Analysis II

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
18.03.2015
Prof. Dr. S. Siegmund
PD Dr. A. Kalauch
Übung 20.04. bis 24.04.
Analysis II
17. Übungsblatt: Riemann-Integral
Aufgabe 17.1
Zur Erinnerung: Für x ∈ R bezeichnet man mit ⌊x⌋ die eindeutig bestimmte ganze Zahl
m mit m ≤ x < m + 1. Sind die angegebenen Funktionen ϕk : [0, 2] → R (k = 1, 2, 3, 4)
Treppenfunktionen? Wenn ja, ist ihr Integral zu ermitteln.
(a) ϕ1 (x) = ⌊x⌋;
(b) ϕ2 (x) = ⌊2x⌋;
(c) ϕ3 (x) = 7⌊x⌋ − 5⌊2x⌋;
(
0
falls x = 0,
(d) ϕ4 (x) =
1
⌊ x ⌋ falls x 6= 0.
Aufgabe 17.2
Sei f : [a, b] → R. Beweisen Sie das Riemann’sche Integrierbarkeitskriterium:
f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃ϕ, ψ ∈ T [a, b] : ϕ ≤ f ≤ ψ und
Z
a
b
(ψ(x) − ϕ(x)) dx ≤ ε.
Aufgabe 17.3
Die rationalen Zahlen im Intervall [0, 2) seien als Folge (rk )k∈N geschrieben. Entscheiden
Sie, ob die angegebenen Funktionen fn : [0, 2] → R (n = 1, 2, 3, 4) Riemann-integrierbar
sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
(a) f1 (x) = ⌊2x⌋;
2
(b) f2 (x) = e−x ;
X
2−k ;
(c) f3 (x) =
k: rk <x
(
0
(d) f4 (x) =
x−2
falls x = 0,
falls x =
6 0.
Aufgabe 17.4
Beweisen Sie: Ist p ∈ R, p ≥ 1, und f ∈ R[a, b], f ≥ 0, so ist auch f p ∈ R[a, b].
Hinweis: Warum kann o. E. im Beweis zusätzlich f ≤ 1 vorausgesetzt werden?
Bemerkung. Es gilt die allgemeinere Aussage: Ist f : [a, b] → [c, d] Riemann-integrierbar
und g : [c, d] → R stetig, so ist auch g ◦ f Riemann-integrierbar. Deren Beweis ist jedoch
aufwändiger.
Aufgabe 17.5
Sei a > 1. Berechnen Sie mit Hilfe Riemannscher Summen das Integral
Z a
dx
x
1
.
(n)
(n)
(n)
(n)
Hinweis: Verwenden Sie die Unterteilung 1 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = a mit
(n)
(n)
(n)
xk := ak/n (k = 0, 1, 2, . . . , n) und die Stützstellen ξk := xk−1 .
Aufgabe 17.6 (H)
Die Legendreschen Polynome Ln sind definiert durch
Ln (x) :=
1
dn
·
[(x2 − 1)n ] (n ∈ N0 , x ∈ R).
2n n! dxn
(a) [1] Geben Sie L0 , L1 , L2 konkret an.
(b) [2] Berechnen Sie Ln (1) und Ln (−1).
(c) [1] Zeigen Sie: Ln hat im Intervall (−1, 1) genau n verschiedene Nullstellen.
Hinweis: Ableitungen von f (x) := [(x−1)(x+1)]n mit Satz von Rolle auf Nullstellen
untersuchen.
2
Aufgabe 17.7 (H) [2]
Beweisen Sie: Sind f, g ∈ R[a, b], so ist auch f · g ∈ R[a, b].
Hinweis: Mit einem Kunstgriff“ führt man das Problem auf Aufgabe 17.4 zurück.
”
Aufgabe 17.8 (H) [4]
Sei 0 < a < b. Berechnen Sie die Riemann-Integrale
Z b
Z b
x dx und
ex dx
a
a
mit Hilfe Riemannscher Summen und äquidistanter Unterteilung des Intervalls [a, b].
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