Formelsammlung Thermodynamik - FSMB

10 5 Pa  10 5
N
 1bar
m2
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
Formelsammlung Thermodynamik
Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS ........................................................................................................................ 1
ALLGEMEINES: ..................................................................................................................................... 2
1.
HAUPTSATZ: .................................................................................................................................. 4
ISOTHERM: ............................................................................................................................................ 5
ISOBAR: ................................................................................................................................................ 5
ISOCHOR: .............................................................................................................................................. 5
REVERSIBEL (VERLUSTFREI) – ADIABAT: (UNTER FALL VON ISENTROP) S=KONST. ....................................... 6
POLYTROP: ............................................................................................................................................ 6
IDEALES GAS ........................................................................................................................................ 7
THERMISCHE ZUSTANDSGLEICHUNG ........................................................................................................ 7
MOLARE GRÖSSEN ................................................................................................................................. 7
GEMISCHE IDEALER GASE ...................................................................................................................... 7
2. HAUPTSATZ: (ENTROPIE S) ............................................................................................................ 8
ARBEITEN:............................................................................................................................................. 8
VOLUMENÄNDERUNGSARBEIT: ................................................................................................................ 8
NUTZARBEIT: ......................................................................................................................................... 8
DAMPFGEHALT ...................................................................................................................................... 9
INTERPOLATION ..................................................................................................................................... 9
EXERGIE: ............................................................................................................................................... 9
WIRKUNGSGRAD.................................................................................................................................. 9
VERDICHTUNG (KOMPRESSION) .............................................................................................................. 9
TURBINE (EXPANSION) ......................................................................................................................... 10
LEISTUNGSZAHL .................................................................................................................................. 10
KREISPROZESSE................................................................................................................................ 10
DRUCK ÜBER DICHTE VON WASSER: ............................................................................................. 10
MOTOR ................................................................................................................................................. 10
DREHZAHL .......................................................................................................................................... 10
2 PHASENGEBIET ................................................................................................................................. 11
ALLGEMEIN .......................................................................................................................................... 11
-1–
10 5 Pa  10 5
N
 1bar
m2
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
Allgemeines:
Zeichen
p
m
V
H
U
S
Rm
Einheit
bar
kg
Druck
Masse
Volumen
Enthalpie
Innere Energie
m3
J
J
Entropie
allgemeine molare Gaskonstante = 8,314 510
J
K
J
molK
m3
kg
J
kg
J
kg
J
kgK
J
kgK
v
spezifisches Volumen
u
spezifische innere Energie
h
spezifische Enthalpie
s
spezifische Entropie
R
spezifische Gaskonstante
T
E
W
Q
Temperatur
Energie
Arbeit (meist Volumenänderungsarbeit)
Wärme
K
J
J
J
E pot
potentielle Energie
J
E kin

kinetische Energie
Polytropenexponent
Isentropenexponent
J
n
cp
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
cv
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
x
Dampfgehalt
M
Molmasse
N
n
Teilchenzahl
Stoffmenge
NA





VH
VT
J
kgK
J
kgK
kg
g

kmol mol
mol
1
mol
Avogardo-Konstante
gesättigte Flüssigkeit
gesättigter, trockener Dampf
Wirkungsgrad
Leistungsziffer
Verdichtungsverhältnis
Hubvolumen
Totraumvolumen
-2–
10 5 Pa  10 5
N
 1bar
m2
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
r
g
 mech
 th
 eff



Verdampfungsenthalpie
Gütegrad
mechanischer Wirkungsgrad
theoretischer / thermischer Wirkungsgrad
effektiver Wirkungsgrad
Einspritzverhältnis
Volumenverhältnis
Massenanteile, Gewichtsanteile
-3–
10 5 Pa  10 5
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
N
 1bar
m2
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
1. Hauptsatz:

Energiebilanz:
[J=Ws]
𝐸𝑆𝑦𝑠 ,2 − 𝐸𝑆𝑦𝑠 ,1 = 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑚 ∗ ∆𝑢 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑣 ∗ (𝑇2 − 𝑇1 ) =
𝑄12𝑖 +
𝑖

