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Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
ARBEITSBLATT 1
FUNKTIONEN
Was ist eine Funktion?
Stellen wir uns Folgendes vor: Wir stehen vor einem Schaufenster und
betrachten die Waren, welche ausgestellt sind. Da wir nicht beliebig viel Geld
haben interessiert uns auch der Preis. Jede Ware hat natürlich genau einen
Preis, wobei manche Waren natürlich auch gleich hohe Preise haben dürfen.
Abstrakt dargestellt, wird also jeder Ware genau ein Preis zugeordnet. Wir
veranschaulichen uns diesen Zusammenhang mittels einer Grafik:
WAREN
PREISE
Die Besonderheit an obiger Gegebenheit, ist die Tatsache, dass jeder Ware
genau ein Preis zugeordnet wird. Wenn wir also jede Ware mit der Variablen x
und jeden Preis mit der Variablen y bezeichnen, so wird also jedem x genau
ein y zugeordnet. Eine derartige Zuordnung nennt man eine Funktion.
Definition: Eine Zuordnung, die jedem x genau ein y zuordnet, nennt man eine
Funktion.
Übung: Übungsblatt 1; Aufgabe 1
1
Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
Wertetabelle und Funktionsgraphen
Betrachten wir zunächst einmal folgendes Pfeildiagramm:
1
1
2
2
3
3
Wie man leicht sehen kann, liegt hier wieder eine Funktion dar, wobei jeder
Zahl aus der einen Menge eine Zahl aus der zweiten Menge zugeordnet wird.
Die Elemente der Ausgangsmenge werden meist mit x bezeichnet, jene der
zweiten Menge mit y.
Es wird hier jedem x genau ein y zugeordnet. Diesen Zusammenhang kann
man auch mittels einer Tabelle veranschaulichen:
x
1
2
3
y
3
1
2
Merke: Eine derartige Tabelle bezeichnet man als Wertetabelle oder
Funktionswerttabelle.
Nun haben aber Funktionen noch einen weiteren großen Vorteil. Sie lassen
sich graphisch darstellen.
Nehmen wir dazu unser obiges Beispiel: Zunächst einmal zeichnen wir uns ein
Koordinatensystem, wobei wir auf der waagrechten Achse die x-Werte, auf
der senkrechten Achse die y-Werte auftragen wollen.
y-Achse
4
3
2
1
x-Achse
0
-4
-3
-2
-1
-1
1
1
2
3
4
-2
1
-3
Wir können nun jede Zuordnung als einen Punkt im Koordinatensystem
verstehen. Dem Wert 1 wird 3 zugeordnet. Folglich ist (1/3) ein Punkt unserer
2
Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
Funktion. Dem Wert 2 wird 1 zugeordnet, folglich ist (2/1) ein Punkt unserer
Funktion. Dem Wert 3 wird 2 zugeordnet. Folglich ist (3/2) ein Punkt unserer
Funktion.
Nun zeichnen wir unsere Punkte ein:
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
1
1
3
2
4
-2
1
-3
Nun verbinden wir die Punkte, um den Verlauf der Funktion besser verstehen
zu können.
Anmerkung: Bitte zeichnen Sie die Punkte der Funktion nicht als derartige „Knödel“ wie hier
dargestellt ein.
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-1
1
1
2
3
4
-2
1
-3
Damit haben wir den Verlauf unserer Funktion dargestellt.
Merke: Die gezeichnete Darstellung von Funktionen nennt man den
Funktionsgraphen einer Funktion.
Übungen: Übungsblatt 1, Aufgabe 2
3
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Arbeitsblatt 1
4. Semester
Eigenschaften einer Funktion
a) Bijektivität:
Definition: Eine Funktion heißt bijektiv (=umkehrbar), wenn jedem y-Wert
genau ein x-Wert zugeordnet wird.
Erinnern wir uns. Um eine Funktion handelt es sich bei einer Zuordnung, wenn
jedem x genau ein y zugeordnet wird. Bijektiv ist diese Funktion, wenn
umgekehrt jedem y genau ein x- zugeordnet wird.
Veranschaulichen wir uns dies an einem Beispiel: Folgendes Pfeildiagramm sei
gegeben:
y
x
Diese Zuordnung stellt zunächst einmal eine Funktion dar, weil jedem x genau
ein y zugeordnet wird. Wenn wir nun untersuchen, ob diese Funktion auch
bijektiv ist, müssen wir schauen, ob auch umgekehrt jedem y genau ein x
zugeordnet ist: Wir erhalten folgende Darstellung:
y
x
Wir sehen, dass auch jedem y genau ein x zugeordnet wird. Folglich ist diese
Funktion bijektiv.
