Fakultät für Physik und Astronomie - Physikalisch

Fakultät für Physik und Astronomie
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
Diplomarbeit
im Studiengang Physik
vorgelegt von
Stephan Middelkamp
aus Ankum
(2006)
Rydbergatom in einem
Bose-Einstein-Kondensat
Die Diplomarbeit wurde von Stephan Middelkamp ausgeführt am
Physikalisch-Chemischem Institut der Universität Heidelberg
unter der Betreuung von
Herrn Prof. Peter Schmelcher
(November 2006)
Abstract
Rydbergatom in einem Bose-Einstein-Kondensat
In dieser Diplomarbeit leite ich eine Möglichkeit ab, durch Spektroskopie eines elektronischen Übergangs von einem Atom in einem Bose-Einstein-Kondensat charakteristische Parameter des Bose-Einstein-Kondensates wie zum Beispiel die Teilchenzahl
zu bestimmen. Hierfür habe ich ein hochangeregtes Rydbergatom innerhalb eines
Bose-Einstein-Kondensates untersucht. Ausgegangen bin ich von einem Vielteilchenhamiltonoperator. Diesen habe ich durch Feldoperatoren ausgedrückt, die jeweils ein
Atom in einem bestimmten elektronischen Zustand beschreiben. Die Bewegungsgleichungen für die Feldoperatoren ergaben sich aus der Heisenberggleichung. Unter Vernachlässigung der geringen Rückwirkung des angeregten Atoms auf das Kondensat
lieÿen sich diese entkoppeln. Ich habe die stationären Lösungen dieser Gleichungen
untersucht. Aus der Gleichung für die Grundzustandsatome ergab sich nach Einführung eines mittleren Feldes die Gross-Pitaevskii Gleichung, so dass die Dichte der
Grundzustandsatome bestimmt werden konnte. Den Feldoperator, der ein elektronisch angeregtes Atom beschreibt, konnte ich durch ein klassisches Feld ersetzen, da
ich davon ausgegangen bin, dass nur ein Atom elektronisch angeregt ist. Des Weiteren habe ich vorausgesetzt, dass sich der Schwerpunktszustand des Atoms durch
die Anregung in einen Rydbergzustand nicht ändert. Die elektronischen Energien des
Rydbergzustandes hängen von den Eigenschaften des Kondensates ab, so dass man
durch Bestimmung dieser Energien Informationen über das Kondensat erhält.
Rydberg Atom in a Bose-Einstein Condensate
In this diploma thesis I present a new method of determening characteristic parameters of a Bose-Einstein condensate via spectroscopy of the electronic excitation levels
of one of the condensate's atoms. I started with the many body Hamiltonian. This
Hamiltonian could be expressed by eld operators. The eld operators describe atoms
in dened electronic states. The equations of motion arose from the Heisenberg equation. They could be decoupled by neglecting the small impact of the exciting atom on
the ground state. I was interested in stationary solutions of these equations of motion. After introducing a mean eld for the ground state the Gross-Pitaevskii equation
appeared for the ground-state atoms with its well known solutions. I could replace the
eld operator for an excited atom with a classical eld since I assumed that only one
atom is in an excited state. I assumed additionally that the excitation to a Rydberg
state doesn't change the center of mass state of the atom. Afterwards I could calculate
the excited states and their energies. These energies depend on the properties of the
condensate. Therefore one can gain information about the condensate by measuring
an excitation spectrum of a single atom.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1
1.2
1.3
Bose-Einstein-Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rydbergatome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Überblick über die Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Hamiltonian
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Vielteilchenhamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relativkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vollständige Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformation von Ein- und Mehrteilchenoperatoren
Hamiltonian in 2. Quantisierung . . . . . . . . . . . .
Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Näherungen
3.1
3.2
3.3
3.4
Kontaktpotenziale . . . . .
Einzelnes angeregtes Atom
Mean eld . . . . . . . . .
Matrixgleichung . . . . . .
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1
1
2
4
7
7
9
11
13
14
16
19
23
23
28
30
35
4 Spektrale Eigenschaften in Kondensaten
39
5 Zusammenfassung und Ausblick
89
A Atomare Einheiten
93
4.1
4.2
4.3
5.1
5.2
Homogenes Kondensat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isotrope harmonische Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Axialsymmetrische harmonische Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
40
48
65
89
92
ii
INHALTSVERZEICHNIS
B Wasserstowellenfunktionen
95
C Integrale
99
B.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Matrixelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
96
Kapitel 1
Einleitung
1.1 Bose-Einstein-Kondensation
Die Bose-Einstein-Kondensation in einem idealen Gas wurde bereits 1925 von Einstein [1, 2] auf der Grundlage einer Veröentlichung von Bose [3] vorhergesagt. Die
Bose-Einstein-Kondensation tritt bei Bosonen auf, wenn die thermische de-BroglieWellenlänge, die mit dem Impuls der Teilchen zusammenhängt, vergleichbar mit dem
mittleren Teilchenabstand ist. Man spricht von Bose-Einstein-Kondensation wenn
ein 1-Teilchen-Quantenzustand makroskopisch besetzt ist. Ein thermisches Gas mit
N Atomen wird durch eine Dichtematrix beschrieben. Das Bose-Einstein-Kondensat
(BEC) kann dagegen durch eine makroskopische Wellenfunktion mit einer globalen
Phase beschrieben werden.
Bereits 1938 wurde die Superuidität des üssigen Heliums unterhalb einer kritischen
Temperatur von F. London mit der Bose-Einstein-Kondensation in Verbindung gebracht. Aufgrund der starken Wechselwirkung zwischen den Heliumatomen kommt
allerdings beim Helium nur ein kleiner Kondensatsanteil (∼ 10%) zustande. Anstrengungen, mit Wasserstoatomen ein Bose-Einstein-Kondensat zu erzeugen, schlugen
auf Grund der Rekombination der Atome zu Molekülen ebenfalls fehl. Die erste experimentelle Realisierung eines BEC gelang 1995 [4, 5] mit einem dünnen Gas aus schwach
wechselwirkenden Natrium- bzw. Rubidiumatomen. Hierfür erhielten E. A. Cornell,
C. E. Wiemann [6] und W. Ketterle [7] 2001 den Nobelpreis. Zur Erzeugung des BEC
wurde ein zweistuges Verfahren verwendet, bei dem zuerst Methoden der Laserkühlung zur Anwendung kommen, um eine ultrakalte Atomwolke zu erzeugen. Diese wurde in eine magnetische Falle transferiert und evaporativ bis zur kritischen Temperatur
heruntergekühlt. Bis heute ist die Bose-Einstein-Kondensation mit einer Vielzahl von
Elementen gelungen u.a. mit mit 7 Li, 23 Na, 85 Rb, 87 Rb 133 Cs, 1 H, 41 K, 174 Yb, 3 He∗
und kürzlich auch mit dem dipolarem 52 Cr [8, 9]. Bose-Einstein-Kondensation von
dipolaren Gasen ist zur Zeit ein Thema von groÿem Interesse [10, 11, 12]. Inzwischen
1
2
KAPITEL 1. EINLEITUNG
ist es auch gelungen, ein Bose-Einstein-Kondensat von höchstangeregten Molekülen
zu beobachten [13]. Bemerkt werden sollte noch, dass bei diesen tiefen Temperaturen
der feste Zustand der natürliche ist, dass es sich beim BEC also um einen metastabilen
Zustand handelt. Die heute realisierten Kondensate erreichen einen Kondensatsanteil
von annähernd 100%. Heutige Gruppen beschäftigen sich unter anderem mit Anregungen aus dem Kondensat, wie z.B. helle und dunkle Solitonen [14, 15] und quantisierte
Wirbel (Vortizes) [16]. Auÿerdem gibt es u.a. Untersuchungen zur Superuidität, dem
Phasenübergang zwischen einem BEC-Zustand und einem BCS-Zustand, Spinorkondensaten [17] und Vierwellenmischung [18]. Für die Quanteninformationsverarbeitung
sind insbesondere Experimente in periodischen Fallen interessant [19]. Hier lässt sich
die Lokalisierung der einzelnen Atome über die Potenzialtiefe steuern. Ein Charakteristikum eines BEC ist die Wechselwirkung zwischen den Atomen. Diese wird häug,
da s-Wellen-Streuung dominiert, durch ein Kontaktpotenzial angesetzt. Der Streuparameter lässt sich mit Hilfe von Magnetfeldern verändern, was zu den so genannten
Feshbach-Resonanzen führt [20].
1.2
Rydbergatome
Rydbergatome, Atome mit einem Elektron in einem Zustand mit hoher Quantenzahl n, sind Atome mit ungewöhnlichen Proportionen. Sie sind extrem groÿ und die
Anregungszustände haben eine lange Lebensdauer. Des Weiteren sind sie sensitiv für
äuÿere Felder und haben extrem groÿe Polarisierbarkeiten. Rydbergatome spielen seit
Beginn der quantitativen Spektroskopie von Atomen eine wichtige Rolle. Sie tauchen
das erste Mal 1885 in der Balmer Serie für atomaren Wassersto auf [21]:
λ=
bn2
n2 − 4
(1.1)
mit b = 3645, 5Å. Heute erkennt man (1.1) als die Wellenlänge von Übergängen des
n = 2 Zustandes zu Zuständen mit höheren Hauptquantenzahl n. Während das Wasserstoatom auf Grund seiner einfachen Struktur das erste Atom war, das qualitativ
verstanden wurde, spielten in der Atom-Spektroskopie auch andere Atome eine wichtige Rolle. So unterschieden Liveing and Deware die Spektrallinien in verschiedene
Serien s (sharp), p (principal) und d (diuse) auf Grund von Spektroskopieversuchen mit Natrium Atomen. Eine entscheidende Entdeckung wurde von Hartley [22]
gemacht, der in seinen Studien von Magnesium, Zink und Cadmium den Zusammenhang zwischen dem Frequenzunterschied zweier Zustände und der experimentell
gemessenen Wellenlänge des Übergangs erkannte. Mit diesen Erkenntnissen gelang es
Rydberg [23] einen allgemeinen Ausdruck für die Frequenzen von Übergängen zwischen verschiedenen Serien zu nden, zum Beispiel für den Übergang von der s zur p
1.2. RYDBERGATOME
3
Serie:
Ry
Ry
−
(1.2)
(n − δs )2 (n − δp )2
Hierbei bezeichnet Ry die Rydbergkonstante und δs bzw. δp den Quantendefekt der sbzw. p-Serie. Bei dem Quantendefekt handelt es sich um einen empirischen Wert, der
die Wechselwirkung des angeregten Elektrons mit anderen Elektronen des Atoms berücksichtigt. Dementsprechend ist der Quantendefekt für das Wasserstoatom Null,
da dieses nur ein Elektron hat.
Die Bedeutung der Quantenzahl n wurde nach Bohrs Beschreibung des Wasserstoatoms deutlich. Aus der Bohr'schen Theorie ergab sich für die Orbitalgröÿe r ∝ n2
und für die Bindungsenergie E ∝ n−2 . Das heisst Elektronen in einem Zustand mit
groÿer Quantenzahl n sind in einem groÿen schwach gebundenen Orbital.
Obwohl die daraus resultierende starke Abhängigkeit von äuÿeren Feldern eine der
ersten Eigenschaften war, die untersucht wurden, ist dies bis heute ein Interesse der
aktuellen Forschung. Schon relativ schwache elektrische Felder verändern das Energiespektrum von Rydbergatomen oder ionisieren diese sogar. Die Gröÿe der Rydbergatome führt auÿerdem zu einem groÿen geometrischen Wirkungsquerschnitt σ ∝ n4 . Dies
macht sie zu idealen Kandidaten für die Messung von den Auswirkungen von Stöÿen
auf die Energieniveaus. Hierfür betrachtet man ein dichtes Gas aus Edelgasatomen
im Grundzustand, indem sich ein Rydbergatom bendet. Die Wechselwirkung der
Edelgasatome mit dem Rydbergatom führt zu einer Verschiebung der Energiezustände des Rydbergatoms und zu einer Verbreiterung dieser.
Die Entwicklung des einstellbaren Farbstoasers [24] machte es möglich, viele Atome
in einen denierten Rydbergzustand anzuregen. Dadurch wurde die systematische Untersuchung von Lebenszeiten, Wirkungsquerschnitten und Energieunterschieden von
Rydbergzuständen möglich.
Ein sehr aktives Forschungsgebiet heutzutage sind ultrakalte Rydberggase [25]. Hierfür werden zuerst Atome in einer Falle gefangen. Anschlieÿend werden sie mit Methoden der Laserkühlung heruntergekühlt und mit einem Laser in einen Rydbergzustand
angeregt. Die thermische Energie der Atome ist so gering, dass die dadurch hervorgerufene Bewegung von einer Längenskala ist, die kleiner als der mittlere Abstand
der Atome ist. Typischerweise bewegen sich die Atome in einer Mikrosekunde nur auf
einer Strecke von 3% des mittleren Abstandes zwischen zwei Atomen. Damit kann das
Gas als statisch betrachtet werden und wird auch als frozen Rydberg Gas bezeichnet.
Dadurch lässt sich sehr gut die Fernwechselwirkung zwischen den Rydbergatomen untersuchen. Diese Wechselwirkung rührt von dem groÿen Abstand von Kern und Elektron und der daraus resultierenden Polarisierbarkeit und dem dadurch entstehendem
Dipolmoment. Die Wechselwirkung zwischen den Rydbergatomen kann über externe
Felder und über die Auswahl des Rydbergzustandes kontrolliert werden. Damit lieÿen
sich neue Vielteilcheneekte nachweisen [26, 27]. Eines der interessanten Resultate der
Untersuchung der Wechselwirkung war die Entdeckung des Dipolblockademechanisνs,p =
4
KAPITEL 1. EINLEITUNG
mus [28]. Bei diesem Eekt wird das Anregungsspektrums eines Atoms durch ein
benachbartes Rydbergatom so stark verschoben, dass der Anregungslaser nicht mehr
resonant ist. Dadurch ist es möglich in einem bestimmten Bereich genau ein Rydbergatom anzuregen. Andere Autoren sagten langreichweitige Rydbergmoleküle voraus
[29], deren Verhalten in Magnetfeldern theoretisch untersucht wurde [30].
1.3
Überblick über die Arbeit
In dieser Arbeit betrachte ich ein BEC, in dem ein Atom zu einem Rydbergatom angeregt wird und kombiniere dadurch die eben genannten Forschungsbereiche. Bisher
wurde lediglich ein Ion innerhalb eines BEC betrachtet [31]. Dies führt zur Bildung
von mesoskopischen ionischen Molekülen. Im Falle des Rydbergatoms im BEC kann
man sich als Erstes die unterschiedlichen Energien der Systeme anschauen, um ein
Gefühl für das System zu bekommen. Ich werde in dieser Arbeit alle Angaben, wenn
nichts anderes angegeben ist, in atomaren Einheiten machen. Eine Tabelle zur Umrechnung von atomaren Einheiten in das SI System bendet sich im Anhang. Das
chemische Potenzial, also die Energie pro Teilchen, eines BEC liegt in der Gröÿenordnung von µ ∼ 10−11 a.u., während die Anregungsenergie zu einem Rydbergzustand
bei E ∼ 1a.u. liegt, d.h. im System ist ein Energieunterschied von 11 Gröÿenordnungen. Dieses System kann nur realisiert werden wegen der relativ langen Lebensdauer
von hochangeregten Rydbergzuständen [32]. Eine elektromagnetische Abregung des
Rydbergzustandes führt in den meisten Fällen zu einer Zerstörung des Kondensates. Ich werde in dieser Arbeit zeigen, dass die Wechselwirkung des BEC mit dem
Rydbergatom zu einer Energieverschiebung der Energieniveaus des Rydbergatoms
führt, die vom Zustand des Rydbergatoms abhängt. Des Weiteren hängt der Betrag
der Energieverschiebung noch von charakteristischen Parametern des BEC ab. Durch
Messung dieser Energieverschiebung ist es deshalb möglich, Informationen über das
Kondensat wie zum Beispiel die Teilchenzahl oder das chemische Potenzial zu erhalten. Ich werde mich auf hochangeregte Hochdrehimpulszustände beschränken. Für
diese lässt sich die Wechselwirkung eines Rydbergatoms mit einem neutralem Atom
aufspalten in die Wechselwirkung des ionischen Kerns mit dem neutralem Atom und
dem Rydbergelektron mit dem neutralem Atom [33]. Des Weiteren sind die ungestörten elektronischen Energieniveaus dieser Zustände in guter Näherung identisch mit
denen von Wasserstoatomen. Eine Methode der experimentellen Erzeugung dieser
Zustände ist in [34] beschrieben. Nach diesen einleitenden Bemerkungen gebe ich eine
kurze Übersicht über die Gliederung der Arbeit und den Inhalt der einzelnen Kapitel.
1.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ARBEIT
5
Kapitel 2
In diesem Kapitel drücke ich den Vielteilchenhamiltonoperator durch Feldoperatoren
aus. Auÿerdem bestimme ich die Bewegungsgleichungen der Zustände.
Kapitel 3
Hier führe ich Kontaktpotenziale für die Wechselwirkungen ein. Ich vernachlässige
die Rückwirkung des elektronisch angeregten Atoms auf die Grundzustandsatome, so
dass die Bewegungsgleichungen aus dem vorigen Kapitel entkoppeln. Des Weiteren
führe ich eine makroskopische Wellenfunktion für den Grundzustand ein, mit der sich
die Grundzustandsdichte bestimmen lässt. Den Feldoperator, der ein angeregtes Atom
erzeugt, ersetze ich ebenfalls durch eine 1-Teilchen Wellenfunktion. Auÿerdem nehme
ich an, dass die Anregung in den Rydbergzustand nach dem Ausschalten der Falle
erfolgt und der Schwerpunktszustand sich durch die Anregung nicht ändert.
Kapitel 4
In diesem Kapitel berechne ich die Energieverschiebung der Rydbergzustände für
verschiedene Fallenpotenziale. Zuerst betrachte ich einen räumlich unendlich ausgedehnten Potenzialkasten. Im zweiten Teil betrachte eine isotrope harmonische Falle
und im dritten Teil eine axialsymmetrische harmonische Falle.
6
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Kapitel 2
Hamiltonian
In diesem Kapitel werde ich einen Hamiltonoperator in zweiter Quantisierung zur Beschreibung von Rydbergatomen und ihrer Wechselwirkung mit Grundzustandsatomen
in einer Falle aufstellen. Von diesem ausgehend, werde ich dann die entsprechenden
Bewegungsgleichungen bestimmen. Die Atome werden als ein Valenzelektron und ein
punktförmiges Ion modelliert, bestehend aus dem Atomkern und weiteren Elektronen
auf abgeschlossenen Schalen. Hierbei wird zwischen angeregten und nicht angeregten
Valenzelektronen unterschieden. Ich gehe davon aus, dass nur ein Atom elektronisch
angeregt ist. Ausgangspunkt ist ein Mehrteilchenhamiltonoperator mit den entsprechenden Wechselwirkungen.
2.1 Vielteilchenhamiltonian
Der Mehrteilchenhamiltonoperator in erster Quantisierung lautet:
H =
~t2
X P
t
2M
+
X p
~2t
t
2m
+
X
~ t) +
V e (~rt − R
t
X
~ t , ~rt )
V T (R
t
X
1 X 0 AA ~
~ t )P 0 +
~s − R
~ t )P 1
+
Pst V (Rs − R
Pst1 V IA (R
st
st
2 s,t
s,t
s6=t
+
X
~ s , ~rs , R
~ t )Pst1
Pst1 V eA (R
(2.1)
s,t
Die ersten beide Terme beschreiben die kinetische Energie der Ionen und der Valenz~ s bezeichnet den Ort des s-ten Ions und ~rs den Ort des s-ten Valenzelekelektronen. R
e
trons. V beschreibt die intraatomare Wechselwirkung, die vom Relativabstand des
Valenzelektrons und des Ions abhängt. α bezeichnet den elektronischen Zustand des
Valenzelektrons. |αi = |0i bezeichnet dementsprechend den elektronischen Grundzu7
8
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
stand. Die Projektionsoperatoren deniere ich folgendermaÿen:
Pst0 = |α = 0ihα = 0|s ⊗ |α = 0ihα = 0|t
Pst1 = |α 6= 0ihα 6= 0|s ⊗ |α = 0ihα = 0|t
(2.2)
(2.3)
Diese sorgen dafür, dass Wechselwirkungspotentiale nur zwischen den korrekten Zuständen auftreten. Der Projektionsoperator (2.2) gibt nur einen Beitrag, wenn Teilchen s und Teilchen t im elektronischen Grundzustand sind. V AA gibt das vollständige
Wechselwirkungspotential zwischen zwei Atomen im Grundzustand an. Dieses beinhaltet die Wechselwirkung der beiden Ionen, der beiden Valenzelektronen und die
jeweilige Wechselwirkung zwischen Ion und Valenzelektron des Wechselwirkungspartners. Der Faktor einhalb tritt auf um Doppelzählungen zu vermeiden. s 6= t verhindert die Wechselwirkung eines Atoms mit sich selbst. Bei den anderen Potenzialen ist
dies nicht nötig, da sie nicht symmetrisch unter Vertauschung der Teilchen sind und
so keine Doppelzählungen und keine Selbstwechselwirkung vorkommen können. V eA
gibt die Wechselwirkung eines angeregten Elektrons mit einem Grundzustandsatom
an. Dies beinhaltet die Wechselwirkung zwischen angeregtem Elektron und Elektron
im Grundzustand und die Wechselwirkung zwischen dem Ion und dem angeregten
Elektron. V IA beschreibt die Wechselwirkung eines Ions mit einem Grundzustandsatom. Dies beinhaltet dementsprechend die Wechselwirkung zwischen Ion und einem
Elektron im Grundzustand und die Wechselwirkung zweier Ionen. Beide geben wegen dem Projektionsoperator (2.3) nur Beiträge, wenn ein Atom elektronisch angeregt ist und das andere sich im elektronischem Grundzustand bendet. Hier geht die
Näherung ein, dass sich die Wechselwirkung zwischen einem angeregten Atom und
einem Grundzustandsatom aufspalten lässt in die Wechselwirkung zwischen dem angeregten Elektron und dem Grundzustandsatom und die Wechselwirkung zwischen
dem Ion und dem Grundzustandsatom. Für hochangeregte Hochdrehimpulszustände
(n, l >> 1) ist diese Näherung gut, wie in [33] dargelegt wird, da dann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des angeregten Elektrons in Kernnähe klein ist. Genau
genommen hängen die eben aufgezählten Wechselwirkungspotentiale nicht vom Ort
des Ions R, sondern vom Schwerpunkt des Atoms ab. Diese sind aber, wie im folgenden gezeigt wird, näherungsweise gleich. V T gibt das Fallenpotenzial an. Dieses ist
~ ~r)|. Hierbei setzt sich µ
in der adiabatischen Näherung von der Form V T ∝ |µ||B(R,
im allgemeinem aus der Summe des elektronischen Bahndrehimpulses, des Kernspins
und des elektronischen Eigendrehimpulses zusammen. Die elektronisch angeregten
und die Grundzustandsatome spüren unterschiedliche Fallenpotenziale. Im allgemeinen Fall koppelt V T die Schwerpunktsbewegung und die inneren Freiheitsgrade.
2.2. RELATIVKOORDINATEN
9
2.2 Relativkoordinaten
Der Hamiltonoperator lässt sich durch Einführen von Relativkoordinaten vereinfamM
chen. Diese deniere ich mit der reduzierten Masse µ = m+M
wie üblich.
~
~rrel = ~r − R
~
~ S = m~r + M R
R
M +m
µ~
µ
=
~r + R
M
m
~
≈ R
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Der Schwerpunkt des Atoms entspricht in etwa dem Schwerpunkt des Kerns, da bei typischen Atomsorten, mit denen Experimente zur Bose-Einstein-Kondensation durch= 1836 · 87 = 159732 und typische
geführt werden, wie zum Beispiel Rb87 gilt M
m
Ausdehnungen eines Rydbergatoms rmax ∼ 1000a.u. betragen. Daraus folgt, dass
µ ≈ m und M + m ≈ M ist. Die Ableitungen transformieren sich unter den Koordinatentransformation (2.4) und (2.5) folgendermaÿen:
~S d
d
d~rrel d
dR
=
+
~S
d~r
d~r d~rrel
d~r dR
d
µ d
=
+
~S
d~rrel M dR
~S d
d
d~rrel d
dR
=
+
~
~ d~rrel
~ dR
~S
dR
dR
dR
d
µ d
= −
+
~S
d~rrel m dR
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Damit gilt für die Transformation der Operatoren der kinetischen Energie aus (2.1):
p~2
P~ 2
+
2m 2M
1 d2
1 d2
= −
−
~2
2m d~r2 2M dR
2
1³ d
1
1
d2
µ2
µ2
= −
(
+
)
+
(
+
)
2
~ S2 mM 2 M m2
2 d~rrel
m M
dR
d
d
µ2
µ ´
+2
(
−
)
~ S mM
d~rrel dR
Mm
1 ³ M + m d2
µ2 (M + m) d2 ´
= −
+
2
~ S2
2 M m d~rrel
m2 M 2 dR
= −
1 ³ 1 d2
1
d2 ´
+
2
~ S2
2 µ d~rrel
M + m dR
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
10
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
p~2rel
P~S2
+
2µ
2(M + m)
p~2
P~ 2
≈ rel + S
2m 2M
(2.17)
=
(2.18)
Führt man die Koordinatentransformation durch, ergibt sich aus (2.1) der Hamiltonoperator:
H =
~2
XP
S,t
t
2M
+
Xp
~2rel,t
t
2m
+
X
V e (~rrel ) +
t
X
~ S,t , ~rrel )
V T (R
t
X
1 X 0 AA ~
~ S,t )Pst0 +
~ S,s − R
~ S,t )Pst1
+
Pst V (RS,s − R
Pst1 V IA (R
2 s,t
s,t
+
X
~ S,s , ~rrel,s , R
~ S,t )Pst1
Pst1 V eA (R
(2.19)
s,t
In Zukunft werde ich die Indices rel und S unterdrücken: ~r bezeichnet im folgen~ den Schwerpunkt
den den Relativabstand zwischen Valenzelektron und Kern und R
des gesamten Atoms, der allerdings näherungsweise der Schwerpunkt des Ions ist.
