Vektoranalysis

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
STUDIENMATERIAL – Teil 7 –
für Studenten der Elektrotechnik/Informationstechnik
VEKTORANALYSIS
Skalar-und Vektorfelder
1. Bestimme die Niveaulinien des ebenen Skalarfeldes U (~r) = x2 + 2y 2
!
2. Bestimme die Niveauflächen von folgenden räumlichen Skalarfeldern:
1
a) U = x2 + 2y 2 , b) U = 2
, c) U = (~ı × ~r)2 !
x + y2 + z2
3. Welches der nachstehenden Skalarfelder ist ein Zentral- bzw. Axialfeld?
1
1
a) U = 2
,
b) U = 2
, c) U = x + y + z ,
2
x +z
x + y2 + z2
d) U = x2 + y 2 − 2x , e) U = x + y − z 2 .
4. Berechne grad U für das Skalarfeld U (x, y, z)
(~r = (x, y, z)τ , r = |~r| , ~a = (a1 , a2 , a3 )τ konstanter Vektor):
a)
U = xyz ,
b)
U = (x2 − y 2 )z ,
c)
d)
U =r ,
e)
U = rn ,
f)
1
,
x2 + y 2 + z 2
U = ln r ,
g)
U = ~r2 ,
h)
U = ~a · ~r ,
i)
U = (~a · ~r)rn ,
j)
U = (~a × ~r) · ~r !
5. Sei U (x, y) =
Bestimme
U=√
4
ein ebenes Skalarfeld.
x2 + y 2
a) die Niveaulinien, b) grad U im Punkt P0 (−1, 2), c) |grad U | in P0
!
6. Bestimme für das Skalarfeld U (x, y, z) die Niveauflächen und für jeden Aufpunkt P0
einen Vektor, der senkrecht auf der P0 enthaltenden Niveaufläche steht:
a) U = ~a · ~r mit ~a = (a1 , a2 , a3 )τ ,
b) U = f (r), wobei f (r) differenzierbar sei!
7. Es sei U (x, y, z) = xy + yz + xz .
a) Wo gilt grad U = ~0 ?
b) In welchen Punkten ist grad U parallel zur x-y-Ebene?
1
8. Berechne für das Skalarfeld U (x, y, z) im Punkt P (x0 , y0 , z0 ) die Richtungsableitung
∂U
in Richtung des Vektors ~a :
∂a
a) U = x3 + xy + z 2 , P (1, −2, 1) , ~a = (−2, 2, −1)τ ,
b) U = exyz ,
1
c) U = 2 ,
r
d) U = ln r ,
P (2, 1, −1) , ~a = (2, −2, 3)τ ,
P (2, 0, −1) , ~a = (1, 1, −1)τ ,
P (2, −1, 3) , ~a = (1, 2, −2)τ
!
9. Es sei U = |~r − ~r0 |.
a) Berechne grad U
!
b) Berechne die Ableitung des Feldes U im Punkt P0 in Richtung der positiven (nach
außen weisenden) Normalen an die Kugel durch P0 mit dem Mittelpunkt ~r0 !
c) Für welche Richtung ~a verschwindet die Richtungsableitung
∂U
im Punkt P0 ?
∂a
10. Berechne für U = xy 3 + yz − x2 y im Punkt P0 (2, −3, 1)
a) grad U ,
b) die Ableitung in Richtung des Vektors ~a = (1, 2, 3)τ ,
c) die Richtungsableitung in Richtung des Normaleneinheitsvektors der Niveaufläche!
2
~ = −grad U
11. Berechne für das Potential U = 4r3 + die Feldstärke E
r
Wo ist E am kleinsten?
!
12. Berechne div ~v und rot ~v :
a)
~v = (x2 + y, y 2 + z, z 2 + x)τ ,
b) ~v = xyz(1, 1, 1)τ ,
c)
~v = ex (sin y, cos y, 0)τ ,
d) ~v = ~r ,
e)
~v = rn~r ,
f)
g)
~v = ~a × ~r ,
h) ~v = ϕ(r)~r , wobei ϕ(r) differenzierbar sei!
~v = rn~a ,
13. Berechne die Divergenz und die Rotation des Vektorfeldes
π
~v = (ey−x , x2 z, −y cos z)τ im Punkt P0 (0, 1, ) !
