I. Das elektrische Feld 1. Ladung Q 2. Feldkraft Fel - Klasse!
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wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk I. Das elektrische Feld 1. Ladung Q Einheit: 1 C (Coulomb) Elektrische Ladungen werden nicht erschaffen oder vernichtet, sondern nur getrennt oder neutralisiert. Gleichartig geladene Körper stoßen sich, verschieden geladene Körper ziehen sich an. Die elektrische Ladung kann über den Ausschlag des Elektroskops nachgewiesen werden. Die Ladungsart (+/-) kann durch eine Glimmlampe bestimmt werden: _ + Ladung kann influenziert werden, indem in einem neutralen Körper die Elektronen zu einer Seite hin angezogen werden. (=elektrische Influenz) Bei Teilchen wird q verwendet, bei bspw. Plattenkondensatoren Q. Bei einem Elektron gilt ๐ = ๐ = 1,6 ∗ 10−19 2. Feldkraft Fel Einheit: 1 N (Newton) Ein Raum, in dem auf elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt werden, heißt elektrisches Feld. Jede Ladung ist von einem elektrischen Feld umgeben. Dieses unsichtbare Feld veranschaulicht man mit Feldlinien. Eine positive Probeladung q+ erfährt Kräfte in Richtung der Feldlinien. ๏ท Feldlinien beginnen beim positiven und enden an negativen Ladungen ๏ท sie stehen senkrecht zur Leiteroberfläche ๏ท je dichter die Feldlinien verlaufen, desto stärker ist das Feld ๏ท die Tangenten (Steigung) an Feldlinien geben in jedem Punkt des Feldes die Richtung der Feldkraft an ๏ท Feldlinien schneiden sich nicht Seite 1 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk Es gibt 2 verschiedene Ansätze, Feldkraft zu messen/bestimmen: Gewichtskraft Auslenkung Voraussetzung: horizontales, homogenes Feld Voraussetzung: vertikales, homogenes Feld ๏ฎ Probekörper wird im elektrischen Feld über Hebel auf einer Waage platziert: abnehmende Gewichtskraft wird gemessen (|1g| ≈ 0,01N) Im schwebenden Zustand gilt: ๐ญ๐๐ = ๐ฎ ๏ฎ Probekörper wird an Pendel der Länge l befestigt und in elektrisches Feld geführt. Dabei ist s die Auslenkung. Es gilt: ๐∗๐ ๐ญ๐๐ = ∗๐ ๐ 3. Feldstärke E Einheit: 1 N/C (Newton pro Coulomb) Im elektrischen Feld ist die elektrische Feldkraft proportional zur Probeladung q, d.h. je größer die Ladung des Probekörpers, desto größer ist die auf ihn einwirkende Feldkraft. ๐น Da ๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก gilt: ๐ญ๐๐ ~๐ Diese Konstante wird als Feldstärke E bezeichnet. Es gilt: ๐ฌ = ๐ญ๐๐ ๐ 4. Spannung U Einheit: 1 J/C = 1V (Joule pro Coulomb = Volt) Spannung entsteht, wenn man entgegengesetzt geladene Ladungen unter Energiezufuhr (Arbeit) trennt. In einem homogenen elektrischen Feld eines Kondensators der Dicke d führt die Feldkraft Fel während der Bewegung eines Probekörpers der Ladung q die Energie W zu. ๐พ Es gilt: ๐พ = ๐ญ๐๐ ∗ ๐ = ๐ธ ∗ ๐ ∗ ๐ → ๐~๐ → ๐ผ = ๐ = ๐ฌ ∗ ๐ Allgemein gilt demnach im homogenen elektrischen Feld der Dicke/Breite d und einer angelegten ๐ผ Spannung U: ๐ฌ = ๐ 5. Potenzial ๏ช Einheit: 1 V (Volt) Das Potenzial ๏ช eines Punktes ist dessen Spannung gegen ein Bezugsniveau B ๏ช=0 (z.B. positive Kondensatorplatte oder Erdung). Die Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2 ist die Potenzialdifferenz ๏ชP1-๏ชP2. Alle Punkte auf Äquipotenzialflächen haben das gleiche Potenzial. Man benötigt keine Energie, um Ladungen auf ihnen zu verschieben. Im homogenen elektrischen Feld gilt: ๏ช(๐ฑ) = ๐ ∗ ๐ฑ Seite 2 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6. Flächenladungsdichte ๏ณ Einheit: 1 C/m2 (Coulomb pro Quadratmeter) Je dichter die Ladungen auf der Platte, desto stärker ist das elektrische Feld. Eine Fläche A mit der ๐ธ Ladung Q besitzt die Flächenladungsdichte ๏ณ = ๐จ 7. Feldkonstante ๏ฅ0 = 8,85 * 10-12C/Vm Im homogenen Feld eines Plattenkondensators ist ๏ณ überall gleich und ist zu seiner elektrischen Feldstärke proportional: Es gilt: ๏ณ ๏ณ~๐ → = ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฅ๐ โโ ๐ฌ 8. Kapazität C Einheit: 1 C/V = 1F (Coulomb pro Volt = Farad) Die Ladung Q auf beiden Teilen des Kondensators sind zur angelegten Spannung U proportional: ๐~๐ Der Quotient aus der Ladung und der Spannung ist für den Plattenkondensator eine charakteristische ๐ธ Größe und heißt Kapazität C. ๐ = ๐ผ 9. Elektrizitätszahl ๏ฅr Bsp.: Vakuum: 1fach; Luft: 1,0006fach; Wasser: 81fach Die Elektrizitätszahl ๏ฅr ist der Zahlfaktor um den sich die Kapazität erhöht, wenn man den leeren Raum zwischen den Platten eines Plattenkondensators vollständig mit einem Dielektrikum ausfüllt. ๐ช๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐บ๐ (Materialkonstante) ๐ช ๐๐๐๐ Für die Kapazität eines Plattenkondensators gilt: ๐จ ๐ช = ๐บ๐ ∗ ๐บ๐ ∗ ๐ Wird das Dielektrikum in das Feld eingeschoben, so bilden sich im Dielektrikum Polarisationsladungen QP. Ein Teil der von den Platten ausgehenden Feldlinien endet an diesen Ladungen. 10. Trennen der Kondensatorplatten getrennte Spannungsquelle (Q = konstant) Wird der Plattenabstand d verdoppelt, so ๐ด halbiert sich nach ๐ถ = ๐๐ ∗ ๐0 ∗ 2๐ die Kapazität, damit verdoppelt sich nach 1 ๐ธ ๐ถ=๐ 2 2๐ die Spannung U. Nach ๐ธโ = 2๐ bleibt die Feldstärke konstant. angeschlossene Spannungsquelle (U = konstant) Wird der Plattenabstand d verdoppelt, so halbiert ๐ด sich nach ๐ถ = ๐๐ ∗ ๐0 ∗ 2๐ die Kapazität, damit ๐ halbiert sich nach ๐ถ = ๐ผ die Ladungsmenge Q ๐ und nach ๐ธโ = 2๐ halbiert sich auch die Feldstärke. Seite 3 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 11. Ladungsenergie W Die Energie eines Kondensators der Kapazität C und der angelegten Spannung U findet sich in der Fläche unter der U-Q-Kurve (๐~๐). Da die Kurve eine Ursprungsgerade ist, ist die Fläche dreiecksförmig. Demnach gilt: 1 1 ๐ ∗ ๐ ∗ ๐ → ∗ ๐ ∗ ๐ถ ∗ ๐ → ๐พ๐ช = ∗ ๐ช ∗ ๐ผ๐ 2 2 ๐ Die Energie sitzt nach Faradays Feldvorstellung nicht bei den Ladungen auf den Platten sondern zwischen ihnen im Feld. Die sog. Energiedichte ๏ฒ definiert sich über die Energie pro Volumen. ๐๐ถ = Es gilt: ๐ = ๐พ๐ช ๐ฝ ๐ โ๐ = ๐ ∗ ๐บ๐ ∗ ๐บ๐ ∗ โ๐ฌ Zwischen den beiden Kondensatorplatten herrscht eine Anziehungskraft. Möchte man die Platten 1 voneinander trennen, benötigt man die Kraft ๐น = 2 ∗ ๐ ∗ ๐ธโ Reihenschaltung Kapazität Für die Einzelkapazitäten gilt: ๐ธ๐ ๐ช๐ = ๐ผ Für die Gesamtkapazität gilt: ๐ช๐๐๐ = ๐ช๐ + ๐ช๐ + ๐ช๐ Für die Einzelkapazitäten gilt: ๐ธ ๐ช๐ = ๐ผ๐ Für die Gesamtkapazität gilt: ๐ ๐ ๐ ๐ = + + ๐ช๐๐๐ ๐ช๐ ๐ช๐ ๐ช๐ An allen Kondensatoren liegt die gleiche Spannung an! Hierbei gilt: ๐ธ๐๐๐ ๐ผ= ๐ช๐๐๐ Für die Einzelspannungen gilt: ๐ธ๐ ๐ผ๐ = ๐ช๐ Für die Gesamtspannung gilt: ๐ผ๐๐๐ = ๐ผ๐ + ๐ผ๐ + ๐ผ๐ Skizze Parallelschaltung Spannung 12. Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren Ladung Für die Einzelladungen gilt: ๐ธ๐ = ๐ช ๐ ∗ ๐ผ An allen Kondensatoren ist die Ladung gleich groß! Hierbei gilt: Für die Gesamtladung gilt: ๐ธ = ๐ช๐๐๐ ∗ ๐ผ๐๐๐ ๐๐๐๐ = ๐ช๐๐๐ ∗ ๐ → ๐ผ ∗ (๐ช๐ + ๐ช๐ + ๐ช๐ ) Seite 4 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 13. Auf- und Entladen von Kondensatoren Aufladen Entladen Beim Anlegen der Spannung verteilt sich diese auf Widerstand und Kondensator. Es gilt: Da beim Entladen eines Kondensators Spannung abfällt, muss die Summe der beiden Teilspannungen Null ergeben. Also gilt: ๐ผ๐ (๐) + ๐ผ๐น (๐) = ๐ผ๐ = ๐ฐ(๐) = ๐ธ(๐) + ๐น ∗ ๐ฐ(๐) ๐ช ๐ผ๐น (๐) ๐น ๐ธ(๐) = ๐ช ∗ ๐ผ๐ช (๐) ๐ธ(๐) + ๐น ∗ ๐ฐ(๐) ๐ช ๐ผ๐น (๐) ๐ฐ(๐) = − ๐น ๐ผ๐ (๐) + ๐ผ๐น (๐) = ๐ = ๐ธ(๐) = ๐ธ๐๐๐ − ๐ช ∗ ๐ผ๐ช (๐) Halbwertszeit: Die Halbwertszeit definiert sich durch die vergangene Zeit bis die abfließende Ladung eines Kondensators um die Hälfte abgenommen hat. Es gilt: ๐ป๐ฏ = ๐ฅ๐ง(๐) ∗ ๐น ∗ ๐ช ๏ฎ unabhängig der Ladung 14. Diode Eine Diode leitet nur in eine Richtung, es gibt also eine Sperr- und eine Durchlassrichtung. Seite 5 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk II. Das Magnetfeld 1. Basiswissen: Magnetfelder elektr. Leiter Ein elektrischer Leiter ist von einem magnetischen Wirbelfeld umgeben. Bei Spulen ist dort Norden, wo einem die Feldlinien in der Mitte nach der Linken-Hand-Regel entgegen kommen. N S Die Linke-Hand-Regel: Um die Richtung der magnetischen Feldlinien zu ermitteln, nimmt man die Linke-Hand-Regel. Daumen: Elektronenfluss (von Minus zu Plus) gekrümmte Finger: Richtung der Feldlinien 2. Magnetische Flussdichte B Einheit: 1 T (Tesla) Da sich F1 und F2 gegenseitig aufheben, wird lediglich F untersucht und mit einem Kraftmesser oder einer Waage bestimmt. F1 F2 F Untersucht wird die Kraft F in Abhängigkeit der Stromstärke der Prüfspule IPrüf sowie der wirksamen Leiterlänge der Prüfspule s bei konstantem Magnetfeld. Ergebnis: ๐น~๐ผ๐๐ü๐ und ๐น~๐ ๏ฎ ๐น~๐ผ ∗ ๐ bzw. ๐น ๐ผ∗๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก Erfährt ein Leiter der wirksamen Leiterlänge s, welcher vom Strom I durchflossen wird, einem Ort, an welchem der Strom senkrecht zum Magnetfeld fließt, die Kraft F, so herrscht an dort die magnetische ๐ญ Flussdichte ๐ฉ = ๐ฐ∗๐ Seite 6 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 3. Kräfte auf stromdurchflossene Leiter Die Linke-Hand-Regel (UVW-Regel): Um die Kraftwirkung auf bewegte negative Ladungen (z.B. stromdurchflossene Leiter, Elektronen, …) zu ermitteln, nimmt man die Linke-Hand-Regel Daumen: Elektronenfluss (Ursache) Zeigefinger: Magnetfeld (Vermittler) Mittelfinger: Kraft (Wirkung) Für positive Ladungen (z.B. Protonen) nimmt man die rechte Hand! ๐น Aus ๐ต = ๐ผ∗๐ folgt die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter ๐น = ๐ต ∗ ๐ผ ∗ ๐ Falls der Leiter nicht senkrecht zum Magnetfeld B ausgerichtet ist, gilt: ๐ญ = ๐ฉ ∗ ๐ฐ ∗ ๐ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ), wobei ๏ก den Winkel zwischen dem Magnetfeld und dem Leiter meint. (normalerweise senkrecht also sin(90°)=1 4. Die Lorentzkraft Einheit: 1 N (Newton) Herleitung: ๐น =๐ต∗๐ฐ∗๐ = ๐ต∗๐ธ∗๐ ๐ = ๐ต∗๐∗๐∗๐ ๐ = ๐ต ∗ ๐ ∗ ๐ ∗ ๐ da n = 1 (1 Elektron) ๏ฎ ๐น = ๐ต ∗ ๐ ∗ ๐ฃ Bewegt sich ein Elektron mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfeldes der Flussdichte B, so erfährt es die Lorentzkraft ๐ญ๐ณ = ๐ฉ ∗ ๐ ∗ ๐ Da die Lorentzkraft senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkt, wird am Elektron keine Arbeit verrichtet (kein Abbremsen/Beschleunigen). Demnach wird das Elektron senkrecht zur Bewegungsrichtung abgelenkt. 