Korrespondenzzirkel MATHEMATIK 2006/2007 SERIE 6 6.1 6.2 6.3

Korrespondenzzirkel
MATHEMATIK
SERIE 6
2006/2007
Termin: 01.05.2007
Rücksendung an:
Antje Samland, Brahestraße 3, 18059 Rostock
6.1
Man ermittle alle diejenigen Tripel (p, q, r) von Primzahlen, die die folgenden Bedingungen (1)
und (2) erfüllen:
(1) In der Folge aller Primzahlen sind p, q, r in dieser Reihenfolge aufeinanderfolgende Primzahlen.
(2) Die Zahl s = p2 + q 2 + r2 ist eine Primzahl.
6.2
Man ermittle alle diejenigen Tripel (x, y, z) reller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem
erfüllen!
x + y − z = −1
x2 − y 2 + z 2 =
1
3
3
3
−x + y + z = −1
6.3
Beweisen Sie die folgende Aussage!
Wenn n eine natürliche Zahl mit 1 ≤ n ≤ 5 ist, so gilt: Wird eine Kugel von n Ebenen
geschnitten, so entstehen auf der Kugeloberfläche höchstens 22 Teilflächen.
6.4
Zwei Personen, A und B, spielen mit n auf einer Geraden angebrachten Lampen (n > 3) das
folgende Spiel:
Zum Spielbeginn sind alle Lampen ausgeschaltet. Eine ganze Zahl k mit 1 < k < n − 1 wird
vereinbart. Dann verläuft das Spiel so, dass die Spieler, mit A beginnend, abwechselnd am Zug
sind: Jeder Spieler schaltet, wenn er am Zug ist, nach eigener Wahl eine Anzahl nebeneinanderliegender Lampen ein, mindestens eine und höchstens k. Gewonnen hat derjenige Spieler, der die
letzte der n Lampen einschaltet.
Man beweise, dass der Spieler A für jedes n > 3 und jedes k mit 1 < k < n − 1 durch eine
geeignete Vorgehensweise (Strategie) den Gewinn erzwingen kann!
6.5
(a) Beweisen Sie, dass fünf paarweise verschiedene reelle Zahlen existieren, mit denen die folgende
Aussage gilt:
Für jede Auswahl von drei der fünf Zahlen existiert ein Dreieck, dessen Seitenlängen
die drei ausgewählten Zahlen als Maßzahlen haben.
(b) Ermitteln Sie, wenn fünf derartige Zahlen vorliegen, wieviele paarweise nicht kongruente
Dreiecke insgesamt sich aus diesen fünf Zahlen auf die in (a) genannte Art gewinnen lassen!
(c) Beweisen Sie, dass stets dann, wenn fünf derartige Zahlen vorliegen, mindestens eines der
genannten Dreiecke spitzwinklig ist!
(Hinweis:
Zum Messen aller drei Seitenlängen wird dieselbe Maßeinheit benutzt!)