅ v 1
κ −1
K=
1
⎛ 1 ⎞κ
⎜ ⎟
⎝z⎠
y=
κ −1
⎡
⎤
κ
−
1
z
⎢
⎥
⎣
⎦
1
2
;
z=
px
p1
so reduziert sich die Minimierungsaufgabe auf den Differentialquotienten:
dy
=0
dz
!
Umformen:
1
y=
1
κ −1 2
⎡
⎤
z ⋅ ⎢1 − z κ ⎥
⎣
⎦
1
κ
1
y=
⎡ 2
⎢z κ
⎣⎢
1
κ −1
⎛
⎞⎤ 2
κ ⎟
⎜
⋅ ⎜1 − z ⎟⎥
⎝
⎠⎦⎥
2
κ −1
⎡ 2
⎤
y = ⎢z κ − z κ ⋅ z κ ⎥
⎣
⎦
−
1
2
196
2
1
+1− ⎤
⎡ 2
y = ⎢z κ − z κ κ ⎥
⎣
⎦
1
+1 ⎤
⎡ κ2
κ
y = ⎢z − z ⎥
⎣
⎦
−
1
2
κ +1
⎡ 2
⎤
y = ⎢z κ − z κ ⎥
⎣
⎦
−
1
2
Subst.:
−
1
2
=k
−
1
2
= k
dy dy dk
=
⋅
dz dk dz
1
3
dy
1 − −1
1 −
= − ⋅k 2 = − ⋅k 2
dk
2
2
⎛2
⎛ κ +1 ⎞
−1 ⎟
κ
⎠
⎞
dk 2 ⎜⎝ κ −1 ⎟⎠ κ + 1 ⎜⎝
= ⋅z
−
⋅z
dz κ
κ
⎛ 2−κ ⎞
⎟
κ ⎠
dk 2 ⎜⎝
= ⋅z
dz κ
1
κ +1 κ
−
⋅z
κ
κ +1
2
⎤
dy
1 ⎡
= 0 = − ⋅ ⎢z κ − z κ ⎥
2 ⎣
dz
⎦
−
3
2
⎡ 2 ⎛⎜ 2−κκ ⎞⎟ κ + 1 1 ⎤
⋅ ⎢ ⋅ z⎝ ⎠ −
⋅zκ ⎥
κ
⎢⎣ κ
⎥⎦
K1
K2
Entweder wird Klammerausdruck K 1 oder K 2 gleich Null:
2
Klammer K 1 = 0:
zκ −z
κ +1
κ
2
zκ = z
=0
κ +1
κ
Nur möglich, wenn
z=0
oder
z = 1.
Wenn z = 0, wird
px
=0
p1
⇒
px = 0
Wenn z = 1, wird
px
=1
p1
⇒
px = p 1
Beides sind Drücke, die im engsten Querschnitt nicht vorkommen.
197
Klammer K 2 = 0:
⎛ 2− κ ⎞
⎟
κ ⎠
2 ⎜⎝
⋅z
κ
z
z
z
1
κ
⎛2 ⎞
⎜ −1 ⎟
⎝κ ⎠
⎛ 1⎞
⎜ 1− ⎟
⎝ κ⎠
1
κ +1 κ
=
⋅z
κ
⎡1 ⎛ 2
:z
⎛ 2−κ ⎞
⎜
⎟
⎝ κ ⎠
⎞⎤
⎢ − ⎜ −1 ⎟ ⎥
2
=
= z ⎣ κ ⎝ κ ⎠⎦
κ +1
=z
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
⎝ κ ⎠
⎛ κ ⎞
⎜
⎟
⎝ κ −1 ⎠
2
=
κ +1
⎛ κ ⎞
⎜
⎟
p
⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
z(Amin) = x = ⎜
⎟
p1 ⎝ κ + 1 ⎠
px (bei Amin) ≡ pL
⎛ κ ⎞
⎜
⎟
⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
pL (bei Amin) = p1 ⋅ ⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
Isentrope Z.Ä.; ideales Gas
pL = Druck bei Amin = Lavaldruck = Druck im engsten Düsenquerschnitt.