„∆𝑢 = 𝑐𝑣 ∆𝑇“ (nur Ideales Gas, ansonsten Dampftafel)
„∆ℎ = 𝑐𝑝 ∆𝑇“
Leistungsbilanz
[W]

dE SYS
 W
  E
 Q
i
i
Mat,i
dt
𝑈2 − 𝑈1 =

𝑄12𝑖 +
𝑖
𝑊12𝑖 +
𝑖
Mat,i
𝑖

𝑖
0
𝑚12𝑖 (ℎ + 𝑔𝑧 +
𝑖
𝑚12𝑖 ℎ + 𝑔𝑧 +
geschlossen (kein Massen zu– oder abfluss):
 E
𝑊12𝑖 +

dE SYS
 W

 Q
i
i
dt
𝑐2
2
∗ ∆𝑡


offen (Massen zu– oder abfluss): dann immer mit Enthalpie H! (h=u+wv=u+p*v)
𝑐2
𝑚12𝑖 𝑒𝑖 = 𝑚12 (ℎ + 𝑔𝑧 + ) ≠ 0
2

stationär (keine Änderung über die Zeit): =>Leistungsbilanz!!
𝑖

dESYS
 W
  E
0 Q
i
i
Mat,i
dt
bei ruhendem System: 𝑚𝑖 𝑒𝑖 = 𝑚𝑖 (ℎ𝑒𝑖𝑛 − ℎ𝑎𝑢𝑠



 (hein  haus )
0   ( qi  wi  hein  haus )   Q  W  m

instationär (Änderung der Inneren Energie über die Zeit):
dE SYS
0
dt

isotherm => T; u; h = const: (ideales Gas)
Q. Wärme
adiabat:
 Q
diabat:
EMat,i: Materialfluss
 E
Mat,i

  E
  E

 H
pot
kin
i
0

dE SYS
  E
 W
i
Mat,i
dt
 Q
i
0

-4–

𝑐2
)
2
10 5 Pa  10 5
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
N
 1bar
m2
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
Isotherm:
Polytropenexponent: n  1
p  v1  konstant
p
v
dp dv

 0; p  v  R  T0  konstant; 2  1
p
v
p1 v 2
Temperatur (T) = konstant;
Wärmeenergie
Q12  W12  0
Q12  -W12
Volumenänderungsarbeit
(>0 bei Kompression!)
W12  m  R  T  ln
Änderung der inneren Energie
U  0
1. Hauptsatz
Änderung der Entropie
V1
p
V
 m  R  T  ln 2  p  V1  ln 1
V2
p1
V2
h  0 => h a - h e  0
V
p
S  m  R  ln 2  m  R  ln 1
V1
p2
bzw. offen:
Isobar:
n0
0
Druck (p) = konstant; p  v  konstant
dv dT v R v 2 T2

;  ;

v
T T p 0 v1 T1
Q12  W12  U
1. Hauptsatz
Polytropenexponent:
Wärmeenergie
Volumenänderungsarbeit
Änderung der inneren Energie
Änderung der Entropie
Q12  c p  m  T 
 R
* m * T
 -1
W12  pV  m  R  T
R
U  c v  m  T 
* m * T  m(u  - u )(x 2  x1 )
 -1
T
V
S  c p  m  ln 2  c p  m  ln 2
T1
V1
Isochor:
Polytropenexponent: n  
Volumen (V) = konstant;
p  v   konstant
dp dT p R p 2 T2

; 
;

p
T T v 0 p1 T1
1. Hauptsatz
Q12  U
Wärmeenergie
Q12  U  c v  m  T 
Änderung der inneren Energie
W0
U  Q12
Änderung der Entropie
S  c v  m  ln
Volumenänderungsarbeit
R
 m  T
 -1
T2
p
 c v  m  ln 2
T1
p1
-5–
10 5 Pa  10 5
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
N
 1bar
m2
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
reversibel (verlustfrei) – adiabat: (unter Fall von isentrop) s=konst.
 : Isentropenexponent
dq  0 ; p  v  konstant ; ds  dq  dw R  0
Polytropenexponent: n =
Wärme (Q):
h-Werte im 2Phasengebiet berechnen:
 ( h2  h1 )
 geg: W
=>
1HS: W12  m
geg: s2=s1=s
=>
Interpolation
ℎ 395 𝐾 −ℎ 390 𝐾
ℎ2 = ℎ390𝐾 + 𝑠 − 𝑠390𝐾
 v2

 v1


v
p T
  1 ; 2   1
p 2 T1  v 2




 1
;
p 2  T2

p1  T1



𝑠395 𝐾 −𝑠390 𝐾 12𝑏𝑎𝑟
T1
p
ln 1
T2
p2

1 
V
V
ln 2
ln 2
V1
V1

 1
ln
Volumenänderungsarbeit
W12  U
Q12  0
W12  U
Änderung der inneren Energie
U  c v  m  T 
Änderung der Entropie
S  0
1. Hauptsatz
Wärmeenergie
(𝑠390𝐾 < 𝑠 < 𝑠395𝐾 )
𝑷𝑻𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒆/𝑲𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒐𝒓 = 𝒄𝒑 𝒎∆𝒕
p  v 2  p1 * v1
mR
T  2
 -1
 1
polytrop:
Polytropenexponent: n   : Isentropenexponent
p  v n  konstant
-n
v 
T 
dp
dv p
 n ; 2   2    2 
p
v p1  v1 
 T1 
Q12 n  