2
14. Für welche Zahlen m und n ist das Feld ~v = (xyz)m (xn , y n , z n )τ wirbelfrei?
15. Das Geschwindigkeitsfeld einer Rohrströmung (Rohrachse ist die z-Achse, Durchmesser des Rohres ist d) wird beschrieben durch
Ã
!
d2
~v = c
− x2 − y 2 (0, 0, 1)τ .
4
Ist die Strömung wirbelfrei bzw. quellenfrei?
16. Es sei ~v = (xz, yz, x2 + y 2 )τ . Berechne
a) div ~v , b) rot ~v , c) grad div ~v , d) rot rot ~v
2
!
Formale ∇-Rechnung
∇ Nabla-Operator, ~r = (x, y, z)τ , r = |~r|, ~a, ~b konstante Vektoren,
U (x, y, z), V (x, y, z) Skalarfelder, ~u(x, y, z), ~v (x, y, z) Vektorfelder,
f (r), g(r) differenzierbare Funktionen.
17. Berechne
a)
∇r ,
b)
e)
∇ ln r ,
f)
1
,
c)
r
∇(~a · ~r) , g)
i)
(~a · ∇)~r ,
j)
(~a · ∇)~b ,
∇
k)
∇f (r) ,
d)
∇rn ,
∇ · ~r ,
h)
∇ × ~r ,
(~r · ∇)~a !
18. Berechne unter Verwendung der Regeln der formalen ∇-Rechnung:
à !
a)
d)
~r
,
r
∇ · (~a ln r) ,
∇·
Ã
!
b)
∇ · (rn~r) ,
c)
∇ · (rn~a) ,
e)
∇ · (rn (~a · ~r)~r) ,
f)
∇ · ((~a × ~r)rn ) ,
∇(rn (~a · ~r)) ,
i)
∇(rer ) ,
j)
ln r
∇
,
h)
r
∇(r2 (~a · ~r) ln r) , k)
∇ × (~rrn ) ,
l)
∇ × (~arn ) ,
m)
∇ × (~a ln r) ,
∇ × (~a × ~r) ,
o)
∇ × (~rrn (~a · ~r)) !
g)
n)
19. Berechne wie in Aufgabe 18):
a)
∇(U V ) ,
e)
∇(f (r)g(r)) , f)
i)
div
~r
,
r3
b)
j)
∇(~u · ~v ) ,
c)
∇ · (f (r)~r) , g)
div grad
1
,
r
d)
∇ × (~u × ~v ) ,
∇ · (~u × f (r)~r) ,
h)
∇ × f (r)~r ,
div r2~r !
k)
20. Zeige: a) rot grad U = ∇ × ∇U = ~0 ,
∇ · (~u × ~v ) ,
b) div rot ~v = ∇ · (∇ × ~r) = 0 !
21. Berechne:
µ
a)
∇ · (∇rn ) ,
b)
∇ · (∇ ln r) ,
c)
e)
∇(∇ · rn~r) ,
f)
∇(∇ · ~a ln r) ,
g)
h)
∇(∇ · (~a × rn~r)) , i)
¶
1
,
r
∇(∇ · ~arn ) ,
∇· ∇
d)
∇(∇ · ~r) ,
∇ × (∇ × r2~a) !
~ und der magnetischen Feldstärke H
~ bestehen
22. Zwischen der elektrischen Feldstärke E
in einem gleichförmigen, isotropen Dielektrikum folgende Beziehungen:
~
~
c
∂E
~ , ∂ H = − c rot E
~ , div E
~ = 0 , div H
~ =0
= rot H
∂t
ε
∂t
µ
(ε Dielektrizitätskonstante, µ Permeabilität, c Proportionalitätsfaktor).
~ und H
~ der Wellengleichung
Zeige, dass E
c2 2
∂ 2~v
=
∇ ~v genügen!
∂t2
εµ
23. Bestimme für das Vektorfeld ~v ein Skalarfeld U mit grad U = ~v :
a) ~v = ~r , b) ~v = (ex sin y, ex cos y)τ
!