Lavalgeschwindigkeit: cL
Geschwindigkeit im engsten Querschnitt Amin bei dem zugeordneten Lavaldruck pL:
Mit
cx =
⎡
⎛p
2⋅κ
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢ ⎝ p1
κ −1
⎢⎣
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
⎞⎝
⎟⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
und im engsten Querschnitt: x ≡ L
⎛ κ ⎞
⎜
⎟
also
wird
px pL
p
⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
≡
sowie cx ≡ cL und L = ⎜
⎟
p1 p1
p1 ⎝ κ + 1 ⎠
cL =
⎛ κ −1 ⎞
⎧
⎜
⎟⎫
⎛ κ ⎞ ⎝ κ ⎠
⎡
⎜
⎟⎤
⎪⎪
⎪
2⋅κ
⎪
⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠ ⎥
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎨1 − ⎢⎜
⎟
⎬
⎥
κ −1
⎪
⎪ ⎢⎣⎝ κ + 1 ⎠
⎦
⎪⎭
⎪⎩
cL =
2⋅κ
2 ⎤
⎡
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢1 −
κ −1
⎣ κ + 1⎥⎦
cL =
2⋅κ
⎡κ +1− 2⎤
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢
κ −1
⎣ κ + 1 ⎥⎦
198
1.
2⋅κ
⋅ p1 ⋅ v 1
κ +1
cL =
Lavalgeschwindigkeit bei Amin;
Isentrope Zustandsänderung;
Ideales Gas
cL hängt vom Gas (κ) und dem Ausgangszustand bei „1“ ab. Mit der therm. Zustandsgleichung
p⋅v=R⋅T
wird
2.
2⋅κ
⋅ R i ⋅ T1
κ +1
cL =
s.o.
Mit den Gesetzen der isentropen Zustandsänderung
p1 ⋅ v1 κ = p L ⋅ vL κ
wird
p 1 ⋅ v 1 = R ⋅ T1
p1 ⋅ v 1 p L ⋅ v L
=
T1
TL
p L ⋅ v L = R ⋅ TL
⇒
⎛p ⎞ ⎛v ⎞
T1 = TL ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ pL ⎠ ⎝ v L ⎠
κ
⎛ v1 ⎞
p
⎜⎜ ⎟⎟ = L
p1
⎝ vL ⎠
v1 ⎛ p L ⎞
=⎜ ⎟
v L ⎜⎝ p1 ⎟⎠
1
κ
1
κ
⎛p
T1 = TL ⋅ ⎜⎜ 1
⎝ pL
⎞ ⎛ pL
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎠ ⎝ p1
⎛p
T1 = TL ⋅ ⎜⎜ L
⎝ p1
⎞⎝
⎟⎟
⎠
⎛ 1− κ ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
⎛ κ ⎞
⎟
⎜
Es gilt
p L ⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
=⎜
⎟
p1 ⎝ κ + 1 ⎠
⎞
⎟⎟
⎠
1
κ
⎛ pL ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
p1
= TL ⋅ ⎝ ⎠ 1 = TL
⎛ pL ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎛p
⋅ ⎜⎜ L
⎝ p1
⎛1 ⎞
⎜ −1 ⎟
⎠
⎞⎝ κ
⎟⎟
⎠
199
⎛ 1− κ ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
Somit:
κ
⎡
⎤⎝
κ −1
2
⎛
⎞
⎢
T1 = TL ⋅ ⎜
⎟ ⎥
⎢⎝ κ + 1 ⎠ ⎥
⎣
⎦
⎡ 2 ⎤
T1 = TL ⋅ ⎢
⎣ κ + 1⎥⎦
T1 = TL ⋅
T1 =
−
( κ −1)
( κ −1)
⎛ 1− κ ⎞
⎜
⎟
⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
= TL ⋅ ⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
⎛ 2 ⎞
= TL ⋅ ⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
−1
1
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
+1
κ +1
⋅ TL
2
Man erhält dann:
cL =
κ +1
2⋅κ
⋅ R ⋅ TL ⋅
κ +1
2
c L = κ ⋅ R i ⋅ TL
cL = κ ⋅ pL ⋅ v L
Lavalgeschwindigkeit im engsten
Querschnitt Amin;
• Isentrope Zustandsänderung;
• Ideales Gas
Durchflussfunktion: ψ
Umformen der Flächengleichung Ax:
& ⋅ v1 ⋅
