Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)

Name:
Seite: 1
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
Dozent: R. Burkhardt
Klasse: Systemtechnik
Büro: 4.517
Semester: 2
Datum: FS 2008
1. Aufgabe
Auf eine Masse (m = 20kg, v(0) = 0 m
) wirkt die Antriebskraft:
⎧s
0N
x < 0m
⎪
⎪
⎪
⎪
250N
0m ≤ x < 10m
⎨
450N − x ∗ 20 N
10m ≤ x < 20m
FAntrieb =
m
⎪
N
⎪
⎪ 100N − x ∗ 2.5 m 20m ≤ x < 40m
⎪
⎩
0N
x ≥ 40m
(a) Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung der Masse unter berücksichtigung von Gleitreikg
2
bung1 (μ = 0.25) und Luftreibung (cw = 0.8, ρ = 1.29 m
3 und A = 1m ) zu untersuchen.
Lösung:
• Modell:
1 Gleitreibung: Die Gleitreibung ist bei Bewegung konstant F = μ F (F ist die Normalkraft der Unterlage auf den
R
N
G N
bewegten Gegenstand - entsricht häufig betragsmässig der Gewichtskraft)) und entgegen der Bewegung gerichtet.
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 2
• Graphen:
• Bewegung:
• Kräfte:
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 3
(b) Bestimme die maximale Geschwindigkeit und die maximale Beschleunigung, die der Körper erreicht.
Lösung:
Siehe auch entsprechendes Steuerungsskript (s_serie3_aufgabe1.m):
m
vmax = 13.67
s
m
amax = 12.5 2
s
(c) Nach welcher Zeit und in welcher Entfernung zum Startpunkt kommt der Körper zum stehen?
Lösung:
Siehe auch entsprechendes Steuerungsskript (s_serie3_aufgabe1.m):
xmax = 44.33m
tmax = 6.38s
(d) Welche Arbeit2 verrichten die drei Kräfte einzeln und gesamthaft? Skizziere zudem den zeitlichen
Verlauf der geleisteten Arbeit und erkläre kurz mit Worten den Sachverhalt.
Lösung:
• Arbeit:
→
−
→ −
dW = F ◦ ds −
→
t
t−
t−
→
→ −
→ ds
W (t) =
dW =
F ◦ ds =
F ◦
dt =
dt
0
0
0
t
0
−
→ −
→
F ◦ v dt
• Modell: Der Integrator ’’Integrator2’’ bestimmt die zeitabhängigen Arbeitsfunktionen!
• Graphen:
2. Aufgabe
Ein Masse (m = 1kg) sei am einen Ende einer horizontalen Feder3 (k = 100 N
m ) angebracht. Auf der anderen
Seite der Feder sei ein Motor, welcher das zweite Ende in horizontaler Richtung auslenken kann:
xM = x sin (ωt)
(dabei bezeichnet x = 0.5m die Amplitude (maximale Auslenkung) und ω die Kreisfrequenz der Schwingung
(ω = 2πf )). Zum Startzeitpunkt sei die Feder entspannt und die Masse in Ruhe.
2
Arbeit (verwende einen weiteren Integrator beim Modellieren):
→
−
→ −
dW = F ◦ ds
send
W
dW
=
sstar
3
Federkraft: Die (Rückstell-) Kraft der Feder ist direkt proportional zur Federauslenkung: FF = −k∆x
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 4
xM
x
M
(a) Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung der Masse zu untersuchen (mit Einfluss von
Gleitreibung4 (μ = 0.3)).
Lösung:
(b) Bestimme den zeitlichen Verlauf der Auslenkung der Masse für ω 1 = 1.5 1s , ω 2 = 8.5 1s , ω 3 = 10 1s ,
ω 4 = 11.5 1s und ω 5 = 20 1s . Erkläre die gefundenen Resultate kurz.
Lösung:
4
Systemtechnik
Beachte die Richtung der Gleitreibung!
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 5
3. Aufgabe
Gegeben sei die folgende Anordnung:
x0
x
Auf einem Tisch liegt ein Seil (mSeil = 1.5kg, lSeil = 2m). Zwischen dem Seil und der Tischoberfläche
wirken Reibungskräfte5 (μgleit = 0.15, μhaf t = 0.2).
(a) Bestimme alle Kräfte, welche auf das Seil einwirken und stelle die Bewegungsgleichung auf.
Lösung:
Grundsätzlich wirken die folgenden drei Kräfte:
• Gewichtskraft des Seils: Bei der Gewichtskraft des Seils unterteilen wir das Seil in eine liegende
Hälfte mit der Länge lliegend = lSeil − x und in eine hängende Hälfte mit lhängend = x. Das
−x
Seil
liegende Seilstück hat die Masse mliegend = mlSeil
lliegend = mSeil lSeil
lSeil und es wirkt somit
die Kraft Gliegend = mliegend g auf die Tischoberfläche. Das hängende Seilstück hat die Masse
Seil
mhängend = mlSeil
x und somit wirkt die Kraft Ghängend = mhängend g in x-Richtung.