3
Kurvenintegrale
24. Berechne für folgende Kurvenstücke ein vektorielles Linienelement d~r :
a)
Gerade y = mx + n , b) Gerade x = c , c) Kreis x2 + y 2 = a2 ,
d)
f)
x2 y 2
+ 2 = 1 , e) Zykloide x = a(t − sin t) , y = a(1 − cos t) ,
a2
b
Spirale r = ecϕ , g) Kreis ~r = (a cos ϕ, a sin ϕ, 2)τ ,
h)
Schraubenlinie ~r = (a cos ϕ, a sin ϕ,
Ellipse
hϕ τ
)
2π
!
Z
25. Berechne das Kurvenintegral
~v (~r) · d~r :
k
a)
~v = (−y, x)τ , k: Strecke von (0,0) nach (1,1) ,
b) ~v = (−y, x)τ , k: Streckenzug von (0,0) über (1,0) nach (1,1) ,
π
c) ~v = (−y, x)τ , k: x = a cos3 t , y = a sin3 t , 0 ≤ t ≤ ,
2
d) ~v = (y + 3z, 2z + x, 3x + 2y)τ ,
2aϕ
k : x = a cos ϕ , y = a sin ϕ , z =
von P1 (a, 0, 0) nach P2 (0, a, a) ,
π
e) ~v = ~a × ~r , ~a = (1, 1, 1)τ , k: Strecke von P1 (0, 0, 0) nach P2 (1, 1, 1) ,
f)
g)
~v = ∇(~a · ~r) , ~a = (1, 1, −1)τ , k: x = 2 cos t , y = 2 sin t , z = 3 ,
0≤t≤π ,
1
~v = rot (x + y 2 , y, y + z)τ , k: x = t, y = t2 , z = , 1 ≤ t ≤ 2 !
t
26. Berechne das Kurvenintegral:
Z
(x2 y dx − xy dy) , k: y = 2x von A(0, 0) nach B(1, 2) ,
a)
k
Z
(y 2 dx − x2 dy) , k: y = 1 −
b)
k
Z
c)
k
√
1 − x2 von A(0, 0) nach B(1, 1) ,
x dy − y dx
,
x2 + y 2 + 1
k: Rand des kleineren Segments, das durch die Gerade x + y = 1
vom Kreis x2 + y 2 = 1 abgeschnitten wird (positiv orientiert),
Z
d)
(y dx + z dy + x dz) , k: x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π ,
k
I
e)
(y 2 dx + z 2 dy + x2 dz) ,
k
√
k: Schnittkurve der Flächen z = a2 − x2 − y 2 und x2 + y 2 = ax , (a > 0)
(Orientierung: von oben gesehen im mathematisch positiven Sinn)
I
~v · d~r des Vektorfeldes ~v = (x2 + y, x − y 2 )τ längs der
27. Berechne die Zirkulation
k
im mathematisch positiven Sinn durchlaufenen Ellipse
4
x2 y 2
+ 2 =1.
a2
b
Z
~v · d~r mit ~v = (2xy + 3z 2 , x2 + 4yz , 2y 2 + 6xz)τ wegunabhängig?
28. a) Ist
k
b) Berechne dieses Integral, wenn k ein von A(0, 0, 0) nach B(1, 1, 1)
führender Weg ist!
c) Bestimme zum Vektorfeld ~v ein Potential U
!
29. Gegeben sind die Funktionen P (x, y) , Q(x, y).
Ermittle eine Lösung u(x, y) des Systems ux = P , uy = Q für
a)
P = 3x2 y + ey , Q = x3 + xey ,
b)
P = x sin 2y ,
c)
P = x + ln y ,
Q = x2 cos 2y ,
x
Q = + sin y !
y
30. Gegeben sind die Funktionen P (x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z).
Ermittle eine Lösung u(x, y, z) des Systems ux = P, uy = Q, uz = R für
1
1
1
x
1
a) P = − 2 ,
Q=
,
R=− 2 −
,
z x
y
z
1 + z2
x
b) P = ln y − cos 2z , Q = + z , R = y + 2x sin 2z ,
y
1
3
3y − x
c) P =
,
Q=− ,
R=
!
z
z
z2
Z Ã
31. Für welches λ ist
k
x λ
x2
r dx − 2 rλ dy
y
y
!
wegunabhängig (k liege im Gebiet
y > 0 oder y < 0) ?