Auÿerdem deniere ich
p~2
e
e
H = V (~r) +
(2.20)
2m
H e bezeichnet damit den gesamten intraatomaren Hamiltonoperator. Da bei Rydbergatomen ein einzelnes Elektron hoch angeregt ist und die restlichen Elektronen sich
auf abgeschlossenen Schalen benden, wird die Kernladung durch die anderen Elektronen abgeschirmt. Dadurch spürt das Valenzelektron eine eektive Kernladung von
annähernd eins. Deshalb sind die Wasserstowellenfunktion in guter Näherung Eigenfunktionen und die Energiezustände können wie beim Wasserstomodell berechnet
werden [21]. Sie müssen nur über den sogenannten zustandsabhängigen Quantendefekt δnl , der die Abweichung vom Wasserstoatom angibt,korrigiert werden.
En = −
1
2(n + δnl )2
(2.21)
Für hochangeregte Hochdrehimpulszustände (n, l >> 1) ist der Quantendefekt klein,
da dann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des angeregten Elektrons in Kernnähe
klein ist, so dass das Modell der Abschirmung der Kernladung durch die nicht angeregten Elektronen gut ist. Ich werde mich auf solche hochangeregten Hochdrehimpulszustände konzentrieren. Deshalb werde ich im folgenden den Quantendefekt nicht
mehr berücksichtigen.
2.3. VOLLSTÄNDIGE BASIS
11
2.3 Vollständige Basis
Die Eigenfunktionen des Vielteilchenhamiltonoperator (2.19) können nicht direkt gefunden werden. Sie lassen sich allerdings nach einer vollständigen Basis entwickeln.
Eine sinnvolle Basis für die Beschreibung des Problems lässt sich durch Lösung des
wechselwirkungsfreien Einteilchenproblems nden, bei dem die elektronische und die
Schwerpunktskoordinate separieren. Die Mehrteilchenbasisfunktion ist dann das Produkt der Einteilchenfunktionen, und die Lösung des gesamten Problems lässt sich als
Superposition der Mehrteilchenbasisfunktionen darstellen. Der Einteilchenhamiltonoperator des Atoms lautet:
H = H CM + H e
(2.22)
Hierbei bezeichnet H CM einen Operator, der nur auf die Schwerpunktskoordinate
wirkt. Dieser enthält den Operator der kinetischen Energie für die Schwerpunktskoordinate und die Teile des Fallenpotenzials, die nur von der Schwerpunktskoordinate
abhängen.
~ ~r) = Eiα uαi (R,
~ ~r)
Huαi (R,
(2.23)
Dieses Problem lässt sich separieren in das Problem der Schwerpunktsbewegung und
des elektronischen Hamiltonians, der vom Relativabstand Kern Elektron abhängt.
~ α (~r)
uαi = φi (R)χ
(2.24)
Mit einem lateinischen Index werden auch in Zukunft die Schwerpunktswellenfunktionen durchnummeriert, während ich die intraatomaren Anregungen mit einem griechischen Index versehe. Die Eigenfunktionen des elektronischen Teils von (2.24) genügen
der folgenden Eigenwertgleichung.
H e χα (~r) = Eαe χα (~r)
(2.25)
Bei diesen handelt es sich, wie oben erläutert, um die Wasserstowellenfunktionen.
Für den vom Schwerpunkt abhängenden Teil der Eigenfunktion ergibt sich die folgende Dierentialgleichung.
~ = Es φi (R)
~
H CM φi (R)
(2.26)
~ soll es sich um einen vollständigen, quadratintegrablen, orthonormierten
Bei φi (R)
Satz von Wellenfunktionen handeln. Das heisst es gilt:
Z
~ j (R)
~ = δij
~ ?i (R)φ
dRφ
X
i
~ i (R
~ 0 ) = δ(R
~ −R
~ 0)
φ?i (R)φ
(2.27)
(2.28)
12
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
Die n-Teilchenbasiswellenfunktion soll eine unter Vertauschung identischer Teilchen
~ ~r)
symmetrische Kombination von einem Produkt aus n-Einteilchenbasisfunktionen uαi (R,
sein.
~ 1 , ~r1 , . . . , R
~ n , ~rn )
Φn0 ,n1 ,n0 ,n1 ,... (R
(2.29)
X
1
~ k , ~rk )
~ 1 , ~r1 ) . . . u0 (R
√
P u00 (R
0
0 0 0
n!
n0 n1 n2 . . .
P ermut
~ k+1 , ~rk+1 ) . . . u01 (R
~ k+j , ~rk+j ) . . . u0l (R
~ n−1 , ~rn−1 )uαi (R
~ n , ~rn )
u01 (R
(2.30)
(n)
0
= q
0
1
1
1
Hierbei ist P der Permutationsoperator. Dieser sorgt für das Auftreten sämtlicher
Permutationen von denselben Basiszuständen. n ist die Gesamtteilchenzahl und nαi
ist die Anzahl der Teilchen im Zustand |i, αi, der durch die Wellenfunktion uαi be~ k , ~rk ) ist die Wellenfunktion des k -ten Teilchens, welches sich im
schrieben wird. uαi (R
Zustand |i, α > bendet. Nur ein Teilchen bendet sich im Zustand |i, α 6= 0 >, da
nur ein Atom elektronisch angeregt ist.
Auf diesen Zustandsraum, ausgedrückt in der Besetzungszahldarstellung, lassen sich
jetzt Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren denieren. Wenn man auf den nTeilchenzustand einen Vernichtungsopertor cαi wirken lässt, wird ein Teilchen aus
dem Zustand mit Energieniveau Eiα vernichtet und aus der n-Teilchen Wellenfunktion wird eine (n − 1) -Teilchen Wellenfunktion. Dementsprechend kreiert der Erzeuger
α
cα†
i ein weiteres Teilchen im Zustand |i, αi mit der Energie Ei und führt die n-Teilchen
Wellenfunktion in eine (n + 1) -Teilchen Wellenfunktion über.
In der Besetzungszahldarstellung ergibt sich mit korrekter Normierung:
α
cα†
i | . . . , ni , . . .i =
cαi | . . . , nαi , . . .i =
q
q
nαi + 1| . . . , nαi + 1, . . .i
nαi | . . . , nαi − 1, . . .i
(2.31)
(2.32)
Des Weiteren gilt für den Vernichter:
cαi |0i = 0
(2.33)
Erzeuger und Vernichter des selben Zustandes hintereinander angewandt ergibt.
q
γ
cαi cα†
nαi + 1cαi | . . . , nαi + 1, . . .i
i | . . . , nk , . . .i =
= (nαi + 1)| . . . , nαi , . . .i
(2.34)
(2.35)
γ
α
cα†
i ci | . . . , nk , . . .i =
(2.36)
q
α
nαi cα†
i | . . . , ni − 1, . . .i
= (nαi )| . . . , nαi , . . .i
(2.37)
Für Operatoren auf unterschiedliche Zustände i 6= j ergibt sich
γ
cβj cα†
i | . . . , nk , . . .i =
q
nαi + 1cβj | . . . , nαi + 1, . . .i
(2.38)
2.4. FELDOPERATOREN
13
=
β
γ
cα†
i cj | . . . , nk , . . .i =
=
q
q
+ 1 nβj | . . . , nαi + 1, . . . , nβj − 1 . . .i
q
nαi
(2.39)
β
nβj cα†
i | . . . , nj − 1, . . .i
(2.40)
nαi + 1 nβj | . . . , nαi + 1, . . . , nβj − 1 . . .i
(2.41)
q
q
Daraus folgen die Kommutatorrelationen für die Erzeuger und Vernichter.
[cαi , cβ†
j ] = δij δαβ
β†
[cα†
i , cj ]
=
(2.42)
[cαi , cβj ]
=0
(2.43)
Der Teilchenzahloperator wird wie folgt deniert
N̂ =
X α†
X α†
c cα
i,α
i,α
ni =
i
i
n̂αi |n00 , n01 , n10 , n11 , n21 , . . . , nαi , . . .i = nαi | . . . , nαi , . . .i
(2.44)
(2.45)
Für die Gesamtteilchenzahl n gilt
X
N̂ | . . . , nαi , . . .i =
nαi | . . . , nαi , . . . >
(2.46)
i,α
= n| . . . , nαi , . . .i
(2.47)
Damit lässt sich ein beliebiger n-Teilchenzustand in der Besetzungsdarstellung erzeugen.
1
n00 1† n10 0† n01
(2.48)
| . . . , nαi , . . .i = q
(c0†
0 ) (c0 ) (c1 ) . . . |0i
0 1 1
n0 !n0 !n1 ! . . .
Als Randbedingung muss gelten
X
nαi = n
(2.49)
i,α
2.4 Feldoperatoren
Durch Entwicklung der Erzeuger und Vernichter mit Hilfe des vollständigen Funktionensatzes φi lassen sich Feldoperatoren denieren.
~ =
Ψ̂α (R)
X
~ α
φi (R)c
i
(2.50)
~ α†
φ?i (R)c
i
(2.51)
i
~ =
Ψ̂†α (R)
X
i
~ ein Atom am Ort R
~ im
Die Feldoperatoren lassen sich so interpretieren, dass Ψ̂†α (R)
elektronischen Zustand |αi erzeugt.
14
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
Für die Feldoperatoren ergeben sich unter Ausnutzung der Vollständigkeitsrelation
der Basisfunktionen folgende Kommutatorrelationen.
X
~ Ψ̂† (R
~ 0 )] =
[Ψ̂α (R),
β
~ ?j (R
~ 0 )[cαi , cβ†
φi (R)φ
j ]
(2.52)
~ ?i (R
~ 0 )δαβ
φi (R)φ
(2.53)
i,j
X
=
i
2.5
~ −R
~ 0 )δαβ
= δ(R
(2.54)
~ Ψ̂† (R
~ 0 )] = 0
[Ψ̂†α (R),
β
~ Ψ̂β (R
~ 0 )] = 0
[Ψ̂α (R),
(2.55)
(2.56)
Transformation von Ein- und Mehrteilchenoperatoren
Um den Hamiltonoperator (2.19) durch die Feldoperatoren auszudrücken, müssen
die einzelnen Summanden durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren dargestellt
werden. Hierbei habe ich mich an [35] orientiert. Für einen Einteilchenoperator ergibt
sich durch einfügen eines vollständigen Basissatzes
H =
X
(2.57)
ht
t
=
ˆ
X X
hiα|h|jβi|iαit hjβ|t
i,α,j,β
(2.58)
t
Diesen Operator lässt man nun auf einen beliebigen vollständig symmetrischen Zustand | . . . , nαi , . . .i wirken und drückt ihn durch Erzeuger und Vernichter aus. Hierbei
betrachten wir zuerst den Fall (i, α) 6= (j, β).
X
hiα|h|jβi|iαit hjβ|t | . . . , nαi , . . .i
(2.59)
t
X
1 X
√
P |k1 γ1 i1 . . . |kn γn in (2.60)
hiα|h|jβi|iαit hjβ|t
n00 n10 n11 . . . n! t
P ermut
X
X
1
1
√
= q
P
hiα|h|jβi|iαit hjβ|t |k1 γ1 i1 . . . |kn γn in (2.61)
n00 n10 n11 . . . n! P ermut
t
=
ˆ q
1
Wenn man voraussetzt, dass der Zustand |jβi nβj fach besetzt ist, ergeben sich nβj
Terme in denen |jβi durch |iαi ersetzt wird. Des Weiteren muss die Änderung der
2.5. TRANSFORMATION VON EIN- UND MEHRTEILCHENOPERATOREN 15
Normierung beachtet werden.
X
X
1
√
P
hiα|h|jβi|iαit hjβ|t |k1 γ1 i1 . . . |kn γn in (2.62)
n00 n10 n11 . . . n! P ermut
t
q
1
= nβj nαi q | . . . , nαi + 1, . . . , nβj − 1, . . .i
(2.63)
nβj
1
q
β
β
α
= cα†
i cj | . . . , ni , . . . , nj , . . .i
(2.64)
Für (i, α) = (j, β) ergibt sich
X
hiα|h|iαi|iαit hiα|t | . . . , nαi , . . .i
t
X
X
1
√
hiα|h|iαi|iαit hiα|t |k1 γ1 i1 . . . |kn γn in (2.65)
P
t
n00 n10 n11 . . . n! P ermut
1
=
ˆ
q
=
nαi | . . . , nαi + 1, . . . , nβj − 1, . . . >
(2.66)
=
β
α
α
cα†
i ci | . . . , n i , . . . , n j , . . .
(2.67)
>
Zusammengefasst ergibt dies
H=
X
t
X
ht =
ˆ
β
hiα|h|jβicα†
i cj
(2.68)
i,α,j,β
Für einen Wechselwirkungsoperator folgt analog
X
~ s , ~rs , R
~ t , ~rt )=
V (R
ˆ
s,t
X
X
β† γ δ
~ ~r, R
~ 0 , ~r0 )|kγ, lδicα†
hiα, jβ|V (R,
i cj ck cl
i,j,k,l α,β,γ,δ
Falls der Wechselwirkungsoperator Projektionsoperatoren enthält gilt
H =
X
~ s , ~rs , R
~ t , ~rt )P 0
Pst0 V (R
st
s,t
=
X X
X
~ ~r, R
~ 0 , ~r0 )P 0 |kγ, lδi|iαis |jβit hiα|s hjβ|t
hiα, jβ|Pst0 V (R,
st
s,t i,j,k,l α,β,γ,δ
=
X X
X
~ ~r, R
~ 0 , ~r0 )|
hiα, jβ||α = 0is hα = 0|s |α = 0it hα = 0|t V (R,
s,t i,j,k,l α,β,γ,δ
|α = 0is hα = 0|s |α = 0it hα = 0|t |kγ, lδi|iαis |jβit hiα|s hjβ|t
~ ~r, R
~ 0 , ~r0 )|k0, l0i|i0is |j0it hi0|s hj0|t
=
hi0, j0|V (R,
X X
s,t i,j,k,l
=
ˆ
X
i,j,k,l
0† 0 0
~ ~r, R
~ 0 , ~r0 )|k0, l0ic0†
hi0, j0|V (R,
i cj ck cl
(2.69)
16
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
analog folgert man
X
H =
~ s , ~rs , R
~ t , ~rt )Pst1
Pst1 V (R
(2.70)
s,t
X X
=
ˆ
α† 0 β
~ ~r, R
~ 0 , ~r0 )|k0, lβic0†
hi0, jα|V (R,
i cj ck cl
(2.71)
i,j,k,l α,β6=0
2.6
Hamiltonian in 2. Quantisierung
In diesem Abschnitt werde ich alle Terme des Hamiltonoperators nach obigem Schema mit dem Formalismus der 2.Quantisierung ausdrücken. Um die Terme durch die
Feldoperatoren darstellen zu können, füge ich für die Relativ- und Schwerpunktskoordinaten jeweils zwei vollständige orthonormale Funktionensätze in der Ortsraumdarstellung ein und nutze deren Orthogonalität aus.
~2
X P
t
Hkin =
t
X
=
ˆ
(2.72)
2M
hiα|
i,α,j,β
X Z
=
P~ 2
β
|jβicα†
i cj
2M
~
dR
Z
Z
d~r
~0
dR
(2.73)
Z
~ rihR~
~ r|
d~r0 hiα|Ri|~
i,α,j,β
P~ 2 ~ 0 0
|R ~r i
2M
β
~ 0 |h~r0 |jβicα†
hR
i cj
(2.74)
Der Transformationskoezient ist gerade die Ortsraumwellenfunktion:
~ ri = φ? (R)χ
~ ? (~r)
hiα|Ri|~
i
α
(2.75)
Für die Relativkoordinaten lege ich mich auf die Wasserstowellenfunktionen fest, da
diese Eigenfunktionen von H e sind.
X Z
Hkin =
~
dR
Z
Z
d~r
i,α,j,β
~0
dR
Z
~2
~ ? (~r)hR~
~ r | P |R
~ 0~r0 i
d~r0 φ?i (R)χ
α
2M
β
~ 0 )cα†
χβ (~r0 )φj (R
i cj
(2.76)
Unter Verwendung des Impulsoperators in der Ortsdarstellung ergibt sich:
Hkin =
X Z
i,α,j,β
~
dR
Z
~ ? (~r)
d~rφ?i (R)χ
α
P~ 2
β
~ α†
χβ (~r)φj (R)c
i cj
2M
(2.77)
2.6. HAMILTONIAN IN 2. QUANTISIERUNG
17
Jetzt kann ich die Dention der Feldoperatoren (2.50) einsetzen.
XZ
Hkin =
~
dR
Z
~ ?α (~r)
d~rΨ̂†α (R)χ
α,β
P~ 2
~
χβ (~r)Ψ̂β (R)
2M
(2.78)
In diesem Fall ist es möglich die Integration der Relativkoordinate auszuführen, da
P~ nur auf die Schwerpunktswellenfunktion wirkt.
XZ
Hkin =
α
~2
~ Ψ̂† (R)
~ P Ψ̂α (R)
~
dR
α
2M
(2.79)
Die anderen Summanden des Hamiltonoperators (2.19) lassen sich ebenfalls nach
diesem Schema transformieren.
He =
X
H e (~rt )
t
=
ˆ
X
β
hiα|H e (~r)|jβicα†
i cj
i,α,j,β
=
X Z
~
dR
i,α,j,β
=
XZ
~
dR
Z
Z
β
~ ? (~r)H e (~r)χβ (~r)φj (R)c
~ α†
d~rφ?i (R)χ
i cj
α
~ ?α (~r)H e (~r)χβ (~r)Ψ̂β (R)
~
d~rΨ̂†α (R)χ
α,β
=
XZ
~
~ Ψ̂†α (R)E
~ αe Ψ̂α (R)
dR
α
(2.80)
Hier habe ich ausgenutzt, dass χα (~r) Eigenfunktion zu H e mit Eigenwert Eαe ist.
HT =
X
~ t , ~rt )
V T (R
t
=
ˆ
X
β
~ ~r)|jβicα†
hiα|V T (R,
i cj
i,α,j,β
=
XZ
~
dR
Z
~ ?α (~r)V T (R,
~ ~r)χβ (~r)Ψ̂β (R)
~
d~rΨ̂†α (R)χ
α,β
1 X 0 AA ~
~ t )Pst0
P V (Rs − R
2 s,t st
1 X
0† 0 0
~ −R
~ 0 )|k0, l0ic0†
=
ˆ
hi0, j0|V AA (R
i cj cl ck
2 i,j,k,l
HAA =
(2.81)
18
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
Z
Z
1 X Z ~Z
~ 0 d~r0 φ? (R)χ
~ ? (~r)φ? (R)χ
~ ? (~r0 )
dR d~r dR
i
0
j
0
2 i,j,k,l
=
0† 0 0
~ −R
~ 0 )χ0 (~r)χ0 (~r0 )φk (R)φ
~ l (R
~ 0 )c0†
V AA (R
i cj cl ck
1 Z ~ Z ~ 0 † ~ † ~ 0 AA ~ ~ 0
~ Ψ̂0 (R
~ 0)
=
dR dR Ψ̂0 (R)Ψ̂0 (R )V (R − R )Ψ̂0 (R)
2
HIA =
X
(2.82)
~s − R
~ t )P 1
Pst1 V IA (R
st
s,t
X X
=
ˆ
0† β 0
~ −R
~ 0 )|kβ, l0icα†
hiα, j0|V IA (R
i cj ck cl
i,j,k,l α,β6=0
X Z
X
=
~
dR
Z
Z
d~r
~0
dR
Z
~ ? (R
~ 0 )χ? (~r)χ? (~r0 )
d~r0 φ?i (R)φ
j
α
0
i,j,k,l, α,β6=0
0† β 0
~ −R
~ 0 )χβ (~r)χ0 (~r0 )φk (R)φ
~ l (R
~ 0 )cα†
V IA (R
i cj ck cl
=
XZ
Z
~
dR
~ 0 )V IA (R
~ −R
~ 0 )Ψ̂α (R)
~ Ψ̂0 (R
~ 0)
~ 0 Ψ̂† (R)
~ Ψ̂†0 (R
dR
α
(2.83)
α6=0
HeA =
X
~ s , ~rs , R
~ t )P 1
Pst1 V eA (R
st
s,t
X X
=
ˆ
0† β 0
~ ~r, R
~ 0 )|kβ, l0icα†
hiα, j0|V eA (R,
i cj ck cl
i,j,k,l α,β6=0
X Z
X
=
~
dR
Z
Z
d~r
~0
dR
Z
~ ?j (R
~ 0 )χ?α (~r)χ?0 (~r0 )
d~r0 φ?i (R)φ
i,j,k,l, α,β6=0
0† β 0
~ ~r, R
~ 0 )χβ (~r)χ0 (~r0 )φk (R)φ
~ l (R
~ 0 )cα†
V eA (R,
i cj ck cl
X Z
=
~
dR
Z
Z
d~r
~ 0)
~ 0 Ψ̂† (R)
~ Ψ̂†0 (R
dR
α
α,β6=0
~ ~r, R
~ 0 )χβ (~r)Ψ̂β (R)
~ Ψ̂0 (R
~ 0)
χ?α (~r)V eA (R,
(2.84)
Bei diesem Term kann ich die Relativkoordinate nicht ausintegrieren, so dass eine
Kopplung zwischen Schwerpunkts- und Relativkoordinate von unterschiedlichen Atomen zu Stande kommt. Der gesamte Hamiltonoperator ergibt sich zu:
H =
XZ
α
+
~ Ψ̂† (R)
~
dR
α
XZ
~
dR
Z
P~ 2
~
Ψ̂α (R)
2M
~ α (~r)V T (R,
~ ~r)χβ (~r)Ψ̂β (R)
~
d~rΨ̂†α (R)χ
α,β
+
XZ
α
~ Ψ̂† (R)E
~ e Ψ̂α (R)
~
dR
α
α
2.7. BEWEGUNGSGLEICHUNGEN
19
1 Z ~ Z ~ 0 † ~ † ~ 0 AA ~ ~ 0
~ Ψ̂0 (R
~ 0)
dR dR Ψ̂0 (R)Ψ̂0 (R )V (R − R )Ψ̂0 (R)
2 Z
Z
X
~
~ 0 Ψ̂†α (R)
~ Ψ̂†0 (R
~ 0 )V IA (R
~ −R
~ 0 )Ψ̂α (R)
~ Ψ̂0 (R
~ 0)
+
dR dR
+
α6=0
+
X Z
~
dR
Z
Z
d~r
~ 0)
~ 0 Ψ̂† (R)
~ Ψ̂†0 (R
dR
α
α,β6=0
~ ~r, R
~ 0 )χβ (~r)Ψ̂β (R)
~ Ψ̂0 (R
~ 0)
χ?α (~r)V eA (R,
(2.85)
2.7 Bewegungsgleichungen
In diesem Abschnitt werde ich die Bewegungsgleichungen aufstellen. Dies ist am einfachsten im Heisenbergbild. Die Feldoperatoren werden nun zeitabhängig. Die Zeitentwicklung der Operatoren ist in diesem Fall durch die Heisenberggleichung gegeben.
~ t) = [Ψ̂α (R,
~ t), H]
i∂t Ψ̂α (R,
(2.86)
Für festes t genügen die Feldoperatoren den selben kanonischen Kommutatorrelationen (2.54) wie im Schrödingerbild. Im weiteren schreibe ich der Kürze halber
~ t) ≡ Ψ̂(R)
~ , wobei das Zeitargument gleich sein soll. Dieses gilt auch für die
Ψ̂(R,
~ 0 integriert wird, kann ich den Kommutator ins
Erzeuger und Vernichter. Da über R
Integral hineinziehen.
1 X Z ~0
~
~ Ψ̂† 0 (R
~ 0 )∆Ψ̂β (R
~ 0 )]
[Ψ̂α (R), Hkin ] = −
dR [Ψ̂α (R),
α
2M α0
1
~
∆Ψ̂α (R)
= −
2M
~ He ] =
[Ψ̂α (R),
=
XZ
~ 0 [Ψ̂α (R),
~ Ψ̂† 0 (R
~ 0 )Eαe Ψ̂α0 (R
~ 0 )]
dR
α
α0
~
Eαe Ψ̂α (R)
(2.87)
(2.88)
(2.89)
(2.90)
Für das Fallenpotenzial unterscheide ich jetzt die Wirkung auf das elektronisch angeregte Atom und auf ein Grundzustandsatom. Im ersten Fall hängt das Potenzial
vom Relativabstand des angeregten Elektrons und des Kerns und vom Ort des Kerns
ab und führt dadurch zu einer Kopplung beider Bewegungen. Für den letzteren Fall
hängt das Potenzial in guter Näherung nur vom Ort des Kerns ab, da der Relativabstand Elektron Kern für ein Elektron im Grundzustand klein ist.
~ HT ] =
[Ψ̂α6=0 (R),
XZ
α0 ,β
~0
dR
Z
~ Ψ̂† 0 (R
~ 0 )χ? 0 (~r0 )
d~r0 [Ψ̂α (R),
α
α
20
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
~ 0 , ~r0 )χβ (~r0 )Ψ̂β (R
~ 0 )]
V T (R
XZ
=
~ ~r0 )χβ (~r0 )Ψ̂β (R)
~
dr0 χ?α (~r0 )V T (R,
(2.91)
(2.92)
β
XZ
~ HT ] =
[Ψ̂0 (R),
~0
dR
Z
~ Ψ̂† 0 (R
~ 0 )χ? 0 (~r0 )
d~r0 [Ψ̂0 (R),
α
α
α0 ,β
~ 0 )χβ (~r0 )Ψ̂β (R
~ 0 )]
V T (R
XZ
=
~ 0 )V T (R
~ 0 )Ψ̂α0 (R
~ 0 )]
~ 0 [Ψ̂0 (R),
~ Ψ̂† 0 (R
dR
α
(2.93)
(2.94)
α0
~ Ψ̂0 (R)
~
= V T (R)
(2.95)
1 Z ~ 0 Z ~ 00
~
~ Ψ̂†0 (R
~ 0 )Ψ̂†0 (R
~ 00 )
[Ψ̂0 (R), HAA ] =
dR dR [Ψ̂0 (R),
2
~0 − R
~ 00 )Ψ̂0 (R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 00 )]
V AA (R
Z
Z
1
~ 0 )δ(R
~ −R
~ 00 )
~ 0 dR
~ 00 V AA (R
~0 − R
~ 00 ){Ψ̂†0 (R
=
dR
2
~ 00 )}Ψ̂0 (R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 00 )
~ −R
~ 0 )Ψ̂†0 (R
+δ(R
Z
~ 0 )V AA (R
~ 0 − R)
~ Ψ̂0 (R
~ 0 )Ψ̂0 (R)
~
~ 0 Ψ̂†0 (R
dR
=
(2.96)
(2.97)
(2.98)
~ 0 − R)
~ beschreibt die Wechselwirkung zweier ununterscheidbarer
Das Potenzial V AA (R
~ −R
~ 0) =
Teilchen, deshalb kann ich in (2.97) ein symmetrisches Potenzial V AA (R
AA ~ 0
~ voraussetzen.
