Tutorium vom 16.04.2012

Tutorium vom 16.04.2012
Wiederholung
1. Zufallsexperiment: Ein Experiment heißt Zufallsexperiment, falls folgende
Bedingungen erfüllt sind:
• Die Menge der möglichen Ausgänge ist vorher bekannt.
• Das Experiment ist beliebig oft unter den selben Bedingungen durchführbar.
• Es ist nicht voraussagbar, welches der möglichen Ausgänge des Experiments
eintritt.
2. Endlicher Ereignisraum: Ein endlicher Ereignisraum Ω = {ω1 , ω2 , ..., ωn }ist eine
nichtleere Menge.
(Ω ist die Menge aller möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments)
3. Elementarereignis: Ein Element ω ∈ Ω nennen wir Elementarereignis.
(Ein möglicher Ausgang des Zufallsexperiments)
4. Ereignis: Eine Teilmenge A ⊆ Ω nennen wir Ereignis. Zwei wichtige Teilmengen
sind:
• A = Ω (Sicheres Ereignis)
• A = ∅ (Unmögliches Ereignis)
5. Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist eine
Abbildung
p : Ω → [0, 1]
(Das heißt wir nehmen ein Element ω ∈ Ω und ordnem diesem Element eine Zahl
zwischen 0 und 1 zu (0 und 1 sind erlaubt)). Hierbei müssen wir noch zusätzlich
fordern, dass die Summe aller Elementarereignisse 1 ist, d.h.
X
p(ω) = 1.
ω∈Ω
Sei A ⊆ Ω ein Ereignis. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
definiert über:
X
P (A) =
p(ω).
ω∈A
Es soll zusätzlich gelten, dass die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses
0 sein soll, also:
P (∅) = 0
1
2
Wir betrachten nun ein kurzes Beispiel:
Es werden zwei faire Würfel geworfen.
(Mit Fair ist gemeint, dass die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl gleich ist)
Ereignisraum:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 = {(a, b)|a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Elementarereignis:
Ein Elementarereignis ist ein geordnetes Paar ω = (a, b), wobei a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Somit entspricht ω einer Paarung zweier Zahlen, die gewürfelt wurden. Also
Beispielsweise ω = (1, 3), d.h. es wurde mit dem ersten Würfel eine 1 und mit dem
zweiten Würfel eine 3 gewürfelt.
Ereignis:
Ein Ereignis ist eine Menge von geordneten Paaren, also z.B.
• Es erscheint zweimal die gleiche Zahl:
A = {(a, a)|a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
• Die Summe der geworfenen Zahlen ist gleich 10:
B = {(a, b) ∈ Ω|a + b = 10} = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Wahrscheinlichkeiten:
Da die Wahrhscheinlichkeit jedes Elementarereignisses gleich ist, liegt hier eine sog.
Gleichverteilung vor. Die Anzahl der Elemente in Ω beträgt 36, also:
p(ω) =
1
1
=
|Ω|
36
∀ω ∈ Ω.
Die Wahrscheinlichkeit der obigen Ereignisse A und B berechnet sich wie folgt:
P (A) =
X
p(ω) =
ω∈A
und
P (B) =
X
ω∈B
p(ω) =
|A|
6
1
=
=
36
36
6
|B|
3
1
=
= .
36
36
12
(Im Tutorium werden noch einige Aufgaben gemeinsam bearbeitet, die
nicht online gestellt werden.)