32. a) Ist ~v = (yz, xz, xy)τ ein Potentialfeld? Berechne gegebenenfalls das Potential U
bezüglich des Anfangspunktes A(0, 0, 0) !
ZP2
b) Berechne
~v · d~r mit P1 (1, 0, 1) und P2 (3, 4, 7) !
P1
33. Zeige, dass das Vektorfeld ~v = (y 2 + z 2 , 2xy, 2xz)τ ein Potentialfeld ist und berechne
das zugehörige Potential U (x, y, z) mit U (1, 1, 1) = 0 !
34. Für welchen Wert λ kann das Vektorfeld
~v = (x2 + 5λy + 3yz, 5x + 3λxz − 2, 2xy + λxy − 4z)τ
als Gradient eines Skalarfeldes U (x, y, z) dargestellt werden?
Gib für dieses λ das Potential U (x, y, z) an!
35. Gegeben sei das Vektorfeld ~v = ~a × ~r mit ~a = (1, 1, 1).
Z
a) Ist das Kurvenintegral
~v (~r) · d~r wegunabhängig?
k
b) Berechne dieses Integral längs des geradlinigen Weges von
P0 (0, 1, 0) nach P2 (0, 0, 1) !
5
36. Es sei ~v = (xz + ay λ , xy + az λ , yz + axλ )τ .
Z
a) Berechne
~v · d~r , k: Strecke von P1 (3, 0, 0) nach P2 (3, 3, 0) !
k
b) Wie sind die Konstanten a, λ (λ > 0, ganze Zahl) zu wählen, damit das Vektorfeld
ein Potentialfeld ist?
c) Berechne für die unter b) gefundenen Konstanten ein Potential U (x, y, z) zu ~v
Ã
37. Es sei ~v =
x
1
√ 2
, √ 2
, −1
x +y 2 x +y
!
!τ
.
a) Zeige, dass das Vektorfeld ~v als Gradient einer skalaren Ortsfunktion
U (x, y, z) dargestellt werden kann!
b) Bestimme das Potential U (x, y, z) bezüglich des Anfangspunktes P0 (1, 1, 1) !
38. Berechne
I
k
(ax − by) dx + (bx + ay) dy
x2 + y 2
,
wenn k eine beliebige geschlossene (stückweise glatte) Kurve ist, die den Punkt P (0, 0)
umschließt!
39. Berechne die Arbeit, die notwendig ist für eine Verschiebung der Masseneinheit auf
dem Kurvenstück k im Kraftfeld F~ (~r):
a)
F~ (~r) = (x + y, 2x)τ ,
k: x = a cos t , y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ,
b)
F~ (~r) = (x + y, x)τ ,
k: x = a cos t , y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ,
c)
F~ (~r) = (x, y, z)τ ,
k: Streckenzug OABCO mit
O(0, 0, 0) , A(0, a, 0) , B(a, a, 0) , C(a, a, a) ,
Ã
d)
!τ
xy x2
x2 y
,
+ (y − z)2 , − 2 − (y − z)2 − e−z , z > 0 ,
z 2z
2z
k: Weg von P0 (−2, 0, 3) nach P1 (x1 , y1 , z1 ) im Gebiet z > 0 !
F~ (~r) =
40. Durch einen in der z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems gelegenen elektrischen Leiter fließe ein Strom der Stärke I (I konstant) in Richtung der positiven
~ r) im Punkt P (x, y, z) gilt dann
z-Achse. Für die magnetische Feldstärke H(~
Ã
x
~ r) = I − y
, 2
H(~
2
2
2π
x +y
x + y2
Bestimme:
~ r)| ,
a) |H(~
~ ,
b) div H
!τ
, x2 + y 2 6= 0 .
~
c) rot H
I
~ · d~r
H
d)
die magnetische Umlaufspannung
e)
k: Kreis um M (0, 0, z0 ) mit Radius %, positiv orientiert in paralleler Ebene
zur x-y-Ebene (Feldlinie)!
~ .
das magnetische Potential Ψ aus – grad Ψ = H
d~r
~ r) .
= c · H(~
die Feldlinien ~r(t) über
dt
k
f)
6
41. Die elektrische Feldstärke sei gegeben durch
~ = (2xyz − y 2 z, x2 z − 2xyz, x2 y − xy 2 + 1)τ .