V (R − R)
~ HAA ] = 0
[Ψ̂α6=0 (R),
XZ
~ HIA ] =
[Ψ̂0 (R),
~0
dR
Z
(2.99)
~ 00 [Ψ̂0 (R),
~ Ψ̂† (R
~ 0 )Ψ̂†0 (R
~ 00 )
dR
β
β6=0
~0 − R
~ 00 )Ψ̂β (R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 00 )]
V IA (R
XZ
=
~ 0 Ψ̂† (R
~ 0 )V IA (R
~ 0 − R)
~ Ψ̂β (R
~ 0 )Ψ̂0 (R)
~
dR
β
(2.100)
(2.101)
β6=0
~ HIA ] =
[Ψ̂α6=0 (R),
XZ
~0
dR
Z
~ 00 [Ψ̂α6=0 (R),
~ Ψ̂† (R
~ 0 )Ψ̂†0 (R
~ 00 )
dR
β
β6=0
~0 − R
~ 00 )Ψ̂β (R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 00 )]
V IA (R
Z
=
~ 0 )V IA (R
~ −R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 0 )Ψ̂α (R)
~
~ 0 Ψ̂†0 (R
dR
(2.102)
(2.103)
2.7. BEWEGUNGSGLEICHUNGEN
~ HeA ] =
[Ψ̂0 (R),
X Z
21
~0
dR
Z
Z
d~r0
~ 00 [Ψ̂0 (R),
~ Ψ̂† (R
~ 0 )Ψ̂†0 (R
~ 00 )
dR
β
β,γ6=0
~ 0 , ~r0 , R
~ 00 )χγ (~r0 )Ψ̂γ (R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 00 )]
χ?β (~r0 )V eA (R
=
X Z
~0
dR
Z
(2.104)
~ 0 )χ? (~r0 )V eA (R
~ 0 , ~r0 , R)
~
d~r0 Ψ̂†β (R
β
β,γ6=0
~ 0 )Ψ̂0 (R)
~
χγ (~r0 )Ψ̂γ (R
~ HeA ] =
[Ψ̂α6=0 (R),
X Z
~0
dR
Z
Z
d~r
0
(2.105)
~ 00 [Ψ̂α6=0 (R),
~ Ψ̂† (R
~ 0 )Ψ̂†0 (R
~ 00 )
dR
β
β,γ6=0
~ 0 , ~r0 , R
~ 00 )χγ (~r0 )Ψ̂γ (R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 00 )]
χ?β (~r0 )V eA (R
=
XZ
~0
dR
Z
(2.106)
~ 0 )χ? (~r0 )V eA (R,
~ ~r0 , R
~ 0)
d~r0 Ψ̂†0 (R
α
γ6=0
~ 0 )Ψ̂γ (R)
~
χγ (~r0 )Ψ̂0 (R
(2.107)
Damit ergibt sich folgende Dierentialgleichung für den Feldoperator des Grundzustandes:
~ =
i∂t Ψ̂0 (R)
1
~ + V T (R)
~ Ψ̂0 (R)
~
~ + E0e Ψ̂0 (R)
∆Ψ̂0 (R)
2M
Z
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 0 )Ψ̂0 (R)
~
~ 0 V AA (R
~ 0 − R)
~ Ψ̂†0 (R
+ dR
−
+
XZ
~ 0 Ψ̂† (R
~ 0 )V IA (R
~ 0 − R)
~ Ψ̂β (R
~ 0 )Ψ̂0 (R)
~
dR
β
β6=0
+
X Z
~0
dR
Z
~ 0 )χ? (~r0 )V eA (R
~ 0 , ~r0 , R)χ
~ γ (~r0 )Ψ̂γ (R
~ 0 )Ψ̂0 (R)
~ (2.108)
d~r0 Ψ̂†β (R
β
β,γ6=0
Für einen angeregten Zustand gilt:
~
~ = − 1 ∆Ψ̂α (R)
~ + Eαe Ψ̂α (R)
i∂t Ψ̂α (R)
2MZ
X
~ ~r0 )χβ (~r0 )Ψ̂β (R)
~
dr0 χ? (~r0 )V T (R,
+
α
β
Z
+
+
~ 0 Ψ̂†0 (R
~ 0 )V IA (R
~ −R
~ 0 )Ψ̂0 (R
~ 0 )Ψ̂α (R)
~
dR
XZ
~0
dR
Z
~ 0 )χ?α (~r0 )V eA (R,
~ ~r0 , R
~ 0)
d~r0 Ψ̂†0 (R
γ6=0
~ 0 )Ψ̂γ (R)
~
χγ (~r0 )Ψ̂0 (R
(2.109)
22
KAPITEL 2. HAMILTONIAN
Kapitel 3
Näherungen
In diesem Kapitel nehme ich Näherungen vor, um die Dierentialgleichungen (2.108)
und (2.109) zu vereinfachen. Zuerst nehme ich an, dass sich die Potenziale durch Kontaktwechselwirkungen modellieren lassen. Für den Feldoperator, der ein elektronisch
angeregtes Atom erzeugt, führe ich dann eine klassische Wellenfunktion ein. Dies ist
möglich, da nach Voraussetzung nur ein Atom elektronisch angeregt ist. Unter der
Voraussetzung, dass sich alle Grundzustandsatome im selben Schwerpunktszustand
benden, kann der Feldoperator, der ein Grundzustandsatom erzeugt durch ein mittleres Feld ersetzt werden. Als weitere Näherung vernachlässige ich die Auswirkungen
des elektronisch angeregten Atoms auf die Grundzustandsatome, so dass die Dierentialgleichungen entkoppeln. Die Dierentialgleichung für den Grundzustand ergibt
sich dann als die Gross-Pitaevskii Gleichung, die ich innerhalb der Thomas-Fermi
Näherung löse.
3.1 Kontaktpotenziale
Ich nehme an, dass zwei Grundzustandsatome nur durch ein Kontaktpotenzial mit
der Kopplungskonstanten g wechselwirken. Für kalte und dünne Gase sind nur Zweikörperstreuprozesse bei kleinen Energien relevant. Diese können durch einen Parameter charakterisiert werden, die energieunabhängige s-Wellen Streulänge [36]. Die
Streulänge kann als energieunabhängig gewählt werden, da es sich um die Streuung
zwischen ultrakalten Atomen handelt und somit die Relativgeschwindigkeit der Atome zueinander klein ist. Das heisst das Potenzial ist unabhängig von den Details des
Streuprozesses. Die Kopplungskonstante ergibt sich aus der s-Wellen Streulänge a0
a . Für den Wert der s-Wellen Streulänge habe ich den Wert
über die Relation g = 4π
M 0
der Triplett Streuung aT = 98, 98a.u. aus [37] verwendet. Es handelt sich um Triplett
Streuung, da die Atome innerhalb einer Falle alle denselben Spinzustand haben.
~ −R
~ 0 ) = gδ(R
~ −R
~ 0)
V AA (R
23
(3.1)
24
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
Ich setze für das Potenzial zwischen Ion und Grundzustandsatom ebenfalls ein Kontaktpotenzial mit einer energieunabhängigen Kopplungskonstante γ an, da auch hier
die s-Wellen Streuung dominiert und die Relativgeschwindigkeit der Streuer zueinander klein ist.
~ −R
~ 0 ) = γδ(R
~ −R
~ 0)
V IA (R
(3.2)
Für das Potenzial zwischen angeregtem Elektron und Grundzustandsatom gehe ich
ebenfalls von einem Kontaktpotenzial aus [29]. Die kinetische Energie des Elektrons
ist aber im Allgemeinen nicht klein. Über die klassische Beziehung
e
Ekin
(r) = −
1
1
+
2
2n
r
(3.3)
lässt sich die kinetische Energie des Elektrons durch den Relativabstand zwischen
Elektron und Ion ausdrücken. Deshalb lasse ich eine Abhängigkeit des Streuparameters vom Relativabstand des Elektrons zum Kern zu, da von diesem die relative
Geschwindigkeit der Streuer zueinander abhängt.
~ ~r, R
~ 0 ) = Γ(|~r|)δ(R
~ + ~r − R
~ 0)
V eA (R,
(3.4)
Zur Bestimmung der Kopplungskonstanten habe ich die Daten für den s-wave Phase
shift δ0T (k) dargestellt in Abbildung 3.1 aus [38] verwendet. Die Relation zwischen
Abbildung 3.1: phase shift in Abhängigkeit der kinetischen Energie des Rydbergelektrons
3.1. KONTAKTPOTENZIALE
25
phase shift und Kopplungskonstante ist
Γ(R) = 2πAT [k(R)]
(3.5)
tan(δ0T (k))
(3.6)
= −2π
k
Es stehen die numerischen Daten entsprechend Abbildung 3.1 zur Verfügung. Diese
decken den Energiebereich 1.65971 · 10−3 eV < Ekin < 0.235107eV bzw. in atomaren
Einheiten 6.10188 · 10−5 a.u. < Ekin < 0.00864364a.u.. Zur Bestimmung des Impulses
des Elektrons habe ich die klassische Beziehung verwendet.
1
Ekin = k 2
(3.7)
2
Als zusätzlichen Punkt habe ich AT (0) = −16.05 eingefügt. Dieser ergibt sich aus der
Kopplungskonstanten für die Wechselwirkung eines ruhenden Elektrons mit einem
Atom. Damit erhält man eine Abhängigkeit der Kopplungskonstante von der kinetischen Energie des Elektrons, die ich in Abbildung 3.2 dargestellt habe. Ich benötige
20
Kopplungskonstante Γ [a.u.]
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
kinetische Energie des Elektrons [a.u.]
Abbildung 3.2: Kopplungskonstante der Elektron-Atom Streuung in Abhängigkeit von
der kinetischen Energie des Elektrons
aber eine Abhängigkeit der Kopplungskonstanten vom Relativabstand Elektron Kern.
Über die klassische Beziehung
1
1
(3.8)
Ekin = − 2 +
2n
R
26
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
erhält man für jede Hauptquantenzahl n eine solche für einen Bereich Rmin ≤ R ≤
Rmax . Hierbei ist Rmin gegeben durch Rmin = E max1+ 1 mit der maximalen kinekin
2n2
max
tische Energie Ekin
aus den Daten aus [29] und Rmax durch Rmax = 2n2 , da für
R > Rmax die klassische kinetische Energie negativ würde. Für n = 30 und n = 50
habe ich den Verlauf der Kopplungskonstante in Abhängigkeit des Relativabstandes
Elektron Kern in Abbildung 3.3 aufgetragen. Für Relativabstände bis R ∼ 400 ist
20
n = 30
n = 50
Kopplungskonstante Γ [a.u.]
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
1000
2000
3000
4000
5000
Abstand des Elektrons vom Kern [a.u.]
Abbildung 3.3: Kopplungskonstante der Elektron-Atom Streuung in Abhängigkeit
vom Abstand des Elektrons vom Kern
die Kopplungskonstante für n = 30 und n = 50 positiv. Für den n = 30 Zustand
nimmt ihr Wert für gröÿere Abstände vom Kern dann schnell ab bis zu dem Abstand
R = 1800 bei dem das Elektron sich klassisch in Ruhe bendet. Für den n = 50
Zustand wird die Kopplungskonstante langsamer kleiner als für den n = 30 Zustand,
fällt aber immer noch streng monoton auf Γ = −100, 85 bei R = 5000 den Wert
für Ekin = 0. Für klassisch negative kinetische Energien, also für R > 2n2 bin ich
von einer konstanten Kopplungskonstante von Γ = −100, 85 ausgegangen, der Kopplungskonstante für Ekin = 0. Diese Daten habe ich mit einem Spline interpoliert. Für
R < Rmin = E max1+ 1 < 116a.u., mit der maximalen gegebenen kinetischen Enerkin
2n2
gie aus der Referenz, habe ich die Kopplungskonstante Null gesetzt. Für hochangeregte Hochdrehimpulszustände ist dies erlaubt, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des angeregten Elektrons in Kernnähe klein ist. Ein Maÿ für die Wahrscheinlich-
3.1. KONTAKTPOTENZIALE
n
15
15
15
20
20
20
l
0
12
14
0
15
19
27
R Rmin
2
drr2 Rn,l
0, 0404912
0, 00534221
5, 27948 · 10−6
0, 020655
2, 08325 · 10−5
2, 50206 · 10−13
0
n
30
30
30
50
50
50
l
0
15
29
0
20
49
R Rmin
2
drr2 Rn,l
0, 00631685
0, 000147378
4, 91145 · 10−35
0, 0013852
6, 40655 · 10−11
1, 94385 · 10−96
0
Tabelle 3.1: Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in Kernnähe
keit, dass sich ein Elektron des Wasserstoatoms in einem Bereich bis Rmin aufhält
R
2
ist 0Rmin drr2 Rn,l
mit dem Radialteil der Wasserstowellenfunktionen Rn,l (r). In Tabelle 3.1 habe ich diese für verschiedene Zustände des Wasserstoatoms berechnet.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist für alle betrachteten Fälle viel kleiner als eins.
Da sich Rydbergatome in hochangeregten Hochdrehimpulszuständen näherungsweise
wie Wasserstoatome beschreiben lassen, ist die Gröÿenordnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kernnähe bei einem Rydbergatom und einem Wasserstoatom gleich.
Mit Hilfe der δ -Funktionen lassen sich die Integrale auswerten und die Dierentialgleichungen vereinfachen sich deutlich.
~ =
i∂t Ψ̂0 (R)
³
−
+
X †
1
~ Ψ̂0 (R)
~ +γ
~ Ψ̂β (R)
~
~ + g Ψ̂†0 (R)
Ψ̂β (R)
∆ + E0e + V T (R)
2M
β6=0
X Z
~ 0 Γ(|R
~ −R
~ 0 |)Ψ̂† (R
~ 0 )χ?β (R
~ −R
~ 0)
dR
β
β,γ6=0
´
~
~ −R
~ 0 )Ψ̂γ (R
~ 0 ) Ψ̂0 (R)
χγ (R
(3.9)
Für einen angeregten Zustand gilt:
~ =
i∂t Ψ̂α (R)
³
´
1
~ Ψ̂0 (R)
~ Ψ̂α (R)
~
∆ + Eαe + γ Ψ̂†0 (R)
2M
XZ
~ ~r0 )χβ (~r0 )Ψ̂β (R)
~
dr0 χ?α (~r0 )V T (R,
+
−
β
+
XZ
~ 0 − R)
~
~ 0 Γ(|R
~ 0 − R|)
~ Ψ̂†0 (R
~ 0 )χ? (R
dR
α
γ6=0
~ 0 − R)
~ Ψ̂0 (R
~ 0 )Ψ̂γ (R)
~
χγ (R
(3.10)
Diese gekoppelten Dierentialgleichungen lassen sich nur unter groÿem Aufwand lösen. Deshalb werde ich in Zukunft davon ausgehen, dass zuerst Grundzustandsatome
28
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
in einer Falle gefangen werden. Diese werden dann bis unterhalb ihrer kritischen
Temperatur heruntergekühlt, so dass sie kondensieren und ein Schwerpunktszustand
makroskopisch besetzt ist. Anschlieÿend wird das Fallenpotenzial ausgeschaltet und
direkt im Anschluss ein Atom in einen Rydbergzustand angeregt. Der Vorteil hierbei
ist, dass in (3.10) das Fallenpotenzial nicht mehr berücksichtigt werden muss. Dieses
ist für ein Rydbergatom kompliziert und koppelt die Relativ- und die Schwerpunktskoordinate [39]. Der Ort der Anregung innerhalb der Atomwolke soll unbestimmt sein.
Dies kann durch defokussieren eines Laserstrahls erreicht werden, so dass dieser die
gesamte Atomwolke erfasst. Auch wenn vom Laser nur einzelne Photonen abgestrahlt
werden, kann der genaue Ort, wo die Photonen auf die Atomwolke auftreen, nicht
vorhergesagt werden. Es ist lediglich die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt. Da
die Atome nur wenig kinetische Energie haben, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der Atomwolke trotz ausgeschalteter Falle klein, so dass ich davon ausgehe, dass sich
die Dichteverteilung der Grundzustandsatome sich auf der Zeitskala der atomaren Anregung in den Rydbergzustand nicht ändert. Dieser Rydbergzustand soll beschrieben
werden. Er spürt kein Fallenpotenzial mehr, welches die Schwerpunkts- und Relativkoordinate koppeln würde, da die Falle vor seiner Erzeugung ausgeschaltet wurde.
3.2
Einzelnes angeregtes Atom
In diesem Abschnitt betrachte ich die Dierentialgleichung (3.10) für den elektronisch
angeregten Teil für den ich das Fallenpotenzial, wie oben erläutert, weglasse. Ich
werde zeigen, dass die Dierentialgleichung für den Feldoperator für den Fall, dass
nur ein Atom angeregt ist, ebenfalls für eine klassische Wellenfunktion gilt. Einen
~ 1 lokalisierten 1-Teilchen Zustand im Orbital α erhält man
zum Zeitpunkt t am Ort R
durch 1-faches Anwenden des Feldoperators auf das Vakuum.
~ 1 α; ti = Ψ̂† (R
~ 1 , t)|0i
|R
α
(3.11)
Dieser Zustand ist der Einteilchenbasiszustand ohne Wechselwirkungen. Mit physikalischem Zustand meine ich im folgenden den Zustand der Lösung der Dierentialgleichung (3.10) ist. Also der Zustand, der tatsächlich beschrieben werden soll. Da es
sich bei diesem nach Voraussetzung um einen Einteilchen Zustand handelt, lässt er
sich als Superposition der Einteilchenbasiszustände (3.11) darstellen.
|0, . . . , 0, 1j , 0, . . .i =
X
α
biα
j |0, . . . , 0, 1i , 0, . . .i
(3.12)
α†
biα
j ci |0i
(3.13)
i,α
=
X
i,α
= c̃†j |0i
(3.14)
3.2. EINZELNES ANGEREGTES ATOM
29
j nummeriert die physikalischen Zustände durch. c̃†j erzeugt ein Teilchen im physikalischem Zustand j . Die biα
j geben die entsprechenden Entwicklungskoezienten der
Entwicklung des physikalischen Zustands nach den Einteilchenbasisfunktionen an.
Diese sind zu bestimmen. Der Transformationskoezient zwischen dem Fockraum~ ~r) zur Zeit t lokalisierten Basiszustandes ist gerade
zustand und einem am Ort (R,
die aus der Quantenmechanik bekannte Ortsraumwellenfunktion. Das Zeitargument
im Bra-Vektor bedeutet nur, dass der lokalisierte Zustand zum Zeitpunkt t erzeugt
wird. Der Zustand selber ist im Heisenbergbild nicht zeitabhängig. Im Ket-Vektor
tritt keine Zeitargument auf, da es sich um einen Fockraumzustand handelt.
~ ~r, t) = hR,
~ ~r; t| . . . , 1j , . . .i
Θj (R,
(3.15)
Da keine explizite Zeitabhängigkeit im Hamiltonoperator vorliegt, hängt dieser Zustand im Schrödingerbild nur über eine reine Phase von der Zeit ab.
~ ~r, t) = Θj (R,
~ ~r)e−i²j t
Θj (R,
(3.16)
Für den zeitunabhängigen Teil gilt dann mit dem Feldoperator, der auch bezüglich
der Relativkoordinate in den Ortsraum entwickelt ist.
~ ~r) =
Ψ̂† (R,
X
~ ?α (~r)cα†
φ?i (R)χ
i
(3.17)
i,α
~ ~r).
Dieser erzeugt ein Teilchen am Ort (R,
~ ~r) = hR,
~ ~r| . . . , 1j , . . .i
Θj (R,
~ ~r)c̃†j |0i
= h0|Ψ̂(R,
= h0|
=
X
X
(3.18)
β†
~ α (~r)cα bkβ
φi (R)χ
i j ck |0i
i,k,α,β
~
biα
r)
j φi (R)χα (~
(3.19)
i,α
Dies ist die Entwicklung des physikalischen Zustandes nach den Basisfunktionen. Für
den zeitabhängigen Zustand lässt sich jetzt schreiben:
~ ~r, t) =
Θj (R,
X
~
r)e−i²j t
biα
j φi (R)χα (~
i,α
= e−i²j t
X
~
biα
r)
j φi (R)χα (~
(3.20)
i,α
~ zur Zeit t lokalisierten BasiszuUm die Amplitude für den im Zustand α am Ort R
standes zu bekommen, projiziere ich den Fockraumzustand auf den Ortsraum.
30
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
~ t) = hRα;
~ t|0, . . . , 1j , 0, . . .i
ψjα (R,
~ t)c̃†j |0i
= h0|Ψ̂α (R,
X
=
β†
~ α (t)bkβ
h0|φi (R)c
j ck |0i
i
i,k,β
X
=
β†
~ α e−i²j t bkβ
h0|φi (R)c
j ck |0i
i
i,k,β
X
=
−i²j t
~ iα
φi (R)b
j e
(3.21)
i
Diese Wellenfunktion erfüllt ebenfalls die Dierentialgleichung (3.10), wie ich im folgenden zeigen werde. Hαγ bezeichnet den Hamiltonoperator für einen angeregten
Zustand, der durch Koezientenvergleich von (3.22) und (3.10) deniert ist.
~ t) = Hαγ Ψ̂γ (R,
~ t)
i∂t Ψ̂α (R,
(3.22)
Ich starte wieder im Heisenbergbild und transformiere die Zeitabhängigkeit im letzten
Schritt auf die Zustände.
~ t) = i∂t hRα;
~ t|0, . . . , 1j , 0, . . .i
i∂t ψjα (R,
~ t)|0, . . . , 1j , 0, . . .i
= h0|i∂t Ψ̂α (R,
= h0|
=
X
X
~ t)|0, . . . , 1j , 0, . . .i
Hαγ Ψ̂γ (R,
γ
~ γi e−i²j t cβ† bkβ
Hαγ h0|φi (R)c
k j |0i
β,γ,i,k
=
X
−i²j t
~ iγ
Hαγ φi (R)b
j e
i,γ
=
X
γ
3.3
~ t)
Hαγ ψjγ (R,
(3.23)
Mean eld
Im letzten Abschnitt konnte ich zeigen, dass eine klassische Wellenfunktion dieselbe Dierentialgleichung erfüllt wie der Feldoperator, der ein elektronisch angeregtes
Atom erzeugt, wenn nur ein Atom elektronisch angeregt ist. In diesem Abschnitt betrachte ich den Grundzustand. Dieser soll mit n Teilchen besetzt sein, so dass obige
Argumentation nicht möglich ist. Hierbei soll n makroskopisch sein. Für groÿe Teilchenzahlen lässt sich für den Grundzustand ein mittleres Feld (mean-eld ) einführen,
welches der Dierentialgleichung (3.9) mit den eektiven Potenzialen genügt. n-faches
3.3. MEAN FIELD
31
anwenden des Feldoperators für ein Grundzustandsatom auf das Vakuum liefert einen
n-Teilchen Zustand aus Grundzustandsatomen.
n
Y
~ i , t)|0i = |R
~ 1 0, R
~ 2 0, . . . , R
~ n , 0; ti
Ψ̂†0 (R
(3.24)
i=1
Ich gehe davon aus, dass der Grundzustand vollständig in den Schwerpunktszustand
mit der geringsten Energie kondensiert ist. Endliche Teilchenzahlen und Randeekte
auf Grund der endlichen Ausdehnung der Atomwolke führen lediglich zu einer Beset1
zung proportional zu n− 3 von anderen Zuständen und können für n > 104 vollständig
vernachlässigt werden [40]. Für kleinere Teilchenzahlen führen die Randeekte auch
lediglich zu kleinen Korrekturen, die ich im folgenden nicht berücksichtigen werden.
~ beschrieben werden. Dann
Der kondensierte Zustand soll durch die Funktion φ0 (R)
ergibt sich für die Entwicklung des Feldoperators.
~ =
Ψ̂0 (R)
X
~ 0i
φi (R)c
(3.25)
i
~ 0
≈ φ0 (R)c
0
(3.26)
Da alle Grundzustandsatome im energetisch niedrigsten Schwerpunktszustand sind
und sich im elektronischen Grundzustand benden, führt dies zu einer Besetzung von
n Teilchen in dem physikalischen Grundzustand.
0
|n0 , 0, . . .i = b00
0 |n0 , 0, . . .i
0† n
= b00
0 (c0 ) |0i
(3.27)
(3.28)
Die Ortsraumwellenfunktion ergibt sich wieder als Transformationskoezient zwischen Fockraumzustand und Ortsraumzustand.
~ 1 , ~r1 , . . . , R
~ n , ~rn , t) = hR
~ 1~r1 , R
~ 2~r2 , . . . , R
~ n , ~rn , t|n0 , 0, . . .i
Θ0 (R
(3.29)
Da keine explizite Zeitabhängigkeit im Hamiltonoperator vorliegt, hängt auch dieser
stationäre Zustand im Schrödingerbild nur über einer reine Phase von der Zeit ab.