4.1. Die Braun‘sche Röhre Durch den glühelektrischen Effekt, bei dem eine Glühwendel beheizt wird, werden durch eine Heizspannung Elektronen ausgegeben. Durch den negativ geladenen Wehnelt-Zylinder werden die Elektronen zu einem Strahl gebündelt und zur Anode hin beschleunigt. Der erzeugte Elektronenstrahl kann durch einen Magneten verschoben werden, da die Elektronen durch die Lorentzkraft abgelenkt werden. Wehnelt-Zylinder Heizspannung Kathode Anode Beschleunigungs -spannung Seite 7 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 4.2. Der Hall-Effekt d h Ein Leiterband mit der Dicke d und der Höhe h wird von einem Strom durchflossen. Wird das Leiterband nun senkrecht von einem Magnetfeld B durchflossen, so wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft FL, welche sie zum unteren Rand des Leiterbandes ablenkt. Durch den hier entstehenden Überschuss an Elektronen ist eine negative Aufladung nachweisbar und damit eine Spannung – die Hallspannung UH. Durch die verschiedenen Aufladungen des oberen und unteren Randes des Leiterbandes entsteht ein ๐ผ elektrisches Feld E der Stärke ๐ฌ = ๐๐ฏ. Diese wird schließlich so groß, dass die Anziehungskraft Fel auf die Elektronen die Lorentzkraft aufhebt und ein Kräftegleichgewicht entsteht. Folglich laufen die Elektronen geradeaus durch. Es gilt: โโโโ โโโโโ๐๐ → ๐ฉ ∗ ๐ ∗ ๐ = ๐ฌ ∗ ๐ = ๐ผ๐ฏ ∗ ๐ ๏ฎ ๐ผ๐ฏ = ๐ฉ ∗ ๐ ∗ ๐ ๐ญ๐ณ = ๐ญ ๐ 5. Permeabilitätszahl und magnetische Feldkonstante Die magnetische Flussdichte hängt noch von weiteren Faktoren ab wie der Erregerstromstärke, der Windungsdichte der Spule sowie der Permeabilitätszahl (Füllung der Spule durch ferromagnetische Stoffe) ๐ (๐พ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐) ๏ฎ ๐ต ~ ๐๐ ∗ ๐ฐ๐๐ ∗ ๐ (๐ณä๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐บ๐๐๐๐) → ๐ ๏ ๐ฉ = ๐๐ ∗ ๐๐ ∗ ๐ ∗ ๐ฐ๐๐ ๐ต ๐ ๐ ๐๐ ∗๐ผ๐๐ ∗ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก = ๐๐ (magnetische Feldkonstante) 6. Energie des Magnetfeldes Fließt durch eine Spule der Eigeninduktivität L der Strom I, so besitzt ihr Magnetfeld die Energie ๐ ๐พ๐๐๐ = ∗ ๐ณ ∗ ๐ฐ๐ ๐ 7. Energiedichte im Magnetfeld Es gilt: ๐๐๐๐ = ๐พ๐๐๐ ๐ฝ ๐ = ๐∗๐ ๐ ๐ ∗๐๐ ∗ ๐ฉ๐ in J/m3 (Joule pro Kubikmeter) Zur Erinnerung: ๐พ๐ช ๐ ๐๐ช = = ∗ ๐บ๐ ∗ ๐บ๐ ∗ ๐ฌ๐ ๐ฝ ๐ Seite 8 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk III. Bewegung von Teilchen 1 ๐ Bei der Beschleunigung von Elektronen gilt: ๐พ๐๐ = ๐พ๐๐๐ = ๐ ∗ ๐ = 2 ∗ ๐ ∗ ๐ฃ 2 → ๐ฃ = √2 ∗ ๐ ∗ ๐ 1. Bewegung im homogenen B-Feld 1.1 Gerader Einschuss Es gilt: โโโโ โ ๐ญ๐ณ ๏ ๐๐ und โโโโ ๐ญ๐ณ ๏ โ๐ฉ Da die Lorentzkraft senkrecht wirkt, verrichtet sie keine Arbeit am Elektron, sondern lenkt es nur ab. Deshalb bleibt der Betrag der Geschwindigkeit vs konstant. Es liegt eine Bewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit und konstanter Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung vor. Das sind die Kennzeichen einer Kreisbahn. Die Lorentzkraft FL wirkt also als Zentripetalkraft FZ. Es gilt: ๐ญ๐ณ = ๐ญ๐ = ๐ต ∗ ๐ ∗ ๐ฃ = Für die Umlaufdauer T gilt: ๐๐ ๐ ๐ป= ๐ ๐∗๐ฃ 2 ๐ Für die Geschwindigkeit gilt demnach: ๐๐ ๐ ๐= ๐ป 2. Bewegung von Teilchen im homogenen E-Feld Beim Beschleunigen/Abbremsen im E-Feld gilt: ๐ญ๐ฉ = ๐ญ๐๐ → ๐ ∗ ๐ = ๐ฌ ∗ ๐ → ๐ = ๐ผ ๐ ๐ ∗๐ 2.1 Einschuss von Elektronen entgegen der Feldlinien (Beschleunigung) Ein Elektron der Masse m und der Ladung e wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 entgegen der Feldlinien in ein homogenes elektrisches Feld E eines Kondensators der Dicke d und einer angelegten Spannung U eingeschossen und mit der Beschleunigung a zum Pluspol hin angezogen, demnach beschleunigt und verlässt das E-Feld mit der Geschwindigkeit v1. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit gilt im E-Feld: ๐(๐) = ๐๐ + ๐ ∗ ๐ Für die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit gilt im E-Feld: ๐ ๐(๐) = ๐๐ ∗ ๐ + ∗ ๐ ∗ ๐๐ ๐ Nach dem Energieerhaltungssatz gilt: 1 1 ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐พ๐๐ = ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ → ∗ ๐ ∗ ๐ฃ0 2 + ๐ ∗ ๐ = ∗ ๐ ∗ ๐ฃ1 2 2 2 Seite 9 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 2.2 Einschuss von Elektronen in E-Feld-Richtung (Abbremsen) Ein Elektron der Masse m und der Ladung e wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 in Richtung der Feldlinien in ein homogenes elektrisches Feld E eines Kondensators der Dicke d und einer angelegten Spannung U eingeschossen, mit der Beschleunigung a abgebremst und verlässt das E-Feld mit der Geschwindigkeit v1. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit gilt im E-Feld: ๐(๐) = ๐๐ − ๐ ∗ ๐ Für die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit gilt im E-Feld: ๐ ๐(๐) = ๐๐ ∗ ๐ − ∗ ๐ ∗ ๐๐ ๐ Nach dem Energieerhaltungssatz gilt: 1 1 ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐พ๐๐ + ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ → ∗ ๐ ∗ ๐ฃ0 2 = ๐ ∗ ๐ + ∗ ๐ ∗ ๐ฃ1 2 2 2 Sonderfall: 1 Das E-Feld ist so stark, dass das Elektron ganz abgebremst wird und umkehrt. (2 ∗ ๐ ∗ ๐ฃ0 2 ≤ ๐ ∗ ๐) Für die Bremsdauer T gilt: ๐(๐ป) = ๐ฃ0 − ๐ ∗ ๐ = ๐ → ๐ป = 1 Für den Bremsweg S gilt: ๐บ = ๐(๐ป) = ๐ฃ0 ∗ ๐ − 2 ∗ ๐ ∗ ๐ 2 ๐๐ ๐ 3. Bewegung im kombinierten E- und B-Feld (Wien’scher Filter) โ ๏๐ โ (vgl. Hall-Sonde) Voraussetzung: ๐ Ein Elektron der Anfangsgeschwindigkeit v0 wird in ein senkrechtes homogenes elektrisches Feld E und ein senkrechtes homogenes Magnetfeld B eingeschossen. Die Lorentzkraft FL lenkt das Elektron (in diesem Fall) nach unten und die elektrische Kraft Fel nach oben ab. Wählt man die jeweiligen Parameter geeignet, so heben sich die Kräfte auf und das Elektron fliegt geradlinig weiter. Dann gilt: ๐ฌ ๐ญ๐ณ = ๐ญ๐๐ → ๐ต ∗ ๐ฃ ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ธ → ๐ = ๐ฉ Bei niedrigerer Geschwindigkeit verkleinert sich die Lorentzkraft und das Elektron wird mehr durch die elektrische Kraft abgelenkt, also hier nach oben. Seite 10 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk IV. Elektromagnetische Induktion 1. Induktion durch Leiterbewegung Wird ein Leiter der wirksamen Leiterlänge d (und der Windungszahl n) in einem Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien bewegt, so werden in ihm Ladungen getrennt, indem die Elektronen durch die Lorentzkraft zu einer Seite hin abgelenkt werden. Durch den entstandenen Elektronenüberschuss entsteht hier der Minuspol und damit eine Spannung zwischen den Leiterenden. Durch die verschieden geladenen Leiterenden entsteht im Leiter ein elektrisches Feld, welches die Elektronen schließlich wieder in die entgegengesetzte Richtung ablenkt. Die Ladungstrennung ist daher beendet, wenn FL = Fel. Man spricht hierbei von elektromagnetischer Induktion und somit von einer induzierten Spannung Uind. Es gilt: ๐ โ ∗๐∗๐ฃ = ๐∗ →๐ = ๐ต โ ∗๐ฃ∗๐ ๐ญ๐ณ = ๐ญ๐๐ = ๐ต ๐ Bei einer Spule mit n Windungen gilt dann: โ ∗ ๐ ∗ ๐ ∗ ๐ (Vorzeichenwechsel bei Änderung der Bewegungs- oder B-Feld-Richtung) ๐ผ๐๐๐ = โ๐ฉ FL v v 2. UVW-Regel: Daumen: Bewegungsrichtung des Leiters (Ursache) Zeigefinger: Magnetfeld/Richtung der Feldlinien (Vermittler) Mittelfinger: Kraft/Richtung der Ablenkung ๏ฎ Minuspol (Wirkung) Für positive Ladungen (z.B. Protonen) nimmt man die rechte Hand! Bei der Bewegung von Spulen gelten die allgemeinen Bewegungsgesetze. Seite 11 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 2. Induktion durch Flächenänderung Eine stromdurchflossene Spule der wirksamen Leiterlänge d und der Windungszahl n wird mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien in ein begrenztes homogenes Magnetfeld der magnetischen Flussdichte B bewegt. Während der Zeit ๏t wird di e Strecke ๏s zurückgelegt. Hieraus ergibt sich die Flächenänderung ๏A. Es gilt: โ๐ โ๐ ∗ ๐ โ๐ด ๐๐๐๐ = ๐ต ∗ ๐ฃ ∗ ๐ ∗ ๐ → ๐ ∗ ๐ต ∗ ∗๐ →๐∗๐ต∗ →๐∗๐ต∗ โ๐ก โ๐ก โ๐ก โ๐จ๐ → ๐ผ๐๐๐ = (−) ๐ ∗ ๐ฉ ∗ โ๐ Ist die wirksame Fläche nicht senkrecht zu den Feldlinien so gilt: ๐จ๐ = ๐จ ∗ ๐๐จ๐ฌ(๐ถ), wobei ๏ก den Winkel zwischen As und A meint. Es wird nur dann Spannung induziert, wenn sich die Fläche ändert. (s. Abbildung) Ist die zeitliche Änderung der wirksamen Leiterfläche As nicht konstant, so gilt allgemein: ฬ ๐ผ๐๐๐ (๐) = −๐ ∗ ๐ฉ ∗ ๐จ๐ (๐) Demnach entspricht die Ableitung der As-t-Kurve der induzierten Spannung Uind. Sonderfall: Freier Fall Wird ein Leiter bzw. eine Spule in ein begrenztes Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien fallen gelassen, so gelten die Bewegungsgesetze: ๐ ๐(๐) = ๐ ∗ ๐ und ๐(๐) = ๐ ∗ ๐ ∗ ๐๐ ๐ Für a gilt: ๐ = ๐ = 9,81 ๐ 2 Nach dem Lenz’schen Gesetz wird die Spule, sofern ein Strom fließt, beim Fall abgebremst, da die Kraft des stromdurchflossenen Leiters nach oben, also entgegen der Fallrichtung wirkt. Nur wenn F = G gilt, bleibt die Geschwindigkeit konstant. Seite 12 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 3. Induktion durch B-Feld-Änderung Eine Induktionsspule der Fläche AI, der Länge lI und der Windungszahl nI, welche mit einem Spannungsmessgerät verbunden ist, wird in einer Feldspule der Fläche AF, der Länge lF, der Windungszahl nF und der der Stromstärke Ier platziert. Nun wird der Erregerstrom der Feldspule linear erhöht. Das Spannungsmessgerät zeigt eine Induktionsspannung Uind. Es gilt: Wenn ๐ผ๐๐ ~๐ก dann gilt auch ๐ต๐น๐๐๐ ~๐ก ๐ผ๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐, wenn Ier und damit BFeld linear zunimmt. Ändert sich das B-Feld nicht mehr, so ist ๐ผ๐๐๐ = ๐. Nimmt die magnetische Feldstärke ebenso linear ab, so wird dieselbe Spannung mit