E
~
a) Berechne rot E
!
Z
b) Wie groß ist die elektrische Spannung U =
~ · d~r zwischen den Punkten
E
k
P1 (0, 0, 0) und P2 (1, 1, 2) ?
Oberflächenintegrale
42. Berechne ein vektorielles Oberflächenelement df~ für folgende Flächenstücke:
a)
Ebene z = c (die pos. Seite sei die Oberseite) für kartesische Koordinaten,
b)
Ebene z = c (die pos. Seite sei die Oberseite) für Zylinderkoordinaten,
c)
Kreisfläche in√der Ebene z = 3 mit dem Mittelpunkt auf der z-Achse und
dem Radius 2 (die pos. Seite sei die Oberseite),
d)
−2 ≤ x ≤ 2, − 2 ≤ y ≤ 2, z = 3 (die pos. Seite sei die Unterseite),
e)
Ebene ax + by + cz = d , (c 6= 0) (die pos.Seite sei die Oberseite),
f)
Ebene 3x + 5y = 2 (der Normalenvektor ~n zeige zum Ursprung),
g)
Ebene x = 2 (der Normalenvektor ~n zeige in Richtung der pos. x-Achse),
h)
Zylinder x2 + y 2 = a2 (die pos. Seite sei die Außenseite),
i)
Rotationsparaboloid z = x2 + y 2 (die pos. Seite sei die Unterseite),
j)
Kugel x2 + y 2 + z 2 = a2 (die pos. Seite sei die Außenseite),
k)
Kegel z 2 = x2 + y 2 (z > 0) (die pos. Seite sei die Unterseite) !
Z
43. Berechne
~v (~r) · df~ :
S
a)
~v (~r) = ~r ,
b) ~v (~r) = ~r ,
c)
S: x + y + z = a (a > 0), x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
(der Normalenvektor zeige nach oben),
S: x2 + y 2 + z 2 = a2
(der Normalenvektor zeige nach außen),
~v (~r) = (x, y, z − 1)τ , S: z = x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4
(der Normalenvektor zeige nach unten),
d) ~v (~r) = (x, y, z − 1)τ , S: sei die geschlossene Fläche, die von z = x2 + y 2
und z = 4 begrenzt wird
(der Normalenvektor zeige nach außen)
e)
~v (~r) = (x3 , y 3 , z 3 )τ ,
S: x2 + y 2 + z 2 = a2
(der Normalenvektor zeige nach außen),
7
f)
~v (~r) = ~r ,
S: sei die Dreiecksfläche mit den Eckpunkten
A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)
(der Normalenvektor zeige nach oben),
g)
~v (~r) = ∇r ,
S: x2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0
(der Normalenvektor zeige nach oben),
h) ~v (~r) = ∇ × (~a × ~r) mit ~a = (1, 1, 1)
S: x2 + y 2 = 1 , x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ h
(der Normalenvektor zeige nach außen) !
Z
y
z
x τ
44. Berechne für das Vektorfeld ~v (~r) = (xe , xe , ze ) den Fluss Φ =
~v · df~ durch
S
die Fläche S : y 2 + z 2 = a2 , − 1 ≤ x ≤ 1 (der Normalenvektor zeige nach außen) !
Z
τ
45. Berechne für das Vektorfeld ~v (~r) = (0, 0, x)
den Fluss Φ =
~v · df~ durch
S
die Fläche S, die von z 2 = x2 + y 2 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) durch die Ebene
−y + 3z − 4 = 0 abgeschnitten wird (der Normalenvektor zeige nach unten)!
Hinweis: Verwende Kugelkoordinaten!
Z
τ
46. Berechne für das Vektorfeld ~v (~r) = (y, −x, z)
den Fluss Φ =
durch eine Windung der Schraubenfläche S:
h τ
ϕ) , 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
~r = (r cos ϕ, r sin ϕ,
2π
(der Normalenvektor zeige nach oben) !