~ 1 , ~r1 , . . . , R
~ n , ~rn , t) = Θ0 (R
~ 1 , ~r1 , . . . , R
~ n , ~rn , t)e−i²0 t
Θ0 (R
(3.30)
Für den zeitunabhgänigen Teil ergibt sich dann:
~ 1 , ~r1 , . . . , R
~ n , ~rn ) = hR
~ 1~r1 , R
~ 2~r2 , . . . , R
~ n , ~rn |n0 , 0, . . .i
Θ0 (R
= h0|
= h0|
= b00
0
n
Y
i=1
n
Y
i=1
n
Y
i=1
~ i , ~ri )(c̃†0 )n |0i
Ψ̂0 (R
0† n
~ i )χ0 (~ri )c00 b00
φ0 (R
0 (c0 ) |0i
~ i )χ0 (~ri )
φ0 (R
(3.31)
32
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
~ 1, . . . , R
~ n , t) gilt:
Für die Amplitude des Grundzustandes ψ00 (R
~ 1, . . . , R
~ n , t) = hR
~ 1 0, R
~ 2 0, . . . , R
~ n , 0|n0 , 0, . . .i
ψ00 (R
= h0|
= h0|
n
Y
~ i )(c̃†0 )n |0i
Ψ̂0 (R
i=1
n
Y
n
~ i )c0 (t)b00 (c0†
φ0 (R
0 ) |0i
0
0
i=1
=
b00
0 (t)
n
Y
~ i)
φ0 (R
(3.32)
i=1
Das heisst der Grundzustand kann durch eine Einteilchenwellenfunktion beschrieben
~ t) in Gleichung (3.9) durch ein mittwerden. Deshalb darf ich den Operator Ψ̂0 (R,
~ t) ersetzen [40]. Abbildung 3.4 aus [41] zeigt, dass die Vorhersagen
leres Feld ψ(R,
der mean-eld Theorie für groÿe Teilchenzahlen gut mit den experimentellen Daten
übereinstimmen. Auÿerdem ersetze ich noch, wie im letzten Abschnitt gezeigt, den
~ t) für den angeregten Zustand durch das Feld ψjα (R,
~ t). Damit ergibt
Operator Ψα (R,
sich (3.9) zu:
~ =
i∂t ψ(R)
³
−
+
X β?
1
~ + g|ψ(R,
~ t)|2 + γ
~ t)ψjβ (R,
~ t)
∆ + E0e + V T (R)
ψj (R,
2M
β6=0
X Z
~ 0 Γ(|R
~ −R
~ 0 |)ψjβ? (R
~ 0 , t)χ? (R
~ −R
~ 0)
dR
β
β,γ6=0
´
~ −R
~ 0 )ψjγ (R
~ 0 ) ψ(R,
~ t)
χγ (R
(3.33)
Um die Energie des Grundzustandes zu erhalten, setze ich für die Zeitentwicklung an:
~ t) = ψ(R)e
~ −iµt
ψ(R,
(3.34)
Hier bezeichnet µ das chemische Potenzial, welches die Energie pro Teilchen angibt.
~ ist reel und auf die Teilchenzahl normiert R dRψ(
~ R)
~ = n. Damit ergibt sich
ψ(R)
folgende Dierentialgleichung:
~ =
µψ(R)
³
−
+
X β?
1
~ + gψ(R)
~ 2+γ
~ iβ (R)
~
ψi (R)ψ
∆ + E0e + V T (R)
2M
β6=0,i
X Z
β,γ6=0,i
~ 0 Γ(|R
~ 0 − R|)ψ
~ iβ? (R
~ 0 , t)χ? (R
~ −R
~ 0)
dR
β
´
~ −R
~ 0 )ψiγ (R
~ 0 ) ψ(R)
~
χγ (R
(3.35)
~ und anschlieÿendem
Die Energie erhält man durch multiplizieren von links mit ψ(R)
Integrieren über den ganzen Raum. Dadurch lassen sich die Energiebeiträge der Wechselwirkungsterme abschätzten, wenn man noch ausnutzt, dass der angeregt Zustand
3.3. MEAN FIELD
33
Abbildung 3.4: Die experimentellen Daten stellen die gemessene Dichteverteilung von
80000 Natrium Atomen in einer axialsymmetrischen harmonischen Falle in Abhängigkeit von der axialen Koordinate dar. Die durchgezogen Linie sind die Vorhersagen
der mean-eld Theorie für wechselwirkende Atome. Die gestrichelte Linie ist die Vorhersage für nicht wechselwirkende Atome.
nur einfach besetzt ist und deshalb durch eine klassische Wellenfunktion beschrieben
werden kann, wie ich im letzten Abschnitt gezeigt habe.
Z
EAA = g
~ R)
~ 4
dRψ(
∼ gn2
EIA = γ
XZ
(3.36)
~
~ α (R)
~ R)
~ 2 ψ α? (R)ψ
dRψ(
j
j
α6=0
∼ γn
EeA =
X Z
~
dR
Z
(3.37)
~
~ 0 − R|)ρ(
~
~ + ~r, t)ψ α? (R)
d~rΓ(|R
R
j
α,β6=0
~ β (~r − R)
~
~ ?α (~r − R)χ
ψjβ (R)χ
34
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
≈ Γ
XZ
~
dR
Z
~ + ~r, t)ψjα? (R)ψ
~ jα (R)χ
~ ?α (~r − R)χ
~ α (~r − R)
~
d~rρ(R
α6=0
(3.38)
∼ Γn
Man sieht, dass man EIA und EeA für groÿe Teilchenzahlen im Vergleich zu EAA
vernachlässigen kann. Dies liegt an der geringeren Anzahl der Wechselwirkungsmöglichkeiten. Für ein elektronisch angeregtes Teilchen und n Teilchen im elektronischen
Grundzustand gibt es n(n−1)
Möglichkeiten, dass zwei Grundzustandsatome wechsel2
wirken, aber nur n Möglichkeiten der Wechselwirkung zwischen einem elektronisch
angeregten Atom und einem Grundzustandsatom. Diese Betrachtungen bezogen sich
auf den Energiebeitrag für das gesamte Kondensat. Dies schlieÿt keine lokale Störung der Kondensatswellenfunktion aus. So ist in [42] dargelegt, dass ein Ion in einem
Kondensat durch Polarisierung benachbarter Atome die Dichteverteilung lokal beeinussen kann und die Phase der Kondensatswellenfunktion sogar zerstören kann. Die
Ursache hierfür ist allerdings die Ladung des Ions. In Falle eines Rydbergatoms kompensieren sich die Störungen des ionischen Kerns und des angeregten Elektrons auf
Grund der entgegengesetzten Ladungen jedoch in etwa, so dass keine groÿe Störung
der Kondensatswellenfunktion zu erwarten ist.
Es ist üblich die normierte Wellenfunktion des Kondensates einzuführen.
~ = √1 ψ(R)
~
φ0 (R)
(3.39)
n
Auÿerdem führe ich die Dichtefunktion für die Grundzustandsatome ein.
~ = ψ(R)
~ 2
ρ(R)
(3.40)
In Zukunft setze ich das Nullniveau für die elektronische Energie auf die Energie des
elektronischen Grundzustandes. Damit ergibt sich für den Grundzustand die GrossPitaevskii Gleichung.
³
´
1
~ + gρ(R)
~ φ0 (R)
~
∆ + V T (R)
(3.41)
2M
Eine analytische Lösung der Gross-Pitaevskii Gleichung ist im allgemeinem nicht mög~ = 1 M (ω1 x2 +ω2 y 2 +
lich. Für den Fall einer harmonischen Fallenkonguration V T (R)
2
2
ω3 z ) lassen sich jedoch zwei Grenzfälle sehr einfach analytisch lösen [36]. Der Fall
starker und der Fall schwacher Wechselwirkung zwischen den Atomen. Der
√ Fall starker Wechselwirkung ist gegeben wenn für alle Fallenfrequenzen gilt na0 M ωi >> 1.
Hierbei bezeichnet a0 die s-Wellen Streulänge. √
Dementsprechend ist der Fall schwacher Wechselwirkung charakterisiert durch na0 M ωi ¿ 1. Für den Fall schwacher
Wechselwirkung zwischen den Teilchen setzt man eine Gauÿfunktion mit Variationsparametern als Lösung an. Diese ist eine exakte Lösung für den Fall ohne Wechselwirkung. Anschlieÿend variiert man die erhaltene Energie bezüglich der Parameter.
~ =
µφ0 (R)
−
3.4. MATRIXGLEICHUNG
35
Für den Fall starker Wechselwirkung kann man den Beitrag der kinetischen Energie
vernachlässigen. Man spricht dann auch von der Thomas Fermi Näherung. Diesen Fall
werde ich im folgenden betrachten, da er für groÿe Teilchenzahlen gegeben ist. Bei
einer Fallenfrequenz von ω = 100M Hz ergibt sich als Forderung für die Teilchenzahl
für Rubidiumatome n À 160.
³
~ =
µφ0 (R)
´
~ + gρ(R)
~ φ0 (R)
~
V T (R)
(3.42)
Damit ergibt sich für die Dichteverteilung
~ =
ρ(R)
~
µ − V T (R)
~ 02 − R
~ 2)
Θ(R
g
(3.43)
~ 0 ergibt sich aus der Randbedingung V T (R
~ 0 ) = µ.
Die Abschneidefrequenz R
3.4 Matrixgleichung
Zusammengefasst kann ich in der Dierentialgleichung für den angeregten Zustand
~ durchfüh(3.10) das Fallenpotenzial rausstreichen, die Ersetzung von Ψ̂α durch ψjα (R)
ren und die Denition der Grundzustandsdichte (3.40) einsetzen und erhalte damit:
~
²j ψjα (R)
=
XZ
γ6=0
³
~
~ 0 χ? (R
~ 0 ) − 1 ∆ + E e + γρ(R)
dR
α
α
2M
´
~ 0 |)ρ(R
~ 0 + R)
~ χγ (R
~ 0 )ψjγ (R)
~
+Γ(|R
(3.44)
(3.45)
~ nach eiUm diese Dierentialgleichung zu lösen, entwickle ich die Funktion ψjα (R)
P
~ = i φi (R)b
~ iα . Dies ist mit jedem vollständigen
nem vollständigen Basissatz ψjα (R)
j
~ die WellengleiBasissatz möglich. Ich wähle den Basissatz so, dass die Funktion φ0 (R)
chung des Kondensates ist, die durch Gleichung (3.42) bestimmt wird. Die anderen
~ sein.
Basisfunktionen sollen orthogonal zueinander und orthogonal zu φ0 (R)
²j
X
i
~ iα =
φi (R)b
j
X Z
γ6=0,i
³
~ 0 ) − 1 ∆ + E e + γρ(R)
~
~ 0 χ? (R
dR
α
α
2M
´
~ 0 |)ρ(R
~ 0 + R)
~ χγ (R
~ 0 )φi (R)b
~ i,γ
+Γ(|R
j
(3.46)
Jetzt kann ich ausnutzen, dass die Anregung in den Rydbergzustand sofort nach dem
Ausschalten der Falle erfolgt. Deshalb kann man davon ausgehen, dass zum Zeitpunkt der Anregung sich noch alle Atome im selben Schwerpunktszustand, wie vor
36
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
dem Ausschalten der Falle benden. Des Weiteren vernachlässige ich den Rückstoÿ
des Photons, das das Valenzelektron in den Rydbergzustand anregt, auf den Schwerpunkt. Der Impulsübertrag auf den Schwerpunkt ist auf Grund der, im Vergleich
zum Elektron, groÿen Masse des Ions vernachlässigbar. Unter diesen Voraussetzungen kann ich davon ausgehen, dass der Schwerpunktszustand sich näherungsweise bei
der Anregung nicht ändert. Dies lässt sich dadurch ausdrücken, dass der Koezient
des Grundzustandes die Entwicklung des Schwerpunktszustandes dominiert und ich
die anderen Koezienten vernachlässigen kann.
~ =
ψjα (R)
X
~ iα
φi (R)b
j
(3.47)
i
~ 0α
≈ φ0 (R)b
j
(3.48)
~ keine Eigenfunktion des
Zu beachten ist, dass die Schwerpunktswellenfunktion φ0 (R)
Hamiltonoperators ist. Durch diese Näherung erhalte ich aber ein eektives Potenzial
für das angeregte Elektron, wie ich im folgenden noch erläutern werde. In Zukunft
~ anstatt φ0 (R)
~ und bα statt
schreibe ich deswegen aus Gründen der Übersicht φ(R)
j
b0α
.
Desweiteren
vernachlässige
ich
den
Beitrag
der
kinetischen
Energie
des
Schwerj
punktes, da dieser viel kleiner als die Wechselwirkungsbeiträge ist.
~ α =
²j φ(R)b
j
XZ
³
~ 0 χ? (R
~ 0 ) E e + γρ(R)
~
dR
α
α
γ6=0
´
~ 0 |)ρ(R
~ 0 + R)
~ χγ (R
~ 0 )φ(R)b
~ γj
+Γ(|R
(3.49)
~ und anschlieÿender
Die Energien erhalte ich durch Multiplizieren von links mit φ(R)
Integration über den Raum.
Z
²j
Z
~ R)φ(
~ R)b
~ α =
dRφ(
j
XZ
~ R)
~
dRφ(
γ6=0
³
~ 0 χ? (R
~ 0 ) E e + γρ(R)
~
dR
α
α
´
~ 0 |)ρ(R
~ 0 + R)
~ χγ (R
~ 0 )φ(R)b
~ γj
+Γ(|R
(3.50)
Ausnutzen der Normierung ergibt:
²j bαj
=
XZ
~
dR
Z
³
~
~ 0 ) Eαe + γρ(R)
~ 0 φ(R)χ
~ ?α (R
dR
γ6=0
´
~ 0 |)ρ(R
~ 0 + R)
~ χγ (R
~ 0 )φ(R)b
~ γj
+Γ(|R
(3.51)
Dieses lässt sich als Matrixgleichung darstellen.
²j bαj =
X
γ6=0
Hαγ bγj
(3.52)
3.4. MATRIXGLEICHUNG
Z
Hαγ
=
37
~
dR
Z
~ 0 φ(R)χ
~ ?α (R
~ 0 )(Eαe
dR
~ + Γ(|R
~ 0 |)ρ(R
~ 0 + R))χ
~
~0
~
+γρ(R)
γ (R )φ(R)
(3.53)
Diese Matrix lässt sich als ein eektives Potenzial
~ 0) =
V (R
Z
e
~ R)(E
~
~
~0
~0 ~
~
dRφ(
α + γρ(R) + Γ(|R |)ρ(R + R))φ(R)
(3.54)
auassen, das nach den Wasserstowellenfunktionen entwickelt ist. Die Eigenvektoren
der Matrix geben einem dann die Entwicklung des elektronischen Zustandes nach den
Wasserstowellenfunktionen an. Durch die Näherung (3.48) haben alle physikalischen
Zustände dieselbe Abhängigkeit von der Schwerpunktskoordinate.
38
KAPITEL 3. NÄHERUNGEN
Kapitel 4
Spektrale Eigenschaften in
Kondensaten
In diesem Kapitel werde ich die Matrix (3.53) für verschiedene Fallenpotenziale und
damit verschiedene Dichteverteilungen diagonalisieren. Aus den Eigenvektoren ergeben sich dann die gesuchten Zustände mit den durch die Eigenwerte gegebenen
Energien. Als Erstes betrachte ich den Fall eines räumlich unendlich ausgedehnten
3D-Potenzialkastens. Dies führt zu einer homogenen Dichteverteilung der Grundzustandsatome, die zu einer vom Drehimpuls des Rydbergzustandes abhängigen Energieverschiebung führt, die proportional zur Dichte der Grundzustandsatome ist. Als
Nächstes betrachte ich eine isotrope harmonische Falle. Die daraus resultierende Energieverschiebung hängt ebenfalls vom Drehimpuls des Zustandes ab. Auÿerdem hängt
die Energieverschiebung quadratisch von der Fallenfrequenz und linear vom chemischem Potenzial ab. In beiden Fällen sind die Fallenpotenziale rotationssymmetrisch,
was zu einer (2l+1)-fachen Entartung der Energien führt, da die Eigenwerte unabhängig von der magnetischen Quantenzahl m sind, die die Projektion des Drehimpulses
auf die z -Achse ist. Für den Fall einer axialsymmetrischen harmonischen Falle wird
die m Entartung für betragsmäÿig unterschiedliche m aufgehoben. Dadurch sind die
Energien für m 6= 0 2-fach entartet und die Energien der m = 0 Zustände sind nicht
entartet. Auÿerdem mischen für diesen Fall die verschiedenen Drehimpulszustände
einer n Mannigfaltigkeit, so dass l keine gute Quantenzahl mehr ist. Das Ausmaÿ
der Mischung kann über die Dierenz der axialen und der longitudinalen Fallenfrequenz variiert werden. Das Mischungsverhältnis steigt mit steigender Dierenz. Für
den Fall, dass die longitudinale mit der axialen Fallenfrequenz übereinstimmt, erhält
man den Grenzfall der isotropen harmonischen Falle.
39
40
4.1
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Homogenes Kondensat
In diesem Kapitel betrachte ich einen Potenzialkasten der Form
~ = V0 − V0 Θ(R
~2 − R
~ 2)
V T (R)
0
(4.1)
mit V0 > 0. Ich betrachte den Grenzfall V0 → ∞, so dass die Wellenfunktion am
Rand verschwindet. Auf der Längenskala der healing length ξ geht die Dichte der
Kondensatsatome dann von Null auf eine konstante Dichte über. Hierbei ist die healing
length gegeben durch:
s
1
ξ=
(4.2)
8πρ0 aT
aT bezeichnet hierbei die s-Wellen Streulänge und ρ0 die Dichte der Grundzustandsatome. Die healing length hängt nicht von der räumlichen Ausdehnung des Poten~ 0| → ∞
zialkastens ab. Für den räumlich unendlich ausgedehnten Potenzialkasten |R
wird der Randbereich beliebig klein im Vergleich zu dem Bereich mit konstanter Dichte. Damit kann die Dichte für den gesamten Bereich mit verschwindenden Potenzial
näherungsweise als konstant angenommen werden.
µ ~2 ~2
Θ(R0 − R )
g
~2 − R
~ 2)
= ρ0 Θ(R
0
~ =
ρ(R)
(4.3)
(4.4)
Die Wellenfunktion ist die auf eins normierte Wurzel der Dichtefunktion. Wenn ich
von n Teilchen im elektronischen Grundzustand ausgehe, ergibt sich damit:
~ =
φ(R)
r
ρ
n
(4.5)
Damit ergibt sich die Matrix (3.53) zu:
Z
Hαγ
=
~
dR
Z
~ 0 φ(R)χ
~ ?α (R
~ 0 )(Ene + ρ0 Θ(R
~ 02 − R
~ 2 )γ
dR
~ 2 − (R
~ +R
~ 0 )2 )Γ(|R
~ 0 |))χγ (R
~ 0 )φ(R)
~
+ρ0 Θ(R
0
(4.6)
~ 0 | viel gröÿer als die typische AusdehDie Wasserstowellenfunktionen gehen für |R
nung des Atoms, dass sie beschreiben gegen Null. Für n = 30 liegen die typischen
Ausdehnungen eines Rydbergatoms bei Rmax ∼ 0.05µm. Ich gehe jetzt davon aus,
dass die Ausdehnung der Falle sehr viel gröÿer als die Ausdehnung des Rydbergatoms ist. Dann kann ich davon ausgehen, dass das Rydbergatom sich vollständig in
der Falle bendet und sich das Argument der letzten Θ Funktion aus (4.6) vereinfachen lässt.
4.1. HOMOGENES KONDENSAT
Z
~
dR
Hαγ ≈
Z
41
~ 0 φ(R)χ
~ ?α (R
~ 0 )(Ene + ρ0 Θ(R
~ 02 − R
~ 2 )γ
dR
~2 − R
~ 2 )Γ(|R
~ 0 |))χγ (R
~ 0 )φ(R)
~
+ρ0 Θ(R
0
(4.7)
Der Fall, dass ein Atom am Fallenrand angeregt wird und sich das angeregte Elektron
teilweise auÿerhalb der Atomwolke der Grundzustandsatome bendet, kann in dieser
Näherung nicht beschrieben werden. Einsetzen der Schwerpunktswellenfunktion führt
zu:
Z
Z
γ
~
~ 0 χ? (R
~ 0 ) ρ0 Θ(R
~ 2 )(E e + ρ0 Θ(R
~2 − R
~ 2 )γ
~2 − R
Hα =
dR dR
α
0
n
0
n
~2 − R
~ 2 )Γ(|R
~ 0 |))χγ (R
~ 0)
+ρ0 Θ(R
(4.8)
0
Jede Potenz der Θ Funktion ist identisch mit der Θ Funktion. Deshalb kann man für
die Matrix schreiben:
Z
Hαγ
=
Z
~ 0 χ? (R
~ 0 ) ρ0 Θ(R
~2 − R
~ 2 )(E e + ρ0 γ
dR
α
0
n
n
~ 0 |))χγ (R
~ 0)
+ρ0 Γ(|R
~
dR
(4.9)
Jetzt kann die Normierung der Dichte auf die Teilchenzahl ausgenutzt werden.
Z
Hαγ
=
~ 0 χ? (R
~ 0 )(E e + ρ0 γ + ρ0 Γ(|R
~ 0 |))χγ (R
~ 0)
dR
α
n
(4.10)
Nach Einführung von Kugelkoordinaten und Einsetzen der Wasserstowellenfunktionen χn,l,m = Rn,l (R)Yl,m (θ, φ), die ich mit Hilfe der Quantenzahlen n, l, m mit den
üblichen Bedeutungen abzähle, ergibt sich die folgende Matrix:
0
0
n,l ,m
Hn,l,m
=
Z ∞
0
dR0 R02
Z 2π
0
dφ0
Z 1
−1
?
d cos θ0 Rn,l (R0 )Yl,m
(θ0 , φ0 )(Ene + ρ0 γ
~ 0 |))Rn,l0 (R0 )Yl0 ,m0 (θ0 , φ0 )
+ρ0 Γ(|R
(4.11)
Das Mischen von Zuständen mit unterschiedlicher Hauptquantenzahl n habe ich nicht
zugelassen, da der Energieunterschied verschiedener n-Zustände viel gröÿer ist als die
hier betrachteten Energieverschiebungen und somit vernachlässigt werden kann wie
in Tabelle 4.2 deutlich wird. Die Matrixelemente sind winkelunabhängig, so dass sich
die Orthonormierung der Kugelächenfunktionen ausnutzen lässt und sich eine Diagonalmatrix ergibt. Unter Ausnutzung der Normierung des Radialteils der Wasserstowellenfunktionen ergeben sich die Matrixelemente zu:
n,l,m
Hn,l,m
= −
Z
1
~ 0 |)Rn,l (R0 )
dR0 R02 Rn,l (R0 )Γ(|R
+
γρ
+
ρ
0
0
2n2
(4.12)
42
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Da die Matrix diagonal ist, lassen sich die Eigenwerte direkt ablesen. Nur der letzte
Summand führt zu einer zustandsabhängigen Energieverschiebung innerhalb einer nMannigfaltigkeit. Deshalb werde ich mich im folgenden auf diesen konzentrieren. Mit
der numerisch interpolierten Kopplungskonstante Γ(R) habe ich folgendes Integral
mit Hilfe einer Gauÿ'schen Quadratur berechnet.
Γ̄n,l =
Z ∞
0
2
(R0 )
dR0 R02 Γ(R0 )Rn,l
(4.13)
Abbildung 4.1 zeigt die Veränderung der Energieverschiebung des Rydbergzustandes
-1e-10
n=20
n=30
n=40
n=50
-2e-10
-3e-10
∆ ER [a.u.]
-4e-10
-5e-10
-6e-10
-7e-10
-8e-10
-9e-10
-1e-09
-1.1e-09
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Drehimpulsquantenzahl l
Abbildung 4.1: Änderung der Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der
Drehimpulsquantenzahl l für verschiedene Hauptquantenzahlen n für den Fall des
homogenen Kondensates mit einer Teilchenzahldichte ρ = 1.5 · 10−11 =10
ˆ 14 cm1 3
∆E R mit dem Drehimpuls für verschiedene Hauptquantenzahlen. Die Energieverschiebung ist für alle Zustände negativ. Dies liegt daran, dass die Kopplungskonstante der
Elektron-Atom Streuung negativ ist für Abstände, bei denen die betrachteten Zustände die gröÿte Aufenthaltswahrscheinlichkeit haben, wie durch den Vergleich von
Tabelle 4.1 mit Abbildung 3.3 deutlich wird. Eine negative Kopplungskonstante führt
zu einer attraktiven Wechselwirkung. Diese führt wiederum zu einer negativen Bindungsenergie.
Der Betrag der Energieverschiebung wird gröÿer mit fallender Drehimpulsquantenzahl. Die Zustandsabhängigkeit der Energieverschiebung hat ihre Ursache in der Abhängigkeit der Elektron-Atom Kopplungskonstante vom Relativabstand von Elektron
4.1. HOMOGENES KONDENSAT
n
30
30
30
30
30
30
30
30
l
0
29
0
29
0
29
0
29
R0
100
100
400
400
1000
1000
1400
1400
R1
400
400
1000
1000
1400
1400
1800
1800
43
n
50
50
50
50
50
50
50
50
PR0 ,R1
0, 04
0, 00
0, 17
0, 77
0, 19
0, 23
0, 52
0, 00
l
0
49
0
49
0
49
0
49
R0
100
100
2000
2000
3000
3000
4000
4000
R1
2000
2000
3000
3000
4000
4000
5000
5000
PR0 ,R1
0, 11
0, 01
0, 13
0, 95
0, 22
0, 03
0, 47
0, 00
Tabelle 4.1: Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons
und Kern. Deshalb kann man den qualitativen Verlauf der zustandsabhängigen Energieverschiebung verstehen, wenn man sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des angeregten Elektrons für die verschiedenen Zustände für bestimmte Abstände vom Kern
anschaut. Diese lässt sich folgendermaÿen berechnen:
PR0 ,R1 =
Z R1
R0
2
dRR2 Rn,l
(4.14)
PR0 ,R1 gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich ein Elektron, das im Zustand Rn,l ist,
in dem Abstandsbereich vom Kern zwischen R0 und R1 bendet. In Tabelle 4.1 habe
ich sie für einige Bereiche angegeben. Für den n = 30 Zustand ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in dem Bereich mit positiver Kopplungskonstante 100 < R < 400
(vgl. Abbildung 3.3) sowohl für den l = 0 als auch für den l = 29 Zustand klein, so
dass dieser Bereich zu keinem nennenswerten Beitrag zur Energieverschiebung liefert.
