Das Nadelproblem von Buffon

Das Nadelproblem von Buffon
Tim Fuchs
18.01.2015
1
Problem
Wenn man eine kurze Nadel1 auf liniertes Papier fallen lässt – wie groß ist
dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel so liegen bleibt, dass sie eine der
Linien kreuzt?
Le Comte de Buffon (1777)
2
Beweis von E. Barbier 1860
2.1
Vorüberlegung
• Der Erwartungswert der Kreuzungspunkte beim Werfen einer beliebigen Nadel:2
E=
∞
X
i pi
i=1
• Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Kreuzungspunkt:
p=
∞
X
pi
i=1
Für kurze Nadeln gilt: p2 = p3 = ... = 0
⇒E=p
1
2
(1)
kurze Nadel: Eine Nadel, für die gilt: Die Länge l der Nadel ist kleiner/gleich dem Abstand d der Linien
pi : Wahrscheinlichkeit von i Kreuzungspunkten einer Nadel mit den Linien
1
• Erwartungswert linear ⇒ Für eine Nadel der Länge l = x + y kann getrennt Vorderund Hinterteil mit Länge x und y betrachtet werden und es gilt:
E(l) = E(x + y) = E(x) + E(y)
• Aus E(rx) = rE(x) mit r ∈ Q folgt die monotone Abhängigkeit von E(x) von x für
x ≥ 0 und damit:
E(l) = cl
mit c = E(1)
(2)
2.2
Beweis
• Ein Kreis C der Länge dπ mit Durchmesser gleich dem Abstand d der Linien hat
immer genau 2 Kreuzungspunkte
• Approximation von C durch Polygone: Sei Pn ein eingeschriebenes und P n ein umschriebenes regelmäßiges n-Eck:
• Dann gilt:
⇒ E(Pn ) ≤ E(C) ≤ E(P n )
⇒ c l(Pn ) ≤ 2 ≤ c l(P n )
(3)
• Aus (3) und lim l(Pn ) = dπ = lim l(P n ) folgt:
n→∞
n→∞
cdπ ≤ 2 ≤ cdπ
2
⇒c=
dπ
(1)
(2)
(4)
⇒ p = E = cl =
2
2 l
πd
(4)
3
Analytischer Beweis
3.1
Beweis für kurze Nadeln
• Sei α mit α ∈ [0, π2 ] der Winkel der Nadel zur Horizontale (Einschränkung des Winkels aufgrund von Symmetrie)
⇒ Höhe der Nadel: l sin(α)
⇒ Wahrscheinlichkeit für einen Kreuzungspunkt in Abhängigkeit von α: l sin(α)
d
• Die Wahrscheinlichkeit eines Kreuzungspunktes erhält man folglich durch Bildung
des Mittelwertes:
Z π
π
2 2 l sin(α)
2l
2l
p=
dα =
[− cos(α)]02 =
π 0
d
πd
πd
3.2
Beweis für lange Nadeln
• Wahrscheinlichkeit für einen Kreuzungspunkt in Abhängigkeit von α:
– Für l sin(α) ≤ d, also α ∈ [0, arcsin( dl )]:
l sin(α)
d
– Für α ∈ (arcsin( dl ), π2 ]: 1 (immer ein Schnittpunkt)
• Wahrscheinlichkeit für einen Kreuzungspunkt (über Mittelwert):
2
p= (
π
Z
0
arcsin( dl )
l sin(α)
dα +
d
Z
π
2
1 dα)
arcsin( dl )
2 l
π
d
arcsin( dl )
( [− cos(α)]0
+ ( − arcsin( ))
π d
2
l
r
2
d
d
2 l
= 1 + ( (1 − 1 − 2 ) − arcsin( ))
π d
l
l
=
3