W12   1
pol 
1. Hauptsatz
Wärmeenergie
Volumenänderungsarbeit
Änderung der inneren Energie
Änderung der Entropie
n
n -1
;
T2  v1 
 
T1  v 2 
n 1
T

ln 2

T1
n  1 
p2

 ln p

1
-1
p

ln 1

  p2
V

ln 2

V1

Wv
Q
Q12  W12  U
n 
R
n 
Q12  c v  m 
 T 
m
 T
n 1
 -1
n 1
p  v 2  p1  v1
mR
W12 
 T  2

n 1
n 1
n 1
n 1

 n  R  T  p  n
m  R  T1  v1 
1
2


*    1 
*    1 
 p1 

n 1
n 1
 v 2 



n 1


p1  V1  p 2  n

*    1

n  1  p1 


R
U  c v  m  T 
* m * T
 -1
T
 -n
S  c v  m 
 ln 1
n -1
T2
-6–
10 5 Pa  10 5
N
 1bar
m2
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
ideales Gas
thermische Zustandsgleichung
pv  R T
p1  V1 p 2  V2
p  V  m  R  T  n  Rm  T

T1
T2
1

v
c
cp
 R
R
R
cv 
cp 
  p  1 
cv
cv cp  R
 -1
 -1
R  cp  cv
R
cp  R  cv
Rm N
 Rm
M m
z
Z
;
m
(z = v, V, u, U, h, H, s, S, ...)
molare Grössen
N
NA
V
Vm   M  v
n
m
M
n
n
Molzahl
Molvolumen
molare Masse:
Gemische idealer Gase
c v, Mischung   i  c v,i
c p, Mischung   i  c p,i
mi i  m

V
V
R Mischung
m
mi
Mi
i  i 
i 
i 
;   i  1; m i  m
m  mi
M Mischung
Ri
i 
M Mischung
n i vi pi


 i 
;   i  1; n i  n
n
v
p
Mi
v
vor der Mischung (Volumenverhältnis): i ;  v i  v
v i
p
nach der Mischung (Partialdruckverhältnis): i ;  p i  p; p i   i  p
p i
i 
spezifische Gaskonstante der Mischung: molare Masse der Mischung:
M Mischung 
m
n
i
i

Rm
R Mischung
  i M i
M Mischung
vi pi n i


 i 
i
v
p
n
Mi
-7–
10 5 Pa  10 5
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
N
 1bar
m2
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten:
 Mischung  1 
1

i
i
1
2. Hauptsatz: (Entropie S)
S12  S 2  S1  m( s2 - s1 )   SQ  S mat  Sirr  
Q
 m * ( se  sa )  Sirr
T

dE SYS
Q
 0   m * ( se  sa )  Sirr
Stationär: („Leistungsbilanz“)
dt
T
An die Umgebung
produzierte Entropie
S Q  0
Adiabat:
S mat  0
Geschossen:
ideale Gase:
T2
v
 R  ln 2
T1
v1
T
p
s 2 - s1  c p  ln 2  R  ln 2
T1
p1
p
v
s 2 - s1  c v  ln 2  R  ln 2
p1
v1
s 2 - s1  c v  ln
geschlossen (geg.: T, v):
offen (geg.: T, p):
geg.: p, v:
flüssige Stoffe:
T2
geschlossen: s 2 - s1  c v  ln
T1
T2
offen: s 2 - s1  c p  ln
T1
dSa  0 : Wärmeabfuhr
Sirr  0 : nicht möglich
Sirr  0 : reversibler Prozess
S  0 : irreversibler Prozess
dSa  0 : adiabetes System
dSa  0 : Wärmetransport
irr
Arbeiten:
Volumenänderungsarbeit:
2
(bei geschlossenen Systemen) Wv12 
  pdV
1
2
2
1
1
p  konstant : w v12    pdv   p dv   p  v 2  v1 
2
2
1
1
 RT
T  konstant : w v12    pdv mit
:pv
  -
2
v 
R T
1
dv  R  T  dv  R  T  ln  2 
v
v
 v1 
1
Nutzarbeit:
Wn12    pSystem  p  dV  Wv12  W12
2
1
(W v12>0 & W ∞12<0 oder W v12<0 & W ∞12>0)
Aufgabe Nr. 26: die Arbeit, die man aus dem System abgreifen kann. Unter Umständen mit
Volumenänderungsarbeit kombiniert.
-8–
10 5 Pa  10 5
N
 1bar
m2
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
2-Phasengebiet (Nassdampf) (Ideale Gasgesetz gilt hier nicht!!)
Dampfgehalt
V  v
mD
mD
m 
z  z
x



 m
;
(z = v, u, h, s,...)
m ges m Fl  m D m   m  z  z v   v 
(z = v, u, s, h,...)
z  z  x  z  z;
falls u nicht tabellisiert ist: u  h  p  v bzw. h  p  v  u
h  h   x  h   h   h   x  r ;
V  mv  1  x mv
r : T  s  s  h   h 
Interpolation
z  zu  ( z o  zu )
T - Tu
;
To - Tu
(z = h, v, u, s,...)