4
Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
Ein weiteres Beispiel noch für eine nicht bijektive Funktion. Folgende
Pfeildarstellung sei gegeben:
y
x
Offensichtlich ist dies eine Funktion. Zwecks unserer Untersuchung für die
Bijektivität drehen wir die Pfeile wieder um.
x
y
Wir erkennen, dass es von y aus gesehen einen Wert gibt, dem zwei x-Werte
zugeordnet werden. Folglich ist diese Funktion nicht bijektiv.
Übungen: Übungsblatt 1; Aufgabe 3
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Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
Normalerweise muss man die Bijektivität einer Funktion anhand des
gegebenen Funktionsgrafen ermitteln.
Sehen wir uns dazu Beispiele an:
y
10
8
6
4
y
2
1,9
1,6
1,3
1
0,7
0,4
0,1
-0,2
-0,5
-0,8
-1,1
-1,4
-1,7
-2
0
-2
-4
-6
-8
x
Damit die Funktion bijektiv ist, darf es zu jedem y-Wert nur genau einen x- Wert
geben. Stellen Sie sich also vor, dass Sie parallel zur x-Achse Geraden
einzeichnen. Jede dieser Geraden darf die Funktion nur genau einmal
schneiden. Ist dies der Fall, so ist die Funktion bijektiv. Hat nur eine dieser
gedachten Geraden zwei oder mehrere Schnittpunkte, so ist die Funktion
nicht bijektiv.
Unser Beispiel oben ist also eine bijektive Funktion.
6
Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
Beispiel für eine nicht bijektive Funktion:
y
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2,6
2,2
1,8
1,4
1
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
-1,4
-1,8
-2,2
-2,6
-3
0
-1
-2
Eine zur x-Achse parallele Gerade würde die Funktion in zwei Punkten
schneiden, folglich ist diese Funktion nicht bijektiv.
Übung: Übungsblatt 1; Aufgabe 4
b) Definitions- und Wertemenge
Definition: Die Menge aller Zahlen, welche die unabhängige Variable x
annehmen kann, nennt man Definitionsmenge D.
Dieser Begriff ist uns ja bereits bekannt. Die Definitionsmenge gibt wie immer
an, welche Werte x annehmen kann.
Definition: Die Menge aller Zahlen, welche die abhängige Variable y
annehmen kann, nennt man Wertemenge W.
Die Wertemenge gibt also an, aus welchem Zahlenbereich der y-Wert sein
kann.
c) Monotonie
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Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
Bei der Monotonie interessiert einen, ob die Funktion steigt oder fällt. Wenn wir
dies anhand des Graphen feststellen, betrachten Sie die Funktion immer von
links nach rechts, also von den kleineren x-Werten zu den größeren.
Definition: Werden die y-Werte bei größer werdenden x-Werten immer größer,
so nennt man die Funktion streng monoton steigend.
Beispiel:
y
10
8
6
4
y
2
1,9
1,6
1,3
1
0,7
0,4
0,1
-0,2
-0,5
-0,8
-1,1
-1,4
-1,7
-2
0
-2
-4
-6
-8
x
Die Funktion steigt von links nach rechts betrachtet immer an, die
Funktionswerte werden also immer größer. Eine derartige Funktion nennt man
streng monoton steigend.
Definition: Werden die y-Werte bei größer werdenden x-Werten immer größer
oder bleiben gleich, so nennt man die Funktion monoton steigend.
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Mathematik
Arbeitsblatt 1
4. Semester
Beispiel:
y
5
4
3
2
1
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
0
-1
-2
-3
-4
Von links nach rechts betrachtet steigt die Funktion immer weiter an oder
bleibt gleich. Eine derartige Funktion nennt man monoton steigend.
Definition: Werden die y-Werte bei größer werdenden x-Werten immer kleiner,
so nennt man die Funktion streng monoton fallend.
Beispiel:
y
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
9
1,9
1,6
1,3
1
0,7
0,4
0,1
-0,2
-0,5
-0,8
-1,1
-1,4
-1,7
-2
0
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4. Semester
Von links nach rechts betrachtet fällt die Funktion immer weiter nach unten,
die y-Werte fallen also immer. Eine solche Funktion nennt man streng
monoton fallend.
Definition: Werden die y-Werte bei größer werdenden x-Werten immer kleiner
oder bleiben gleich, so nennt man die Funktion monoton fallend.
Beispiel:
y
5
4
3
2
1
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
0
-1
-2
-3
Fällt der Graph der Funktion von links nach rechts ab oder bleibt gleich, so
nennt man die Funktion monoton fallend.
Übungen: Übungsblatt 1; Aufgaben 5 - 7
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