anderem Vorzeichen gemessen. โ๐ต ๐๐๐๐ ~ โ๐ก Die Induktionsspannung ist ebenso proportional zur Windungszahl nI und zur Querschnittsfläche AI. Es gilt also: โ๐ต ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ~ ∗ ๐๐ผ ∗ ๐ด๐ผ → = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก = 1 โ๐ต โ๐ก โ๐ก ∗ ๐๐ผ ∗ ๐ด๐ผ → ๐ผ๐๐๐ = (1 ∗) ๐๐ฐ ∗ ๐จ๐ฐ ∗ โ๐ฉ โ๐ ๐ bzw. ๐ผ๐๐๐ = ๐๐ฐ ∗ ๐จ๐ฐ ∗ ๐๐ ∗ ๐๐ ∗ ๐ ∗ โ๐ฐ๐๐ โ๐ (bei linearem t) Erfolgt die B-Feld-Änderung nicht linear, so gilt allgemein: ฬ ๐ผ๐๐๐ = ๐๐ฐ ∗ ๐จ๐ฐ ∗ ๐ฉ(๐) Demnach entspricht die Ableitung der Ier- bzw. B-t-Kurve der induzierten Spannung Uind. 4. Allgemeines Induktionsgesetz 4.1. Magnetischer Fluss ษธ ๐ผ๐๐๐ = ๐ ∗ ๐ต ∗ โ๐ด๐ ฬ = ๐ ∗ ๐ฉ ∗ ๐จ(๐) โ๐ก ๐ผ๐๐๐ = ๐ ∗ ๐ด๐ ∗ โ๐ต ฬ = ๐ ∗ ๐จ๐ ∗ ๐ฉ(๐) โ๐ก Die magnetische Flussdichte ist ein Maß dafür, wie viele Feldlinien pro Fläche verlaufen. ษธ~๐ฉ und ษธ~๐จ ๏ฎ ษธ~๐จ ∗ ๐ฉ ๏ ษธ = ๐จ ∗ ๐ฉ in Vs (Voltsekunde) Die magnetische Flussdichte ist also das Produkt aus dem Betrag der Flussdichte B und der Fläche A s. Bei gleichzeitiger Änderung von As und B gleichzeitig gilt: ฬ + ๐ ∗ ๐ด๐ ∗ ๐ต(๐ก) ฬ = ๐ ∗ (๐ต ∗ ๐ด(๐ก) ฬ + ๐ด ∗ ๐ต(๐ก) ฬ ) = ๐ ∗ (๐ด ∗ ฬ ๐ต) ๐๐๐๐ ๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ด + ๐๐๐๐ ๐ต = ๐ ∗ ๐ต ∗ ๐ด(๐ก) = ๐ ∗ ษธฬ Für das allgemeine Induktionsgesetz gilt also: ๐ผ๐๐๐ = −๐ ∗ ษธฬ Seite 13 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 5. Selbstinduktion von Spulen/Eigeninduktivität L Beim Ein- und Ausschaltvorgang einer Spule ändert sich das Magnetfeld der Spule, welches sich durch die zunehmende bzw. abnehmende Stromstärke auf- bzw. abbaut. Dieser sich ändernde Fluss kann nun nicht nur in einer anderen Spule eine Induktionsspannung erzeugen, sondern auch in der felderzeugenden Spule selbst. Man nennt dies Selbstinduktion, die erzeugte Spannung Selbstinduktionsspannung. Nach Lenz wirkt diese entgegen der Ursache, also dem Anstieg bzw. Abfluss des Spulenstromes, und zögert diesen daher hinaus. ฬ ∗ ๐ด , da A = konstant ๐๐๐๐ (๐ก) = −๐๐ผ๐๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐ ∗ ษธฬ = −๐๐ผ ∗ ๐ต(๐ก) ๐ ฬ ∗ ๐ด = −๐๐ผ ∗ ๐0 ∗ ๐๐ ∗ ๐น๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐ ∗ ๐ผ๐๐ (๐ก) ฬ ∗๐ด ๐๐๐๐ (๐ก) = −๐ ∗ ๐ต(๐ก) ๐๐น๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐ Da Induktionsspule = Feldspule ๏ฎ nI = nF ๐๐ ฬ = −๐ณ ∗ ๐ผ(๐ก) ฬ ๐๐๐๐ (๐ก) = −๐๐ ∗ ๐๐ ∗ ∗ ๐จ ∗ ๐ผ(๐ก) ๐ Die Selbstinduktionsspannung ist zur Änderungsrate (Ableitung) der Stromstärke proportional. ๐ (๐ก) Es gilt also ๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก = ๐ณ ฬ ๐ผ(๐ก) Der Proportionalitätsfaktor L heißt Eigeninduktivität und hängt von den Spulendaten ab. Diese ist auf den Spulen in der Einheit H (Henry) angegeben. Für die Selbstinduktion gilt also: ฬ ๐ผ๐๐๐ (๐) = −๐ณ ∗ ๐ฐ(๐) 5.1. Ein- und Ausschalten von Spulen Einschalten einer Spule Ausschalten einer Spule ฬ ๐(๐ก) = ๐0 + ๐๐๐๐ = ๐ ∗ ๐ผ − ๐ฟ ∗ ๐ผ(๐ก) ๐ผ(๐ก) = ๐(๐ก) ๐ ๐ = ๐0 ๐ผ๐๐๐ฅ bei t = 0 gilt: ๐๐๐๐ = −๐0 Bei der Einschaltkurve entspricht die Steigung der Tangente bei t = 0 der Eigeninduktivität L Seite 14 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6. Erzeugung sinusförmiger Wechselspannung In einem homogenen Magnetfeld rotiert eine Leiterschleife (Spule) gleichförmig um eine Achse, die senkrecht zu den Feldlinien steht. In der Leiterschleife wird Spannung induziert, deren zeitlicher Verlauf sinusförmig ist ๏ฎ Wechselspannung Da in beiden senkrechten Teilstücken der Leiterschleife Spannung induziert wird, gilt ๐ผ๐๐๐ = ๐ผ๐๐๐ ๐ + ๐ผ๐๐๐ ๐ 1. Herleitung: ๐๐๐๐ = ๐ ∗ ๐ต ∗ ๐ฃ๐ ∗ ๐ + ๐ ∗ ๐ต ∗ ๐ฃ๐ ∗ ๐ = ๐๐ ∗ ๐ฉ ∗ ๐ ∗ ๐ ∗ ๐๐จ๐ฌ(๐ถ) (bei einer Spule mit n Windungen) ๐ถ=๐∗๐ → ๐๐ ∗ ๐ฉ ∗ ๐ ∗ ๐ ∗ ๐๐จ๐ฌ(๐ ∗ ๐) (für rechteckige Spule) ฬ ∗ ๐๐จ๐ฌ(๐ ∗ ๐) ๐ผ๐๐๐ = ๐ผ Aus ๐ = ๐๐ ๐ป und ๐ = ๐๐ ๐ ๐ป ๐ฃ๐ = cos(๐ผ) → ๐๐ = ๐ ∗ ๐๐จ๐ฌ(๐ถ) ๐ฃ Winkelgeschwindigkeit ๏ท: In doppelter Zeit wird doppelter Winkel โ๐ถ 1 überstrichen ๏ฎ ๐ก~ ๐ผ๏ฎ โ๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก = ๐ in ๐ (๏๏ก im Bogenmaß) Spezialfall: (vollständige Umdrehung) โα = 360° = 2π und โt = T ๐๐ 1 ๏ฎ ๐ = ๐ป = ๐๐ ∗ ๐ (Frequenz f = ๐) geht hervor: ๐ = ๐ ∗ ๐ → ๐ = ๐ ๐ Seite 15 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk Magnetfeldänderung Flächenänderung Leiterbewegung 7. Das Lenz’sche Gesetz Bewegt man einen Leiter im B-Feld, so bewegen sich in ihm Elektronen, da sie durch die Lorentzkraft FL abgelenkt werden. Somit liegt ein ‚stromdurchflossener Leiter‘ vor, welcher eine Kraft ๐ญ = ๐ฉ ∗ ๐ฐ ∗ ๐๐ entgegen der Bewegungsrichtung (1. UVW-Regel) erfährt. Der Leiter wird also abgebremst. Um den Leiter weiterhin mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen, muss eine Kraft aufgewendet werden, die gleich groß ist wie F. Bewegt man einen Leiter im B-Feld, so bewegen sich in ihm Elektronen, da sie durch die Lorentzkraft FL abgelenkt werden und sich im Kreis bewegen. Es entsteht wieder ein stromdurchflossener Leiter, welcher von einem kreisförmigen zweiten Magnetfeld umgeben ist, welches nach der Faustregel so gerichtet ist, dass es dem Anwachsen von ษธ (also hier der Fläche) entgegenwirkt. Beim Schließen des Schalters entsteht in der Spule ein Magnetfeld, welche die Elektronen im Ring durch die Lorentzkraft ablenkt. Es entsteht ein Ringstrom. Um diesen entsteht ein zweites Magnetfeld (gelb), welches nach der Faustregel dem ersten Magnetfeld und damit dem Anwachsen von ษธ entgegenwirkt. Lenz’sches Gesetz: Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er der Ursache des Induktionsvorgangs (Flächen- oder B-Feld-Zunahme) entgegenwirkt, diesen also zu hemmen versucht. Daher ist das Vorzeichen der Induktionsspannung negativ. Aus diesem Grund stimmt der Energieerhaltungssatz, da Energie zugeführt werden müsste, um den Induktionsvorgang fortzuführen. Seite 16 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk V. Schwingungen 1. Einführung und Begriffe Entfernt sich ein Körper aus der Gleichgewichtslage um die Elongation s (max. Elongation ล = Amplitude), so tritt eine Rückstellkraft FR auf, die ihn abbremst, zur Umkehr zwingt und ihn wieder zur Gleichgewichtslage hin beschleunigt. Aufgrund seiner Trägheit bewegt er sich über die Gleichgewichtslage hinaus und alles beginnt von vorne. freie Schwingung = der Schwinger bestimmt seinen Rhythmus selbst erzwungene Schwingung = Schwingung wird von außen herbeigeführt gedämpfte Schwingung = durch Reibung und Widerstand klingt die Bewegung allmählich ab ungedämpfte Schwingung = Idealfall (unendliche Schwingung) harmonische Schwingung = Schwingung, bei der die Rückstellkraft proportional und entgegengesetzt zur Elongation ist. Für kleine Winkel gilt ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) ≈ ๐ถ. Für harmonische Schwingungen gilt das lineare Kraftgesetz. 2. Lineares Kraftgesetz (Richtgröße D) ๐น Aus dem Hook’schen Gesetz für die Federhärte ๐ท = geht folgende Formel hervor: ๐ ๐ญ๐น = −๐ซ ∗ ๐ (D ist nun nicht mehr die Federhärte, sondern eine allgemeine Richtgröße, die je nach Schwingung variieren kann). Die Richtgröße ist positiv, das Minus gibt nur an, dass die Rückstellkraft entgegen der Auslenkung wirkt. Beispiel 1 Es gilt: ๐น1 = −๐น2 und ๐ซ๐ = ๐ซ๐ โ๐ ๐ญ โ๐ ๐ญ ๐น๐ = ๐น1 + ๐น2 = 0๐ 0 Es gilt: ๐ญ๐ ∗ = ๐ญ๐ − ๐ซ๐ ∗ ๐ und ๐ญ๐ ∗ = ๐ญ๐ − ๐ซ๐ ∗ ๐ โ๐ญ๐น 0 s ๐น๐ = ๐น1 ∗ + ๐น2 ∗ = ๐น1 − ๐ท1 ∗ ๐ + ๐น2 − ๐ท2 ∗ ๐ = ๐ญ๐ + ๐ญ๐ − ๐ท1 ∗ ๐ − ๐ท2 ∗ ๐ = ๐ − (๐ซ๐ + ๐ซ๐ ) ∗ ๐ → ๐ญ๐น = −๐ ∗ ๐ฌ Seite 17 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk Beispiel 2 Es gilt: ๐น = −๐บ โ๐ญ๐น ๐น๐ = ๐น + ๐บ = 0๐ โ∗ ๐ญ s โโ โฌ ๐ฎ 0 Es gilt: ๐น∗ = F − ๐ซ ∗ ๐ s ๐น๐ = ๐น ∗ + ๐บ = ๐น − ๐ท ∗ ๐ + ๐บ โ −๐ท ∗๐ = ๐−๐ท∗๐ = โ๐ญ + โ๐ฎ → ๐น๐ = −๐ ∗ ๐ฌ โ๐ญโฌ โโ โฌ ๐ฎ Beispiel 3 0 S1 ๐น ๐น ๐ = ๐ 1 + ๐ 2 (๐ท = → ๐ = ) ๐ ๐ท ๐น ๐น ๐น ๐ = + = |โถ๐น ๐ท1 ๐ท2 ๐ท 1 1 1 1 1 = = + → ๐ท = ( + )−1 ๐ท ๐ท1 ๐ท2 ๐ท1 ๐ท2 → ๐น๐ = −๐ซ ∗ ๐ฌ S2 Beispiel 4 sin ๐ผ = ๐ผ ๐ ๐ผ ๐ ๐ = → = →๐ผ = →๐=๐ถ∗๐ 360° 2๐๐ 2๐ 2๐๐ ๐ l ๐น๐ ๐ ∗ ๐ ∗ sin ๐ผ ๐ ∗ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ถ = −๐ท = − =− ∗ ๐ ๐ผ∗๐ ๐ ๐ถ โ๐น ๐ญ s ๐น๐ → ๐น๐ = ๐ฎ ∗ sin ๐ผ = ๐ ∗ ๐ ∗ sin ๐ผ ๐บ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ถ โโ α ๐ฎ ๐ถ ≈ ๐ (für kleine Winkel) →๐ท = ๐∗๐ ๐ → ๐น๐ = −๐ซ ∗ ๐ฌ Seite 18 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk Beispiel 5 ๐น๐ = −๐บ = −๐ ∗ ๐ (๐ = ๐ ) ๐ (๐ = ๐ด ∗ 2 ∗ ๐ ) = −๐ ∗ ๐จ ∗ ๐ ∗ ๐ ∗ ๐ → ๐น๐ = −๐ซ ∗ ๐ฌ โโ ๐ฎ 3. Bewegungsgesetze Man betrachtet eine harmonische Schwingung, die zum Zeitpunkt t=0s in positiver Richtung durch die Gleichgewichtslage geht. 3.1. Elongation s(t) Die Elongation in Abhängigkeit der Zeit kann als Sinus-Funktion beschrieben werden. Die maximale Auslenkung nennt man ล. Es gilt: ๐ = ๐ ฬ ∗ sin(๐ผ) ๐ถ Da ๐ผ~๐ก gilt ๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐, also ๐ผ = ๐ ∗ ๐ก Für eine Umdrehung gilt also ๐ = Daraus folgt: ๐(๐) = ๐ฬ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐) ๐๐ ๐ป = ๐๐ ∗ ๐ 3.2. Geschwindigkeit v(t) Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Strecke (Elongation). Also gilt: ฬ = ๐ ∗ ๐ ฬ ∗ cos(๐๐ก) Da ๐ ∗ ๐ฬ = ๐ ฬ gilt also: ๐(๐) = ๐(๐) ฬ ∗ ๐๐จ๐ฌ(๐๐) ๐(๐) = ๐ In der Gleichgewichtslage (s=0) ist die Geschwindigkeit maximal! 