Geg.: T1=250K; p2=12bar; isentrope Zustandänderung; =>s2=s1= s250K
𝑣2 = 𝑣390𝐾 + 𝑠2 − 𝑠390𝐾
𝑣395𝐾 − 𝑣390𝐾
𝑠395𝐾 − 𝑠390𝐾
Exergie:
maximal abgebare Leistung:
x  m
 [ u 2 - u1  T  s2  s1 ]
E
1-2
spezifischer Energieverlust bzw.: Reibungsverlust im Kompressor:
𝑒𝑥𝑣 = 𝑇∞ ∗ 𝑆𝑖𝑟𝑟 ≈ 𝑇∞ ∗ 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑇∞ ∗ (𝑐𝑝 𝑙𝑛
𝑇2
𝑝2
− 𝑅 ∗ 𝑙𝑛 )
𝑇1
𝑝1
Wirkungsgrad

Nutzen
T  TB
W
 v ; bei konstanter Temperatur:  Carnot  A
Aufwand Q
TA
Verdichtung (Kompression)
adiabat  isentrop
z * - z1
1
*

; (z = h, T); ( z =ideal (Wirkungsgrad = 1))
z 2  z1  T
T T
(T  T )
is  2is 1
T2  2is 1 is  T1
T2  T1
T2is  berechnete _ Temperatur
 1
wd
1
 pol,V 

 
wr
n 1
wt
1
n
wd
is,V 
V
-9–
10 5 Pa  10 5
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
N
 1bar
m2
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
Turbine (Expansion)
adiabat  isentrop
isT 
T
z 2  z1
1
*

; (z = h, T); ( z =ideal (Wirkungsgrad = 1))
*
z - z1 V
*
zuerst z mit Formeln Seite 4 ff. lösen
 pol,V
n 1
w

 1 r  n
wd
wd   1
wt

Leistungszahl

TB
Nutzen QVD

; bei konstanter Temperatur:  Carnot 
Aufwand PV 1
TA - TB
Kreisprozesse
rechtsläufig (Uhrzeigersinn):
Wärmekraftmaschinen (Motoren,...): bringen Wärme vom wärmeren
ins kältere
Kältemaschinen, Kühlung, Wärmepumpen: bringen „Wärme“ (Kälte)
vom kühleren ins wärmere
linksläufig:
Carnotprozess
Ericssonprozess
Stirlingprozess
Jouleprozess
Dieselprozess
Seilingerprozess
Ottoprozess
s-T-s-T
T-p-T-p
T-v-T-v
s-p-s-p
s-p-s-v
s-v-p-s-v
s-v-s-v
Druck über Dichte von Wasser:
p  p   * g * h  p 
Motor
1
V V  VH  p1  
 1  T
   ; V1 : 1. Hub; V2 : 2. Hub
V2
VT
 p2 
  d2
VH  V2  V1  A  h 
h
4
w eff  m g  w th
eff   th g mech
Peff  n d  m  w eff
Drehzahl
nD
2
bei Zweitaktmotor: n  n D
bei Viertaktmotor: n 
- 10 –
1
*g *h
vW
10 5 Pa  10 5
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
N
 1bar
m2
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
Diagramme
bei Flüssigkeitsabscheidern befindet man sich unter der Dampfdruckkurve.
Vorgehensweise:
Einzeichnen der Zustände und der Zustandsänderungen im T-s-Diagramm: isobare zuerst
im p-V-Diagramm: isotherme zuerst
isentrope
s = konstant
n 
isobare
p = konstant
isochore
v = konstant
isotherme
T = konstant
isenthalpe
h = konstant
2 Phasengebiet
KP
T
s
KP
p
V
p
gesättigte
Flüssigkeit
gesättigte
Flüssigkeit
V
p
T
h
T
trocken,
gesättigter Dampf
trocken,
gesättigter Dampf
s
V
= Steigungsänderung bei Verlustbehaftetem Prozess bzw. Richtungsverschiebung bei
größeren Werten
allgemein
T
h
s
s
p
V
p
T
T
p
s



V
V
Adiabate Drosselung => h T=konst
Adiabate Verdichtung bzw. Entspannung =>s
Verlustbehaftet Adiabat => polytrop => >s (s wird größer)
Evakuiert => reversibel adiabat
- 11 –
10 5 Pa  10 5
N
 1bar
m2
J
m2
Nm
1W  1  1kg 2  1
s
s
s
by LB ;.) Ich übernehme keine Haftung auf etwaige Fehler!
- 12 –