Ax = m
Ax =
⎛ p1
⎜⎜
⎝ px
1
⎞κ
⎟⎟
⎠
⎡
⎛p
2⋅κ
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢ ⎝ p1
κ −1
⎢⎣
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
&
m
⎡
κ ⎢ ⎛ px
1
⋅ 2 ⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅
⋅ 1− ⎜
κ − 1 ⎢ ⎜⎝ p1
v1
⎣⎢
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥ ⋅ ⎛⎜ p x
⎥ ⎜⎝ p1
⎥⎦
1
⎞κ
⎟⎟
⎠
200
&
m
Ax =
Ax =
Ax =
Mit der Substitution ψ:
ψ=
wird:
Ax =
2
p ⋅v
κ ⎛ px
⋅⎜
2⋅ 1 2 1 ⋅
κ − 1 ⎜⎝ p1
v1
⎞κ
⎟⎟
⎠
&
m
⋅
p1
2⋅
v1
1
&
m
⋅
p1
2⋅
v1
⎡
κ ⎢⎛ p x
⋅ ⎜
κ − 1 ⎢⎜⎝ p1
⎣⎢
⎡
⎛p
⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢ ⎝ p1
⎢⎣
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎛2 κ 1⎞
⎜ + − ⎟
κ κ⎠
2
⎞ κ ⎛ px ⎞⎝ κ
⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟
⎠
⎝ p1 ⎠
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
1
⎡
κ ⎢⎛ p x
⋅ ⎜
κ − 1 ⎢⎜⎝ p1
⎢⎣
⎡
κ ⎢⎛ p x
⋅ ⎜
κ − 1 ⎢⎜⎝ p1
⎢⎣
2
⎛ κ +1 ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
2
⎞ κ ⎛ px ⎞⎝
⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟
⎠ ⎝ p1 ⎠
⎛ κ +1 ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
⎞ κ ⎛ px ⎞⎝
⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟
⎠
⎝ p1 ⎠
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
„Durchflussfunktion“
&
m
ψ⋅ 2⋅
p1
v1
Im engsten Querschnitt Amin erreicht die Durchflussfunktion ψ ihren Größtwert ψmax:
201
Im engsten Querschnitt Amin herrscht der Lavaldruck px = pL mit :
⎛ κ ⎞
⎜
⎟
⎛ 2 ⎞ ⎜⎝ κ − 1 ⎟⎠
pL = p 1 ⋅ ⎜
⎟
⎝ κ + 1⎠
⎛ κ ⎞
oder
⎛ p L ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜⎝ κ −1 ⎟⎠
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
⎟
⎝ p1 ⎠ ⎝ κ + 1 ⎠
In Amin ist ψ = ψmax bei px = pL:
ψ max
⎛ κ 2⎞
⎛ κ ( κ +1) ⎞
⎡
⋅ ⎟
⎜
⎜
⋅
⎟⎤
κ ⎢⎛ 2 ⎞ ⎜⎝ (κ −1) κ ⎟⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜⎝ ( κ −1) κ ⎟⎠ ⎥
=
⋅ ⎜
−⎜
⎟
⎟
⎥
κ − 1 ⎢⎝ κ + 1 ⎠
⎝ κ +1⎠
⎥⎦
⎢⎣
ψ max
κ
⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
=
⋅ ⎜
−⎜
⎟
⎟
κ −1 ⎝ κ +1⎠
⎝ κ +1⎠
ψ max
⎛ 2 ⎞
⎛ κ +1− 2 ⎞
⎜
⎟ ⎡
⎜
⎟⎤
κ
−
1
⎝
⎠
κ
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎝ κ −1 ⎠ ⎥
⎢
⋅
−
=
⋅ ⎜
1
⎟
⎜
⎟
⎢ ⎝ κ +1⎠
⎥
κ −1 ⎝ κ +1⎠
⎣
⎦
ψ max
κ
⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
⎛ 2 ⎞
=
⋅ ⎜
⋅ 1− ⎜
⎟
⎟
κ −1 ⎝ κ +1⎠
⎝ κ +1⎠
ψ max
κ ⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠ κ + 1 − 2
=
⋅⎜
⋅
⎟
κ −1 ⎝ κ +1⎠
κ +1
ψ max
κ κ − 1 ⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
=
⋅
⋅⎜
⎟
κ −1 κ +1 ⎝ κ +1⎠
⎛ κ +1 ⎞
⎜
⎟
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
1
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
ψ max =
Maximalwert der Ausflussfunktion (s. Abb.)