3.3. Beschleunigung a(t) Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit bzw. die zweite Ableitung der Strecke (Elongation). Also gilt: ฬ = ๐(๐) ฬ = −๐2 ∗ ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) Da ๐๐ ∗ ๐ฬ = ๐ ฬ gilt also: ๐(๐) = ๐(๐) ฬ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐) ๐(๐) = −๐ In der Gleichgewichtslage (s=0) ist Beschleunigung minimal und bei der max. Elongation maximal! Seite 19 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 4. Differenzialgleichung Es gelten das lineare Kraftgesetz sowie die Newton‘sche Grundgleichung: ฬ , ๐ (๐ก) = ๐ ฬ ∗ ๐ ๐๐(๐๐ก)) ๐น๐ = −๐ซ ∗ ๐(๐) = ๐ ∗ ๐(๐) (๐(๐ก) = ๐ (๐ก) 2 −๐ท ∗ ๐ ฬ ∗ ๐ ๐ ๐(๐๐ก) = ๐ ∗ −๐ ∗ ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) (Kürzen) ๐ซ −๐ท ∗ ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) = ๐ ∗ −๐2 ∗ ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) ๏ฎ ๐ซ = ๐ ∗ ๐๐ ๏ฎ ๐ = √๐ 5. Periodendauer T Es gelten ๐ = 2๐ ๐ ๐ท und ๐ = √๐ ๏ฎ ๐= 2๐ ๐ ๐ท ๐ = √๐ ๏ฎ ๐ป = ๐๐ √ ๐ซ 6. Energie bei mechanischen Schwingungen Bei der Auslenkung eines Körpers aus der Gleichgewichtslage benötigt man eine zunehmende Kraft, verrichtet also Arbeit und erhöht damit die Energie des Systems. Für diese Kraft gilt: ๐น = ๐น๐ = ๐ท ∗ ๐ ๐ ๐ 1 Die Energie entspricht dem Integral dieser Funktion, also โ๐ = ∫0 (๐ท ∗ ๐ฅ)๐๐ฅ = [๐ท ∗ 2 ∗ ๐ฅ 2 ] 0 ๐ → ๐พ๐ฌ๐๐๐๐ = ∗ ๐ซ ∗ ๐๐ ๐ Solche Energien, die allein durch die momentane Stellung des Systems gegeben sind, nennt man potenzielle Energie (= Elongationsenergie). Hierzu gehören Lage- und Spannungsenergien. 6.1. Energieerhaltung Während einer Schwingung herrschen zwei Energien: Elongations- und kinetische Energie. Für die Gesamtenergie gilt: 1 1 ๐พ๐๐๐ = ๐พ๐ฌ๐๐๐๐ (๐) + ๐พ๐๐๐ (๐) = ∗ ๐ท ∗ ๐ 2 + ∗ ๐ ∗ ๐ฃ 2 2 2 In der Gleichgewichtslage gilt: ๐๐ธ๐๐๐๐ = 0 1 ๐๐๐๐ = ∗ ๐ ∗ ๐ฃฬ 2 2 In der maximalen Auslenkung gilt: ๐๐ธ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ = 0 1 ∗ ๐ท ∗ ๐ ฬ 2 2 Seite 20 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 7. Der elektromagnetische Schwingkreis Ein geschlossener Stromkreis, den man durch Parallelschaltung eines Kondensators mit einer Spule erhält, nennt man Schwingkreis. Zunächst ist der Kondensator vollständig aufgeladen. Es herrscht ein elektrisches Feld zwischen den Kondensatorplatten. Die Spannung UC ist maximal. Die gesamte Energie des Schwingkreises ist im elektrischen Feld gespeichert. (t=0) Nun entlädt sich der Kondensator und die elektrische Feldenergie führt dazu, dass ein Strom I durch die Spule fließt. Der Strom erzeugt in der Spule ein Magnetfeld. Ist der Kondensator vollständig entladen, so wird die Spannung UC = 0V und die Stromstärke I erreicht ihren Maximalwert. Dabei wurde die gesamte elektrische Feldenergie des Kondensators in die magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt. (t=1/4T) Der Strom beginnt nachzulassen, wodurch sich auch der magnetische Fluss in der Spule verringert. Nach der Lenz‘schen Regel fließt ein Induktionsstrom, welcher der Ursache entgegenwirkt. Das heißt, dass dieser Induktionsstrom noch eine Weile in die gleiche Richtung fließt wie der anfängliche Strom. Der Strom- und damit Ladungsfluss bewirkt, dass der Kondensator nun mit umgekehrter Polung aufgeladen wird. Ist die Stromstärke I auf 0 abgesunken, so erreicht die Spannung U am Kondensator ihren Maximalwert, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen. Die magnetische Feldenergie wurde nun vollständig in elektrische Feldenergie umgewandelt. (t=1/2T) Der Prozess vollzieht sich danach in umgekehrter Richtung. Nach der Zeit t=3/4T hat sich wieder ein (maximales) Magnetfeld aufgebaut, jedoch in entgegengesetzter Richtung im Vergleich zum Zeitpunkt t=1/4T. Zum Zeitpunkt t=T (also nach einer vollen Periode) stellt sich die Ausgangssituation (t=0) ein. 7.1. Strom-Spannungs-Verlauf Skizziert man den Verlauf der Spannung U(t) und der Stromstärke I(t), so bekommt man folgendes Bild. Eine Phasenverschiebung von π/2 zwischen U(t) und I(t) ist deutlich erkennbar. Seite 21 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 8. Elektromagnetische Schwingung - Vergleich mechanische Schwingung elektromagnetische Schwingung ๐(๐ก) ฬ = −๐ฟ ∗ ๐ผ(๐ก) ๐ถ ๐ธ(๐) ฬ → = −๐ณ ∗ ๐ธ(๐) ๐ช ๐๐ถ (๐ก) = ๐น๐ (๐ก) = −๐ท ∗ ๐ (๐ก) = ๐ ∗ ๐(๐ก) ฬ → −๐ซ ∗ ๐(๐) = ๐ ∗ ๐(๐) s(t) (Elongation) Q(t) (Ladung) m (Masse) L (Eigeninduktivität) 1 D (Richtgröße) ๐ถ ๐(๐ก) = ๐ฬ ∗ sin(๐๐ก) ฬ = ๐ ∗ ๐ฬ ∗ cos(๐๐ก) ๐(๐ก) ฬ = −๐2 ∗ ๐ฬ ∗ sin(๐๐ก) ๐(๐ก) ๐ (๐ก) = ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) ฬ = ๐ ∗ ๐ ฬ ∗ cos(๐๐ก) ๐ (๐ก) ฬ ๐ (๐ก) = −๐2 ∗ ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) ๐ฬ ∗ sin(๐๐ก) = ๐ณ ∗ ๐2 ∗ ๐ฬ ∗ sin(๐๐ก) ๐ช ๐ฬ ∗ sin(๐๐ก) = ๐ณ ∗ ๐2 ∗ ๐ฬ ∗ sin(๐๐ก) ๐ช 2 −๐ท ∗ ๐ ฬ ∗ ๐ ๐ ๐(๐๐ก) = ๐ ∗ −๐ ∗ ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) −๐ท ∗ ๐ ฬ ∗ ๐ ๐ ๐(๐๐ก) = ๐ ∗ −๐2 ∗ ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) ๐ท → ๐ท = ๐ ∗ ๐2 ๏ฎ ๐ = √๐ ๐= 2๐ ๐ ๐ท ๐ = √๐ ๏ฎ ๐ป = ๐๐ √ ๐ซ ๐ฃฬ = ๐ ฬ ∗ ๐ ๐ฬ = ๐ ฬ ∗ ๐2 = ๐ฃฬ ∗ ๐ ๐๐๐๐ = 1 1 ∗ ๐ท ∗ (๐ (๐ก))2 2 ๐๐๐๐ = ๐๐ธ๐๐๐๐ (๐ก) + ๐๐๐๐ (๐ก) 1 → ๐ถ = ๐ฟ ∗ ๐2 ๏ฎ ๐ = √๐ฟ∗๐ถ ๐= 2๐ ๐ 1 = √๐ฟ∗๐ถ ๏ฎ ๐ป = ๐๐ √๐ณ ∗ ๐ช (Thomson’sche Schwinggleichung) ๐ผฬ = ๐ฬ ∗ ๐ 1 ∗ ๐ ∗ (๐ฃ(๐ก))2 2 ๐๐ธ๐๐๐๐ = (Kehrwert der Kapazität) ๐๐๐๐ = ๐๐๐ = ๐ฬ = ๐(0) ๐ฬ ฬ= ๐ ๐ถ ฬ (๐ก) ๐๐ถ = ๐ ∗ sin(๐๐ก) 1 ∗ ๐ฟ ∗ (๐ผ(๐ก))2 2 1 1 1 2 ∗ ∗ (๐(๐ก)) = ∗ ๐ถ ∗ (๐๐ถ (๐ก))2 2 ๐ถ 2 ๐๐๐๐ = ๐๐๐ (๐ก) + ๐๐๐๐ (๐ก) Seite 22 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk VI. Wellen 1. Einführung und Begriffe Eine vom Erreger (periodische Anregung) wegwandernde Störung heißt fortschreitende Welle. Die Ausbreitung mechanischer Wellen erfordert einen Träger, in dem sich schwingungsfähige Teilchen befinden. Die Welle (Störung) wandert, nicht die Teilchen des Trägers. Alle Teilchen führen zu verschiedenen Zeitpunkten angeregt harmonische Schwingungen gleicher Frequenz und Amplitude quer zum Träger aus. Man unterscheidet zwei Geschwindigkeiten: c: Geschwindigkeit, mit der sich die Welle ausbreitet (Ausbreitungsgeschwindigkeit) u: Geschwindigkeit der Teilchen (Schnelle) Man unterscheidet auch zwei Typen von Wellen: Querwelle: ๐ ⊥ ๐ (Tranversalwelle) Längswelle: ๐ โฅ ๐ (Longitudinalwelle) 2. Ausbreitungsgeschwindigkeit c Es gilt: ๐ = ๐พ๐๐ ๐๐๐๐ = ๐ ๐ซ๐ ๐ → =๐∗๐ ๐ป Auf ein und demselben Träger ist c konstant d.h. unabhängig der Frequenz f. c hängt nur vom Wellenträger ab. Verdoppelt man also die Frequenz, so halbiert sich die Wellenlänge. 3. Wellenlänge λ Die Wellenlänge beschreibt den Abstand zweier benachbarter Teilchen, die in derselben Phase schwingen. Aus ๐ = ๐ ∗ ๐ folgt ๐ = ๐ ๐ 4. Wellengleichung Die Wellengleichung beschreibt die Elongation eines beliebigen Teilchens am Ort x zum Zeitpunkt t. Herleitung: Das erste Teilchen der Welle (x = 0) schwingt harmonisch mit ๐ (๐ก) = ๐ ฬ ∗ sin(๐๐ก) ๐ Ein Teilchen an der Stelle x wird erst Δt später von der Welle erreicht: ๐ = โ๐ → โ๐ = ๐ (๐ก; ๐ฅ) = ๐ ฬ ∗ sin(๐(๐ก − โ๐)) → ๐ (๐ก) = ๐ ฬ ∗ sin( ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ก ๐ฅ (๐ก − )) → ๐ ฬ ∗ sin(2๐ ( − )) ๐ป ๐ ๐ ๐∗๐ป ๐ → ๐(๐; ๐) = ๐ฬ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ (๐ป − ๐)) Für x = konstant liefert die Gleichung ein Zeit-Elongations-Gesetz eines Teilchens. Für t = konstant liefert die Gleichung ein Momentbild der Welle. Seite 23 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 5. Gangunterschied δ vs. Phasenverschiebung ฯ Man kann die Sinusschwingung einer Welle auch als Projektion einer Kreisbewegung verstehen. Der Winkel Der Gangunterschied δ meint den Abstand der Kreisbewegung wird dann als Phase ฯ der Welle zweier phasengleicher Punkte zweier Wellen. bezeichnet. Die Phasenverschiebung gibt an, wie viele Meist wird δ als Vielfaches von λ angegeben. Phasen zwei Wellen zueinander verschoben sind. Bei Wellen verschiedener Frequenz oder Geschwindigkeit kann die Phasenverschiebung variieren. Bild: ฯ = konstant = 90° = π/2 Zusammenhang: ๐ ๐ ๐ = = ๐ ๐๐ ๐ป Zeit t Phasenverschiebung φ 3 ๐ 12 4 ๐ 12 5 ๐ 12 6 ๐ 12 7 ๐ 12 8 ๐ 12 3 ๐ 6 4 ๐ 6 5 ๐ 6 6 ๐ 6 7 ๐ 6 8 ๐ 6 Seite 24 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6. Überlagerung und Interferenz 6.1. Überlagerung zweier gleichlaufenden Wellen gleicher Frequenz Interferenz = Überlagerung von Wellen mit derselben Wellenlänge Die resultierende Elongation ist immer die Summe der Einzelelongationen. Welle 1 Welle 2 Resultierende Welle Sonderfälle: 1) Sind die Wellen gleichphasig (๐ = ๐, ๐๐ , ๐๐ , … ๐ ∗ ๐๐ ) so addieren ist die Amplitude maximal. Für den Gangunterschied gilt dann: ๐ = ๐, ๐, ๐๐, … ๐ ∗ ๐ ; ๐๐โ) → konstruktive Interferenz 2) Sind die Wellen gegenphasig (๐ = ๐ , ๐๐ , ๐๐ , … (๐๐ − ๐) ∗ ๐ ) so löschen sich die Wellen aus. ๐ ๐ ๐ ๐ Für den Gangunterschied gilt dann: ๐ = ๐ , ๐ ๐, ๐ ๐, … (๐๐ค − ๐) ∗ ๐ ; kฯตโ) → destruktive Interferenz Zeichnerische Bestimmung (Zeigermodell) Welle 1 Welle 2 Resultierende Amplitude ๐ Länge entspricht der Amplitude Es gilt: δ φ ๐ = → ๐ = ∗ ๐๐๐° ๐ 360° ๐ Seite 25 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6.2. Interferenz zweier entgegenlaufender Wellen Zwei gleichphasige Wellen laufen sich entgegen. Man beobachtet Stellen des Trägers (k1, k2, k3, …), die ๐ zu keinem Zeitpunkt ausgelenkt werden. Sie heißen Bewegungsknoten. Ihr gegenseitiger Abstand ist 2 Zwischen zwei Knoten schwingen die Teilchen gleichphasig, jedoch mit verschiedenen Amplituden. Die Stellen maximaler Amplitude heißen Bewegungsbäuche. Benachbarte Bäuche schwingen gegenphasig. Die entsenden resultierende Welle heißt stehende Welle. Im Gegensatz zur fortschreitenden Welle wandert ihr räumliches Bild nicht weiter, sondern es „steht“. 7. Reflexion 7.1. Reflexion an einem festen Ende Bei der Reflexion am festen Ende werden die Richtungen der Auslenkung und der Schnelle umgekehrt. Es liegt Phasensprung von π (180°) vor. Ein Wellenberg läuft also als Wellental und umgekehrt zurück. Die zurücklaufende Welle interferiert mit der kommenden Welle. Seite 26 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 7.2. Reflexion an einem losen Ende Bei der Reflexion am losen Ende werden die Richtungen der Auslenkung und der Schnelle nicht umgekehrt. Es liegt kein Phasensprung vor. Ein Wellenberg bleibt ein Wellenberg und umgekehrt. Die zurücklaufende Welle interferiert mit der kommenden Welle. 7.3. Zeichentricks für Momentbilder Beispiel: (geg: l = 10m, c = 2,5m/s Auslenkung nach oben Zeichne das Momentbild nach t = 6s) 1) Nach x = c * t läuft die Welle 15m weit. 2) Man zeichnet einen 15m langen Wellenträger und beginnt, die Welle rückwärts zu zeichnen. Man beginnt in diesem Fall mit einem Wellenberg. 