~ · df~
v(r)
S
Z
47. Berechne für das Vektorfeld ~v (~r) = (2xy, −2xz, z 2 )τ den Fluss Φ =
~v · df~
S
durch die Fläche S: z = 2(x2 + y 2 ) , 0 ≤ z ≤ 8 (der Normalenvektor zeige nach
unten)
Integralsätze von Gauß und Stokes
48. Verwende den Gaußschen Integralsatz für die Ebene zur Berechnung von:
I
(x2 y dx + y dy), wenn k der Rand des Bereiches ist, der von
a)
k
y = x und y 2 = x begrenzt wird,
I
~v · d~r, ~v = (cos x sinh y − xy 2 , sin x cosh y + x2 y)τ , k : x2 + y 2 = a2 ,
b)
k
Z
c)
x4 − y 4
db , wenn B das ebene Flächenstück ist, das von den Kurven
x2 y 2
B
3
x2 + y 2 = 10 , y = , y = x begrenzt wird und die Eckpunkte
√ √x
√ √
P1 (3, 1) , P2 ( 5, 5) , P3 ( 3, 3) besitzt!
8
Z
49. Berechne
~v · d~r unter Verwendung des Satzes von Stokes:
k
a) ~v = (−y, x, 2)τ , k: Kreis (x − 1)2 + y 2 = 1, z = 3, positiv orientiert
(von oben gesehen),
b) ~v = (xy 2 , −z, z)τ , k: Schnitt des Zylinders x2 + y 2 = a2 mit der Ebene
x + y + z = 1, positiv orientiert,
c) ~v = (2y, z, 3y)τ , k: Schnitt der Fläche x2 + y 2 + z 2 = 6z mit der Ebene
z = x + 3, positiv orientiert,
d) ~v = (x(1 − z), y + z, z 2 − y)τ , k: Schnitt des Paraboloids z = (x + 1)2 + y 2
mit der Ebene z = 2(x + 1), positiv orientiert!
50. Löse die Aufgaben 43 b, d, e mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes!
I
51. Berechne
~v · df~ mit ~v = (x, y, yz 2 )τ , wenn S die Oberfläche eines achsparallelen
S
Würfels mit dem Mittelpunkt im Ursprung und der Kantenlänge 2 ist (der Normalenvektor zeige nach außen) !
52. Ein Vektorfeld sei in K = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 100, z ≥ 5} durch
Z
2 τ
~v = (xz, −10, y ) definiert. Berechne den Fluss Φ = ~v · df~ durch die
S
Oberfläche S von K:
a) ohne Benutzung des Gaußschen Integralsatzes,
b) mit Benutzung des Gaußschen Integralsatzes!
Z
3
3
3 τ
53. Berechne für das Vektorfeld ~v = (x , y , z )
den Fluss Φ =
durch die Oberfläche des räumlichen Bereiches
B = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z 2 ≥ x2 + y 2 , z ≥ 0}
(der Normalenvektor zeige nach außen) !
Z
54. a) Berechne den Fluss Φ =
~v · df~
S
~v · df~ des Vektorfeldes ~v = (y, x, 3z)τ
S
durch die Oberfläche des Körpers, der von unten durch den Kegel
S1 : z 2 = x2 + y 2 , z ≥ 0 und von oben durch den Paraboloid S2 : z = 6 − x2 − y 2
begrenzt wird (der Normalenvektor zeige nach außen) !
Z
b) Berechne den Fluss Φ1 =
~v · df~ durch die untere Begrenzungsfläche S1
S
des Körpers (der Normalenvektor zeige nach unten) !
55. Gegeben sei das Vektorfeld ~v = (x2 , y 2 , z − 1)τ .
Z
a) Berechne mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes den Fluss Φ =
~v · df~
S
durch die Oberfläche S des Körpers K, der nach oben durch die Ebene z = 4
und nach unten durch z = x2 + y 2 begrenzt wird (Normale nach außen) !
b) Bestimme den Fluss Φ1 des Vektorfeldes ~v durch die Fläche S1 : z = x2 + y 2 ,
0 ≤ z ≤ 4 (der Normalenvektor habe eine negative z-Komponente) !
9
56. Gegeben sei das elektrische Feld
~ =
E
(1 +
1
√
z2)
x2 + y 2
(x, y, z)τ .
Z
% dτ im Zylinder B = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ a2 },
Berechne die Gesamtladung Q =
B
1
~ (K konstant) ist !
wenn die Ladungsdichte % =
div E
K
I
57. Berechne
[x(z − y) dx + y(x − z) dy + z(y − x) dz],
k
wobei k das Dreieck mit den Eckpunkten A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(0, 0, a) ist
(durchlaufen von A über B und C zurück nach A):
a) unter Benutzung einer Parameterdarstellung des Integrationsweges,
b) unter Verwendung des Integralsatzes von Stokes !