Für den Bereich von 400 < R < 1000 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den
l = 0 Zustand jedoch viel kleiner als für den l = 29 Zustand. Dementsprechend ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit für R > 1000 für den l = 0 Zustand gröÿer als für den
l = 29 Zustand. Da der Betrag der Kopplungskonstante für R > 400 streng monoton wächst, führt die gröÿere Aufenthaltswahrscheinlichkeit des l = 0 Zustandes bei
gröÿeren Abständen vom Kern zu einer gröÿeren Energieverschiebung für den l = 0
Zustand als für den l = 29 Zustand.
Für den n = 50 Zustand lässt sich die Abnahme der Energieverschiebung mit steigendem Drehimpuls analog erklären. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons
im l = 49 Zustand ist am gröÿten für den Bereich 2000 < R < 3000 und verschwindet
für gröÿere Abstände vom Kern, während der l = 0 Zustand für Abstände R > 4000
eine merkliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit hat. Da der Betrag der Kopplungskonstante für den n = 50 Zustand im Bereich 2000 < R < 3000 kleiner ist als für
R > 4000, ist die resultierende Energieverschiebung für den l = 0 Zustand gröÿer.
Für dazwischenliegende Drehimpulszustände ist die Argumentation dieselbe.
44
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
In Abbildung 4.1 ist auÿerdem noch eine Zunahme des Betrages der Energieverschiebung mit steigender Hauptquantenzahl n zu erkennen. Die Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Hauptquantenzahl für unterschiedliche Drehimpulse habe ich
in Abbildung 4.2 dargestellt. Diese lässt sich ebenfalls durch Vergleich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons mit dem ortsabhängigen Verlauf der Kopplungskonstante verstehen. Hier ist allerdings zu beachten, dass sich die Ortsabhängigkeit
der Kopplungskonstante für unterschiedliche Hauptquantenzahlen unterscheidet. Eine grobe Abschätzung erhält man, wenn man die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für
eine Kopplungskonstante von Γ < −40 vergleicht. Dies bedeutet für den n = 30 l = 0
Zustand einen Abstand des Elektrons vom Kern von R > 1000, der mit einer Wahrscheinlichkeit von P1000,∞ ≈ 0.72 auftritt. Für den n = 50 l = 0 Zustand muss sich
das Elektron in einem Bereich R > 2000 aufhalten, was mit einer Wahrscheinlichkeit
von P1000,∞ ≈ 0.82 der Fall ist. Diese gröÿere Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei einer
betragsmäÿig gröÿeren Kopplungskonstante führt zu einer gröÿeren Energieverschiebung.
In Tabelle 4.2 habe ich die zustandsabhängige Energieverschiebung des Rydberg-1e-10
l=20
l=30
l=40
-2e-10
-3e-10
∆ ER [a.u.]
-4e-10
-5e-10
-6e-10
-7e-10
-8e-10
-9e-10
-1e-09
20
25
30
35
40
45
50
Hauptquantenzahl n
Abbildung 4.2: Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der Hauptquantenzahl
n für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen l für den Fall des homogenen Kondensates mit einer Teilchenzahldichte ρ = 1.5 · 10−11 =10
ˆ 14 cm1 3
zustandes ∆E R = ρ0 · Γ̄n,l nochmals für ausgesuchte Zustände bei einer Dichte von
ρ0 = 1014 cm1 3 = 1, 5 · 10−11 a.u. aufgeführt und mit der Energieverschiebungen auf
4.1. HOMOGENES KONDENSAT
45
Grund der Spin-Bahn Kopplung und der durch spontane Emission verursachten Breite des Rydbergzustandes verglichen. Hier habe ich mich auf hochangeregte Hochdrehimpulszustände beschränkt, da für Niederdrehimpulszustände einige der gemachten
Näherungen nicht zulässig sind wie zum Beispiel, dass die Wasserstowellenfunktionen Eigenfunktionen des intraatomaren Hamiltonoperators des Rydbergatoms sind
oder, dass sich die Wechselwirkung zwischen einem Rydbergatom und einem Grundzustandsatom aufspalten lässt in die Wechselwirkung des angeregten Elektrons mit
dem Grundzustandsatom und die Wechselwirkung des Ions mit dem Grundzustandsatom.
Die Energieverschiebung auf Grund der Spin-Bahn Kopplung lässt sich folgendermaÿen berechnen:
α2 3
n
∆En,l,j=l± 1 = 4 ( −
))
(4.15)
2
2n 4 j + 12
Im folgenden betrachte ich nur den Fall, dass Spin und Drehimpuls gleich gerichtet
sind, also j = l + 12 , da für den Vergleich nur die Gröÿenordnung von Interesse ist und
für groÿe Drehimpulsquantenzahlen der Unterschied klein ist.
Weiterhin habe ich noch die, durch spontane Emission verursachte, Breite ∆E spon des
Rydbergzustandes berechnet.
Für Zustände mit l = n − 1 sind nur Übergänge n → (n − 1) und l → (l − 1)
erlaubt, wenn man nur Übergänge mit |∆l| = 1 erlaubt. Die hieraus resultierende
Energieverschiebung ∆E spon habe ich mit (4.16) aus [43] berechnet.
2 α
n2n+1 (n − 1)2n−2
∆E spon = ( )5 c2
3 n
(n − 12 )4n−1
(4.16)
Für Zustände mit l < n − 1 habe ich die Einsteinkoezienten der spontanen Emission
mit (4.17) für den Übergang n → n0 , l → l ± 1 numerisch berechnet. Zwei-Photonen
Übergänge habe ich wiederum vernachlässigt.
An0 l0 ,nl =
4ωn3 0 ,n lmax
|hn0 l0 |r|nli|2
3c2 2l + 1
(4.17)
Für den Energieunterschied der betrachteten Niveaus habe ich nur unterschiedliche Hauptquantenzahlen berücksichtigt ωn0 ,n = 2n102 − 2n1 2 . Die Breite des Zustandes
∆E spon habe ich durch Summation über alle erlaubten n0 erhalten.
Eine Verbreiterung des Rydbergzustandes line broadening durch die Wechselwirkung
des Rydbergatoms mit den Grundzustandsatomen tritt nicht merklich auf. Die Verbreiterung der Linie hängt von der stoÿinduzierten Phasenverschiebung ab [21]. Diese
ist aber für Niederenergiestreuung klein, wie in Abbildung 3.1 dargestellt ist, was zu
keiner merklichen Linienverbreiterung führt.
Rydbergatome in einem Gas aus kalten Grundzustandsatomen, die nicht kondensiert sind, erfahren ebenfalls eine Energieverschiebung der Zustände durch die Stöÿe
46
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
n
79
79
79
79
79
51
51
51
51
40
40
40
30
30
20
20
l
78
61
40
30
20
50
30
20
10
39
30
20
29
20
19
15
∆E R [a.u.]
−6, 2832 · 10−10
−10, 5570 · 10−10
−11, 4630 · 10−10
−11, 780 · 10−10
−12, 0160 · 10−10
−7, 360 · 10−10
−9, 1778 · 10−10
−9, 9878 · 10−10
−10, 5230 · 10−10
−5, 86512 · 10−10
−7, 0680 · 10−10
−8, 3315 · 10−10
−3, 9924 · 10−10
−5, 8723 · 10−10
−1, 4386 · 10−10
−2, 8841 · 10−10
∆En,l,j=l+ 1 [a.u.]
2
−1, 70986 · 10−13
−3, 58519 · 10−13
−8, 04885 · 10−13
−1, 23 · 10−12
−2, 05997 · 10−12
−9, 84438 · 10−13
−3, 52492 · 10−12
−6, 6098 · 10−12
−1, 53035 · 10−11
−2, 60153 · 10−12
−5, 62266 · 10−12
−1, 20166 · 10−11
−8, 22212 · 10−12
−2, 23172 · 10−11
−4, 16245 · 10−11
−8, 3249 · 10−11
∆E spon [a.u.]
8, 53195 · 10−17
2, 40962 · 10−15
3, 30403 · 10−16
6, 51115 · 10−16
1, 27604 · 10−15
7, 66281 · 10−16
2, 145 · 10−15
4, 86155 · 10−15
1, 90644 · 10−14
2, 5961 · 10−15
4, 38755 · 10−15
9, 93363 · 10−15
1, 10335 · 10−14
2, 31504 · 10−14
8, 52398 · 10−14
1, 35845 · 10−13
Tabelle 4.2: Energieverschiebung des Rydbergzustandes auf Grund verschiedener Effekte
mit den Grundzustandsatomen, den pressure shift [21]. Wenn man hier ebenfalls annimmt, dass sich das Streupotential aufspalten lässt in die Ion-Atom Streuung und
die Elektron-Atom Streuung und sich beide als Kontaktpotenziale modellieren lassen, erhält man dieselbe Energieverschiebung. Das heisst für den Fall des homogenen
Kondensates spielt es für die Energieverschiebung keine Rolle, ob die Grundzustandsatome kondensiert sind oder nicht. Dies ist leicht verständlich, da in beiden Fällen
die Dichte der Grundzustandsatome als konstant angenommen wurde und in beiden
Fällen nur s-Wellen Streuung berücksichtigt wurde.
Für endliche Fallenpotenziale wurde beobachtet, dass sich die Dichteverteilung der
Atomwolke mit der Temperatur ändert [7]. Für Temperaturen oberhalb der kritischen Kondensationstemperatur, ist die Dichteverteilung gleichmäÿig. Je kälter die
Atomwolke, desto mehr Atome kondensieren in den quantenmechanischen Grundzustand in der Falle, der räumlich auf einen kleinen Bereich lokalisiert ist. Dies führt
zu einer räumlichen Dichteverteilung mit einem Peak. Deshalb werden sich für endliche Fallenpotenziale unterschiedliche Energieverschiebungen der elektronischen Energiezustände des Rydbergatoms für den kondensierten und den nicht kondensierten
Fall ergeben. Die zustandsabhängige Energieverschiebung des Rydbergzustandes auf
Grund der Wechselwirkung mit dem BEC in Tabelle 4.2 ist von der Gröÿenordnung
E eA ∼ 10−10 . Die Energieverschiebung auf Grund der Spin-Bahn Kopplung ist bei
4.1. HOMOGENES KONDENSAT
47
der angenommenen Dichte des Kondensates um eine Gröÿenordnung kleiner. Auch
die durch spontane Emission verursachte Breite des Zustandes ist deutlich kleiner,
als die zustandsabhängige Energieverschiebung, die von der Wechselwirkung mit den
kondensierten Atomen rührt. Letztere lässt sich also experimentell nachweisen.
48
4.2
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Isotrope harmonische Falle
In diesem Abschnitt betrachte ich ein isotropes harmonisches Fallenpotenzial der
Form:
1
~2
V T = M ω2R
(4.18)
2
Dieses ist rotationssymmetrisch. Aus der Gross-Pitaevskii Gleichung (3.42) folgt die
Dichteverteilung.
T ~
~ = µ − V (R) Θ(R
~ 02 − R
~ 2)
ρ(R)
(4.19)
g
~ 0) = µ
Die Ausdehnung des Kondensates ergibt sich aus der Randbedingung V T (R
und hängt von der Fallenfrequenz ab.
~ 02 = 2µ
R
M ω2
(4.20)
Die Teilchenzahl n, der Atome im elektronischen Grundzustand, ergibt sich aus dem
Volumenintegral der Teilchenzahldichte (4.19).
Z
n =
=
=
=
=
=
~ R)
~
dRρ(
4π Z R0
1
dRR2 (µ − M ω 2 R2 )
g 0
2
4π µ 3
1
( R0 − M ω 2 R05 )
g 3
10
1
2µ 5
4π µ 2µ 3
( (
) 2 − M ω2(
)2 )
2
g 3 Mω
10
M ω2
4πµ 2µ 3 1 1
(
)2 ( − )
g M ω2
3 5
8π 2µ 23 µ
(
)
15 M ω 2 g
(4.21)
Damit ergibt sich die Matrix (3.53) zu:
Z
Hαγ =
Z
T ~
³
~ 0 ) E e + γ µ − V (R) Θ(R
~ 0 φ(R)χ
~ ? (R
~ 2)
~2 − R
dR
α
α
0
g
T ~0
´
~
~ 0 )φ(R)
~
~ 0 + R)
~ 2 χγ (R
~ 0 |) µ − V (R + R) Θ(R
~ 02 − (R
+Γ(|R
g
~
dR
(4.22)
Nur der letzte Summand hängt innerhalb einer n-Mannigfaltigkeit vom Zustand ab.
Auf diesen werde ich mich im folgenden konzentrieren. Energien die innerhalb einer
n-Mannigfaltigkeit denselben Wert haben, heben sich weg wenn man den Unterschied
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
49
verschiedener Energieniveaus innerhalb einer n-Mannigfaltigkeit betrachtet. Für den
Fall, dass man an dem Energieunterschied zwischen zwei Zuständen mit unterschiedlicher Hauptquantenzahlen n1 und n2 interessiert ist, muss zusätzlich der Energieunterschied der unterschiedlichen Orbitale ∆Eel = 2n1 2 − 2n1 2 betrachtet werden.
2
1
Ich betrachte die Matrix wiederum für jede n-Mannigfaltigkeit getrennt, da das Mischen unterschiedlicher n-Mannigfaltigkeiten wiederum nicht berücksichtigt werden
muss, da der Energieunterschied auf Grund der unterschiedlichen Hauptquantenzahl
groÿ im Vergleich zu den hier hervorgerufenen Energieverschiebungen ist, wie sich im
folgenden noch zeigen wird.
Z
Mαγ
=
Z
T ~0
~
~ 0 φ(R)χ
~ ?α (R
~ 0 )Γ(|R
~ 0 |) µ − V (R + R)
dR
g
2
0
2
0
~ − (R
~ + R)
~ )χγ (R
~ )φ(R)
~
Θ(R
0
~
dR
(4.23)
Hier lässt sich analog zum Fall des Potenzialkastens argumentieren. Die Wassersto~ 0 | viel gröÿer als die Ausdehnung des Atoms,
wellenfunktionen verschwinden für |R
das sie beschreiben. Für n = 30 liegen die typischen Ausdehnungen eines Atoms bei
Rmax ∼ 0.05µm. Dies ist deutlich kleiner als eine typische Fallenausdehnung von
R0 = 5µm. Des Weiteren hat die Dichteverteilung der Grundzustandsatome ihr Maximum in der Fallenmitte. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit groÿ, dass ein Atom
angeregt wird, das sich so weit vom Fallenrand weg bendet, so dass sich das angeregte Elektron vollständig in der Falle bendet. Mit dieser Annahme lässt sich das
Argument der Θ Funktion aus (4.23) folgendermaÿen vereinfachen:
~ 02 − (R
~ 0 + R)
~ 2 ) → Θ(R
~ 02 − R
~ 2)
Θ(R
(4.24)
Dies bedeutet, dass sich das angeregte Elektron immer innerhalb der Atomwolke
aufhält. Der Fall, dass ein Atom am Fallenrand angeregt wird und sich das angeregte
Elektron teilweise auÿerhalb des Kondensates aufhält, kann in dieser Näherung nicht
korrekt beschrieben werden.
Z
Mαγ
≈
Z
T ~0
~
~ 0 φ(R)χ
~ ? (R
~ 0 )Γ(|R
~ 0 |) µ − V (R + R)
dR
α
g
2
2
0
~
~
~
~
Θ(R0 − R )χγ (R )φ(R)
~
dR
(4.25)
Das Einführen von Kugelkoordinaten für die gestrichenen und die ungestrichenen
Koordinaten führt zu:
Z 1
Z 2π
Z ∞
Z 1
Z 2π
1Z ∞
dRR2
d cos θ
dφ
dR0 R02
d cos θ0
dφ0 φ(R, θ, φ)χ?α (R0 , θ0 , φ0 )
Mαγ =
g 0
−1
0
0
−1
0
M ω 2 02
Γ(R0 )(µ −
(R + R2 + 2RR0 sin θ sin θ0 (cos φ cos φ0 + sin φ sin φ0 )
(4.26)
2
+2RR0 cos θ cos θ0 ))Θ(R02 − R2 )χγ (R0 , θ0 , φ0 )φ(R, θ, φ)
50
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Die Schwerpunktswellenfunktion ist die auf eins normierte Wurzel der Dichtefunktion.
~ =
φ(R)
=
v
u
u ρ(R)
t ~
(4.27)
n
v
u
u µ − V T (R)
~
t
ng
Θ(R02 − R2 )
(4.28)
~ = Θ(R)
~ 2 ausnutzt, folgendene Matrix:
Damit ergibt sich, wenn man Θ(R)
Mαγ
Z 2π
Z 2π
Z ∞
Z 1
1 Z ∞ 0 02 Z 1
2
0
0
d cos θ
dφ
dRR
=
dR R
d cos θ
dφ
g 0
0
0
0
−1
−1
M ω 2 02
χ?α (R0 , θ0 , φ0 )Γ(R0 )χγ (R0 , θ0 , φ0 )(µ −
(R + R2
2
+2RR0 sin θ sin θ0 (cos φ cos φ0 + sin φ sin φ0 )
µ
M ω 2 R2
+2RR0 cos θ cos θ0 ))(
−
)Θ(R02 − R2 )
ng
2ng
(4.29)
Das Integral über eine Periode von sin φ und cos φ verschwindet, so dass sich folgende
Matrix ergibt:
Mαγ =
Z 2π
Z ∞
Z 1
2π Z ∞ 0 02 Z 1
dR R
d cos θ0
dφ0
dRR2
d cos θ
g 0
−1
0
0
−1
M ω 2 02
χ?α (R0 , θ0 , φ0 )Γ(R0 )χγ (R0 , θ0 , φ0 )(µ −
(R + R2
2
µ
M ω 2 R2
+2RR0 cos θ cos θ0 ))(
−
)Θ(R02 − R2 )
ng
2ng
(4.30)
Ausführen der Integration über cos θ führt zu:
Z ∞
Z 1
Z 2π
4π Z ∞
dRR2
dR0 R02
d cos θ0
dφ0 χ?α (R0 , θ0 , φ0 )Γ(R0 )χγ (R0 , θ0 , φ0 )
g 0
0
−1
0
M ω 2 02
µ
M ω 2 R2
(µ −
(R + R2 ))(
−
)Θ(R02 − R2 )
(4.31)
2
ng
2ng
Mαγ =
Einsetzen der Wasserstowellenfunktionen χn,l,m (R, θ, φ) = Rn,l (R)Yl,m (θ, φ) ergibt
für die Matrixelemente einer n-Mannigfaltigkeit:
0
0
n,l ,m
Mn,l,m
=
Z 2π
Z 1
Z ∞
4π Z ∞
?
(θ0 , φ0 )Yl0 ,m0 (θ0 , φ0 )
dφ0 Yl,m
d cos θ0
dR0 R02
dRR2
g 0
0
−1
0
M ω 2 02
Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l0 (R0 )(µ −
(R + R2 ))
2
M ω 2 R2
µ
−
)Θ(R02 − R2 )
(4.32)
(
ng
2ng
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
51
Da keine weiteren Terme mehr von φ0 und θ0 abhängen, lässt sich die Orthonormierung der Kugelächenfunktionen ausnutzen, so dass alle Nichtdiagonalelemente
verschwinden.
n,l,m
Mn,l,m
=
Z ∞
4π Z ∞
dRR2
dR0 R02 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
g 0
0
M ω 2 02
µ
M ω 2 R2
(µ −
(R + R2 ))(
−
)Θ(R02 − R2 )
2
ng
2ng
(4.33)
Aus der Normierung der Teilchenzahldichte folgt:
Z ∞
0
dRR2 (
µ
M ω 2 R2
1
−
)Θ(R02 − R2 ) =
ng
2ng
4π
(4.34)
Damit lässt sich die R Integration ausführen.
n,l,m
Mn,l,m
=
Z ∞
0
dR0 R02 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
M ω 2 R2
µ M ω 2 02 4π M ω 2 Z R0
µ
R −
−
))
( −
dRR4 (
g
2g
g 2
ng
2ng
0
=
Z ∞
0
(4.35)
dR0 R02 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
µ M ω 2 02 4π M ω 2 µR05 M ω 2 R07
( −
R −
(
−
)
(4.36)
g
2g
g 2 5ng
14ng
µ 4π M ω 2 µR05 M ω 2 R07 Z ∞ 0 02
= ( −
(
−
))
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
g
g 2 5ng
14ng
0
2 Z ∞
Mω
dR0 R04 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
(4.37)
−
2g 0
Ich stelle die Matrixelemente abhängig von chemischem Potenzial und der Fallenfrequenz dar. Wenn die Fallenfrequenz bei einem Experiment bekannt ist und man
die Energiezustände des Rydbergatoms mittels Spektroskopie bestimmen kann, lässt
sich dadurch das chemische Potenzial und damit die Teilchenzahl des Kondensates
berechnen.
n,l,m
Mn,l,m
Z ∞
µ M ω 2 6µ
)
dR0 R02 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
= ( −
g
2 7M ω 2 g 0
M ω 2 Z ∞ 0 04
−
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
2g 0
4µ Z ∞ 0 02
=
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
7g 0
M ω 2 Z ∞ 0 04
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
−
2g 0
(4.38)
(4.39)
52
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
µ[a.u.] ω[kHz]
10−14
1
10−13
1
−12
10
1
10−11
1
−10
10
1
−13
10
10
10−12
10
Teilchenzahl n
7
2, 14 · 103
6, 76 · 105
2, 14 · 108
6, 76 · 1010
2
6, 76 · 102
R0 [a.u.]
1, 46 · 104
4, 63 · 104
1, 46 · 105
4, 63 · 105
1, 46 · 106
4, 63 · 103
1, 46 · 104
µ[a.u.]
10−11
10−10
10−12
10−11
10−10
10−11
10−10
ω[kHz] Teilchenzahl n
10
2, 14 · 105
10
6, 76 · 107
50
5
50
1, 71 · 103
50
5, 41 · 105
100
2, 14 · 102
100
6, 76 · 104
R0 [a.u.]
4, 63 · 104
1, 46 · 105
2, 92 · 103
9, 26 · 103
2, 92 · 104
4, 63 · 103
1, 46 · 104
Tabelle 4.3: Teilchenzahl und Radius der Falle für verschiedene Fallenfrequenzen und
chemische Potenziale
M ist bereits diagonal, da das Fallenpotenzial rotationssymmetrisch ist, so dass l und
m erhalten sind und ich das Mischen von Zuständen mit unterschiedlicher Hauptquantenzahl n auf Grund der groÿen Energiedierenz dieser Zustände vernachlässigt
habe. Deshalb kann ich die Eigenwerte direkt ablesen.
Im Vergleich zum Fall des räumlich unendlich ausgedehnten Potenzialkastens tritt
ein zusätzlicher von der Fallenfrequenz abhängiger Summand auf, der zu einer kleineren Energieverschiebung führt. Auÿerdem ist der von der Fallenfrequenz unabhängige
Term um einen Faktor 4/7 kleiner. Damit ist der Grenzfall des homogenen Kondensates in diesen Betrachtungen nicht eingeschlossen, wie man auf den ersten Blick meinen
könnte, da für ω → 0 das Fallenpotenzial verschwindet. Dies liegt daran, dass beim
unendlich ausgedehnten Potenzialkasten das Potenzial sich nur auf der Skala der healing length am Rand bemerkbar macht. Dies ist nur eine lokale Störung in einem
beliebig kleinem Bereich. In dem Fall der harmonischen Falle wird die Form der Dichteverteilung jedoch für jedes endliche Fallenpotenzial global von diesem beeinusst.
Bevor man die Energieverschiebung (4.39) berechnen kann, muss man sich überzeugen, dass die gemachten Näherungen für die entsprechenden Werte von µ und ω gültig
sind, d.h. die Teilchenzahl muss hinreichend groÿ sein und der Radius der Falle muss
deutlich gröÿer sein als der Abstand des angeregten Elektrons vom Kern. Für letzteren gilt in etwa r = n2 . Die Teilchenzahl lässt sich mit Gleichung (4.21) und der
Fallenradius mit (4.20) berechnen. Aus Tabelle 4.3 lässt sich das minimale chemische Potenzial, das mit den Näherungen noch vereinbar ist, für jede Fallenfrequenz
entnehmen. Ich werde mich auf folgende Bereiche beschränken: Für µ ≤ 10−13 auf
ω ≤ 1kHz , für µ ≤ 10−12 auf ω ≤ 30kHz und für µ ≥ 10−12 auf ω ≤ 100kHz .
Abbildung 4.3 stellt die Abhängigkeit der Energieverschiebung des Rydbergzustandes ∆E R von der Drehimpulsquantenzahl l für eine Fallenfrequenz von ω = 1kHz
und µ = 10−12 a.u. dar. Für diese Parameter dominiert der erste Summand aus Gleichung (4.39) die Energieverschiebung für alle Zustände. Dieser stimmt aber bis auf den
Faktor 4/7 mit der zustandsabhängigen Energieverschiebung für den Fall des homogenen Kondensates überein. Deshalb ist der Verlauf der Energieverschiebung qualitativ
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
53
gleich wie im Fall des homogenen Kondensates und lässt sich auch analog zu diesem
erklären. Die Energieverschiebung ist negativ, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Elektrons in den betrachteten Zuständen in den Bereichen mit negativer Kopplungskonstante viel gröÿer ist als in den Bereichen mit positiver Kopplungskonstante.
Dies führt zu einer attraktiven Wechselwirkung zwischen dem angeregtem Elektron
und den Grundzustandsatomen. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons
mit kleinerem Drehimpuls ist in Abständen mit gröÿerer Kopplungskonstante gröÿer
als bei Zuständen mit gröÿerem Drehimpuls. Dies führt für Zustände mit geringerem
Drehimpuls zu einer betragsmäÿig gröÿeren Energieverschiebung.