3) Man zeichnet das Ende bei 10m ein. 4) Beim losen Ende wird das Ende als Beim festen Ende wird punktgespiegelt. Spiegelachse betrachtet und der Anderes gesagt wird die Welle einmal „nach überstehende Teil wird achsengespiegelt. oben“ geklappt und dann achsengespiegelt. s s x x 5) resultierende Welle einzeichnen durch Amplitudenaddition Seite 27 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 8. Transversale Eigenschwingungen Nur bei bestimmten Frequenzen bildet ein Wellenträger aufgrund von Reflexionen eine stehende Welle. Diese nennt man Eigenfrequenzen, die Schwingungsform Eigenschwingung. Hierbei wächst die Amplitude immer mehr (= Resonanz). Würden keine Energieverluste durch Reibung auftreten, so würde es zu einer Resonanzkatastrophe führen. k = 1 : 1. harmonische Schwingung/Grundschwingung k = 2 : 2. harmonische Schwingung/Oberschwingung k = 3 : 3. harmonische Schwingung/2. Oberschwingung … Hierbei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: Zwei feste Enden: ๐ ๐ = ๐๐ ∗ ๐ ๐ Zwei lose Enden: ๐๐ = ๐ ๐๐ ∗๐ Ein festes und ein loses Ende: ๐ ๐ = ๐๐ ∗ (๐๐ − ๐) ๐๐ = ๐ ๐ ๐๐ ∗ (๐๐ − ๐) Für alle gilt ๐๐ = ๐๐ ∗ ๐ 9. Mehrdimensionale Wellen (Wasserwellen) 9.1. Einführung Ein periodisch in die Wasseroberfläche eintauchender Stift erzeugt kreisförmige Wellenfronten. 1) Die Ausbreitung der Welle erfolgt allseits in Richtung der Wellennormale ๐ 2) Die Wellenfronten sind konzentrische Kreise 3) Der Abstand zweier benachbarter Täler/Berge ist λ 4) Es gilt wie bei der mechanischen Welle: c = λ * f Wellental Wellenberg E Wellennormale 5) Verdoppelt man f, so halbiert sich λ Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c bleibt gleich Seite 28 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 9.2. Interferenz von mehrdimensionalen Wellen Der Abstand zweier Erreger heißt g. Man beobachtet Minima (Auslöschung) und Maxima (Verstärkung). Gangunterschied: 1.Max 1.Min 0.Max 1.Min 1.Max r1 r2 δ Es gilt: ๐น = ๐๐ − ๐๐ ≤ ๐ Für Maxima gilt: ๐ฟ = 0, ๐, 2๐, 3๐, ๐น = ๐ ∗ ๐ (inkl. k = 0) Δ๐ = 0, 2๐, 4๐, 6๐, … ๐ซ๐ = ๐ ∗ ๐๐ (inkl. k = 0) Für Minima gilt: 1 3 5 ๐ฟ = ๐, ๐, ๐, 2 2 2 Δ๐ = ๐, 3๐, 5๐, … ๐ ∗ (๐๐ − ๐) ๐ ๐ซ๐ = ๐ ∗ (๐๐ − ๐) ๐น= Anzahl der Maxima und Minima Vergrößert man den Abstand g oder die Frequenz, so beobachtet man eine Zunahme der Anzahl der Maxima und Minima. Für Maxima gilt: ๐ฟ≤๐ =๐∗๐≤๐ ๐ →๐≤ ๐ Für Minima gilt: Rechenbeispiel: ๐ฟ≤๐ = (2๐ − 1) ∗ ๐ ≤ ๐ ๐ ๐ →๐≤ + ๐ ๐ 6๐๐ = 3,16 → ๐ = 3 1,9๐๐ → 7 Maxima (0., 2x 1., 2x 2., 2x 3.) Bei Minima ohne 0. ๐≤ Sonderfall bei Gegenphasigkeit: Schwingen die beiden Erreger gegenphasig, so ist folgendermaßen vorzugehen: Bestimmung der Maxima und Minima: 1) Bestimmung des Gangunterschiedes bei Gleichphasigkeit ๐ 2) Jeweils 2 addieren Anzahl der Maxima und Minima: 1) Berechnung der Anzahl bei Gleichphasigkeit 2) Maxima wird zu Minima und umgekehrt 9.3. Kohärenz mehrdimensionaler Wellen Zwei Erreger, die ein gleichbleibendes Interferenzmuster erzeugen, heißen kohärent. Dazu müssen sie mit gleicher Frequenz und konstanter Phasendifferenz schwingen. Seite 29 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 9.4. Das Huygen’sche Prinzip (Der Spalt) Eine ebene Welle trifft auf ein gerades Hindernis mit einer kleinen Öffnung (Spalt). Die Welle erfährt am Spalt eine Richtungsänderung. Man spricht von einer Beugung. Die Welle wird also am Spalt gebeugt. Die Welle nach dem Spalt heißt Elementarwelle. Bei Doppelspaltversuchen erzeugt man aus einer Welle des Senders zwei gleichphasige Elementarwellen, die genau so miteinander interferieren, wie die Wellen von zwei realen kohärenten Sendern. Huygen’sches Prinzip: Für alle Wellenarten gilt: Jede Stelle einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle aufgefasst werden. 9.5. Geometrische Berechnung des Gangunterschieds a) Für große Wellenlängen (bis Mikrowellen) d P M (0.Max.) r2 a r1 E1 g E2 2 1 1 2 2 2 √ √ ๐น = ๐๐ − ๐๐ = ๐ + ( ๐ + ๐) − ๐ + (๐ − ๐) 2 2 Seite 30 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk b) Für kleine Wellenlängen (ab Mikrowellen) d P M (0.Max.) a r2 r1 α δ α E1 g E2 Ist a >> g, entarten die Hyperbeln zu Geraden, die durch die Mitte von E1 und E2 gehen. α kennzeichnet die Richtung der Interferenzstreifen. Der Kreis um P (---) kann als Gerade angenähert werden, sodass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Hier gilt: ๐น ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) = ๐ ๐ ๐ญ๐๐ง(๐ถ) = ๐ Winkel αk für Maxima: ๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ๐ ) = ๐ ∗ < ๐ ๐ βk für Minima: ๐ฌ๐ข๐ง(๐ท๐ ) = (๐๐ − ๐) ∗ ๐ <๐ ๐๐ Seite 31 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk VII. Optik 1. Spektrum elektromagnetischer Strahlung 2. Gesetze der geometrischen Optik 2.1. Grunderscheinung Licht Licht kann als Welle betrachtet werden. Das für uns sichtbare Licht liegt im Bereich λ = 380nm (violett) und λ = 750nm (rot). Licht breitet sich geradlinig aus und kann gestreut, reflektiert und gebrochen werden. Der Lichtweg ist umkehrbar. Da sich Wellenlänge und Lichtgeschwindigkeit in unterschiedlichen Medien verändern, nimmt man gerne die Frequenz als Charakteristika für eine Farbe. 2.2. Brechungsgesetze Es gilt: ๐ธ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ค๐๐๐๐๐ ๐ผ > ๐ต๐๐๐โ๐ข๐๐๐ ๐ค๐๐๐๐๐ ๐ฝ ๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก ๐ a sin(๐ผ) = optisch dünn optisch dicht ๐ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ๐ฝ๐๐๐๐๐ ) ๐ฌ๐ข๐ง(๐ท๐ด๐๐ ๐๐๐ ) ๐ und sin(๐ฝ) = ๐ = ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ = ๐ (Brechungszahl) = ๐ ๐ ≥ 1 ๐ด Allgemein gilt bei 2 Medien nach Huygens: b Allgemein gilt: ๐0 ๐๐๐ก๐๐๐ = ๐ ๐0 ๐๐๐ก๐๐๐ = ๐ ๐0 ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ๐ ) ๐1 ๐1 ๐๐ = = ๐ = 0 ๐ฌ๐ข๐ง(๐ท๐ ) ๐2 ๐๐ ๐2 Grenzwinkel βGrenz: Beim optisch dichteren Medium gibt es einen Grenzwinkel βGrenz, der nicht überschritten werden kann: sin(๐ผ)๐๐๐๐ข๐ข๐ = ๐ mit αVakuum = 90° (maximaler Einfallswinkel) sin(๐ฝ) ๐๐๐๐๐ข๐ → ๐ฌ๐ข๐ง(๐ท๐ฎ๐๐๐๐) = sin(๐ผ) ๐ = ๐ ๐ Seite 32 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com 2.2.1. Felix Birk Totalreflexion Beim Übergang von optisch dichteren ins optisch dünnere Medium und Überschreitung des Grenzwinkels tritt Totalreflexion auf. Es gilt Einfallswinkel = Ausfallswinkel 2.2.2. Lichtgeschwindigkeit In Abhängigkeit des Mediums variiert die Lichtgeschwindigkeit c. Im Vakuum ist sie maximal. Bei zunehmender optischer Dichte nimmt die Lichtgeschwindigkeit ab. ๐ In der Luft bzw. Vakuum gilt: ๐0 ≈ 3 ∗ 108 ๐ Für die Brechungszahl gilt: 2.2.3. ๐๐ ๐๐ด๐๐ ๐๐๐ =๐ Optische Weglänge Für die Lichtgeschwindigkeit gilt: c0 (Vakuum) > cM (Medium) ๐ d Licht ๐0 = ๐ก 0 δ n ๐ ๐ ๐ ๐ > ๐๐ = ๐ก → ๐ก๐ = ๐ Für die in derselben Zeit zurückgelegte Strecke im Vakuum gilt: ๐๐ฝ๐๐๐๐๐ = ๐0 ∗ ๐ ๐0 = ∗๐ =๐∗๐ ๐๐ ๐๐ → ๐น = ๐๐ฝ๐๐๐๐๐ − ๐ 2.3. Prisma/Dispersion Licht verschiedener Frequenzen (polychromatisch) hat im Vakuum und praktisch auch in Luft die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit. In optisch dichteren Medien ist sie kleiner und hängt zusätzlich von der Farbe/Frequenz ab. Trifft weißes Licht auf die Grenzfläche zweier optisch unterschiedlich dichten Stoffen, so wird es gebrochen. Wegen der von der Farbe abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium werden verschiedene Farben aber unterschiedlich stark gebrochen. Dies nennt man Dispersion. So entsteht ein Spektrum. Seite 33 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 3. Beugung von monochromatischem Licht am Doppelspalt Licht wird als Welle betrachtet. Trifft die Wellenfront auf den Doppelspalt mit dem Spaltmittenabstand g, so werden die Wellen gebeugt und es entstehen nach Huygens Elementarwellen. Diese interferieren. Bei einem Gangunterschied von einem ganzzahlig Vielfachen von der Wellenlänge kommt es zu konstruktiver Interferenz, auf dem Schirm mit dem Abstand a beobachtet man Intensitätsmaxima, bei einem ganzzahligen Vielfachen von der halben Wellenlänge kommt es zu destruktiver Interferenz, auf dem Schirm sind Intensitätsminima zu beobachten. Zu sehen sind dunkle und helle Streifen auf dem Schirm. a r2 g α α r1 δ Winkel zum k. Maximum: ๐∗๐ ) ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ = ≤๐ ๐ P ๐ Winkel zum k. Minimum: (๐๐ − ๐) ∗ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ๐ ) = ≤๐ ๐๐ d Abstand d von der Mitte: ๐ ๐ญ๐๐ง(๐ถ๐ ) = ๐ M (0.Max.) Näherung: Abstand zwischen zwei Maxima: Beim Doppelspalt darf bei Aus ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) ≈ ๐ญ๐๐ง(๐ถ) folgt für das kleinen Winkeln folgende 1. Maximum: Näherung gemacht werden: 1∗๐ ๐ ๐∗๐ = → ๐ซ๐ = ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) ≈ ๐ญ๐๐ง(๐ถ) ๐ ๐ ๐ Dieser Wert gilt auch für die anderen Abstände, z.B. zwischen zwei Minima. 