• Normalkraft: Da der Tisch das Seil (nur den liegenden Teil des Seils) halten muss wirken die
Normalkraft N = −Gliegend auf das Seil. Somit heben sich diese beiden Kräfte gegenseitig auf.
• Reibungskraft: Hier müssen wir zwischen Haftreibung Rhaf t ≤ N μhaf t und Gleitreibung
Rgleit = N μgleit unterscheiden. Beide Kräfte hemmen die Bewegung und wirken daher in
negative x-Richtung.
Bewegungsgleichung:
Fres = Ghängend − R = mSeil aSeil
aSeil
=
x
=
=
1
mSeil
lSeil − x
xg − mSeil
gμ
mSeil lSeil
lSeil
g
lSeil − x
x−
gμ
lSeil
lSeil
g
(1 + μ) x − gμ
lSeil
(b) Wie gross darf x0 (Anfangslänge des herunterhängenden Seilstücks) maximal sein, dass das Seil noch
nicht vom Tisch gleitet?
Lösung:
Damit dass Seil auf dem Tisch liegen bleibt, muss die Haftreibung grösser als die Gewichtskraft des
5
Haftreibungskraft: Die Haftreibungskraft ist eine Zwangskraft (Kraft definiert sich an den Gegebenheiten):
FHaf t ≤ FN μhaf t
D.h. wenn die Masse sich nicht bewegt und die angreifende Kraft F < FN μhaf t kleiner der maximalen Haftreibung ist, ist die Haftreibung
gleich der angreifenden Kraft aber dieser entgegengesetzt!
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 6
hängenden Seilstücks sein:
Ghängend = Rhaf t,max
mSeil
lSeil − x
xg = mSeil
gμhaf t
lSeil
lSeil
x = (lSeil − x) μhaf t
x 1 + μhaf t
= lSeil μhaf t
1
x =
lSeil μhaf t
1 + μhaf t
1
=
2m ∗ 0.2 = 0.33333m
1 + 0.2
(c) Erstelle ein Modell um die Bewegungsgleichung numerisch zu lösen (x0 = 0.5m). Erzeuge die
Graphen x (t), v (t) und bestimme die Zeit bis das Seil ganz vom Tisch gerutscht ist.
Lösung:
• Modell:
• Graphen:
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 7
• Zeit bis das Seil vom Tisch gerutscht ist:
tf all = 1.127
(d) Bestimme die Reibungsarbeit.
Lösung:
Die Reibungsarbeit kann man auf mehrere Arten bestimmen:
• Energiesatz: Wir haben eine bestimmte Anfangsenergie
Estart = mliegend gh + mhängend g h −
x0
2
und eine bestimmte Endenergie
lSeil
1
2
+ mSeil vend
2
2
Da wir Reibungsverluste haben, ist die Energie am Anfang grösser als die Energie am Ende. Die
Differenz der Energien entspricht gerade den Reibungsverlusten:
= Estart − Eend
x0
lSeil
1
2
= mliegend gh + mhängend g h −
− mSeil g h −
− mSeil vend
2
2
2
mSeil
x0
lSeil
1
lSeil − x0
2
= mSeil
gh +
x0 g h −
− mSeil g h −
− mSeil vend
lSeil
lSeil
2
2
2
2
gl2 − vend
lSeil − gx20
= mSeil Seil
2lSeil
Die Endgeschwindigkeit beträgt (mittels Simulation) vend ≈ 4.1 m
s und somit erhält man:
2
2
glSeil
− vend
lSeil − gx20
∆WRe ibung = mSeil
2lSeil
Eend = mSeil g h −
∆WRe ibung
2
(2m) − 9.81 sm2 (0.5m)2
9.81 sm2 (2m)2 − 4.1 m
s
= 1.5kg
2 (2m)
= 1.19J
• Mit einem Energiebehälter: Das Modell kann mit einem zusätzlichen Behälter ausgestattet werden, welcher die einzelnen Verluste
mSeil
lliegend gμgleit ds
dW = F ds =
lSeil
ds
mSeil
=
lliegend gμgleit
dt
lSeil
dt
v
=
mSeil
(lseil − x) gμgleit vdt
lSeil
aufintegriert
• Graph für (kummulierte) Reibungsarbeit:
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 8
4. Aufgabe
Gegeben sei ein Fadenpendel:
ϕ
l
m
(a) Bestimme alle Kräfte, die auf die Masse einwirken (mit und ohne Luftwiderstand), und stelle die
Bewegungsgleichung auf.
Lösung:
Auf den Massenpunkt wirken die folgenden drei Kräfte:
• Gewichtskraft: G = mg wirkt immer nach unten.