κ ⎛ 2 ⎞⎝ κ −1 ⎠
⋅⎜
⎟
κ +1 ⎝ κ +1⎠
Engster Querschnitt: Amin
Im engsten Querschnitt herrschen:
Lavaldruck
pL
Lavalgeschwindigkeit
cL
spez. Volumen
vL
202
Somit:
& = c L ⋅ A min ⋅ ρ L = c L ⋅ A min ⋅
m
A min =
1
vL
& ⋅ vL
m
cL
cL = κ ⋅ pL ⋅ v L
Mit Zustandsgrößen in Amin:
A min =
&
m
1
⋅ κ ⋅ pL ⋅ v L
vL
&
m
p
κ⋅ L
vL
=
Des Weiteren ist bei Amin mit ψmax:
&
m
A min =
ψ max ⋅ 2 ⋅
A min =
p1
v1
&
m
1
p
κ ⎛ 2 ⎞ κ −1
⋅⎜
⎟ ⋅ 2⋅ 1
κ +1 ⎝ κ +1⎠
v1
& ⋅
A min = m
&⋅
A min = m
&⋅
A min = m
v1
⋅
κ ⋅ p1
v1
⋅
κ ⋅ p1
v1
⋅
κ ⋅ p1
1
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
2 ⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
⋅⎜
⎟
κ + 1 ⎝ κ + 1⎠
1
⎛1 1 ⎞
⎜ +
⎟
κ −1 ⎠
⎛ 2 ⎞⎝ 2
⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
1
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
⎛ κ −1
2 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
+
⎝ 2⋅( κ −1) 2⋅( κ −1) ⎠
203
v1
⋅
κ ⋅ p1
&⋅
A min = m
A min
v1
&⋅
=m
κ ⋅ p1
1
⎛ κ +1 ⎞
⎟
⎜
⎛ 2 ⎞ ⎜⎝ 2⋅( κ −1) ⎟⎠
⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
⎛ κ +1 ⎞
⎜
⎟
Mit Zustandsgrößen bei 1;
Ideales Gas, Isentrope Z.Ä.
⎛ κ + 1 ⎞ ⎜⎝ 2⋅(κ −1) ⎟⎠
⋅⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Schallgeschwindigkeit bei Amin :
1.
In Kap. 5.2.1. wurde die Schallgeschwindigkeit (a) des bewegten (c) Gases hergeleitet
zu:
2
a2 = aR −
κ −1 2
⋅c
2
Die Strömungsgeschwindigkeit c ist gleich der Schallgeschwindigkeit a, wenn folgender Zusammenhang mit der Schallgeschwindigkeit aR im ruhenden Gas gilt:
c = a ≡ akr
2
2
a kr = a R −
κ −1
2
⋅ a kr
2
κ − 1⎤
2 ⎡
2
2 ⎡ 2 + κ − 1⎤
a kr ⋅ ⎢1 +
= a R = a kr ⋅ ⎢
⎥
2 ⎦
⎣ 2 ⎥⎦
⎣
2 ⎡ κ + 1⎤
2
a kr ⋅ ⎢
= aR
⎥
⎣ 2 ⎦
2
a kr =
Mit
2
2
⋅aR
κ +1
a R = κ ⋅ R i ⋅ TR
c = a = a kr =
2.
R: Ruhezustand
2κ
⋅ R i ⋅ TR
κ +1
Mit der Herleitung der Lavalgeschwindigkeit in Kap. 5.2.2.
cL =
2κ
⋅ R i ⋅ T1
κ +1
"1"= Ruhezustand, da c1 = 0
angenommen: ≡ „R“
204
Somit besteht Gleichheit zwischen der im engsten Querschnitt Amin vorliegenden Geschwindigkeit cL = Lavalgeschwindigkeit und der Schallgeschwindigkeit c = a ≡ akr
2κ
⋅ R i ⋅ T1,R
κ +1
c = a = a kr = c L =
D.h. im engsten Querschnitt Amin liegt bei der isentropen Zustandsänderung des idealen Gases
immer die Schallgeschwindigkeit akr ≡ a = c vor.
5.3.2.6.2 Reibungsfreie Diffusorströmung
c2 ≈ 0 !
Annahme:
Ma = 1
1
2
Ax
c1 > a
cL = a
cx
c2 <<
p1
pL
px
p2 > p 1
Amin
A1
A2
Umkehrung der Düsenströmung:
=0
*
=0
=0
1 2
2
= ∫ v ⋅ dp + c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 ) + w diss12
2
1
Aus
w i12
und
c2 = 0
2
⇒
2
2
c1
= v ⋅ dp
2 ∫1
(
)
(≈ 0) s.o.
