Lösungshinweis - Inst. für Mechanik TU Berlin

Mechanik II Prof. Popov WS 2005/2006
Ebene Starrkörperkinetik, Aufg. 54
Seite 1
Version 19. Dezember 2005
Eine dünne homogene gleichseitige Dreiecksscheibe der Dicke t stößt mit der Spitze gegen eine ruhende
Kugel. Die Kugel fliegt genau in senkrechter Richtung zur vorderen Kante der Scheibe weg. Der Stoß sei
ideal elastisch.
Hinweis: yo (x) =
√
3
3 x
y
yo (x)
√
3
2 l
x
l
2
(a) Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment der Scheibe um ihr Lager A!
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar nach dem Stoß!
Geg.: l, t, ρ, m, ω0 , v0 = 0
Lösungshinweis
(a) Allgemeine Formel für das Massenträgheitsmoment
bezüglich des Koordinatenursprungs A (ebenes Problem):
Z
r2 dm
(1)
JA =
m
Wähle als infinitesimales Massenelement (mit dem Abstand r vom Ursprung) einen Quader über die gesamte
Scheibendicke t:1
dm = ρ t dx dy
Z x= √23 l Z
JA =
x=0
= ρt
Z
√
3
2 l
0
·
(x2 + y 2 ) dy dx
Annahme: Das Zeitintervall ∆t in dem der Stoß stattfindet ist so kurz, daß die Lageänderung des Systems vernachlässigt werden kann. Das heißt nicht, daß die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Null wären.
(3)
y=yu (x)
1
x2 y + y 3
3
ey
¸yo (x)
dx
(4)
ex
yu (x)
(5)
¤
kg
ρtl4 = 3 m m4 = kg m2
m
ω
ez
v
(6)
(7)
Was passiert wärend des Stoßes mit der Kugel?
(8)
. . . und das ist offensichtlich (siehe Gl. (1)) die richtige
Einheit für das Massenträgheitsmoment.
haben.
ω0 6= 0, v0 = 0
ω 1 , v1
y=yo (x)
Einheitenkontrolle:
1 Das
vor dem Stoß
nach dem Stoß
(2)
√
√
3
3
yo (x) =
x ,
yu (x) = −
x
3 √
3
¸
Z 23 l √ ·
3
2 3
JA = ρt
2+
x dx
3
9
0
√
5 3 4
=
ρtl
48
£
(b) Bezeichnungen:
Freischnitt der Kugel:
Fs
m
Impulssatz für die Kugel (v(t) ist die Geschwindigkeit des
ist möglich, weil alle Punkte des Massenelements dm den gleichen Abstand r =
p
x2 + y 2 von der z-Achse durch den Bezugspunkt A
Mechanik II Prof. Popov WS 2005/2006
Ebene Starrkörperkinetik, Aufg. 54
Kugelschwerpunkts):
ṗ =
X
Seite 2
Version 19. Dezember 2005
Aus Gl. (20) und (24) läßt sich die Unbekannte ω1 eliminieren:
(ml2 + JA )v12 − 2JA lω0 v1 = 0
(25)
F
(9)
(pex )˙ = Fs ex
ṗ(t) = Fs (t)
(10)
(11)
Eine Lösung ist v1 = 0. Das entspricht dem Fall, daß kein
Stoß stattfindet.
mv̇(t) = Fs (t)
(12)
Die zweite Lösung ist die gesuchte:
v1 = 2
Scheibe: Freischnitt und Drehimpulsbilanz bzgl. A
Für jeden Körper gilt:
X
M (A) (13)
(L(A) )˙ =
Az
Ax
A
ebenes Problem:
(L(A) ey )˙ = lez × (−Fs ex )
(L(A) )˙ = −lFs
(14)
l
Fs
Wenn A entweder der Schwerpunkt des Körpers oder ein
fester/ruhender Punkt ist (und nur dann!), gilt:
L(A) = JA ω
(15)
Da in unserem Fall JA = konst.:
(L(A) )˙ = Ja ω̇
(16)
,→ Ja ω̇(t) = −lFs (t)
(17)
Aus Gl. (12) und (17) läßt sich die unbekannte Stoßkraft
Fs eliminieren:
JA
(18)
mv̇(t) = − ω̇(t)
l
Integriert über die Stoßzeit ∆t:
m(v1 − v0 ) = −
v1 =
JA
(ω1 − ω0 )
l
JA
(ω1 − ω0 )
ml
(19)
(20)
Energie des Systems vor und nach dem Stoß (gilt in dieser
Form nur, weil A der Momentanpol der Scheibe ist):
1
JA ω02
2
1
1
= JA ω12 + mv12
2
2
Eges,0 =
(21)
Eges,1
(22)
Die Energie soll erhalten bleiben (ideal elastischer Stoß):
Eges,0 = Eges,1
m 2
v
,→ ω02 = ω12 +
JA 1
(23)
(24)
JA l
ω0
ml2 + JA
(26)