4. Beugung von monochromatischem Licht am Gitter Nachteile des Doppelspalts: ๏ท Durch zwei Spalte kommt wenig Licht, daher lichtschwache Interferenzmuster ๏ท Maxima und Minima sind nicht scharf, d.h. die Intensität geht nur allmählich von maximalem zu minimalem Wert → beide Nachteile können durch einen Vielfachspalt (optisches Gitter) beseitigt werden Hinter jedem Spalt mit dem Spaltabstand g (Gitterkonstante) bildet sich eine Elementarwelle. Die Wellen werden gebeugt und interferieren. Für den Gangunterschied sowie die Ablenkwinkel gelten dieselben Gesetze wie beim Doppelspalt. ABER: Die Näherung des Doppelspalts sin(๐ผ) ≈ tan(๐ผ) geht hier nicht mehr! Die Maxima des Gitters sind im Vergleich zum Doppelspalt heller und schärfer. Der Abstand Δd sowie der Winkel zwischen zwei Maxima hängt jedoch nur vom Spaltabstand bzw. der Gitterkonstante g ab und ändert sich bei zunehmender Spaltzahl daher nicht. Hierbei gilt, je kleiner g desto größer Δd. Je größer die Spaltzahl, desto schärfer und heller werden die Hauptmaxima. Die Helligkeit der Nebenmaxima nimmt immer mehr ab. Seite 34 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 4.1. Der n-fach Spalt Beim Vielfachspalt (Gitter) entstehen Hauptmaxima und Hauptminima, aber auch Nebenmaxima und Nebenminima. Für deren Anzahl gilt beim n-fach Spalt: n-2 Nebenmaxima und n-1 Nebenminima 4.2. Das Zeigermodell (Lage der Minima) Es gilt: Welle 1 Welle 2 ๐ ๐ ๐ Resultierende ๐ = ๐๐๐° → ๐ = ๐๐๐° ∗ ๐ Intensität ๐ Beispiel 4-fach-Spalt: ๐ = 0° (0. Hauptmaximum) δ= ๐° ∗๐ = 0 360° ๐ = 90° (1. Nebenminimum) δ= 90° ๐ ∗๐ = 360° 4 ๐ = 180° (2. Nebenminimum) δ= 180° ๐ ∗๐ = 2 360° 4 ๐ = 270° (3. Nebenminimum) δ= 270° ๐ ∗๐ = 3 360° 4 ๐ = 360° (1. Hauptmaximum) δ= 360° ๐ ∗๐ = 4 = ๐ 360° 4 Allgemein gilt für die Position der Minima beim n-fach Spalt: ๐ = ๐๐๐° ๐ ๐∗ ๐๐๐° ∗๐ (๐ = 1, 2, 3, … , ๐ − 1) ๐น Dies setzt man in ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) = ๐ ein. Seite 35 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 5. Beugung von polychromatischem Licht (Spektralanalyse) Bei der Beugung und Interferenz von polychromatischem Licht beobachtet man verschiedene Spektrallinien auf dem Schirm (das Licht wird in die einzelnen Farbbestandteile zerlegt, welche je nach Wellenlänge an einer anderen Position konstruktiv interferieren) Solche sog. Lichtspektren sind charakteristisch für lichtaussendende Atome/Elemente (Spektrenanalyse) 5.1. Sonderfall Glühlicht/Sonnenlicht Verwendet man weißes Glühlicht, so lagern sich die einzelnen farbigen Spaltbilder so aneinander, dass ein kontinuierliches Spektrum entsteht. Mit zunehmender Ordnung überlappen die Maxima. 0. 1. 2. 3. 4. 5. rot (größter Abstand Δd zwischen den Maxima, da größte Wellenlänge) violett (kleinster Abstand Δd, da kleinste Wellenlänge) Berechnung der Überschneidung: Musteraufgabe: geg: weißes Licht (λ = 400 - 780nm), g = 5*10-6 a = 5m 1) Ab welcher Ordnung überlappen sich die Spektren? Test 1: 1. und 2. Ordnung 1 ∗ ๐๐๐๐ก 1 ∗ 780 ∗ 10−9 ๐ sin(๐ผ1 ) = = → ๐ผ1 = 8,97° ๐ 5 ∗ 10−6 ๐ 2 ∗ ๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก 2 ∗ 400 ∗ 10−9 ๐ sin(๐ผ2 ) = = → ๐ผ2 = 9,21° ๐ 5 ∗ 10−6 ๐ Folglich überlappen sich das Spektrum 1. und 2. Ordnung nicht Test 2: 2. und 3. Ordnung 2 ∗ ๐๐๐๐ก 2 ∗ 780 ∗ 10−9 ๐ sin(๐ผ2 ) = = → ๐ผ2 = 18,18° ๐ 5 ∗ 10−6 ๐ 3 ∗ ๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก 3 ∗ 400 ∗ 10−9 ๐ sin(๐ผ3 ) = = → ๐ผ3 = 13,89° ๐ 5 ∗ 10−6 ๐ Da der Winkel vom Ende des 2. Spektrums größer als der des Beginns des 3. ist, überlappen sich folglich das 2. und 3. Spektrum. 2) Ab welcher Wellenlänge der 2. Ordnung findet eine Überlappung statt? 2 ∗ ๐๐ฅ 3 ∗ ๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก 3 ∗ 400 ∗ 10−9 ๐ ) ) sin(๐ผ2 = sin(๐ผ3 → = → ๐๐ฅ = = 600๐๐ ๐ ๐ 2 Seite 36 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6. Beugung am Einzelspalt Auch am Einzelspalt ist ein Interferenzmuster zu beobachten. Man stellt sich zwischen den Kanten des Spaltes eine Wellenfront vor, welche nach Huygens als viele dicht liegende Elementarwellen betrachtet werden kann. Diese Elementarwellen interferieren. Je kleiner die Spaltgröße l, desto größer ist Δd. Der Einzelspalt der Breite l steht in großer Entfernung a vor einem Schirm. Auf den Einzelspalt trifft eine ebene Wellenfront mit der Wellenlänge λ. Nach Huygens besteht diese Wellenfront aus vielen einzelnen dicht liegenden Elementarwellen (hier exemplarisch 12). Bei α = 0° liegt das 1. Maximum vor, da sich alle Zeiger addieren. Vergrößert man den Beobachtungswinkel, so beträgt der Gangunterschied zwischen dem 1. Und dem 12. Strahl irgendwann λ. Teilt man alle Elementarwellen in zwei Bündel, so finden sich nun immer Paare, welche den ๐ gegenseitigen Gangunterschied 2 haben und sich somit gegenseitig auslöschen (hier 1. und 7., 2. und 8., 3. und 9., usw.) Es liegt das 1. Minimum vor. Vergrößert man den Beobachtungswinkel weiterhin, so kommt man an einen Punkt, bei dem der Gangunterschied ๐ zwischen dem 1. und 12. Strahl 3 2 beträgt. Teilt man alle Elementarwellen in 3 Bündel auf, so löschen sich der lila und grün hinterlegte Bereich gegenseitig aus, die restlichen Strahlen addieren sich zum 1. Maximum. Bei weiterer Steigerung des Beobachtungswinkels beträgt der Gangunterschied zwischen dem 1. und 12. Strahl irgendwann 2λ. Stellt man sich nun 4 Bündel, so löschen sich jeweils 2 Bündel gegenseitig aus (hier lila und rosa, dunkelgrün und hellgrün), da sich in den jeweiligen Bündeln ๐ immer ein Paar mit dem Gangunterschied 2 findet. Es liegt das 2. Minimum vor. Winkel zum k. Maximum: ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ๐ ) = (๐๐ − ๐) ∗ ๐ ≤๐ ๐๐ Winkel zum k. Minimum: ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ๐ ) = ๐∗๐ ≤๐ ๐ Abstand d von der Mitte: ๐ญ๐๐ง(๐ถ๐ ) = ๐ ๐ Seite 37 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6.1. Einfluss der Spaltgröße beim Gitter und Doppelspalt Das Interferenzmuster des Doppelspalts ist in das Einzelspaltinterferenzmuster eingebettet. Die Anzahl der vom Doppelspalt erzeugten Interferenzmuster, die innerhalb der hellen Interferenzmitte des Einzelspalts liegen, ist abhängig von g und l. Dort wo der Einzelspalt ein Interferenzminimum aufweist fällt ein Maximum des Doppelspalts weg. Berechnung des wegfallenden Maximums des Doppelspalts: 1. Minimum des Einzelspalts: sin(๐ผ1 ) = Bedingung für Maximum des Doppelspalts: 1∗๐ ๐ sin(๐ฝ๐ ) = ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ๐ ) = ๐∗๐ ๐ ๐∗๐ ๐∗๐ ๐ = ๐ฌ๐ข๐ง(๐ท๐ ) = →๐= ๐ ๐ ๐ Beweis, dass jedes a. Maximum des Doppelspalts wegfällt: 1. Minimum des Einzelspalts: sin(๐ผ1 ) = a. Maximum des Doppelspalts: 1∗๐ ๐ 1) sin(๐ฝ๐ ) = sin(๐ผ1 ) = 1∗๐ ๐ Bedingung Minimum des Einzelspalts: sin(๐ผ๐ ) = = sin(๐ฝ๐ ) = ๐∗๐ ๐ →๐= 1) in 2) ๐ ๐ ๐ sin(๐ฝ๐ ) = sin(๐ผ๐ ) = ๐ ๐ Bedingung für Maximum des Doppelspalts: ๐∗๐ ๐ 2) = ๐ ๐ ๐∗๐ ๐ ๐∗๐ ๐ = sin(๐ผ๐ ) = ๐∗๐ ๐ → ๐ ๐ ๐∗๐ ๐ ๐ =๐ → ๐ = ๐๐ (d.h. jedes a. Maximum fällt weg) Seite 38 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 7. Bragg-Reflexion Problem: Um auch bei kleineren Wellenlängen (größeren Frequenzen) Interferenzmuster zu beobachten, muss die Spaltbreite verkleinert werden. Dies stößt jedoch irgendwann an seine Grenzen. → Lösung: Man nimmt Kristalle für Interferenzversuche, da ihre gleichmäßige atomare Struktur derer eines Gitters ähnelt. Die Strahlen werden an der Elektronenhülle der Atome reflektiert und es entsteht ein Gangunterschied. Bragg-Gleichung: α sei der Einstrahlwinkel, d der Netzebenenabstand. α α α d α δ s s Für Maxima gilt demnach: ๐∗๐ ๐ ∗ ๐ = ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) → ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) = ๐๐ (k = 1, 2, 3, …) Die Winkel α, bei denen Maxima auftreten, heißen BraggWinkel oder Glanzwinkel. Beobachtet man Bragg-Reflexion auf einem Schirm, so muss beachtet werden, dass der Kreiswinkel das Doppelte des Auftrittswinkels ist. Bei einem Abstand von L und einem Radius von r gilt demnach: ๐ ๐ญ๐๐ง(๐๐ถ) = ๐ณ α α α α Im rechtwinkligen Dreieck gilt ๐ sin(๐ผ) = → ๐ = sin(๐ผ) ∗ ๐ ๐ Der Gangunterschied beträgt ๐น = ๐๐ = ๐ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) ∗ ๐ 8. Mach Zehnder Interferometer Ein Lichtstrahl trifft auf einen Strahlteiler und wird in zwei Strähle โ und โก aufgeteilt. Detektor 1 erfasst ein Maximum, Detektor 2 ein Minimum. Erklärung: โก โ D1: โ : Spiegel (Phasensprung π) + Spiegel (π) = 2π โก: Spiegel (π) + Spiegel (π) = 2π → Phasendifferenz = 0 → konstruktive Interferenz D2: โ : Spiegel (π) = π โก: Spiegel (π ) + Spiegel (π ) + Spiegel (kein Phasensprung, da von optisch dicht in optisch dünn) = 2π → Phasendifferenz = π → destruktive Interferenz Seite 39 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk VIII. Quantenphysik 1. Der Photoeffekt 1.1. Hallwachs-Versuch (1888) Ein Elektroskop wird negativ geladen und mit einer Aluminiumplatte verbunden. Bestrahlt man die Metallplatte nun mit dem Licht einer Kohlebogenlampe so ist zu beobachten, dass die negative Aufladung der Aluminiumplatte zurückgeht. Schiebt man eine Glasplatte zwischen Lichtquelle und Metallplatte, so ist kein Effekt zu beobachten, ebenso, wenn man die Platte positiv auflädt. 1) Die vom Licht mitgeführte Energie setzt aus Metallen Elektronen frei. 2) Eine Glasplatte lässt keine UV-Strahlung hindurch – die Beobachtung funktioniert also offensichtlich nur mit bestimmten Wellenlängen bzw. Frequenzen (Grenzfrequenz fGr). Je größer die Frequenz, desto größer ist die kinetische Energie der aus gelösten Elektronen (Photoelektronen). 3) Die kin. Energie der Photoelektronen hängt nicht von der Intensität ab. Bei der richtigen Frequenz ist jedoch die Anzahl der herausgelösten Elektronen proportional zur Intensität. 4) Auch bei einer positiven Aufladung werden Elektronen herausgelöst, diese werden jedoch wieder angezogen und fliegen zurück. 