Abbildung 4.4 stellt die Energieverschiebung des Rydbergzustandes ∆E R bei einer
Fallenfrequenz ω = 10kHz und µ = 10−12 a.u. dar. Hier erkennt man, dass der Betrag der Energieverschiebung für den n = 50 Zustand deutlich kleiner ist als es der
Fall war bei einer Fallenfrequenz von ω = 1kHz erfährt. Die Energieverschiebung für
den n = 40 Zustand ist ebenfalls etwas kleiner, während für den n = 30 und den
n = 20 Zustand keine Veränderung erkennbar ist. Dies liegt daran, dass der zweite
Summand aus Gleichung (4.39) schnell mit steigender Hauptquantenzahl wächst. Für
eine konstante Kopplungskonstante wäre er proportional zu dem Erwartungswert von
2
R2 hR2 i = n2 (5n2 + 1 − 3l(l + 1)) [21]. Deshalb ist er für Zustände mit groÿer Hauptquantenzahl bereits bedeutend für Zustände mit kleinerer Hauptquantenzahl jedoch
noch vernachlässigbar. Dies führt dazu, dass sich das Verhältnis der Energieverschiebung gegenüber dem homogene Fall des homogenen Kondensates ändert.
Abbildung 4.5 und Abbildung 4.6 zeigen die Abhängigkeit der Energieverschiebung
von der Hauptquantenzahl für ω = 1kHz bzw. ω = 10kHz . Der qualitative Verlauf ist
identisch mit dem entsprechendem Graphen für den Fall des homogenen Kondensates.
Für Hauptquantenzahlen n < 40 unterscheiden sich die Energieverschiebungen von
Abbildung 4.5 und Abbildung 4.6 nicht merklich. Die unterschiedliche Fallenfrequenz
ist wieder erst bei Zuständen mit gröÿerer Hauptquantenzahl deutlich.
54
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
-5e-10
n=20
n=30
n=40
n=50
-1e-09
-1.5e-09
∆ ER [a.u.]
-2e-09
-2.5e-09
-3e-09
-3.5e-09
-4e-09
-4.5e-09
-5e-09
-5.5e-09
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Drehimpulsquantenzahl l
Abbildung 4.3: Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Drehimpulsquantenzahl l für verschiedene Hauptquantenzahlen n bei ω = 1kHz und µ = 10−12 . Daraus
ergibt sich eine Teilchenzahl n ≈ 6, 76 · 105 .
-5e-10
n=20
n=30
n=40
n=50
-1e-09
-1.5e-09
∆ ER [a.u.]
-2e-09
-2.5e-09
-3e-09
-3.5e-09
-4e-09
-4.5e-09
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Drehimpulsquantenzahl l
Abbildung 4.4: Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Drehimpulsquantenzahl l für verschiedene Hauptquantenzahlen n bei ω = 10kHz und µ = 10−12 . Daraus
ergibt sich eine Teilchenzahl n ≈ 6, 76 · 102 .
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
55
-5e-10
l=20
l=30
l=40
-1e-09
-1.5e-09
∆ ER [a.u.]
-2e-09
-2.5e-09
-3e-09
-3.5e-09
-4e-09
-4.5e-09
-5e-09
20
25
30
35
40
45
50
Hauptquantenzahl n
Abbildung 4.5: Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Hauptquantenzahl n
für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen l bei ω = 1kHz und µ = 10−12 . Daraus
ergibt sich eine Teilchenzahl n ≈ 6, 76 · 105 .
-5e-10
l=20
l=30
l=40
-1e-09
-1.5e-09
∆ ER [a.u.]
-2e-09
-2.5e-09
-3e-09
-3.5e-09
-4e-09
-4.5e-09
20
25
30
35
40
45
50
Hauptquantenzahl n
Abbildung 4.6: Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Hauptquantenzahl n
für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen l bei ω = 10kHz und µ = 10−12 . Daraus
ergibt sich eine Teilchenzahl n ≈ 6, 76 · 102 .
56
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Im folgenden schaue ich mir die Abhängigkeit der Energieverschiebung für verschiedene Zustände von der Fallenfrequenz ω und vom chemischem Potenzial µ an. Die
Abbildung 4.7 stellt diese Abhängigkeit für die Zustände mit maximalem Drehimpuls
dar. Hier ist wieder zu erkennen, dass die Zustände mit höherer Hauptquantenzahl n
eine stärkere Abhängigkeit von der Fallenfrequenz haben. Man erkennt deutlich das
quadratische Ansteigen des Betrages der Energieverschiebung mit der Fallenfrequenz.
Die quadratische Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Fallenfrequenz kann
über die Abhängigkeit der Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome verstanden
werden (4.19). Wenn alle anderen Parameter festgehalten werden und nur die Fallenfrequenz erhöht wird, nimmt die Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome quadratisch ab. Diese Abnahme führt zu einer Abnahme der Energieverschiebung, die
durch die Wechselwirkung des angeregten Elektrons mit den Grundzustandsatomen
verursacht wird.
Abbildung 4.8 zeigt die Abhängigkeit des Betrages der Energieverschiebung |∆E R |
für die Zustände mit maximalem Drehimpuls auf einer doppeltlogarithmischen Skala vom chemischem Potenzial µ für ω = 1kHz . Für ω = 1kHz erkennt man für
alle Zustände eine lineare Abhängigkeit vom chemischem Potenzial. Diese lässt sich
wieder verstehen wenn man sich die Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome als
Funktion des chemischem Potenzials anschaut (4.19). Diese wächst linear mit dem
chemischem Potenzial.
-1.5e-09
n=30 l=29
n=40 l=39
n=50 l=49
∆ ER [a.u.]
-2e-09
-2.5e-09
-3e-09
-3.5e-09
0
5
10
15
20
25
30
ω [kHz]
Abbildung 4.7: Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Fallenfrequenz ω für
Zustände mit der Drehimpulsquantenzahl l = 29 für verschiedene Hauptquantenzahlen n bei µ = 10−12
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
57
1e-06
n=30 l=29
n=40 l=39
n=50 l=49
|∆ ER| [a.u.]
1e-07
1e-08
1e-09
1e-10
1e-13
1e-12
1e-11
1e-10
µ [a.u.]
Abbildung 4.8: Abhängigkeit der Energieverschiebung vom chemischem Potenzial für
verschiedene Hauptquantenzahlen n bei ω = 1kHz
58
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Die Abbildungen 4.9 - 4.10 zeigen die Abhängigkeit der Energieverschiebung von
der Fallenfrequenz bzw. vom chemischem Potenzial für den l = 29 und den l = 28
Zustand für verschiedene Hauptquantenzahlen. Innerhalb einer n-Mannigfaltigkeit
lässt sich aus diesen Graphen direkt der Energieunterschied für den entsprechenden
Übergang, der der Bedingung |∆l| = 1 genügt, ablesen. Für den Übergang zwischen
Zuständen mit unterschiedlichen Hauptquantenzahlen n1 und n2 muss noch zusätzlich der Energieunterschied der Bohr'schen Energieniveaus ∆Eel = 2n1 2 − 2n1 2 auf
2
1
Grund der unterschiedlichen Hauptquantenzahlen berücksichtigt werden. In Abbildung 4.11 habe ich exemplarisch die Energiedierenz der Verschiebungen des n = 30
l = 29 und der Verschiebung des n = 30 l = 28 als Funktion des chemischen Potenzials dargestellt. Anhand dieses Graphen lässt sich, wenn man den Energieunterschied
zwischen dem n = 30 l = 29 und n = 30 l = 28 Zustand bei einer Fallenfrequenz von
ω = 1kHz gemessen hat, das chemische Potenzial und damit die Anzahl der Grundzustandsatome bestimmen. Da der n = 30 Zustand für typische chemische Potenziale
nur geringfügig von der Fallenfrequenz abhängt, ist eine exakte Kenntnis der Fallenfrequenz nicht nötig, um gute Aussagen über die Teilchenzahl der Kondensatsatome
zu machen.
5e-10
n=30 l=29
n=30 l=28
n=40 l=29
n=40 l=28
n=50 l=29
n=50 l=28
0
-5e-10
∆ ER [a.u.]
-1e-09
-1.5e-09
-2e-09
-2.5e-09
-3e-09
-3.5e-09
-4e-09
-4.5e-09
0
5
10
15
20
25
30
ω [kHz]
Abbildung 4.9: Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Fallenfrequenz ω für
Zustände mit der Drehimpulsquantenzahl l = 29 für verschiedene Hauptquantenzahlen n bei µ = 10−12
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
59
1e-06
n=30 l=29
n=30 l=28
n=40 l=29
n=40 l=28
n=50 l=29
n=50 l=28
|∆ ER| [a.u.]
1e-07
1e-08
1e-09
1e-10
1e-13
1e-12
1e-11
1e-10
µ [a.u.]
Abbildung 4.10: Abhängigkeit der Energieverschiebung vom chemischem Potenzial
für verschiedene Hauptquantenzahlen n bei ω = 1kHz
1e-06
∆ERl=29 - ∆ERl=28 [a.u.]
1e-07
1e-08
1e-09
1e-10
1e-13
1e-12
1e-11
1e-10
µ [a.u.]
Abbildung 4.11: Abhängigkeit der Dierenz der Energieverschiebungen des n = 30
l = 29 und des n = 30 l = 28 vom chemischem Potenzial bei ω = 1kHz
60
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Im folgenden werde ich die Abhängigkeit des gesamten Drehimpulsspektrums für
den n = 30 und den n = 50 Fall vom chemischem Potenzial und der Fallenfrequenz
untersuchen. Zunächst werde ich die Abhängigkeit des Betrages der Energieverschiebung |∆E R | vom chemischem Potenzial betrachten. Abbildungen 4.12 und 4.13 stellen
diese für den n = 30 und den n = 50 Zustand für ω = 1kHz auf einer doppeltlogarithmischen Skala dar. Der qualitative Verlauf ist für den n = 30 und den n = 50
Zustand identisch. Die Energieverschiebung der Zustände wächst in beiden Fällen
für alle Drehimpulszustände linear mit steigendem chemischem Potenzial. Der lineare
Anstieg ergibt sich aus der linearen Abhängigkeit der Teilchenzahldichte vom chemischem Potenzial. Das Wachstum der Energieverschiebung für die einzelnen Zustände
ist unterschiedlich. Allerdings ist der Unterschied innerhalb einer n-Mannigfaltigkeit
klein.
1e-06
1e-07
|∆ ER| [a.u.]
l=0
1e-08
l=29
1e-09
1e-10
1e-13
1e-12
1e-11
1e-10
µ [a.u.]
Abbildung 4.12: Betrag der Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der
Hauptquantenzahl n = 30 für den Fall der isotropen harmonischen Falle bei ω = 1kHz
in Abhängigkeit vom chemischem Potenzial auf einer doppeltlogarithmischen Skala.
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
61
1e-06
1e-07
|∆ ER| [a.u.]
l=0
1e-08
l=49
1e-09
1e-10
1e-13
1e-12
1e-11
1e-10
µ [a.u.]
Abbildung 4.13: Betrag der Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der
Hauptquantenzahl n = 50 für den Fall der isotropen harmonischen Falle bei ω = 1kHz
in Abhängigkeit vom chemischem Potenzial auf einer doppeltlogarithmischen Skala.
62
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Jetzt betrachte ich die Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Fallenfrequenz für unterschiedliche, aber jeweils feste, chemische Potenziale. Die Abbildungen
4.14 und 4.15 stellen diese für den n = 30 Zustand dar. Der Betrag der Energieverschiebung nimmt quadratisch mit der Fallenfrequenz ab, was sich mit der quadratischen Abnahme der Teilchenzahldichte mit der Fallenfrequenz erklären lässt. Die
Steigung der einzelnen Parabeln ist zustandsabhängig. In Abbildung 4.15 erkennt
man, dass die Dierenz der Energieverschiebung für den n = 30 l = 29 Zustand für
ω = 1kHz und ω = 100kHz von der Gröÿenordnung ∆E ∼ 10−9 ist und deshalb erst
für µ < 10−11 von Bedeutung wird.
Die Abbildungen 4.16 bis 4.17 stellen die Abhängigkeit der Energieverschiebung von
der Fallenfrequenz für den n = 50 Zustand für verschiedene chemische Potenziale
dar. Der qualitative Verlauf stimmt mit dem Verlauf der Energieverschiebung für die
n = 30 Zustände überein. Die Energiedierenz zwischen dem Wert für ω = 1kHz
und ω = 100kHz für den l = 49 Zustand liegt in diesem Fall in der Gröÿenordnung
∆E ∼ 10−8 für den l = 49 Zustand. Also etwa eine Gröÿenordnungen über dem Wert
für den n = 30 Zustand. Der Grund liegt darin, dass der zweite Summand aus (4.39)
schnell mit der Hauptquantenzahl steigt. Auch für den n = 50 Fall ist die Steigung
der Zustände abhängig von ihrem Drehimpuls. Deshalb schneiden sie sich paarweise,
was jeweils zu einer Entartung der Energien zweier Drehimpulszustände führt. In der
Abbildung 4.17 scheint es, als ob alle Zustände mit unterschiedlichem Drehimpuls für
die selben Parameter entartet seien. Dies liegt aber nur an der Auösung der Graphen.
Wählt man in diesem Bereich eine kleinere Schrittweite, so sieht man, dass jeweils nur
zwei Energien entartet sind. Des Weiteren führt es dazu, dass es einen Bereich gibt, für
den der l = 0 Zustand eine betragsmäÿig kleinere Energieverschiebung erfährt als die
Zustände mit gröÿerem Drehimpuls. Dies liegt daran, dass in dem Bereich der zweite
Summand aus (4.39) dominiert. In Abbildung 4.17 betrachte ich nur Fallenfrequenzen
ω ≤ 70kHz . Für gröÿere Fallenfrequenzen wird die Energieverschiebung positiv. Dies
ist allerdings unphysikalisch und kommt davon, dass die Ausdehnung der Atomwolke
mit steigender Fallenfrequenz kleiner wird und das angeregte Elektron dann eine nicht
mehr zu vernachlässigende Aufenthaltswahrscheinlichkeit auÿerhalb der Atomwolke
hat. Dieser Fall kann aber auf Grund von Näherung (4.24) nicht korrekt beschrieben
werden.
4.2. ISOTROPE HARMONISCHE FALLE
63
-1.5e-07
l=29
l=29
-2e-07
∆ ER [a.u.]
-2.5e-07
-3e-07
-3.5e-07
-4e-07
l=0
l=0
-4.5e-07
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω[kHz]
Abbildung 4.14: Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der Hauptquantenzahl n = 30 für den Fall der isotropen harmonischen Falle bei µ = 10−10 in Abhängigkeit von der Fallenfrequenz.
-1.5e-08
l=29
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
l=0
-3.5e-08
-4e-08
l=0
-4.5e-08
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω[kHz]
Abbildung 4.15: Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der Hauptquantenzahl n = 30 für den Fall der isotropen harmonischen Falle bei µ = 10−11 in Abhängigkeit von der Fallenfrequenz.
64
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
-3.2e-07
l=49
-3.4e-07
l=49
-3.6e-07
-3.8e-07
∆ ER [a.u.]
-4e-07
-4.2e-07
-4.4e-07
l=0
-4.6e-07
-4.8e-07
-5e-07
-5.2e-07
l=0
-5.4e-07
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω[kHz]
Abbildung 4.16: Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der Hauptquantenzahl n = 50 für den Fall der isotropen harmonischen Falle bei µ = 10−10 in Abhängigkeit von der Fallenfrequenz.
-1e-08
l=0
-1.5e-08
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
l=49
-3e-08
l=49
-3.5e-08
-4e-08
-4.5e-08
-5e-08
l=0
-5.5e-08
0
10
20
30
40
50
60
70
ω[kHz]
Abbildung 4.17: Energieverschiebung des Rydbergzustandes mit der Hauptquantenzahl n = 50 für den Fall der isotropen harmonischen Falle bei µ = 10−11 in Abhängigkeit von der Fallenfrequenz.
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
65
4.3 Axialsymmetrische harmonische Falle
Als Nächstes Fallenpotenzial betrachte ich ein zylindrisches Fallenpotenzial der Form:
1
1
M ω 2 (x2 + y 2 ) + M Ω2 z 2
2
2
1
1
=
M ω 2 R2 sin2 θ + M Ω2 R2 cos2 θ
2
2
1
1
=
M ω 2 R2 + M R2 cos2 (θ)(Ω2 − ω 2 )
2
2
~ =
V T (R)
(4.40)
(4.41)
Das Potenzial ist für Ω 6= ω nicht kugelsymmetrisch, aber es ist noch zylindersymmetrisch bezüglich der z -Achse. Ich verwende in diesem Kapitel trotzdem Kugelkoordinaten, da die Wasserstowellenfunktionen in Kugelkoordinaten eine einfache
Form haben und die Wasserstowellenfunktionen den Zustandsraum, nämlich eine
n-Mannigfaltigkeit vollständig aufspannen. Mit dem Potenzial (4.41) ergibt sich für
die Dichteverteilung aus der Gross-Pitaevskii Gleichung (3.42):
ρ(R, θ) =
µ − V T (R, θ)
Θ(R02 (θ) − R2 )
g
(4.42)
~ 0 ) = µ erhält man die Ausdehnung des Kondensates.
Aus der Randbedingung V T (R
Der Radius des Kondensates hängt jetzt vom Azimutalwinkel ab.
2µ
M (Ω2 cos2 (θ) + ω 2 sin2 θ)
2µ
=
2
Ω
M ω 2 (1 + ( ω2 − 1) cos2 (θ))
R02 (θ) =
(4.43)
(4.44)
Aus dem Volumenintegral der Dichte erhält man die Teilchenzahl.
Z
n =
~ R)
~
dRρ(
Z R0 (cos θ)
³
1
2π Z 1
dRR2 µ − M ω 2 R2
d cos θ
=
g −1
2
0
´
1
− M R2 cos2 (θ)(Ω2 − ω 2 )
2
´
2π Z 1 ³ µR03 (x)
1
1
=
dx
− M ω 2 R05 (x) − M R05 (x)x2 (Ω2 − ω 2 ) (4.45)
g −1
3
10
10
3
2πµ 2µ 32 Z 1
1
=
dx(
(
)
)2
2
3g M ω 2
−1
1 + ( Ωω2 − 1)x2
5
π
2µ 52 Z 1
1
2
− Mω (
)
dx(
)2
2
Ω
2
2
5g
Mω
−1
1 + ( ω2 − 1)x
66
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
−
5
π
2µ 52 Z 1
1
2
dxx2 (
M (Ω2 − ω 2 )(
)
)
2
Ω
2
5g
Mω
−1
1 + ( ω2 − 1)x2
2πµ 2µ 32 2ω
π
2µ 25 2 ω 3 4 ω
2
(
)
−
M
ω
(
) ( 3+
)
3g M ω 2 Ω
5g
M ω2
3Ω
3Ω
π
2µ 52 2 ω 3
− M (Ω2 − ω 2 )(
)
5g
M ω 2 3 Ω3
2πµ 2µ 32 ³ 2ω
2ω 3
4ω
2 ω
2 ω3 ´
=
(
)
−
−
−
+
g M ω2
3Ω 15Ω3 15Ω 15 Ω 15 Ω3
8πµ 2µ 32 ω
=
(
)
(4.46)
15g M ω 2 Ω
Die Werte der Integrale in (4.45) sind im Anhang aufgeführt. Die Teilchenzahl ist
um den Faktor Ωω gegenüber dem Fall der isotropen Falle erhöht bzw. verringert, je
nachdem ob die longitudinale oder die axiale Fallenfrequenz gröÿer ist. Ich betrachte
wieder nur den zustandsabhängigen Teil der Matrix (3.53).
Z
Z
T ~0
~
γ
~
~ 0 φ(R)χ
~ ?α (R
~ 0 )Γ(|R
~ 0 |) µ − V (R + R)
Mα =
dR dR
g
2
0
2
0
~ + R)
~ )χγ (R
~ )φ(R)
~
Θ(R0 (θ) − (R
(4.47)
=
Hier lässt sich ganz analog zum Fall des isotropen Fallenpotenzials argumentieren. Die
~ 0 | viel gröÿer als die Ausdehnung des
Wasserstowellenfunktionen verschwinden für |R
Atoms, das sie beschreiben. Für n = 30 liegen die typischen Ausdehnungen eines
Atoms bei Rmax ∼ 0.05µm. Dies ist deutlich kleiner als eine typische Fallenausdehnung von R0 = 5µm. Des Weiteren verschwindet die Dichteverteilung für den Rand
der Falle. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit groÿ, dass ein Atom angeregt wird, das
sich so weit vom Fallenrand weg bendet, so dass sich das angeregte Elektron vollständig in der Falle bendet. Mit dieser Annahme lässt sich das Argument der Θ
~ 2 − (R
~ 0 + R)
~ 2 ) → Θ(R
~2 − R
~ 2 ).
Funktion aus (4.47) folgendermaÿen vereinfachen: Θ(R
0
0
Dies bedeutet, dass sich das angeregte Elektron immer innerhalb der Atomwolke aufhält. Der Fall, dass ein Atom am Fallenrand angeregt wird und sich das angeregte
Elektron teilweise auÿerhalb des Kondensates aufhält, kann in dieser Näherung nicht
korrekt beschrieben werden.
Z
Mαγ
≈
Z
T ~0
~
~ 0 )Γ(|R
~ 0 |) µ − V (R + R)
~ 0 φ(R)χ
~ ?α (R
dR
g
2
0
2
~ )χγ (R
~ )φ(R)
~
Θ(R (θ) − R
~
dR
0
(4.48)
~ +R
~ 0 lässt sich in Kugelkoordinaten folgendermaÿen
Das Fallenpotenzial am Ort R
darstellen:
2
~ +R
~ 0 ) = M ω (R02 sin θ02 + R2 sin θ2
V T (R
2
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
67
+2RR0 sin θ sin θ0 (cos φ cos φ0 + sin φ sin φ0 ))
M Ω2 02
+
(R cos θ02 + R2 cos θ2 + 2RR0 cos θ cos θ0 )
(4.49)
2
M ω 2 02
(R + R2 + 2RR0 sin θ sin θ0 (cos φ cos φ0 + sin φ sin φ0 ))
=
2
1
1
+ M cos2 θR2 (Ω2 − ω 2 ) + M cos2 θ0 R02 (Ω2 − ω 2 )
2
2
+M Ω2 RR0 cos θ cos θ0
(4.50)
Die Schwerpunktswellenfunktion ergibt sich wieder als die normierte Wurzel aus der
Dichtefunktion:
~ =
φ(R)
=
v
u
u ρ(R)
t ~
(4.51)
n
v
u
u µ − V T (R)
~
t
ng
Θ(R02 − R2 )
(4.52)
~ = Θ2 (R)
~ sowie (4.48) ergibt sich:
Aus der Relation Θ(R)
Z 1
Z 2π
Z ∞
Z 1
Z 2π
1Z ∞
γ
2
0 02
0
Mα =
dRR
d cos θ
dφ
dR R
d cos θ
dφ0
g 0
−1
0
0
−1
0
T ~
µ − V (R)
~ 2)
χ?α (R0 , θ0 , φ0 )Γ(R0 )χγ (R0 , θ0 , φ0 )
Θ(R02 (θ) − R
ng
M ω 2 02
(R + R2 + 2RR0 sin θ sin θ0 (cos φ cos φ0 + sin φ sin φ0 ))
(µ −
2
1
1
− M cos2 θR2 (Ω2 − ω 2 ) − M cos2 θ0 R02 (Ω2 − ω 2 )
2
2
2
0
0
−M Ω RR cos θ cos θ )
(4.53)
Für die R, θ, φ unabhängigen Summanden lässt sich die Normierung der Schwerpunktswellenfunktion ausnutzen.
Z 2π
1 Z ∞ 0 02 Z 1
0
γ
Mα =
dR R
d cos θ
dφ0 χ?α (R0 , θ0 , φ0 )Γ(R0 )χγ (R0 , θ0 , φ0 )
g 0
−1
0
Ã
2
M ω 02 1
µ−
R − M cos2 θ0 R02 (Ω2 − ω 2 )
2
2
Z 1
Z 2π
Z ∞
~
µ − V T (R)
2
~ 2)
d cos θ
dφ
+
dRR
Θ(R02 (θ) − R
ng
−1
0
0
³ M ω2
−
R2 − M ω 2 RR0 sin θ sin θ0 (cos φ cos φ0 + sin φ sin φ0 )
2
!
´
1
2
2
2
2
2
0
0
− M cos θR (Ω − ω ) − M Ω RR cos θ cos θ
(4.54)
2
68
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Ich betrachte zuerst nur die verbleibenden ungestrichenen Integrationen.