205
⎡
⎛ p2
κ
∫1 v ⋅ dp = κ − 1 ⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢⎢⎜⎜⎝ p1
⎢⎣
2
⎞
⎟⎟
⎠
⎤
− 1⎥
⎥
⎥⎦
κ −1
κ
κ −1
⎤
⎡
⎛ p2 ⎞ κ
c1
κ
⎢
=
⋅ R i ⋅ T1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎥
⎢ ⎝ p1 ⎠
2
κ −1
⎥⎦
⎢⎣
2
Somit:
⎡
c1
κ − 1⎤
= p 1 ⋅ ⎢1 +
⋅
⎥
κ ⎦
⎣ 2 ⋅ R i ⋅ T1
2
Hieraus folgt
p2 ≡ p2
max
⎛ κ ⎞
⎟
⎜
⎝ κ −1 ⎠
als
(da c2 = 0)
maximaler Enddruck ( da c2 = 0) am Austritt eines Überschalldiffusors (c1 > a) bei
isentroper Zustandsänderung und idealem Gas.
=0
Aus
w i12
*
=0
=0
1 2
2
= ∫ v ⋅ dp + c 2 − c1 + g ⋅ (z 2 − z 1 ) + w diss12
2
1
(
2
)
und Stelle 2 ≡ Stelle x wird:
(
1 2
2
c x − c1
2
sowie
wird:
)
⎡
⎛p
κ
⋅ p 1 ⋅ v 1 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
= − ∫ v ⋅ dp =
⎢ ⎝ p1
κ −1
1
⎢⎣
x
κ −1
⎤
⎡
2
κ
⎛
⎞
c1
p
κ
2
⎢
=
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎥
⎢⎝ p 1 ⎠
2
κ −1
⎦⎥
⎣⎢
cx =
⎡
⎛p
2κ
⋅ p 2 ⋅ v 2 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢ ⎝ p2
κ −1
⎢⎣
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Hieraus lässt sich analog zur Düsenströmung herleiten:
& ⋅ v2 ⋅
Ax = m
⎛ p2
⎜⎜
⎝ px
1
⎞κ
⎟⎟
⎠
⎡
⎛p
2κ
⋅ p 2 ⋅ v 2 ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ x
⎢ ⎝ p2
κ −1
⎣⎢
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎦⎥
⎞
⎟⎟
⎠
κ −1
κ
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
206
Durch Optimierung
dA x
=0
dp x
⇒
Lavaldruck (bei Amin):
κ
pL = p2
max
⎛ 2 ⎞ κ −1
⋅⎜
⎟
⎝ κ + 1⎠
Lavalgeschwindigkeit bei Amin:
cL =
2κ
⋅ R i ⋅ T2
κ +1
cL =
2κ
⋅ p2 ⋅ v 2
κ +1
cL =
κ ⋅ R i ⋅ TL
TL = T2 ⋅
2
κ +1
Kleinster Querschnitt Amin:
A min =
&
m
ψ max ⋅ 2 ⋅
p2
v2
ψmax: siehe Düse
A min
oder
1. Beispiel:
Gegeben:
v2
&⋅
=m
κ ⋅ p2
⎛ κ +1 ⎞
⎜
⎟
⎛ κ + 1 ⎞ ⎜⎝ 2⋅(κ −1) ⎟⎠
⋅⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Reibungsfreie, adiabate Düsenströmung
& = 0,5
m
kg
;
s
Luft: κ = 1,4; Ri = 287
J
;
kg ⋅ K
207
m
;
s
p2 = 2 bar;
Gesucht:
ϑ1 = 300°C;
c1 = 0
p1 = 10 bar;
1.
pL; cL
bei Amin
2.