1.2. Fotozelle Die Fotozelle macht sich den Fotoeffekt zur Funktionsgrundlage. Trifft Licht auf ein mit Cäsium beschichtetes Metall (Fotokathode), so werden hieraus Elektronen gelöst. Diese werden von der ringförmigen Anode abgeführt. Es entsteht die Photospannung UPh. Verbindet man nun Kathode und Anode so findet ein Elektronenaustausch statt – es fließt Photostrom IPh. Wird eine Fotozelle mit polychromatischem Licht beleuchtet, so stimmt die maximale kinetische Energie der Elektronen mit der Energie, welche die energiereichsten Photonen auf sie übertragen, überein. Entscheidend ist also die größte Frequenz. Seite 40 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 1.3. Bestimmung der kin. Energie der Elektronen (Gegenfeldmethode) Die kinetische Energie der Elektronen ermöglicht diesen sogar, gegen ein elektrisches Feld anzulaufen. Nun wird ein elektrisches Feld erzeugt (Gegenspannung), welches der Bewegung der Elektronen entgegenwirkt. Diese Gegenspannung wird solange erhöht bis keine Elektronen mehr an der Ringanode ankommen. Nun kann die Geschwindigkeit der schnellsten Elektronen (bzw. mit der größten Energie) bestimmt werden. Die Geschwindigkeiten bzw. die Energien der Elektronen differieren, da manche Elektronen aus tieferen Schichten ausgelöst werden und/oder durch Stöße Energie abgegeben. Nun gilt: ๐พ๐๐๐ ๐๐๐ = ๐พ๐๐ → 1 ๐ ∗ ๐ ∗ ๐ฃ๐๐๐ฅ 2 = ๐ ∗ ๐ → ๐ฃ๐๐๐ฅ = √2 ∗ ∗ ๐ 2 ๐ 1.4. Das Planck’sche Wirkungsquantum Lässt man verschieden farbiges Licht auf die Fotokathode fallen, so erhält man unterschiedliche kinetische Energien der Fotoelektronen. Trägt man die Messwerte in ein Diagramm erhält man folgendes Schaubild. Bei verschiedenem Kathodenmaterial verschiebt sich die Gerade entlang der xAchse. fGr b Allgemeine Geradengleichung: ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ Die Steigung der Geraden im f-Wkin-Diagramm wird als Planck’sches Wirkungsquantum h bezeichnet und beträgt 6,626 ∗ 10−34 ๐ฝ๐ bzw. 4,136 ∗ 10−15 ๐๐๐ Steigung: โ = hier: ๐พ๐๐๐ ๐๐๐ = ๐๐ − ๐ Energie eines Photons Energie zum Auslösen eines Elektrons โ๐๐๐๐ โ๐ Seite 41 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 2. Photonen Eigenschaften: ๏ท ๏ท ๏ท ๏ท ๏ท ๏ท ๏ท ๏ท erste Theorie um 1900 von Max Plank, später Deutung von Albert Einstein Photonen bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit = Lichtgeschwindigkeit c Energie- oder Impulsänderungen rufen eine Änderung der Frequenz bzw. Wellenlänge hervor, da die Geschwindigkeit konstant bleibt (bei Energie-/Impulsabnahme wird Frequenz kleiner und Wellenlänge größer) → Farbveränderung können nur als Ganzes erzeugt oder absorbiert werden sind nicht teilbar → kleinste Energieportion (Lichtquanten) im monochromatischen Licht haben sie die Energie ๐๐โ = โ ∗ ๐ mit zunehmender Frequenz bzw. abnehmender Wellenlänge werden Photonen schwerer Photonen kann keine Bahn zugeordnet werden. Ihre Bewegung ist unbekannt. 2.1. Energie eines Photons/Deutung des Photoeffekts Die Energie eines Photons beträgt ๐พ๐ท๐ = ๐ ∗ ๐ und ist daher abhängig von der Frequenz, jedoch unabhängig der Intensität. Bei gleicher Frequenz führt eine höhere Intensität zu einer größeren Anzahl an ausgelösten Elektronen, deren Energie bleibt jedoch gleich. Beim Photoeffekt überträgt das Photon diese Energie auf ein Elektron und wird in kinetische Energie umgewandelt. Es wird jedoch beobachtet, dass nicht die gesamte Energie des Photons in kinetische Energie des Elektrons umgewandelt wird, denn es wird ebenso Energie benötigt, um das Elektron aus dem Metall herauszulösen (Austritts-/Ablösearbeit WA). Diese hängt vom Material ab. Daraus folgt: ๐พ๐ท๐ = ๐พ๐๐๐ ๐๐๐ + ๐พ๐จ → โ ∗ ๐ = 1 ∗ ๐ ∗ ๐ฃ๐๐๐ฅ 2 + ๐๐ด 2 2.2. Grenzfrequenz Es gibt eine Grenzfrequenz fGr, bei der die Photonenenergie gerade ausreicht, um ein Elektron herauszulösen, nicht jedoch, um dieses zu beschleunigen. Unterhalb dieser Grenzfrequenz ist kein Photoeffekt zu beobachten. Diese hängt vom Material ab. Im f-Wkin-Diagramm entspricht sie dem ๐ Schnittpunkt mit der x-Achse. Es gilt: ๐พ๐๐๐ = ๐ → โ ∗ ๐๐บ๐๐๐๐ง − ๐๐ด = 0 → ๐๐บ๐๐๐๐ง = โ๐ด 2.3. Anzahl von Photonen Beispiel: Ein Laser der Wellenlänge λ = 630nm hat die Leistung P = 0,5mW. Wie viele Elektronen sendet er pro Sekunde aus? Lösung: ๐ฟ๐๐๐ ๐ก๐ข๐๐ ๐ = ๐ด๐๐๐๐๐ก/๐ธ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก = ๐ ๐ก = ๐∗๐๐โ ๐ก = ๐∗โ∗๐ ๐ก = ๐∗โ∗๐ ๐ก∗๐ = 0,5๐๐ 0,5 ∗ 10−3 ∗ ๐ก ∗ ๐ 0,5 ∗ 10−3 ∗ 1 ∗ 630 ∗ 10−9 1 15 →๐= = = 1,58 ∗ 10 โ∗๐ 6,626 ∗ 10−34 ∗ 3 ∗ 108 ๐ 2.4. Masse von Photonen Nach Albert Einstein gilt: ๐พ = ๐ ∗ ๐๐ . โ∗๐ โ∗๐ โ Daraus folgt für Photonen: ๐ = ๐ ∗ ๐๐ = ๐ ∗ ๐ → ๐ = ๐ 2 = ๐ 2 ∗๐ = ๐∗๐ Seite 42 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 2.5. Impuls von Photonen โ ๐ โ∗๐ โ =๐∗๐ โ → โโโโโโ ๐ ๐๐โ = ๐๐โ ∗ ๐ = ๐∗๐ ∗ ๐ = ๐ bzw. Für mehrere Photonen der Anzahl n gilt dann: ๐ = Kraft: ๐ญ= ๐ ๐∗โ ๐ bzw. ๐∗โ∗๐ ๐ โ ๐ซ๐ ๐ ∗ โ ∗ ๐ ๐ ∗ ๐๐โ = = ๐ซ๐ Δ๐ก ∗ ๐ Δ๐ก ∗ ๐ 2.5.1. Strahlungsdruck ๐ญ ๐ ∗ ๐๐โ ๐∗โ∗๐ ๐ = → ๐๐โ = = ๐จ Δ๐ก ∗ ๐ ∗ ๐ด Δ๐ก ∗ ๐ ∗ ๐ด 2.5.2. Strahlungskonstante σ: (Leistung pro Fläche) ๐= ๐ท ๐ ∗ ๐๐โ ๐ ∗ โ ∗ ๐ = = =๐∗๐ ๐จ ๐ก∗๐ด ๐ก∗๐ด Compton-Effekt Beim Compton-Effekt stoßen Photonen auf freie Elektronen, um deren teilchenartiges Impulsverhalten nachzuweisen. Demnach müsste bei Photonen bei Stoßprozessen der Energie- und Impulserhaltungssatz gelten, die Photonen müssten also Energie verlieren und demnach ihre Frequenz ändern. Um eine maximale Energieübertragung zu gewährleisten, sollte das Masseverhältnis der Stoßpartner 1:1 betragen. Compton wählt hierzu Photonen mit etwa derselben Masse wie Elektronen. Die entsprechende Wellenlänge wird Compton-Wellenlänge λC genannt. โ ๐ ๐๐ท๐ = ๐๐− → ๐∗๐ = ๐๐ − → ๐๐ = ๐∗๐ ๐ ๐− = 2,43๐๐ (Röntgenstrahlen) Im Versuch werden Röntgenstrahlen auf einen Graphitblock (enthält freie Elektronen) geschossen. Man beobachtet, dass die freien Elektronen von den Röntgenphotonen unter einem Winkel α zwischen 0° und 90° weggestoßen werden. Es treten also meist nicht zentrale Stöße auf. Wird ein freies Elektro unter einem Winkel α nach „unten“ gestoßen, so findet man zugleich ein neues Photon mit kleinerer Frequenz bzw. größerer Wellenlänge, das nach „oben“ unter dem Winkel β auftaucht. Für die Änderung der Wellenlänge des Photons gilt: โ๐ = ๐๐ ∗ (๐ − ๐๐จ๐ฌ ๐ท) Da das Photon nach dem Stoß Energie verliert und damit die Wellenlänge größer wird, gilt ๐′ = ๐ + Δ๐ Mit zunehmendem Streuwinkel β steigt Δλ. Bei β = 90° gilt Δλ = λC. Die Wellenlängenänderungen sind so minimal, dass sie bei sichtbarem Licht nicht bemerkbar sind. (z.B. 600nm + 2,43pm ≈ 600nm) Für den Energieerhaltungssatz gilt: ′ ๐๐โ + ๐๐ − = ๐๐โ + ๐๐′− → โ ∗ ๐ + ๐๐ − ∗ ๐ 2 = โ ∗ ๐′ + ๐๐ − ′ ∗ ๐ 2 Für den Impulserhaltungssatz gilt: ′ ๐๐โ + โโโโโโ โโโโโโ ๐๐ − = โโโโโโ ๐๐โ + โโโโโโ ๐๐ − ′ Wichtig! Der Elektronenimpuls kann nur zeichnerisch oder mit dem CosinusSatz ermittelt werden. Seite 43 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 3. Röntgenstrahlung/Umkehrung des Photoeffekts Unter bestimmten Umständen kann der Photoeffekt umgekehrt werden. In der Theorie sollte also, wenn man Elektronen auf ein Metall schießt, Licht entstehen. In der Realität funktioniert dies jedoch nicht mit sichtbarem Licht, sondern mit kleineren Wellenlängen bzw. größeren Frequenzen. Treffen sehr schnelle Elektronen auf eine Metallanode so entsteht eine elektromagnetische Strahlung – Röntgenstrahlung. Hierbei wird eine sehr große Beschleunigungsspannung benötigt (20 – 50kV). 1 Die Elektronen besitzen vor dem Aufprall die Energie ๐๐๐ = ๐ ∗ ๐ = ๐๐๐๐ = 2 ∗ ๐ ∗ ๐ฃ 2 . Diese wird in thermische Energie und Röntgenstrahlung umgewandelt. ๐พ๐๐ = ๐พ๐ท๐ + ๐พ๐พä๐๐๐ → ๐ ∗ ๐ = โ ∗ ๐ + ๐๐ä๐๐๐ Da die Elektronen beim Aufprall stark abgebremst werden, spricht man auch von Röntgenbremsstrahlung. 3.1. Spektrum von Röntgenstrahlung Je mehr kinetische Energie (abhängig der Beschleunigungsspannung) beim Aufprall auf die Anode in Photonenenergie umgesetzt wird, desto höher ist entstehende Strahlung. Die meisten Elektronen verwenden ihre Energie stufenweise zur Erzeugung kleinerer Photonen mit kleinerer Frequenz. (kontinuierliches Spektrum). Ein Elektron kann jedoch seine gesamte Energie in einem einmaligen Bremsvorgang abgeben und in Photonenenergie umwandeln. ๐ ๐ ∗ ๐ผ = ๐ ∗ ๐๐๐๐ = โ ∗ ๐๐๐๐ So entsteht die kurzwellige Grenze λmin im Röntgenspektrum (Schnittpunkt mit x-Achse im Diagramm): ๐∗๐ ๐๐๐๐ = ๐∗๐ผ Das Anodenmaterial spielt für λmin keine Rolle, da die Austrittsarbeit im Vergleich zur kinetischen Energie der Elektronen unbedeutend ist. Daraus folgt eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Plank’schen Konstante h: ๐= ๐๐๐๐ ∗๐∗๐ผ ๐ Seite 44 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 4. Dualismus: Wellentheorie vs. Photonentheorie 4.1. Widersprüche Wellenmodell Teilchenmodell Einfluss der Intensität des Lichts auf die Energie der Photoelektronen Größere Intensität → größere Amplitude → stärkere Schwingung → höhere Energieanregung der Photoelektronen Tatsächlich: kinetische Energie der Photoelektronen unabhängig der Intensität Existenz einer Grenzfrequenz für den Photoeffekt ๐๐๐๐ = 0 → โ ∗ ๐๐บ๐๐๐๐ง − ๐๐ด = 0 ๐๐ด → ๐๐บ๐๐๐๐ง = โ Man erwartet eine Mindestintensität 4.2. Welle oder Teilchen? – ein sinnloser Wettstreit? Modelle sind Schöpfung des menschlichen Geistes. Deshalb ist die Frage, ob das Licht eine Wellenerscheinung oder ein korpuskularer Vorgang ist, überhaupt keine sinnvolle Fragestellung. Es gibt keinen Wettstreit zwischen Wellen- und Teilchenmodell, weil das Licht weder eine Welle noch ein Teilchen ist, sondern ein „Etwas“, das sich der anschaulichen Beschreibung durch ein (!) Modell entzieht. Das Licht ist wie eine Münze, die eine Vorderseite und eine Rückseite hat. Licht zeigt uns bei Beugung, Brechung, Interferenz seine Wellenseite; bei der Wechselwirkung mit Materie (Photoeffekt, ComptonEffekt, …) zeigt es uns seine Teilchenseite. Deshalb: Da beide Modelle unerlässlich sind, kann unsere Aufgabe nicht eine Entscheidung zwischen ihnen, sondern nur die Vereinigung der beiden Modelle sein. 4.3. Klassisches Teilchen vs. klassische Welle Klassisches Teilchen (z.B. Kanonekugel) Bei klassischen Teilchen erhält man die Gesamtzahl/Intensität durch Addition der einzelnen Anzahlen. Klassisches Welle (z.B. Wasserwelle) Bei klassischen Wellen erhält man die Gesamtamplitude durch Addition der Einzelamplituden unter Berücksichtigung der Phasendifferenz. → Interferenzmuster Seite 45 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 5. Photoneninterferenz 5.1. Taylor-Experiment Taylor schießt nur noch einzelne Photonen auf einen Doppelspalt. Dies gelingt ihm durch eine sehr geringe Intensität. Auf dem Fotopapier hinter dem Doppelspalt sind die Photonen als schwarze Punkte erkennbar. Nach monatelanger Belichtungszeit zeigt sich das bekannte Interferenzmuster, wie man es bei hoher Intensität und kurzer Belichtungszeit am Doppelspalt kennt. Das Intensitätsmuster liefert ein Maß für die Auftreffwahrscheinlichkeit einzelner Photonen. Wo es letztendlich auftritt, kann nicht vorhergesagt werden. 