58. Verwende den Stokesschen Integralsatz zur Berechnung von:
a)
I Ã 3
x
k
y3
dy −
dx
3
3
!
, k: Dreieck mit den Eckpunkten A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1),
I
[(xex + sin y) dx + (sin2 y + x cos y dy] ,
b)
k
k: x = a cos3 t , y = a sin3 t , 0 ≤ t ≤ 2π
!
59. Zeige
mit Hilfe des Stokesschen Satzes, dass das Kurvenintegral
Z
(yz dx + xz dy + xy dz) vom Weg unabhängig ist !
k
60. Ein Raumteil rotiere wie ein fester Körper mit der Winkelgeschwindigkeit ω
~
um die z-Achse. Der Geschwindigkeitsvektor ~v hat die Gestalt:
~v = (−ωy, ωx, 0)τ mit ω = |~ω | .
I
Berechne die Zirkulation des Vektorfeldes ( ~v · d~r) um den Kreis
k
x2 + y 2 = a2 , z = 1 in positiver Richtung !
Z
61. Berechne den Wirbelfluss
rot ~v · df~ von ~v = (x3 − y 3 , −xyz, y 3 )τ durch die Fläche
S
S : x2 + 4y 2 + z 2 − 2z = 4 mit z ≥ 0 (Normalenvektor zeige nach außen) !
62. Gegeben sei das Vektorfeld
~v = [ yz(3x2 + y 2 − z 2 ), xz(x2 + 3y 2 − z 2 ), xy(x2 + y 2 − 3z 2 )]τ .
I
Berechne I1 =
S1
~v · df~ und I2 =
Z
rot ~v · df~ unter Verwendung geeigneter
S2
Integralsätze ! Dabei sei S1 die Gesamtfläche des Bereichs
{(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0} und S2 die Fläche x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0
(der Normalenvektor zeige jeweils nach außen).
10
Krummlinige Koordinatensysteme
63. Stelle folgende Vektorfelder mit Hilfe der Einheitsvektoren ~er , ~eϕ , ~ez
für Zylinderkoordinaten dar:
a)
b) ~v = (x, −y, z)τ ,
~v = ~r ,
d) ~v = f (x2 + y 2 )~r , e)
~v = (1, 1, 1)τ ,
c) ~v = (x2 + y 2 , 0, z)τ ,
~v = (0, 0, (x2 + y 2 )z)τ
f)
!
64. Stelle folgende Vektorfelder mit Hilfe der Einheitsvektoren ~ı, ~, ~k
für kartesische Koordinaten dar, wenn ~er , ~eϕ , ~ez die Einheitsvektoren für Zylinderkoordinaten sind:
a) ~v = r~er + r~eϕ + 2~ez ,
b) ~v = cos ϕ ~er − sin ϕ ~eϕ + rz cos ϕ ~ez ,
c)
~v = sin ϕ ~er + cos ϕ ~eϕ − ~ez
!
65. Stelle folgende Vektorfelder mit Hilfe der Einheitsvektoren e~r , ~eϑ , ~eϕ
für Kugelkoordinaten dar:
~v = ~r ,
b) ~v = (x, −y, z)τ , c) ~v = f (x2 + y 2 )~r ,
√ 2
f) ~v = (x, y, 0)τ !
d) ~v = f ( x + y 2 + z 2 )~r , e) ~v = (0, 0, 1)τ ,
a)
66. Berechne grad U (r, ϑ, ϕ) bezüglich der Einheitsvektoren für Kugelkoordinaten:
a)
U =r ,
b)
c)
U = r sin ϕ , d)
U = f (r) , f (r) sei differenzierbar,
√
U = x2 + y 2 !
67. Berechne grad U (r, ϕ, z) bezüglich der Einheitsvektoren für Zylinderkoordinaten:
√
a) U = r ,
b) U = x2 + y 2 + z 2 ,
x
c) U = ϕ ,
d) U = + zex !
r
68. Berechne ∆U für das Skalarfeld U (r, ϑ, ϕ)
a)
c)
U =r ,
b)
1
U = sin ϕ , d)
r
U = f (r) , f (r) sei zweimal differenzierbar,
U = x2 + y 2 + z
!
