Blatt 2

Prof. Dr. Matthias Birkner
Peter Nelson
2. Übung zur Vorlesung
„Einführung in die Stochastik“
im Wintersemester 2016/2017
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Bei der sogenannten Glücksspirale der Olympialotterie 1971 wurden 7-ziffrige Gewinnzahlen
ermittelt, indem aus einer Trommel, welche je sieben Kugeln mit den Ziffern 0 bis 9 enthielt,
nach Durchmischen sieben Kugeln ohne Zurücklegen entnommen und deren Ziffern in der
Reihenfolge der Ziehung zu einer Zahl angeordnet wurden. Widerlegen Sie die Behauptung,
dass jede mögliche 7-ziffrige Zahl die gleiche Gewinnchance hatte. Zeigen Sie dazu, dass die
Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte 7-ziffrige Zahl (z1 , ..., z7 ) gezogen wird, genau davon abhängt, wie viele k-Tupel von gleichen Ziffern in (z1 , ..., z7 ) vorkommen (1 ≤ k ≤ 7).
Zeigen Sie ferner, dass es 15 Sorten von 7-ziffrigen Zahlen mit verschiedenen Gewinnchancen
gibt. Für wie viel Prozent der 7-ziffrigen Zahlen beträgt die Gewinnchance mindestens 34 der
Gewinnchance der Zahlen der ‘besten Sorte’ ?
Aufgabe 2: (2+2 Punkte)
(a) Es sei Ω eine abzählbar unendliche Menge und A ⊂ 2Ω eine σ-Algebra derart, dass
{ω} ∈ A für alle ω ∈ Ω. Zeigen Sie, dass es keine Gleichverteilung auf (Ω, A) gibt (d.h.
kein Wahrscheinlichkeitsmaß P mit P ({ω}) = P ({ω 0 }) für alle ω, ω 0 ∈ Ω).
(b) Sei nun Ω eine überabzählbare Menge, A ⊂ 2Ω eine σ-Algebra mit {ω} ∈ A für alle
ω ∈ Ω und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A. Zeigen Sie, dass höchstens abzählbar
viele ω ∈ Ω existieren mit P ({ω}) > 0.
Aufgabe 3:
(Buffon’sches Nadelproblem) (1+3+2* Punkte)
Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707-1788) stellte 1777 die folgende Frage: Wenn man eine
Nadel zufällig (uniform verteilt) auf liniertes Papier fallen lässt, mit welcher Wahrscheinlichkeit
trifft sie eine Linie? Die Nadellänge betrage l > 0 und der Linienabstand d ≥ l. Wir können
die Lage der Nadel relativ zu den Linien durch zwei Parameter erfassen, a1 ∈ [0, d/2], dem
Abstand der Nadelmitte zur nächsten Linie, und a2 ∈ [0, π), dem Winkel zwischen Nadel und
Linien.
(a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für das Zufallsexperiment an und
formulieren Sie formal das Ereignis ‘die Nadel trifft eine Linie’.
(b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Linie trifft,
2l
πd
beträgt.
(c) Diskutieren Sie den Fall l > d.
Aufgabe 4:
(Einschluss-Ausschluss-Prinzip) (1+2+1 Punkte)
Unser Ziel ist es, die Einschluss-Ausschluss-Formel zu beweisen, d.h. ist (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Ai ∈ F, wobei i ∈ {1, ..., n} =: I, so gilt
P
[
i∈I
X
Ai =
(−1)|K|−1 P
∅6=K⊂I
\
k∈K
Ak .
Wir gehen dafür in mehreren Schritten vor. Für J ⊂ I sei
\
\
Acj ,
BJ =
Aj ∩
j∈J
j∈I\J
dabei sei ein Durchschnitt mit leerer Indexmenge definiert als Ω, d.h.
T
j∈∅ Aj
:= Ω.
Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) Für jedes K ⊂ I gilt
P
\
X
Ak =
P (BJ ).
k∈K
K⊂J⊂I
Hinweis: Machen Sie sich zunächst klar, dass
[
BJ ∩ BJe = ∅ für J 6= Je und
BJ = Ω.
∅⊂J⊂I
(b) Für jedes J ⊂ I gilt
X
P (BJ ) =
(−1)|K\J| P
J⊂K⊂I
\
Ak .
k∈K
Hinweis: Fangen Sie auf der rechten Seite an, verwenden Sie Aufgabenteil (a) und vertauschen Sie anschließend die Summen. Wieso ist für J J 0 stets
X
(−1)|K\J| = 0
J⊂K⊂J 0
erfüllt?
(c) Folgern Sie nun die oben angegebene Einschluss-Ausschluss-Formel, indem Sie J = ∅
setzen und Aufgabenteil (b) mit
\ [ P
Aci = 1 − P
Ai
i∈I
verwenden.
Abgabe: Freitag, den 11.11.2016 bis 11:59.
i∈I