Aufgabenblatt 1: Zahlentheorie @8e8ffc8

Zahlentheorie
MA S420
Aufgabenblatt 1
Frühlingssemester 2017
Aufgabenblatt 1
40 Punkte
Aufgabe 1 (ggT und kgV)
Eine Duschnische habe Länge 225cm, Höhe 205cm und Tiefe 97.5cm.
a) Die beiden Seitenwände und die Hinterwand sollen lückenlos mit gleichen, möglichst grossen quadratischen
Plättli ausgelegt werden. Mit wievielen?
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Buslinie A fährt alle 20min, B alle 22min und C alle 25min vom Hauptbahnhof ab.
Bei Betriebsbeginn um 6∶ 00 Uhr fahren alle gleichzeitig los. Ebenso bei der letzten Fahrt.
b) Wie oft fahren Bus A, Bus B und Bus C an einem Tag vom Hauptbahnhof los?
1
c) Wie oft pro Tag fahren A und B, bzw. A und C, bzw. B und C gleichzeitig vom Hauptbahnhof los?
1
d) Als Anna zwischen 7 und 8 im Hauptbahnhof ankommt, sieht sie A und C gleichzeitig losfahren.
Wie lange muss sie auf ihren Bus B warten?
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Aufgabe 2 (Neujahr und Geburtstag)
Der erste Januar n war für n = 2016 ein Freitag und für n = 2017 ein Sonntag. Gib eine Regel: „Wenn der 1.
Januar n ein …(Wochentag) ist, dann ist der 1. Januar n + 1 ein …(Wochentag)“ und beweise sie
a) für ein Schaltjahr n,
1
b) falls n kein Schaltjahr ist.
1
c) Wie lautet diese Regel und die entsprechende Fallunterscheidung für einen Geburtstag, der nicht der 29.
Februar ist?
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Aufgabe 3 (Euklidscher Algorithmus)
Gib m, n ∈ Z mit m ⋅ 8547 + n ⋅ 2065 = ggT(8547, 2065).
a) Berechne ggT(8547, 2065) mit dem Euklidschen Algorithmus.
2
b) Bestimme m und n durch rückwärts Rechnen im Euklidschen Algorithmus in Teilaufgabe 3 a).
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Siehe Skript S.6.
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Aufgabe 4 (Anzahl Teiler)
Die Zahl 1 hat genau einen Teiler, nämlich 1.
a) Gib die kleinsten zwei (natürlichen) Zahlen mit genau 2 Teilern.
1
b) Beschreibe alle Zahlen mit genau 3 Teilern und gib zwei Beispiele.
2
c) Beschreibe alle Zahlen mit genau 5 Teilern und gib zwei Beispiele.
2
Siehe auch Skript S.9, Folgerung 1.
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Aufgabe 5 (reelle und ganzzahlige Lösungen)
Gegeben seien die drei Gleichungen
I)
3 ⋅ x + 5 ⋅ y = 15 ,
II)
x/3 + y/5 = 1/15 ,
III)
3 ⋅ x + 5 ⋅ y = 1/15 .
a) Gib zu jeder Gleichung alle reellen Lösungen. Vgl. Vorlesung „Lineare Algebra und Geometrie“
2
b) Gib zu jeder Gleichung alle ganzzahligen Lösungen. Siehe auch Skript, Unterabschnitt 1.1.4.
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UZH Institut für Mathematik, Dr. F. Müller
Abgabe 24. März 2017
Zahlentheorie
MA S420
Aufgabenblatt 1
Frühlingssemester 2017
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Aufgabe 6 (Papierstreifen)
Der Euklidsche Algorithmus mit den ganzzahligen Längen (in geeigneter Einheit) dieser zwei Papierstreifen
kommt nach genau vier Schritten an ein Ende.
a) Protokolliere diese vier Schritte. Schneide die Streifen dazu aus.
2
b) Das Wievielfache des ggT’s der beiden Längen sind diese Papierstreifen je lang?.
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Aufgabe 7 (Siebnerprobe)
Sei abc eine drei–(oder, wenn a = 0, weniger–)stellige natürliche Zahl. a, b, c ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} sind ihre Ziffern.
a) Beweise: 7 ∣ abc ⇔ 7 ∣ 2a + 3b + c. (Beispiel: 7 ∣ 28 = 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 + 4 ⇒ 7 ∣ 924.)
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Sei def abc eine sechs–(oder, wenn d = 0, weniger–)stellige natürliche Zahl.
b) Beweise: 7 ∣ def abc ⇔ 7 ∣ 2a + 3b + c − (2d + 3e + f ).
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c) Verallgemeinere auf beliebige natürliche Zahlen.
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Aufgabe 8 (vollkommene Zahlen)
Beweise: Ist p = 2k − 1 eine Primzahl, so ist n = 2k−1 ⋅ p = 2k−1 ⋅ (2k − 1) vollkommen.
Definition: Eine natürliche Zahl n heisst vollkommen, wenn sie die Summe ihrer Teiler < n ist.
Beispiel: k = 3, p = 2k − 1 = 23 − 1 = 7 prim ⇒ n = 2k−1 ⋅ p = 23−1 ⋅ 7 = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ✓
UZH Institut für Mathematik, Dr. F. Müller
Abgabe 24. März 2017
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