69. Berechne ∆U für das Skalarfeld U (r, ϕ, z):
a)
c)
U =r ,
b)
1
U = sin ϕ , d)
r
70. Zeige, dass U (r, ϑ, ϕ) =
U = f (r) , f (r) sei zweimal differenzierbar,
U = x2 + y 2 + z
!
1
der Laplaceschen Differentialgleichung ∆U = 0 genügt.
r
71. Zeige, dass U (r, ϕ, z) = ln r der Laplaceschen Differntialgleichung ∆U = 0 genügt.
Z
72. Berechne das Kurvenintegral
~v (~r) · d~r über das Feld ~v (~r) = 2r sin ϑ ~er
k
(in Kugelkoordinaten) längs des Weges
a)
k : r = 2t ,
b)
k:r=1 ,
ϑ = t2 , ϕ = 0 ,
π
ϑ=
.
2
0≤t≤
11
√
3
Z
73. Berechne
rot ~v · df~ mit ~v (r, ϑ, ϕ) = (1 − ar)~eϕ (a konstant).
S
Dabei sei S die Halbkugel r = R , 0 ≤ ϑ ≤
π
, 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
2
Vermischte Aufgaben
74. Skizziere die ebenen Vektorfelder und berechne Divergenz und Rotation:
a)
~v = c~ı ,
b) ~v = c(1 + x)~ı ,
c) ~v = c(1 + y)~ı ,
à !
à !
~r
1
x
1
x
, e) ~v = c 2 = c ~er = c 2
,
d) ~v = c ~r = c r ~er = c
2
y
r
r
x
+
y
y
Ã
!
Ã
!
−y
−y
1
1
.
f) ~v = c r ~eϕ = c
,
g) ~v = c ~eϕ = c 2
x
r
x + y2 x
75. Man berechne die Arbeit, welche bei Ausdehnung der Feder von
P1 nach P2 längs des Viertelkreisbogens aufgebracht werden muss
Z
F~ · d~r
a)
als Kurvenintegral 2. Art: W =
b)
als Kurvenintegral 1. Art: W =
c)
über das Potential zum Kraftfeld F~ .
Z
76. Berechne den Wirbelfluss
Z
F cos (F~ , d~r) ds
©.......r P2
©
.
£ ........
.
£
© ..........
R
c
©
.
© .......
...
......
£ .............µ
£
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
³...............
¤³
¤ ..r..............
P1
rot ~v · df~ von ~v = (2xz − 1, xy + z, x2 − z 2 )τ
S
durch die Fläche S = {(x, y, z) | x2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 8, z ≥ 0}
(die Flächennormale sei nach oben gerichtet) über
a) das Berandungsintegral nach Stokes,
b) das ebene Flächenintegral zur Berandungskurve nach Stokes!
Skizziere S !
77. Es sei B ⊂ R3 ein Körper mit dem Volumen VB , S die Oberfläche von B
und r der Betrag des Ortsvektors eines Punktes P ∈ R3 .
1Z
Beweise die Gültigkeit von VB =
grad r2 · d~s .
6
S
78. Beweise das Archimedische Prinzip:
Die Auftriebskraft eines Körpers ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
Hinweis: Benutze die Formel p = % gz für den Druck in Flüssigkeiten der Dichte % in
der Tiefe z und den Gaußschen Integralsatz für das entsprechende Kraftfeld.
~ r) für einen geraden Leiter, der in positiver z-Richtung von einem Strom I
79. Berechne H(~
I
~ r)·d~r = I. Benutze den bekannten
durchflossen wird, mittels Durchflutungsgesetz H(~
k
~ r) und das Zylinder-Koordinatensystem.
Feldlinienverlauf von H(~
Z
80. Berechne das Integral
~ · d~r für E
~ =
E
k
Q
~er
4πεr2
k sei die Schraubenlinie x2 + y 2 = R2 , ϕ = t, z = at (0 ≤ t ≤ 2π, R, a konstant).
a) Rechne mit Zylinderkoordinaten im kartesischen Koordinatensystem!
b) Rechne im Zylinder-Koordinatensystem!
12