Amin
3.
c2
4.
c2; ηDü , wenn α = 0,90
′
κ
1, 4
⎛ 2 ⎞ 1, 4−1
⎛ 2 ⎞ κ −1
p L = p1 ⋅ ⎜
⎟
⎟ = 10 ⋅ ⎜
⎝ κ +1⎠
⎝ 1,4 + 1 ⎠
pL = 5,283 bar
cL =
2κ
⋅ R i ⋅ T1 =
κ +1
cL = 438
2 ⋅1,4
⋅ 287 ⋅ (273 + 300)
1,4 + 1
m
≡ akr
s
&
m
A min =
ψ max ⋅ 2 ⋅
p1
v1
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
ψ max
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
1,4 ⎛ 2 ⎞ ⎝ 0, 4 ⎠
κ ⎛ 2 ⎞ ⎝ κ −1 ⎠
=
⋅⎜
=
⋅⎜
⎟
⎟
2,4 ⎝ 2,4 ⎠
κ +1 ⎝ κ +1⎠
ψmax = 0,484
v1 =
R i ⋅ T1
287 ⋅ 573 ⎡ Nm K ⋅ m 2 m 3 ⎤
=
⋅
=
1000000 ⎢⎣ kg ⋅ K
N
kg ⎥⎦
p1
v1 = 0,164
A min
m3
kg
⎡
⎤
kg
⎢
⎥
0,5
⎢
⎥
s
=
= m2 ⎥
1
⎢
1000000 ⎢ N kg 2
⎥
⎛
⎞
0,484 ⋅ 2 ⋅
0,164 ⎢ ⎜ m 2 ⋅ m 3 ⎟
⎥
⎠
⎣⎝
⎦
Amin = 0,000296 m2 = 2,96 cm2
208
κ −1
⎡
⎤
κ
⎛
⎞
p
κ
2
′
2
⎢
⋅ p1 ⋅ v 1 ⋅ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
c2 =
⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥
κ −1
⎣⎢
⎦⎥
1, 4 −1
⎡
⎤
1, 4
2 ⋅ 1,4
2
⎛
⎞
⎢
⎥
c2 =
⋅ 100000 ⋅ 0,164 ⋅ 1 − ⎜ ⎟
⎢ ⎝ 10 ⎠
⎥
1,4 − 1
⎣
⎦
′
m
′
c 2 = 650,5
s
α=
c2
′
c2
m
′
c2 = α ⋅ c 2 = 0,90 ⋅ 650,5
s
m
s
c2 = 585,5
ηDü
(
)
1 2
2
c 2 − c1
=
= 2
′
⎛⎜ h − h ⎞⎟ 1 ⎛ ⎛ ′ ⎞ 2
2⎞
2
⎝ 1
⎠ 2 ⎜ ⎜⎝ c 2 ⎟⎠ − c1 ⎟
⎝
⎠
(h1 − h 2 )
c1 = 0
2
ηDü
c
585,52
= 2 2 =
650,52
⎛⎜ c ′ ⎞⎟
⎝ 2 ⎠
ηDü = 81%
2. Beispiel:
Gegeben:
Reibungsfreie, adiabate Diffusorströmung (Überschalldiffusor)
kg
;
s
m
c1 = 700 ;
s
m
c2 = 0 ;
s
& = 0,5
m
Luft: κ = 1,4; Ri = 287,2
p1 = 1 bar;
J
;
kg ⋅ K
ϑ1 = 20°C;
Gesucht:
1. p 2
max
′
; 2. T2 ;
3. pL ; 4. TL ; 5. cL ; 6. vL ; 7. A min
209
1. p 2
max
:
′
p2 = p2
⎛ κ ⎞
⎜
⎟
max
2
⎡
c1
κ − 1⎤ ⎝ κ −1 ⎠
= p1 ⋅ ⎢1 +
⋅
⎥
⎣ 2 ⋅ R i ⋅ T1 κ ⎦
⎛ 1, 4 ⎞
⎟
⎜
′
2. T2 :
p2
max
p2
max
⎡
700 2
1,4 − 1⎤ ⎝ 1, 4−1 ⎠
= 1 ⋅ ⎢1 +
⋅
⎥
⎣ 2 ⋅ 287,2 ⋅ (273 + 20) 1,4 ⎦
= 8,32 bar
κ
p1 ⋅ v 1 = p 2 ⋅ v 2
v1 =
R ⋅ T1
;
p1
κ
p1 ⋅
R i ⋅ T1
κ
p1
κ
κ
R ⋅ T2
p2
v2 =
κ
′
R i ⋅ ⎛⎜ T2 ⎞⎟
⎝
⎠
= p2 ⋅
κ
p2
κ
⇒
( κ −1)
κ
⎛⎜ T ′ ⎞⎟ = T κ ⋅ p 2
1
( κ −1)
⎝ 2 ⎠
p1
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
⎛ p ⎞⎝
′