Z ∞
0
dRR
2
2
Z 1
−1
d cos θ
Z 2π
0
~
µ − V T (R)
~ 2)
dφ
Θ(R02 (θ) − R
ng
Mω 2
R − M ω 2 RR0 sin θ sin θ0 (cos φ cos φ0 + sin φ sin φ0 )
2
1
− M cos2 θR2 (Ω2 − ω 2 ) − M Ω2 RR0 cos θ cos θ0 )
(4.55)
2
Z R0 (cos θ)
Z 1
µ
1
1
dRR2 (
=
2π
d cos θ
−
M ω 2 R2 −
M R2 cos2 θ(Ω2 − ω 2 ))
ng 2ng
2ng
−1
0
M ω2 2 1
R − M cos2 θR2 (Ω2 − ω 2 ) − M Ω2 RR0 cos θ cos θ0 )
(4.56)
(−
2
2
M ω2 5
1
1
µ Z1
=
2π
dx(−
R0 (x) − M (Ω2 − ω 2 )x2 R05 (x) − M Ω2 cos θ0 R0 xR04 (x))
ng −1
10
10
4
Z 1
2 2
2
2
2 4
M ω (Ω − ω ) 2 7
M 2 (Ω2 − ω 2 )2 4 7
M ω 7
R0 (x) +
x R0 (x) +
x R0 (x)
+2π
dx(
28ng
14ng
28ng
−1
M 2 Ω2 ω 2 R0 cos θ0 6
M 2 Ω2 (Ω2 − ω 2 )R0 cos θ0 3 6
+
xR0 (x) +
x R0 (x))
(4.57)
12ng
12ng
µ M ω 2 2µ 25 2 ω 3 4 ω
=
−2π
(
) ( 3+
)
ng 10 M ω 2
3Ω
3Ω
2µ 52 2 ω 3
µ 1
M (Ω2 − ω 2 )(
)
−2π
ng 10
M ω 2 3 Ω3
M 2 ω 4 2µ 72 2 ω 5
8 ω 3 16 ω
+2π
(
)
+
+
)
(
28ng M ω 2
5 Ω5 15 Ω3 15 Ω
M 2 ω 2 (Ω2 − ω 2 ) 2µ 72 2 ω 5
4 ω3
+2π
(
)
(
+
)
14ng
M ω2
5 Ω5 15 Ω3
M 2 (Ω2 − ω 2 )2 2µ 72 2 ω 5
+2π
(
)
(4.58)
28ng
M ω 2 5 Ω5
2π µ2 2µ 32 2 ω 3 4 ω
= −
(
) ( 3+
)
5 ng M ω 2
3Ω
3Ω
2π µ2 Ω2 − ω 2 2µ 32 2 ω 3
(
)
−
5 ng ω 2
M ω 2 3 Ω3
2π µ2 2µ 32 2 ω 5
8 ω 3 16 ω
+
(
)
(
+
+
)
7 ng M ω 2
5 Ω5 15 Ω3 15 Ω
4π µ2 (Ω2 − ω 2 ) 2µ 32 2 ω 5
4 ω3
+
(
) ( 5+
)
7 ng
ω2
M ω2
5Ω
15 Ω3
2π µ2 (Ω2 − ω 2 )2 2µ 32 2 ω 5
(
)
(4.59)
+
7 ng
ω4
M ω 2 5 Ω5
(−
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
2π µ2 ω 2µ 32 ³ ω 2
ω 2 6 ω 4 8 ω 2 16
=
(
) −2 2 − 4 − 2 + 2 2 +
+
+
15 ng Ω M ω 2
Ω
Ω
7 Ω4 7 Ω2
7
2
4
2
2
4´
12 ω
8 8ω
6 12 ω
6ω
12 ω
+
−
+ −
+ −
+
2
4
2
2
7 Ω
7 Ω
7 7Ω
7
7 Ω
7 Ω4
µ 12
=
(− )
4
7
3
= − µ
7
69
(4.60)
(4.61)
(4.62)
In (4.57) habe ich die im Anhang angegebenen Integralrelationen verwendet. Setzt
man dieses Ergebnis in (4.54) ein, ergibt sich:
Mαγ
Z 2π
1 Z ∞ 0 02 Z 1
0
dφ0 χ?α (R0 , θ0 , φ0 )Γ(R0 )χγ (R0 , θ0 , φ0 )
=
d cos θ
dR R
g 0
0
−1
³
M ω 2 02 1
3 ´
µ−
R − M cos2 θ0 R02 (Ω2 − ω 2 ) − µ
(4.63)
2
2
7
Bevor ich die Matrixelemente berechne, betrachte ich erst noch die Symmetrien der
Matrix und die daraus resultierende Entartung des Energiespektrums. Hierfür fasse
~ 0 ) für die elektroniich (4.63) als Matrix auf, die aus einem eektivem Potenzial V (R
sche Bewegung resultiert.
³4 µ
~ 0 ) = Γ(R0 )
V (R
7g
−
´
M ω 2 02
1
R − M cos2 θ0 R02 (Ω2 − ω 2 )
2g
2g
(4.64)
Ich zeige, dass dieses mit dem Paritätsoperator bezüglich x0 nämlich Px0 und dem
Drehimpulsoperator bezüglich z 0 nämlich Lz0 kommutiert und dass Px0 und Lz0 antikommutieren. Damit lässt sich zeigen, dass die Energiezustände entartet sind [44].
Der Paritätsoperator Px0 bewirkt die Operation x0 → −x0 . Der Drehimpulsoperator
Lz0 ist folgendermaÿen deniert:
Lz0 = i(∂x0 y 0 − ∂ y0 x0 )
= i∂φ0
(4.65)
(4.66)
Anhand der kartesischen Darstellung (4.65) des Drehimpulsoperators sieht man sofort,
dass gilt:
Px0 Lz0 = iPx0 (∂x0 y 0 − ∂y 0 x0 )
= i(−∂x0 y 0 + ∂y 0 x0 )Px0
= −Lz0 Px0
(4.67)
Des Weiteren sieht man Anhand der Darstellung (4.66) sofort, dass
[H, Lz0 ] = 0
(4.68)
70
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
gilt, da H unabhängig von φ0 ist. Der Azimutalwinkel θ0 hängt, genau wie die radiale
Koordinate R0 , in kartesischen Koordinaten nur von x02 ab. Damit gilt:
[H, Px0 ] = 0
(4.69)
Zusammengefasst habe ich zwei Operatoren Px0 und Lz0 gefunden, für die gilt:
{Px0 , Lz0 } = 0
[H, Lz0 ] = 0
[H, Px0 ] = 0
(4.70)
(4.71)
(4.72)
Wenn jetzt |E, mi ein Energieeigenzustand und gleichzeitig ein Eigenzustand von Lz0
ist, mit
Lz0 |E, mi = m|E, mi
(4.73)
folgt aus (4.70):
Lz0 Px0 |E, mi =
=
=
=
−Px0 Lz0 |E, mi
−Px0 m|E, mi
−mPx0 |E, mi
−m|E, −mi
(4.74)
(4.75)
(4.76)
(4.77)
Deshalb sind |E, mi und Px0 |E, mi = |E, −mi zwei entartete Energieeigenzustände.
Das heisst ich erwarte eine zweifache Entartung aller Zustände mit m 6= 0.
Einsetzen der Wasserstowellenfunktionen χn,l,m (R0 , θ0 , φ0 ) = Rn,l (R0 )Yl,m (θ0 , φ0 ) in
(4.63) und Ausnutzen der Orthonormierung der Kugelächenfunktionen ergibt für
die Matrixelemente einer n-Mannigfaltigkeit:
0
0
n,l ,m
Mn,l,m
=
4 µ Z ∞ 0 02
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
7g 0
M ω 2 Z ∞ 0 04
−
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
2g 0
M (Ω2 − ω 2 ) Z ∞ 0 04
−
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
2g
0
Z 2π
0
dφ
0
Z 1
−1
?
d cos θ0 Yl,m
(θ0 , φ0 ) cos2 θ0 Yl0 ,m0 (θ0 , φ0 )
(4.78)
Das Mischen von Zuständen mit unterschiedlicher Hauptquantenzahl n, vernachlässige ich wieder, da auch hier der Energieunterschied der Zustände auf Grund der
unterschiedlichen Bohr'schen Energieniveaus groÿ ist im Vergleich zu Energieverschiebungen, die durch die Wechselwirkung des angeregten Elektrons mit dem Kondensat
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
71
hervorgerufen werden. Im Anhang habe ich gezeigt, dass gilt:
Z 2π
0
Z 1
?
(θ, φ)Yl0 ,m0 (θ, φ)
d cos θ cos2 θYl,m
−1
(l−m)(l+m)
+ (l−m+1)(l+m+1)
für
(2l+1)(2l−1)
(2l+1)(2l+3)
r
(l−m)(l−m−1)(l+m)(l+m−1)
für
(2l+1)(2l−1)2 (2l−3)
dφ









= r







(l+m+2)(l+m+1)(l−m+1)(l−m+2)
(2l+1)(2l+3)2 (2l+5)
für
l0 = l ∧ m0 = m
l0 = l − 2 ∧ m0 = m
0
0
l =l+2∧m =m
(4.79)
sonst
0
Damit ergeben sich folgende von Null verschiedene Matrixelemente:
n,l,m
Mn,l,m
=
4 µ Z ∞ 0 02
dR R Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
7g 0
M ω2 ³
(Ω2 − ω 2 ) (l − m)(l + m)
(l − m + 1)(l + m + 1) ´
−
1+
(
+
)
2g
ω2
(2l + 1)(2l − 1)
(2l + 1)(2l + 3)
Z ∞
0
n,l+2,m
Mn,l,m
dR0 R04 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
(4.80)
v
u
M (Ω − ω ) u
t (l + m + 2)(l + m + 1)(l − m + 1)(l − m + 2)
= −
2
2
Z ∞
0
n,l−2,m
Mn,l,m
2
2g
(2l + 1)(2l + 3) (2l + 5)
dR0 R04 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
(4.81)
v
u
M (Ω − ω ) u
t (l − m)(l − m − 1)(l + m)(l + m − 1)
= −
2
2
Z ∞
0
2g
2
(2l + 1)(2l − 1) (2l − 3)
dR0 R04 Rn,l (R0 )Γ(R0 )Rn,l (R0 )
(4.82)
Als Erstes kann man festhalten, dass die Matrix für den Fall eines axialsymmetrischen
Fallenpotenzials ω 6= Ω nicht diagonal ist. Damit sind die Wasserstowellenfunktionen
keine Eigenfunktionen des elektronischen Teils des Hamiltonoperators. Im Allgemeinen sind die elektronischen Eigenzustände eine Superposition von Wasserstowellenfunktionen mit unterschiedlichem Drehimpuls. Wenn die axiale und die longitudinale
Fallenfrequenz übereinstimmen, erhält man den Grenzfall der isotropen harmonischen
Falle (4.39), für den die Matrix diagonal ist. l ist also nur noch für den Fall, dass beide Fallenfrequenzen gleich oder zumindest ähnlich groÿ sind eine gute Quantenzahl
ansonsten mischen jeweils die Zustände mit geradem und ungeradem Drehimpuls untereinander. Wenn ich in Zukunft von dem Drehimpuls eines Zustandes spreche, meine ich den entsprechenden Drehimpuls im Falle des isotropen Potenzials. Für nicht
72
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
zu groÿe Dierenzen der axialen und longitudinalen Fallenfrequenz lassen sich die
Zustände noch einem Drehimpulszustand zuordnen, da der Entwicklungskoezient
einer Wasserstowellenfunktion dann viel gröÿer ist als die Entwicklungskoezienten
der übrigen Funktionen. Zustände mit unterschiedlicher magnetischer Quantenzahl
m mischen auf Grund der axialen Symmetrie bezüglich der z -Achse nicht, so dass
m weiterhin eine gute Quantenzahl ist. Die Entartung aller Zustände mit demselben
Drehimpuls und unterschiedlicher magnetischer Quantenzahl m ist aufgehoben. Es
sind noch Zustände mit betragsmäÿig gleichem m entartet. Also sind alle Zustände
bis auf Zustände mit m = 0 2-fach entartet. Zustände mit m = 0 sind nicht entartet.
Dies entspricht dem Ergebnis aus den Symmetrieüberlegungen.
Ich betrachte zuerst Zustände mit der Hauptquantenzahl n = 30. Des Weiteren lasse ich das chemische Potenzial fest bei µ = 10−11 . Dadurch ist gewährleistet, dass
ich die longitudinale und die axiale Fallenfrequenz jeweils im Bereich von 1kHz bis
100kHz variieren kann und sich immer ausreichend Teilchen in der Falle benden
und die Ausdehnung des Rydbergzustandes in jeder Dimension viel kleiner als die
Fallenausdehnung ist. Für den extremsten Fall Ω = ω = 100kHz ergibt sich noch eine Teilchenzahl von n = 2, 14 · 102 und ein Radius der Atomwolke von R0 = 4, 63 · 103 .
Abbildung 4.18 stellt die Energieverschiebung des Rydbergzustandes bei einer lon-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
l=0
-4.5e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.18: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−11
gitudinalen Fallenfrequenz von ω = 1kHz in Abhängigkeit von der axialen Fallenfrequenz Ω dar. Für Ω = 1kHz sind die Fallenfrequenzen gleich, so dass man den Fall
der isotropen harmonischen Falle erhält. Hier lässt sich jedem Zustand eindeutig ein
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
73
Drehimpuls zuordnen. Zustände mit kleinem Drehimpuls werden stärker verschoben
als Zustände mit groÿem Drehimpuls. Die Energiedierenz benachbarter Zustände
wächst mit steigendem Drehimpuls. So ist der Unterschied zwischen den Energieverschiebungen des l = 29 und l = 28 Zustandes ∆El=29 − ∆El=28 = 1, 09 · 10−9 und der
Unterschied der Energieverschiebung des l = 1 und l = 0 Zustandes ∆El=1 −∆El=0 =
6, 9·10−11 . Die Zustände mit unterschiedlicher magnetischer Quantenzahl m aber derselben Drehimpulsquantenzahl l sind entartet.
Für Ω > ω wird diese Entartung aufgehoben. Des Weiteren sind die Zustände mit unterschiedlichem Drehimpuls für kleine Drehimpulsquantenzahlen mit steigender axialer Fallenfrequenz nicht mehr energetisch separiert, wie in Abbildung 4.19 deutlich
wird, die die 28 betragsmäÿig gröÿten Eigenwerte als Funktion der axialen Fallenfrequenz darstellt. Die unterschiedlichen Drehimpulszustände mischen stark, so dass
l für groÿe Frequenzen Ω keine gute Quantenzahl mehr ist. Der l = 29 Zustand ist
-3.6e-08
-3.65e-08
-3.7e-08
∆ ER [a.u.]
-3.75e-08
-3.8e-08
-3.85e-08 l=7
-3.9e-08 l=6
-3.95e-08 l=5
l=4
-4e-08
-4.05e-08
l=0
-4.1e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.19: Abhängigkeit der betragsmäÿig gröÿten Eigenwerte der n = 30 Zustände von der axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−11
für Ω ≤ 100kHz weiterhin energetisch von den anderen Zuständen separiert, wie in
Abbildung 4.18 deutlich wird. Abbildung 4.20 stellt die 29 betragsmäÿig kleinsten
Eigenwerte in Abhängigkeit der axialen Fallenfrequenz dar. Man erkennt anhand des
Verlaufs der Energieverschiebung, dass es sich bei allen Eigenwerten um Eigenwerte
zu Zuständen mit demselben Drehimpuls handelt. Die Mischung mit anderen Zuständen ist gering. Deshalb kann in diesem Fall der Drehimpuls noch als gute Quantenzahl
angesehen werden. Ich werde mich auf den l = 29 Zustand konzentrieren, da für diesen
gewährleistet ist, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kernnähe verschwindet,
74
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
da er nicht mit Zuständen mit kleinem Drehimpuls mischt. Dadurch ist die Näherung erlaubt, dass die Wasserstowellenfunktionen Eigenfunktionen des ungestörten
intraatomaren Hamiltonoperators H e sind, die ich vorausgesetzt habe.
Abbildung 4.20 stellt den l = 29 Zustand in Abhängigkeit von Ω für ω = 1kHz dar,
-1.84e-08
-1.85e-08
m=0
-1.86e-08
∆ ER [a.u.]
-1.87e-08
-1.88e-08
-1.89e-08
-1.9e-08
-1.91e-08
-1.92e-08
l=29
-1.93e-08
m=29
-1.94e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.20: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 l = 29 Zustände
von der axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−11
während Abbildung 4.21 dieses für ω = 50kHz macht. Hier erkennt man, dass der
m = 29 Zustand nur wenig von Ω abhängt, während der m = 0 Zustand eine deutliche Abhängigkeit hat. Dies resultiert daher, dass die Zustände mit maximalem m
stark um die x-y -Ebene konzentriert sind, wo Ω keine Rolle spielt, da Ω nur für z 6= 0
beiträgt. Die Energieverschiebung des m = 0 Zustandes nimmt mit steigender axialer Fallenfrequenz ab. Dies lässt sich über die Abhängigkeit der Grundzustandsdichte
(4.40) von der axialen Fallenfrequenz verstehen. Die Dichte in z -Richtung nimmt mit
steigender axialen Fallenfrequenz ab. Deshalb nimmt der Betrag der Energieverschiebung für m = 0 Zustände, die um die z -Achse orientiert sind, ebenfalls ab. Für ω = Ω
sind die Zustände mit unterschiedlichem m entartet. Deshalb erfährt der m = 0 Zustand eine gröÿere Energieverschiebung für ω < Ω als der m = 29 Zustand und der
m = 29 Zustand eine gröÿere als der m = 0 für ω > Ω.
In Abbildung 4.22 und 4.23 ist die Abhängigkeit der Energieverschiebung für den
l = 29 Zustand von ω für Ω = 1kHz und Ω = 50kHz dargestellt. Der Betrag der
Energieverschiebung nimmt für alle Zustände quadratisch ab. Die Energie des m = 29
Zustandes hängt stärker von der longitudinalen Fallenfrequenz ab, als die Energie des
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
75
m = 0 Zustandes. Dies liegt daran, dass der m = 29 Zustand in der x-y -Ebene lokalisiert ist und die Grundzustandsdichte in der x-y -Ebene mit ω abnimmt.
Vergleicht man Abbildung 4.21 und Abbildung 4.23, erkennt man, dass eine Veränderung der axialen Fallenfrequenz von Ω = 1kHz zu Ω = 100kHz zu einer Veränderung
der Energieverschiebung der Gröÿenordnung ∆E R ∼ 10−10 führt, während dieselbe
Änderung der longitudinalen Fallenfrequenz zu einer Änderung der Energieverschiebung der Gröÿenordnung ∆E R ∼ 10−9 führt. Des Weiteren sieht man, dass alle
Zustände eine Variation der longitudinalen Fallenfrequenz spüren. Beides lässt sich
dadurch erklären, dass ω die Beschränkung in zwei Dimensionen beschreibt, während
Ω die Bewegung nur in einer Dimension beschränkt.
-1.84e-08
m=0
-1.85e-08
-1.86e-08
∆ ER [a.u.]
-1.87e-08
-1.88e-08
-1.89e-08
m=29
m=29
-1.9e-08
-1.91e-08
m=0
-1.92e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.21: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 l = 29 Zustände
von der axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 50kHz und µ = 10−11
76
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
-1.8e-08
m=29
-1.82e-08
-1.84e-08
∆ ER [a.u.]
-1.86e-08
-1.88e-08
m=0
-1.9e-08
-1.92e-08
-1.94e-08
l=29
-1.96e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω [kHz]
Abbildung 4.22: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 l = 29 Zustände
von der longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 1kHz und µ = 10−11
-1.78e-08
m=29
-1.8e-08
-1.82e-08
∆ ER [a.u.]
-1.84e-08
m=0
-1.86e-08
-1.88e-08
-1.9e-08
m=0
-1.92e-08
-1.94e-08 m=29
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω [kHz]
Abbildung 4.23: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 l = 29 Zustände
von der longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 50kHz und µ = 10−11
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
77
Die Abbildung 4.24 stellt die Abhängigkeit der Energieverschiebung des Rydbergzustandes von der axialen Fallenfrequenz Ω für ω = 100kHz dar. Man erkennt für
Ω = ω den Grenzfall der isotropen harmonischen Falle, bei dem alle Zustände mit
gleicher Drehimpulsquantenzahl entartet sind. Für Ω 6= ω wird diese Entartung aufgehoben. Die Abbildungen 4.25 und 4.26 stellen die Abhängigkeit der Energieverschiebung des Rydbergzustandes von der longitudinalen Fallenfrequenz ω für Ω = 1kHz
und Ω = 100kHz dar. Bei der Berechnung der Abbildungen 4.27 und 4.28 bin ich
-1.5e-08
l=29
∆ ER [a.u.]
-2e-08
-2.5e-08
-3e-08
l=0
-3.5e-08
-4e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.24: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 100kHz und µ = 10−11
von einem chemischem Potenzial von µ = 10−10 ausgegangen und habe die Energieverschiebung in Abhängigkeit der longitudinalen bzw. der axialen Fallenfrequenz
dargestellt. Die Energieverschiebung hängt in beiden Fällen nicht merklich von der
Fallenfrequenz ab und es lässt sich auf der Skala auch keine Aufhebung der Entartung
oder ein Mischen der Zustände erkennen. Die Energieverschiebung ist identisch mit
der entsprechenden des isotropen Kondensates, die in Abbildung 4.14 dargestellt ist.
Dies liegt daran, dass für µ = 10−10 der erste Summand aus 4.80, der nur vom chemischem Potenzial abhängt und identisch mit dem entsprechenden Summanden des
isotropen Kondensates ist, die Diagonalelemente des Hamiltonoperators dominiert.
Des Weiteren sind für µ = 10−10 die Diagonalelemente viel gröÿer als die Nichtdiagonalelemente, so dass letztere vernachlässigt werden können. Zusammengefasst bedeutet dies, dass die Energieverschiebung für groÿe chemische Potenziale für den Fall
des isotropen Kondensates und des axialsymmetrischen Kondensates näherungsweise
identisch sind.
78
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
l=0
-4.5e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω [kHz]
Abbildung 4.25: Abhängigkeit der Energieverschiebung des n = 30 Zustandes von der
longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 1kHz und µ = 10−11
-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
l=0
-3.5e-08
-4e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω [kHz]
Abbildung 4.26: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 100kHz und µ = 10−11
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
79
-1.5e-07
l=29
l=29
l=0
l=0
-2e-07
∆ ER [a.u.]
-2.5e-07
-3e-07
-3.5e-07
-4e-07
-4.5e-07
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω [kHz]
Abbildung 4.27: Abhängigkeit der Energieverschiebung des n = 30 Zustandes von der
longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 1kHz und µ = 10−10
-1.5e-07
l=29
l=29
l=0
l=0
-2e-07
∆ ER [a.u.]
-2.5e-07
-3e-07
-3.5e-07
-4e-07
-4.5e-07
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.28: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−10
80
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Die magnetische Quantenzahl m ist weiterhin eine gute Quantenzahl, weswegen
ich in den Abbildungen 4.29 - 4.32 die Abhängigkeit der Zustände von m dargestellt
habe. Die Abbildungen 4.29 und 4.30 stellen die Energieverschiebung für ω = 1kHz
und Ω = 10kHz bzw. ω = 10kHz und Ω = 1kHz dar. Den einzelnen Energieverschiebungen lässt sich noch eindeutig ein Drehimpulszustand zuordnen. Die Energieverschiebung hängt für alle Drehimpulszustände nur schwach von der magnetischen
Quantenzahl ab. Vergleicht man die Energieverschiebungen mit den entsprechenden
Werten der isotropen harmonischen Falle in Abbildung 4.15, erkennt man auf dieser Skala keinen Unterschied. Dies liegt daran, dass die Diagonalelemente der Matrix
(4.80) von dem ersten Summanden dominiert werden, der unabhängig von der Fallenfrequenz und der magnetischen Quantenzahl ist und die Nichtdiagonalelemente (4.81)
klein sind im Vergleich zu den Diagonalelementen.
Die Abbildungen 4.31 und 4.32 stellen die Energieverschiebung für ω = 1kHz und
Ω = 100kHz bzw. ω = 100kHz und Ω = 1kHz dar. Die betragsmäÿig kleinsten
Energieverschiebungen erfahren Zustände mit groÿem Drehimpuls. Diese Energieverschiebungen hängen nur schwach von der magnetischen Quantenzahl ab. Den betragsmäÿig gröÿeren Energieverschiebungen lässt sich kein Drehimpulsquantenzahl mehr
zuordnen.
-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
-4.5e-08
0
5
10
15
20
25
30
magnetische Quantenzahl m
Abbildung 4.29: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
magnetischen Quantenzahl für Ω = 10kHz und ω = 1kHz bei µ = 10−11
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
81
-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
-4.5e-08
0
5
10
15
20
25
30
magnetische Quantenzahl m
Abbildung 4.30: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
magnetischen Quantenzahl für Ω = 1kHz und ω = 10kHz bei µ = 10−11
-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
-4.5e-08
0
5
10
15
20
25
30
magnetische Quantenzahl m
Abbildung 4.31: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
magnetischen Quantenzahl für Ω = 100kHz und ω = 1kHz bei µ = 10−11
82
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
-1.5e-08
l=29
∆ ER [a.u.]
-2e-08
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
0
5
10
15
20
25
30
magnetische Quantenzahl m
Abbildung 4.32: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 Zustände von der
magnetischen Quantenzahl für Ω = 1kHz und ω = 100kHz bei µ = 10−11
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
83
In Abbildung 4.33 und Abbildung 4.34 habe ich die Abhängigkeit der Energieverschiebung von Zuständen mit m = 0 von der axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz
bzw. von der longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 1kHz dargestellt. Alle Drehimpulszustände besitzen einen m = 0 Zustand. Die m = 0 Zustände sind nicht entartet
für Ω 6= ω . Des Weiteren ist l keine gute Quantenzahl mehr für Ω 6= ω , so dass alle Zustände dieselbe Symmetrie haben. Nach Wigner und Neumann [45] kann dann
ein Zusammenfallen zweier Eigenwerte nicht durch Variation eines Parameters erreicht werden. Deswegen treten keine Kreuzungen der Energieverschiebungen in den
Abbildungen 4.33 und 4.34 auf. Es lassen sich stattdessen vermiedene Kreuzungen
erkennen.
-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
l=0
-4.5e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.33: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 m = 0 Zustände
von der axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−11
84
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
-1.5e-08
l=29
-2e-08
∆ ER [a.u.]
-2.5e-08
-3e-08
-3.5e-08
-4e-08
l=0
-4.5e-08
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ω [kHz]
Abbildung 4.34: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 30 m = 0 Zustände
von der longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 1kHz und µ = 10−11
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
85
Als Beispiel eines hochangeregten Zustandes betrachte ich noch den n = 50 Zustand. Hier wähle ich ein chemisches Potenzial von µ = 10−10 , damit die Ausdehnung
des Kondensates immer viel gröÿer als die Ausdehnung des Rydbergatoms ist. Abbildung 4.35 stellt die Abhängigkeit der Energieverschiebung aller Zustände von der
axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz dar. Für Ω = ω erhält man den Grenzfall
des isotropen Kondensates für den die Zustände mit gleicher Drehimpulsquantenzahl
entartet sind. Mit steigender axialer Fallenfrequenz Ω wird diese Entartung aufgehoben. Dies ist für den n = 50 Zustand im Gegensatz zum n = 30 Zustand bereits
bei einem chemischem Potenzial von µ = 10−10 zu beobachten. Für Ω > 60kHz ist
auch der l = 49 Zustand nicht mehr energetisch separiert. Dies wird auch in Abbildung 4.36 deutlich, die die 49 betragsmäÿig kleinsten Eigenwerte in Abhängigkeit
von der axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz zeigt. Man erkennt wieder, dass der
m = 49 Zustand näherungsweise unabhängig von der axialen Fallenfrequenz ist, da
er in der x-y -Ebene lokalisiert ist. Der Betrag der Energieverschiebung des m = 0
Zustandes nimmt quadratisch mit der Fallenfrequenz ab, da die Grundzustandsdichte
in z -Richtung ebenfalls quadratisch abnimmt und der m = 0 Zustand entlang der
z -Achse lokalisiert ist.