• Seilkraft: Die Gewichtskraft kann in eine radiale Gradial = G cos (ϕ) und eine tangentiale
Komponente Gtan gential = G sin (ϕ) zerlegen. Die Seilkraft muss:
• im Stillstand gerade die radiale Komponente der Gewichtskraft aufheben. Somit gilt für die
Seilkraft:
FSeil = mg cos (ϕ)
• wenn sich die Masse bewegt, muss die Seilkraft einerseits die radiale Komponente der Gewichtskraft neutralisieren und zudem noch die Bahnrichtung verändern (Zentripedalkraft). Somit
gilt:
v2
FSeil = mg cos (ϕ) + m
l
• Reibungskraft: Für die Reibungskraft gilt:
1
FLuf treibung = cw σAv2
2
Diese Kraft wirkt der Bewegung (Geschwindigkeit) entgegen.
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 9
Die resultierende Kraft beträgt somit:
−−→
v2
0
Fres =
+ mg cos (ϕ) + m
−mg
l
• Bewegungsgleichung:
• Zweidimensionale Bewegung:
⎛
⎝
2
− mg cos (ϕ) + m vl
−mg + mg cos (ϕ) +
− sin (ϕ)
cos (ϕ)
sin (ϕ) + 12 cw σAv 2 cos (ϕ)
2
m vl
cos (ϕ) +
1
2
2 cw σAv
cos (ϕ)
sin (ϕ)
−−→
−
→
Fres = m a
⎞
sin (ϕ)
• Eindimensionale Bewegung:
Fres,Bahn = maBahn
1
2
−mg sin (ϕ) − cw σAvBahn
= maBahn
2
aBahn
1
+ cw σAv2
2
⎠ = m
x
y
1
2
cw σAvBahn
2m
xBahn
1
2
= −g sin
−
cw σAvBahn
l
2m
= −g sin (ϕ) −
(b) Erstelle das entsprechende Modell (m = 2kg, l = 1m, ϕ (0s) = ϕ0 =
Lösung:
π
4,
A = 10cm2 , cw = 0.5).
(c) Erzeuge die folgenden Graphen:
• ϕ (t)
• x (t), y (t) und y (x)
• Ekin (t), Epot (t) und Eges (t)
Lösung:
• x (t), y (t) und ϕ (t):
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 10
• Bahnkurve y (x):
• Ekin (t), Epot (t) und Eges (t):
5. Aufgabe
Ein dünner Stab (mstab = 2kg, L = 1m) ist in der Mitte an einer vertikal angebrachten Schiene befestigt und
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 11
kann daran gleiten (μgleit = 0.2). Der Besfestigungspunkt sei mit einerr Feder (k = 500 N
m , lruhe = 1m) gegen
oben fest verbunden. Zudem kann sich der Stab um den Aufhängungspunkt frei drehen. Zum Startzeitpunkt
befindet sich die Anordnung in Ruhe und der Stab ist horizontal ausgerichtet. Nun wird am rechten Ende des
Stabes eine Masse (m = 5kg) angebracht.
y
x
ms
S
ϕ
m
(a) Bestimme alle Kräfte und Momente (bezüglich des Drehpunktes).
Lösung:
• Translation (Kräfte auf die Stabmitte):
−→
FG = (m + mS ) g
−→
FF = −kx
1
0
1
0
• Rotation (Momente bezüglich S):
M = mg sin (ϕ)
(b) Erstelle ein SIMULINK-Modell um die Bewegung des Systems zu untersuchen (Translation des
Schwerpunktes und Rotation um den Schwerpunkt).
Lösung:
(c) Skizziere den zeitlichen Verlauf für
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 12
• die Position des Schwerpunktes,
• und den Winkel ϕ
sowie die Bahnkurve die das rechte Stabende durchfährt.
Lösung:
• Schwerpunkt:
• Winkel:
• Bahnkurve:
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 13
6. Aufgabe
In einem vertikal stehenden quadratischen Rahmen ist ein Massenpunkt (m = 10kg) mit vier identischen Federn
(k = 1kN/m, Ruhelänge der Federn l0 = 0.5m) befestigt:
(a) Erstelle ein Simulink-Modell um die Bewegung der Masse zu beschreiben (Anfangsbedingungen:
x (0) = 0.2, y (0) = 0.3, vx (0) = vy (0) = 0).
Lösung:
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 14
(b) Skizziere die Bahnkurve, auf welcher sich die Masse bewegt.
Lösung:
• Bahnkurve:
• Position (Koordinaten):
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 15
• Geschwindigkeit:
• Beschleunigung:
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008
Name:
Seite: 16
(c) Skizziere die Graphen für kinetische, potentielle, Federenergie und Gesamtenergie.
Lösung:
Systemtechnik
Lösung Übungsserie 3 (Modellieren mechanischer Probleme)
FS 2008