T2 = T1 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⇒
⎛ 1, 4 −1 ⎞
⎜
⎟
1, 4 ⎠
⎛ 8,32 ⎞ ⎝
= 293 ⋅ ⎜
⎟
⎝ 1 ⎠
′
T2 = 536,7 K = 263,7 °C
κ
3. pL:
pL = p2
max
⎛ 2 ⎞ κ −1
⋅⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
⎛ 2 ⎞
p L = 8,32 ⋅ ⎜
⎟
⎝ 1,4 + 1 ⎠
4. TL :
1, 4
1, 4 −1
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
⎛ p ⎞⎝
TL = T1 ⋅ ⎜⎜ L ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎛ 1, 4 −1 ⎞
⎜
⎟
1, 4 ⎠
⎛ 4,395 ⎞ ⎝
TL = 293 ⋅ ⎜
⎟
⎝ 1 ⎠
5. cL:
= 447,3 K = 174,3 °C
c L = κ ⋅ R i ⋅ TL = 1,4 ⋅ 287,2 ⋅ 447,3
c L = 424,1
6. vL :
= 4,395 bar
m
s
R i ⋅ TL 287,2 ⋅ 447,3
m3
vL =
=
= 0,292
pL
439500
kg
210
&
m
A min =
7. Amin :
ψ max ⋅ 2⋅
p2
v2
ψmax = 0,484
v2 =
R i ⋅ T2 287,2 ⋅ 536,7
m3
=
= 0,1853
p2
832000
kg
0,5
A min =
0,484 ⋅ 2 ⋅
832000
0,1853
=0,000345 m2
Amin = 3,45 cm2
3. Beispiel:
Überschalldiffusor (adiabat) eines Strahltriebwerks
Gegeben: Luft: κ = 1,4; Ri = 287,2
c1 = 1200
J
;
kg ⋅ K
m
; p1 = 0,12 bar; T1 = 240K;
s
m
;
s
Amin = 0,20 cm2
c2 = 0
Gesucht:
1.
1.
′
′
p 2 ; T2
2.
pL; TL
3.
cL
4.
&
m
′
p2 ≡ p2
′
p2 = p2
p2
max
(reibungsfrei)
⎛ κ ⎞
⎜
⎟
max
2
⎡
c1
κ − 1⎤ ⎝ κ −1 ⎠
= p1 ⋅ ⎢1 +
⋅
⎥
⎣ 2 ⋅ R i ⋅ T1 κ ⎦
⎛ 1, 4 ⎞
⎜
⎟
max
⎡
1200 2
1,4 − 1⎤ ⎝ 1, 4−1 ⎠
= 0,12 ⋅ ⎢1 +
⋅
⎥
⎣ 2 ⋅ 287,2 ⋅ 240 1,4 ⎦
= 15,15 bar
211
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
⎛ p ⎞⎝
′
T2 = T1 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎛ 15,15 ⎞
= 240 ⋅ ⎜
⎟
⎝ 0,12 ⎠
⎛ 0, 4 ⎞
⎜
⎟
⎝ 1, 4 ⎠
′
T2 = 956,2 K
κ
2.
pL = p2
max
⎛ 2 ⎞ κ −1
⋅⎜
⎟
⎝ κ +1⎠
1, 4
⎛ 2 ⎞ 0, 4
p L = 1515 ⋅ ⎜
⎟ = 8,0 bar
⎝ 2,4 ⎠
⎛ κ −1 ⎞
⎜
⎟
κ ⎠
⎛ p ⎞⎝
TL = T1 ⋅ ⎜⎜ L ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎛ 0, 4 ⎞
⎜
⎟
⎛ 8 ⎞ ⎝ 1, 4 ⎠
TL = 240 ⋅ ⎜
= 796,8 K
⎟
⎝ 0,12 ⎠
3.
c L = κ ⋅ R i ⋅ T2
c L = 1,4 ⋅ 287,2 ⋅ 796,8
c L = 566
4.
A min =
m
= a kr
s
&
m
ψ max ⋅ 2 ⋅
p2
v2
& = A min ⋅ ψ max ⋅ 2 ⋅
m
p2
v2
ψmax = 0,484 (Luft)
R i ⋅ T2 287,2 ⋅ 956,2
m3
v2 =
=
= 0,1813
p2
1515000
kg
& = 0,20 ⋅ 0,484 ⋅ 2 ⋅
m
1515000
kg
= 396
0,1813
s