5.2. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ Mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ soll nicht mehr die Amplitude der Lichtwelle, sondern die Auftreffwahrscheinlichkeit von Photonen für einen bestimmten Punkt bezeichnet werden. Für jeden möglichen Pfad (Doppelspalt → 2 Pfade) gibt es einen rotierenden Ψ-Zeiger Der Betrag von Ψ (|๐ฟ|) sei die Länge des Zeigers. |๐ฟ|๐ gibt die Antreffwahrscheinlichkeit für Photonen (Quantenobjekte) an. (Dichte der Photonentreffer) Ψ1 Ψ2 Ψres hohe Auftreffwahrscheinlichkeit → Maximum geringe Auftreffwahrscheinlichkeit → Minimum 5.3. Die „Welcher-Weg-Frage“ (Knallertest) โก โ In die Strahlengänge eines Mach-Zehnder-Interferometers werden Glaskugeln platziert. Füllt man diese Kugeln mit Gas, so explodieren diese bereits bei der Berührung eines einzelnen Photons. Nun wird die Intensität so weit gedrosselt, dass nur einzelne Photonen das System passieren. Das Ergebnis mit leeren Glaskugeln entspricht der Erwartung beim Mach-Zehnder-Interferometer – D1 zeigt ein Maximum, D2 ein Minimum. Wird nun jedoch die Glaskugeln bei Strahl โ mit Gas gefüllt, so treffen Photonen auch in D2 auf. Das liegt daran, dass nun nicht mehr beide Pfade gleichberechtigt sind. Explodiert die Gaskugel, so kann man mit Gewissheit sagen, dass das Photon Pfad โ gegangen ist. Bleibt die Gaskugel jedoch unversehrt, so ist das Photon Pfad โก gegangen. Im Strahlteiler vor den Detektoren hat es nun die 50:50 Chance zwischen D1 und D2. Interferenz tritt nur auf, wenn die „Welcher-Weg-Frage“ unbeantwortet ist (Wellenverhalten). Ist sie beantwortbar (Knallertest, Polarisationsfilter, …) so tritt keine Interferenz auf (Teilchenverhalten). Teilchen- und Wellenmodell widersprechen sich in der klassischen Physik, ergänzen sich jedoch in der Quantenphysik → Komplementaritätsprinzip Seite 46 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6. Materiewelle (de Broglie-Wellenlänge) Zu jedem bewegten Teilchen gehört eine Welle mit einer Wellenlänge (de Broglie-Wellenlänge). โ Quanten haben den Impuls ๐ = ๐ und die Energie ๐ = โ ∗ ๐ →๐= ๐ โ = ๐ ๐∗๐ฃ Bsp.: Elektronen ๐ Bei der Beschleunigung gilt: ๐๐๐ = ๐๐๐๐ → ๐ฃ = √2 ∗ ๐ ∗ ๐ โ Einsetzen: ๐ = ๐ = โ ๐ ๐∗√2∗ ∗๐ ๐ = โ ๐ √๐2 ∗√2∗ ∗๐ ๐ = โ ๐ √๐2 ∗2∗ ∗๐ ๐ = โ √๐∗2∗๐∗๐ = 17,4๐๐ 6.1. Elektroneninterferenz Elektronen werden beschleunigt und auf Graphitpulver (viele kleine Graphitkristallite) geschossen (Debye-Scherer-Verfahren). Nur an manchen Kristallen tritt BraggReflexion auf (Glanzwinkel wird getroffen). Räumlich gesehen bilden die Interferenzmaxima einer bestimmten Ordnung einen Kegelmantel – auf dem Beobachtungsschirm als Kreise erkennbar (Interferenzringe). Zur Berechnung gelten die Regeln der Bragg-Reflexion. Die Interferenzringe können durch ein magnetisches Feld nach der linken-Hand-Regel verschoben bzw. verzerrt werden. (Beweis, dass es sich um Elektroneninterferenz handelt) Jönsson-Experiment (1960): Analog zum Taylor-Experiment schießt Jönsson einzelne Elektronen auf einen Doppelspalt. Auch erkennt man bei geringer Elektronenzahl bzw. kurzer „Belichtungszeit“ noch nichts, während sich mit der Zeit das Interferenzmuster aufbaut. Die Wellennatur (Beugung und Interferenz) kann auch für andere Teilchen (Elektronen, Neutronen, Protonen, Moleküle, Fullerene) experimentell bestätigt werden. Je größer die Masse, desto kleiner die Wellenlänge und somit gilt auch mehr die Strahlungsoptik und die übliche Bahnbewegung der klassischen Physik. Im Bereich der makroskopischen Erfahrung sind Masse und Geschwindigkeit so groß, dass Wellenphänomene nicht erkennbar sind. Der Auftreffort ist rein zufällig. Auch eine Bahnangabe ist nicht möglich. Die Materiewelle ist eine Wahrscheinlichkeitswelle, gibt also nur Möglichkeiten an, die einem Quantenobjekt offenstehen. |Ψ|2 ist hierbei die Auftreffwahrscheinlichkeit eines Teilchens an einer bestimmten Stelle. Seite 47 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 7. Heisenberg’sche Unschärferelation Klassische Physik: Heisenberg: Es wird angenommen, dass alle physikalischen Größen grundsätzlich mit unbegrenzter Genauigkeit messbar sind. Nur die technische Unzulänglichkeit der Messmethoden führt zu Messfehlern. Es ist grundsätzlich unmöglich, alle physikalischen Größen zur selben Zeit genau zu messen. Vielmehr beeinflusst das Messverfahren die Eigenschaften eines Teilchens. vs. 1. Unschärferelation Herleitung (Beispiel Interferenz am Einzelspalt): Die Quanten bewegen sich mit einem „scharfen“ โ Impuls ๐ = ๐ auf den Spalt zu. Da der Spalt im Vergleich zum Quant recht groß ist, spricht man innerhalb des Spalts der Breite b von einer Lokalisationsunsicherheit von Δ๐ฅ = ๐. Als näherungsweise Abweichung für die seitliche Beugung nimmt man beispielsweise das 1. ๐ ๐ Minimum. Hier gilt: sin(๐ผ1 ) = ๐ → Δ๐ฅ Für die Impulse gilt: sin(๐ผ1 ) = Δ๐ ๐ ๐ Δ๐ ๐ Δ๐ = → = → โ๐ ∗ โ๐ = ๐ → โ๐ฅ ∗ ๐ ∗ โ๐ฃ๐ฅ = โ โ Δ๐ฅ ๐ Δ๐ฅ ๐ Strebt einer der beiden Werte gegen Null, so strebt der andere gegen Unendlich. So ist es unmöglich beide Werte (Ort und Impuls) gleichzeitig genau zu bestimmen. → Für die Unschärfe am Auftreffort Δs gilt demnach: โ๐ = โ๐ก ∗ โ๐ฃ๐ฅ = ๐ด๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐ ๐ฃ ∗ โ๐ฃ๐ฅ 2. Unschärferelation Außer der oben angegebenen Unschärferelation für Ort und Impuls gelten noch weitere Relationen ähnlichen Typs. Eine weitere Unschärferelation besteht zwischen der Dauern (Zeit Δt) und der Energie ΔE eines Vorgangs. Es gilt: โ๐ ∗ โ๐ฌ = ๐ Seite 48 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk IX. Sonstiges 1. Schiefe Ebene In der schiefen Ebene wirkt die Hangabtriebskraft FH als Beschleunigungkraft FB. Es gilt: ๐ญ๐ฏ = ๐ญ๐ฉ = ๐ฎ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) = ๐ ∗ ๐ → ๐ ∗ ๐ ∗ sin(๐ผ) = ๐ ∗ ๐ ๏ฎ ๐ = ๐ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) Für die Geschwindigkeit gilt: ๐ = ๐ก ∗ ๐ = ๐ ∗ ๐ ∗ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ถ) 2. Fehlerrechnung bei ๐ด = ๐ฅ 1 ∗๐ฆ −2 ๐ง −3 gilt: โ๐จ ๐จ =๐∗ โ๐ ๐ +๐∗ โ๐ ๐ +๐∗ โ๐ ๐ = ๐ง. ๐ต. 1 ∗ 3% + 2 ∗ 2% + 3 ∗ 1% = 10% 3. Relativistische Masse Kein Körper kann sich schneller als mit Lichtgeschwindigkeit c bewegen. Das liegt daran, dass die Masse bei zunehmender Geschwindigkeit exponentiell zunimmt. Irgendwann ist die Masse unendlich groß. Man bräuchte also unendlich viel Energie, um sie zu beschleunigen. Die von der Geschwindigkeit abhängende Masse nennt man relativistische Masse mrel. m0 bezeichnet die Ruhemasse. Dann gilt: ๐๐ ๐๐๐๐ = ๐ √๐ − (๐) ๐ Die relativistische Masse muss jedoch erst bei Geschwindigkeiten > 0,1c berücksichtigt werden. 4. Bewegungsgesetze ๐ ๐(๐) = ๐ ๐ ๐(๐) = ๐ gleichmäßig beschleunigt: ๐(๐) = ๐ 1 ∗ ๐ ∗ ๐ = ∗ ๐ ∗ ๐ก2 ๐ 2 Gewichtskraft Auftriebskraft โ๐ญ = ๐ ∗ ๐ โ๐ญ = ๐ ∗ ๐ฝ ∗ ๐ 5. Kräfte Beschleunigungskraft Spannkraft โ๐ญ = ๐ ∗ ๐ โ๐ญ = ๐ซ ∗ ๐ Zentripetalkraft โ๐ญ = ๐ ∗ ๐๐ ๐ Seite 49 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 6. Sinus-/Cosinus-Satz Sinus-Satz: Cosinus-Satz: ๐ sin(๐ผ) = ๐ sin(๐ฝ) ๐2 = ๐ 2 + ๐ 2 − 2๐๐ ∗ cos(๐ผ) 7. Impulse Der Impuls p ist eine Eigenschaft, die ein bewegter Körper hat. Er ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Befindet sich ein Körper im Ruhezustand, so ist der Impuls = 0. โ =๐∗๐ โ ๐ Impulse können von einem auf einen anderen Körper übertragen werden. Besonders viel Energie wird übertragen, wenn das Masseverhältnis der beiden Stoßpartner 1:1 beträgt. Der Impuls vor und nach einem Stoß bleibt erhalten, solange man die Richtung berücksichtigt und keine äußere Kraft einwirkt. โ ๐ฎ๐๐ (๐๐๐๐๐๐) = ๐ โ ๐ฎ๐๐ ′(๐๐๐๐๐๐๐) ๐ 7.1. Der Kraftstoß (Impulsänderung) Der Impuls eines Körpers ändert sich, wenn eine Kraft ausgeübt wird. โ Je größer die Kraft und je länger diese wirkt, desto größer ist die Impulsänderung โ๐ฉ โ = ๐ญ ∗ โ๐ = ๐พ๐๐๐๐ก๐ ๐ก๐ß โ๐ Anderes herum gilt für die Kraft, die eine Impulsänderung verursacht: ๐ญ = โ โ๐ โ๐ Man unterscheidet 2 Arten von Stößen: elastische Stöße unelastische Stöße mechanische Energie bleibt erhalten mechanische Energie wird in Wärmeenergie umgewandelt ๏ฎ Verformungsenergie Impuls bleibt erhalten Impuls bleibt erhalten ๏ฎ es findet keine bleibende Verformung der Stoßpartner statt ๏ฎ es findet eine Verformung statt vollkommen unelastische Stöße ๏ฎ Stoßpartner verhaken sich und bewegen sich gemeinsam mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung Seite 50 von 51 wir-sind-klasse.jimdo.com Felix Birk 8. Entropie S Es gibt „höherwertigere“ und „niederwertigere“ Energieformen. Wärme ist eine solche „niederwertigere“ Energieform. Bei einer Umwandlung von Energie in Wärmeenergie wird daher von Energieentwertung gesprochen, dabei wird Entropie S erzeugt. Entropie kann konstant bleiben, jedoch niemals abnehmen also vernichtet werden. Entropie kann durch Wärme von einem Körper auf einen anderen übertragen werden. Mechanische Arbeit oder elektrische Energie überträgt keine Entropie. Es gilt: โ๐ Änderung der Energie ๐ โ๐ = = = ๐ง. ๐ต. 1 ๐ Temperatur (๐ข๐ง ๐๐๐ฅ๐ฏ๐ข๐ง) ๐ 20° C = 293K K = ϑ + 273 ϑ = K - 273 Demnach ist bei hoher Temperatur die Entropieübertragung geringer. Irreversibel vs. reversibel Geht in ein System genauso viel Entropie hinein wie hinausgeht, dann laufen in diesem System nur Vorgänge ab, welche keine Entropie erzeugen, es handelt sich um einen reversiblen (umkehrbaren) Vorgang, kann also in beide Richtungen ablaufen. In der Natur finden sich jedoch fast ausschließlich irreversible Vorgänge, bei denen Entropie erzeugt wird. Diese Vorgänge können wie die Zeit nur in eine Richtung ablaufen. Seite 51 von 51