Abbildung 4.37 zeigt die Energieverschiebung aller Drehimpulszustände von der longitudinalen Fallenfrequenz ω für Ω = 1kHz . Hier ist der l = 49 Zustand noch energetisch separiert, da die Energieverschiebung jedes Zustandes von ω abhängt, wie sich im
folgenden zeigt. Abbildung 4.38 zeigt die Energieverschiebung der 49 betragsmäÿig
kleinsten Energieverschiebungen in Abhängigkeit von der longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 1kHz . Bei diesen handelt es sich um Zustände mit l = 49. Der
Betrag der Energieverschiebung nimmt für alle Zustände quadratisch ab, wobei die
Stärke der Abnahme der Energieverschiebung mit der magnetischen Quantenzahl m
des Zustandes zunimmt. Dies liegt daran, dass der m = 49 Zustand in der x-y -Ebene
lokalisiert ist und der m = 0 Zustand entlang der z -Achse.
86
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
-3.4e-07
l=49
-3.6e-07
-3.8e-07
∆ ER [a.u.]
-4e-07
-4.2e-07
-4.4e-07
-4.6e-07
-4.8e-07
-5e-07
-5.2e-07
l=0
-5.4e-07
0
20
40
60
80
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.35: Abhängigkeit der Energieverschiebung des n = 50 Zustandes von der
axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−10
-3.42e-07
-3.44e-07
-3.46e-07
∆ ER [a.u.]
-3.48e-07
-3.5e-07
m=0
-3.52e-07
l=49
-3.54e-07
m=49
-3.56e-07
-3.58e-07
-3.6e-07
0
20
40
60
80
100
Ω [kHz]
Abbildung 4.36: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 50 Zustände von der
axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−10
4.3. AXIALSYMMETRISCHE HARMONISCHE FALLE
87
-3.2e-07
-3.4e-07
l=49
-3.6e-07
-3.8e-07
∆ ER [a.u.]
-4e-07
-4.2e-07
-4.4e-07
-4.6e-07
-4.8e-07
-5e-07
-5.2e-07
l=0
-5.4e-07
0
20
40
60
80
100
ω [kHz]
Abbildung 4.37: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 50 Zustände von der
axialen Fallenfrequenz Ω bei ω = 1kHz und µ = 10−10
-3.35e-07
m=49
∆ ER [a.u.]
-3.4e-07
m=0
-3.45e-07
-3.5e-07
l=49
-3.55e-07
-3.6e-07
0
20
40
60
80
100
ω [kHz]
Abbildung 4.38: Abhängigkeit der Energieverschiebung der n = 50 Zustände von der
longitudinalen Fallenfrequenz ω bei Ω = 1kHz und µ = 10−10
88
KAPITEL 4. SPEKTRALE EIGENSCHAFTEN IN KONDENSATEN
Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
5.1 Zusammenfassung
In dieser Arbeit habe ich ein Rydbergatom in einem Bose-Einstein-Kondensat untersucht. Das Bose-Einstein-Kondensat führt zu einer Verschiebung der elektronischen
Energien der Rydbergzustände. Diese Energieverschiebung hängt von charakteristischen Parametern des Kondensates ab, so dass durch Messung der Energieverschiebung Aussagen über das Kondensat gemacht werden können.
Um diese Energieverschiebung zu bestimmen, bin ich von einem Vielteilchenhamiltonoperator in erster Quantisierung ausgegangen. Diesen konnte ich durch Feldoperatoren
darstellen, die ein Atom in einem bestimmten elektronischen Orbital beschreiben. Mit
Hilfe der Heisenberggleichung lässt sich für jeden Feldoperator eine Bewegungsgleichung ableiten. Diese Bewegungsgleichungen sind gekoppelt. Sie lassen sich jedoch
entkoppeln, wenn man die Rückwirkung des angeregten Atoms auf das Kondensat
vernachlässigt. Dies ist möglich, da ich davon ausgegangen bin, dass sich nur ein
Atom in einem angeregten Zustand bendet. Deshalb konnte ich ebenfalls den Feldoperator, der das angeregte Atom beschreibt, durch eine 1-Teilchen-Wellenfunktion
ersetzen. Des Weiteren bin ich davon ausgegangen, dass sich die Wechselwirkungen
durch Kontaktpotenziale beschreiben lassen. Für die Wechselwirkung zwischen den
Grundzustandsatomen und für die Wechselwirkung von einem Grundzustandsatom
mit dem Ion, des angeregten Atoms, bin ich von einer energieunabhängigen Kopplungskonstante ausgegangen. Dies ist möglich, da ich vorausgesetzt habe, dass es sich
um ultrakalte Atome handelt. Für die Streuung zwischen dem angeregten Elektron
und den Grundzustandsatomen habe ich für den Streuparameter eine Abhängigkeit
von der kinetischen Energie des Elektrons zugelassen. Für den Grundzustand konnte
ich mit diesen eektiven Potenzialen ein mittleres Feld einführen, das die Kondensatswellenfunktion beschreibt, unter der Annahme, dass alle Grundzustandsatome
kondensiert sind. Daraus ergibt sich die Gross-Pitaevskii Gleichung für den Grund89
90
KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
zustand. Aus dieser habe ich die Grundzustandsdichte berechnet, wobei ich die Gültigkeit der Thomas Fermi Näherung vorausgesetzt habe.
Ein Rydbergatom spürt innerhalb einer elektromagnetischen Falle ein kompliziertes
Fallenpotenzial, das die Schwerpunktskoordinate und die intraatomare Koordinate
koppelt. Dieses Problem konnte ich dadurch vermeiden, dass ich davon ausgegangen
bin, dass zuerst die Falle ausgeschaltet wird und im Anschluss erst ein Atom angeregt
wird. Dies ist möglich, da die Atomwolke aus Grundzustandsatomen ultrakalt ist und
sich deswegen auch bei ausgeschalteter Falle nur sehr langsam ausdehnt, so dass die
Ausdehnung auf der Zeitskala von elektronischen Anregungen vernachlässigt werden
kann. Aus diesem Grund bin ich auch davon ausgegangen, dass der Schwerpunktszustand von allen Atomen vor der Anregung gleich dem Zustand des Kondensates
ist. Welches Atom innerhalb der Wolke angeregt wird, bleibt unbestimmt. Auÿerdem
habe ich noch vorausgesetzt, dass sich der Schwerpunktszustand durch die Anregung
nicht ändert, so dass bei allen Atomen, inklusive des elektronisch angeregten Atoms,
die Schwerpunktswellenfunktion durch die Kondensatswellenfunktion gegeben ist. Dadurch lassen sich die stationären Zustände und ihre Energie berechnen. Hierbei habe
ich die elektronische Koordinate der Zustände nach den Wasserstowellenfunktionen
entwickelt.
Ich habe die Energieverschiebung für drei unterschiedliche Fallenpotenziale berechnet. Als Erstes habe ich mir einen räumlich unendlich ausgedehnten Potenzialkasten
als Fallenpotenzial angeschaut. Dies führt zu einer homogenen Dichteverteilung der
Grundzustandsatome. Aufgrund der Rotationssymmetrie der Falle ist der Hamiltonoperator schon diagonal, wenn man voraussetzt, dass Zustände mit unterschiedlicher
Hauptquantenzahl n nicht mischen. Deshalb sind die Wasserstowellenfunktionen Eigenfunktionen des elektronischen Teils des Hamiltonoperators. Die Energien setzen
sich zusammen aus einem Beitrag, der vom Rydbergzustand abhängt und einem Beitrag, der unabhängig vom Rydbergzustand ist. Ich habe nur den zustandsabhängigen
Beitrag betrachtet, da der zustandsunabhängige Term sich für Energieunterschiede
zwischen Rydbergzuständen weghebt. Es ergibt sich ein Energieunterschied zwischen
Rydbergzuständen, der von der Hauptquantenzahl und vom Drehimpuls der Rydbergzustände abhängt. Die Energieverschiebung ist, auf Grund der negativen Kopplungskonstanten der Wechselwirkung zwischen Atom und Elektron, negativ. Der Betrag der
Energieverschiebung eines Zustandes steigt mit fallender Drehimpulsquantenzahl und
steigender Hauptquantenzahl des Zustandes. Des Weiteren ist die Energieverschiebung proportional zur Dichte der Grundzustandsatome. Damit lässt sich, wenn man
den Energieunterschied zweier Zustände spektroskopisch bestimmt hat, die Grundzustandsdichte berechnen.
Als Nächstes Fallenpotenzial habe ich mir ein isotropes harmonisches Potenzial angeschaut. Dieses ist ebenfalls rotationssymmetrisch, so dass der Hamiltonoperator
diagonal ist und die Wasserstowellenfunktionen Eigenfunktionen des elektronischen
Teils des Hamiltonoperators sind. Zustände mit unterschiedlicher magnetischer Quan-
5.1. ZUSAMMENFASSUNG
91
tenzahl m, aber gleicher Drehimpulsquantenzahl l sind energetisch entartet. Die durch
die Wechselwirkung mit dem Kondensat hervorgerufene Energieverschiebung hängt
von der Hauptquantenzahl n und dem Drehimpuls l des Rydbergzustandes ab. Die
Energieverschiebung ist immer negativ, da die Kopplungskonstante für die Wechselwirkung des angeregten Elektrons mit den Grundzustandsatomen in den Bereichen,
wo sich das angeregte Elektron mit der gröÿten Wahrscheinlichkeit bendet, negativ
ist. Der Betrag der Energieverschiebung nimmt mit steigender Drehimpulsquantenzahl ab, da sich der Wert der maximalen Aufenthaltswahrscheinlichkeit für Elektronen
mit fallendem Drehimpuls vom Kern entfernt und der Betrag der Kopplungskonstante bei gröÿeren Abständen vom Kern gröÿer ist. Der Betrag der Energieverschiebung
wächst mit steigender Hauptquantenzahl n des Rydbergzustandes. Der Grund liegt
wieder in der gröÿeren Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in Gebieten mit
einer gröÿeren Kopplungskonstanten. Des Weiteren hängt die Energieverschiebung in
diesem Fall noch von der Fallenfrequenz und dem chemischem Potenzial und damit der
Teilchenzahl ab. Die Energieverschiebung nimmt quadratisch mit der Fallenfrequenz
ab, was an der quadratischen Abnahme der Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome liegt. Mit dem chemischem Potenzial nimmt die Energieverschiebung linear zu,
da dies auch für die Dichte der Grundzustandsatome gilt. Damit lässt sich also bei
bekannter Fallenfrequenz und bekanntem Energieunterschied zweier Rydbergzustände die Teilchenzahl des Kondensates bestimmen.
Als Letztes Fallenpotenzial habe ich mir ein axialsymmetrisches Potenzial angeschaut.
Dieses ist nicht rotationssymmetrisch und damit ist der Hamiltonoperator auch nicht
diagonal. Die elektronischen Eigenfunktion sind eine Superposition von Wasserstowellenfunktionen. Hierbei mischen Zustände mit geradem und ungeradem Drehimpuls. Das Potenzial ist rotationssymmetrisch bezüglich der z -Achse, so dass Zustände mit unterschiedlicher magnetischer Quantenzahl m nicht mischen. Das Ausmaÿ
der Mischung lässt sich über die Dierenz der longitudinalen und axialen Frequenz
einstellen. Des Weiteren ist die Entartung aller Zustände mit derselben Drehimpulsquantenzahl l aufgehoben. Es sind lediglich noch Zustände mit betragsmäÿig gleicher
magnetischer Quantenzahl m entartet. Dies führt zu einer 2-fach Entartung von Zuständen mit m 6= 0. Zuständen mit m = l sind annähernd unabhängig von der axialen Fallenfrequenz Ω, da diese um die x-y -Ebene lokalisiert sind. Für Zustände mit
m 6= l nimmt der Betrag der Energieverschiebung quadratisch mit der axialen Fallenfrequenz ab, da die Kondensatsdichte in z Richtung ebenfalls quadratisch mit der
axialen Fallenfrequenz abnimmt. Der Betrag der Energieverschiebung aller Zustände
nimmt quadratisch mit steigender longitudinaler Fallenfrequenz ω ab. Dies liegt an
der quadratischen Abnahme der Kondensatsdichte mit der Fallenfrequenz. Zustände
mit m = 0 sind um die z -Achse lokalisiert, weswegen sie eine geringere Abhängigkeit von der longitudinalen Fallenfrequenz haben als Zustände mit l = m. Zustände
mit der selben Symmetrie können sich bei der Variation eines Parameters nicht kreuzen, weswegen man bei der Untersuchung der Energieverschiebung von Zuständen
92
KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
mit derselben magnetischen Quantenzahl m vermiedene Kreuzungen beobachtet. Zustände, die im Grenzfall des isotropen Kondensates einen groÿen Drehimpuls haben,
vermischen sich bei Fallenfrequenzen ω < 100kHz und einem chemischem Potenzial
von µ ≥ 10−11 nur in geringem Maÿe mit anderen Drehimpulszuständen. Deswegen
kann der Quantendefekt für Zustände, die im isotropen Fall einen groÿen Drehimpuls
haben, weiterhin vernachlässigt werden. Durch die Abhängigkeit der Energieverschiebung von charakteristischen Parametern des Kondensates lässt sich auch in diesem
Fall durch spektroskopische Untersuchungen, Informationen über das Kondensat gewinnen.
5.2
Ausblick
Es gibt eine Vielzahl von weiteren interessanten Aspekten, die man sich im folgenden
noch anschauen kann. Das Naheliegendste ist, sich noch weitere Fallenpotenziale und
ihre Auswirkungen auf die Energieverschiebung anschauen. Interessant sind isotrope
harmonische Potenziale der Form V T = 21 M ω 2 R2m mit m > 1. Diese sind rotationssymmetrisch, so dass der Hamiltonoperator diagonal ist und die Eigenwerte sich
direkt ablesen lassen. Für m hinreichend groÿ und ω klein führt ein solches Potenzial
auf den Grenzfall des Potenzialkastens. Für gröÿere Fallenfrequenz erhält man eine
komplizierte Abhängigkeit der Energieverschiebung von der Fallenfrequenz. Ebenfalls
interessant ist ein double well Potenzial. Dieses kann zum Beispiel von der Form
V T = 8R1 2 M ω 2 (R2 − R02 )2 sein.
0
Des Weiteren kann man auch für die Dichte der Grundzustandsatome, die ich mit Hilfe der Thomas-Fermi Näherung berechnet habe, ein Gauÿ'sches Wellenpaket ansetzen
oder numerische Lösungen der Gross-Pitaevskii Gleichung verwenden. Interessant ist
auch die zeitabhängige Evolution der Grundzustandsdichte zu betrachten und die
Auswirkungen dieser auf die Energieverschiebung des Rydbergzustandes.
Ein anderer Aspekt ist, die Rückwirkung des angeregten Atoms auf das Kondensat
näher anzuschauen. Hierfür kann man die Lösungen für den elektronisch angeregten
Zustand, die man unter Vernachlässigung der Rückwirkung des angeregten Atoms
auf die Grundzustandsatome bekommen hat, in die entsprechende Gleichung für den
Grundzustand einsetzen und so das Ausmaÿ der Störung in erster Ordnung berechnen.
Anhang A
Atomare Einheiten
Zur numerischen Berechnung ist es sinnvoll ein Einheitensystem zu verwenden, in
dem viele Konstanten den Wert eins haben. Dies hat zum einen den Vorteil, dass
die Gleichungen übersichtlicher werden, zum anderen erhöht es auch die numerische
Stabilität. Ich habe in dieser Arbeit die so genannten atomaren Einheiten verwendet.
Die Umrechnung in SI Einheiten kann der folgenden Tabelle entnommen werden.
SI
ATOMIC UNITS
Masse
me = 9, 1093826(16) · 10 kg
1
4π²0 h̄2
−11
Länge
a0 = me e2 = 5, 291772108(18) · 10 m
1
−19
Ladung
e = 1, 60217653(14) · 10 C
1
−34
h̄ = 1, 05457168(18) · 10 Js
Wirkung
1
−18
Energie
Eh = 4, 35974417(75) · 10 J
1
h̄
−17
Zeit
s
1
Eh = 2, 418884326505(16) · 10
h̄
5
Temperatur
1
Eh = 3, 1577464(55) · 10 K
a0 Eh
6m
Geschwindigkeit
1
h̄ = 2.1876912633(73) · 10 s
93
−31
94
ANHANG A. ATOMARE EINHEITEN
Anhang B
Wasserstowellenfunktionen
B.1 Konstruktion
Als Basisfunktionen zur Beschreibung des intraatomaren Freiheitsgrades habe ich die
Wasserstowellenfunktionen gewählt, da diese für hochangeregte Hochdrehimpulszustände in guter Näherung Eigenfunktionen des intraatomaren Hamiltonoperators
eines Rydbergatoms sind. Die Konstruktion der Wasserstowellenfunktionen erfolgt
analog wie in [46] dargestellt. Die Wasserstowellenfunktionen lassen sich in Radial
und Winkelanteil aufspalten χn,l,m (R, θ, φ) = Rn,l (R)Yl,m (θ, φ). Für den Radialanteil
gilt:
2l+1 (n − l − 1)! 12
2r
r r
Rn,l (r) = 2 (
) exp(− )( )l L2l+1
)
(B.1)
n−l−1 (
n
(n + l)!
n n
n
mit den Laguerre Polynomen Lln (r). Für diese gilt die Rekursionsrelation:
rLln (r) = −(n + l)Lln−1 (r) + (2n + l + 1)Lln (r) − (n + 1)Lln+1 (r)
(B.2)
Bei der numerischen Auswertung ist es geschickter, den Quotienten aus den Fakultäten in (B.1) nicht direkt auszuwerten, sondern folgende Relation zu verwenden, da
dadurch groÿe Zahlen vermieden werden:
(
1
(n − l − 1)! 21
) = exp( (ln((n − l − 1)!) − ln((n + l)!)))
(n + l)!
2
(B.3)
Der Winkelanteil wird durch die Kugelächenfunktionen beschrieben, die sich folgendermaÿen erzeugen lassen:
v
u
u 2l + 1 (l − m)!
Plm (cos θ)eımφ
Ylm (θ, φ) = t
4π (l + m)!
95
(B.4)
96
ANHANG B. WASSERSTOFFWELLENFUNKTIONEN
Bei den Plm handelt es sich um die assoziierten Legendre Polynome, die sich mit der
Rekursionsrelation
(l − m)Pl,m (x) = (2l − 1)xPl−1,m (x) − (l + m − 1)Pl−2,m (x)
mit dem Startpunkt
l
Pl,l (x) = (2l − 1)!!(1 − x2 ) 2
(B.5)
(B.6)
stabil erzeugen lassen. Sie genügen der Orthogonalitätsrelation
Z 1
−1
B.2
dxPlm (x)Plm
0 (x) =
2 (l + m)!
δl,l0
2l + 1 (l − m)!
(B.7)
Matrixelement
Für die Legendre Polynome gilt laut Konstruktion:
(l + m − 1)
(l − m)
Pl−2,m (x) +
Pl,m (x)
2l − 1
2l − 1
(B.8)
(l + m)
(l − m + 1)
Pl−1,m (x) +
Pl+1,m (x)
2l + 1
2l + 1
(B.9)
xPl−1,m (x) =
xPl,m (x) =
Damit ergibt sich:
³ (l + m)
´
(l − m + 1) m
Pl+1 (x)
2l + 1
2l + 1
0
´
³ (l0 + m)
(l − m + 1) m
m
P
P
0 −1 (x) +
0 +1 (x)
l
l
2l0 + 1
2l0 + 1
0
(l + m) (l + m) m
m
=
P 0 (x)Pl−1
(x)
2l + 1 2l0 + 1 l −1
(l − m + 1) (l0 + m) m
m
+
P 0 (x)Pl+1
(x)
2l + 1
2l0 + 1 l −1
(l + m) (l0 − m + 1) m
m
(x)
+
Pl0 +1 (x)Pl−1
2l + 1
2l0 + 1
(l − m + 1) (l0 − m + 1) m
m
+
Pl0 +1 (x)Pl+1
(x)
2l + 1
2l0 + 1
Plm (x)x2 θPlm
=
0 (x)
m
Pl−1
(x) +
Damit lässt dich das folgende Integral ausrechnen:
Z 1
−1
=
d cos θ cos2 θPl,m (cos θ)Pl0 ,m (cos θ)
Z 1
−1
d cos θ
³ (l + m) (l0 + m)
2l + 1 2l0 + 1
m
Plm
0 −1 (cos θ)Pl−1 (cos θ)
(B.10)
(B.11)
B.2. MATRIXELEMENT
97
(l − m + 1) (l0 + m) m
m
Pl0 −1 (cos θ)Pl+1
(cos θ)
0
2l + 1
2l + 1
(l + m) (l0 − m + 1) m
m
Pl0 +1 (cos θ)Pl−1
(cos θ)
+
2l + 1
2l0 + 1
´
(l − m + 1) (l0 − m + 1) m
m
(B.12)
+
P
0 +1 (x)Pl+1 (x)
l
2l + 1
2l0 + 1
(l + m)2 2 (l + m − 1)!
(l − m + 1)2 2 (l + m + 1)!
0
=
+
δ
δl,l0
l,l
(2l + 1)2 2l − 1 (l − m − 1)!
(2l + 1)2 2l + 3 (l − m + 1)!
(l − m + 1) (l + m + 2) 2 (l + m + 1)!
+
δl,l0 −2
2l + 1
2l + 5 2l + 3 (l − m + 1)!
(l + m) (l − m − 1) 2 (l + m − 1)!
+
δl,l0 +2
(B.13)
2l + 1
2l − 3 2l − 1 (l − m − 1)!
+
Und damit das folgende Matrixelement der Kugelächenfunktionen:
Z 2π
0
Z 1
dφ
−1
?
d cos θ cos2 θYl,m
(θ, φ)Yl0 ,m0 (θ, φ)
v
u
u 2l + 1 (l − m)! 2l0 + 1 (l0 − m0 )!
t
0
= 2πδm,m
Z 1
−1
4π (l + m)!
4π
(B.14)
(l0 + m0 )!
d cos θ cos2 θPl,m (cos θ)Pl0 ,m (cos θ)
v
u
u
(l − m)! 0
(l0 − m0 )!
0
(2l + 1) 0
= δm,m t(2l + 1)
0
(l + m)!
(B.15)
(l + m )!
³ (l + m)2
1 (l + m − 1)!
(l − m + 1)2 1 (l + m + 1)!
0
δ
δl,l0
+
l,l
(2l + 1)2 2l − 1 (l − m − 1)!
(2l + 1)2 2l + 3 (l − m + 1)!
(l − m + 1) (l + m + 2) 1 (l + m + 1)!
+
δl,l0 −2
2l + 1
2l + 5 2l + 3 (l − m + 1)!
´
(l + m) (l − m − 1) 1 (l + m − 1)!
+
δl,l0 +2
(B.16)
2l + 1
2l − 3 2l − 1 (l − m − 1)!
=

















(l−m)(l+m)
+ (l−m+1)(l+m+1)
(2l+1)(2l−1)
(2l+1)(2l+3)
r
(l−m)(l−m−1)(l+m)(l+m−1)
(2l+1)(2l−1)2 (2l−3)
r
(l+m+2)(l+m+1)(l−m+1)(l−m+2)
(2l+1)(2l+3)2 (2l+5)
0
für
l 0 = l ∧ m0 = m
für
l 0 = l − 2 ∧ m0 = m
für
sonst
0
0
l =l+2∧m =m
(B.17)
98
ANHANG B. WASSERSTOFFWELLENFUNKTIONEN
Anhang C
Integrale
Folgende Integralrelationen gelten [47]:
Z 1
−1
dx
1
(1 + (
Ω2
ω2
− 1)x2 ))
3
2
=
h
x
q
2
1 + ( Ωω2 − 1)x2
i1
−1
ω
Ω
h x(3 + 2( Ω22 − 1)x2 ) i1
ω
= 2
Z 1
−1
Z 1
−1
Z 1
−1
Z 1
−1
Z 1
−1
dx
dx
dxx2
dxx2
dxx4
1
(1 +
2
( Ωω2
5
− 1)x2 ) 2
1
(1 +
2
( Ωω2
7
− 1)x2 ) 2
1
(1 + (
Ω2
ω2
5
− 1)x2 ) 2
1
(1 + (
Ω2
ω2
7
− 1)x2 ) 2
1
(1 +
2
( Ωω2
7
− 1)x2 ) 2
=
2
3
3(1 + ( Ωω2 − 1)x2 ) 2 −1
2 ω3 4 ω
=
+
3 Ω3 3 Ω
h x(15 + 20( Ω22 − 1)x2 + 8( Ω22 − 1)x4 ) i1
ω
ω
=
5
Ω2
2
−1
15(1 + ( ω2 − 1)x ) 2
2 ω5
8 ω 3 16 ω
=
+
+
5 Ω5 15 Ω3 15 Ω
h
i1
x3
=
3
2
3(1 + ( Ωω2 − 1)x2 ) 2 −1
2 ω3
=
3 Ω3
h x3 (5 + 2( Ω22 − 1)x2 ) i1
ω
=
5
Ω2
15(1 + ( ω2 − 1)x2 ) 2 −1
2 ω5
4 ω3
=
+
5 Ω5 15 Ω3
i1
h
x5
=
5
2
5(1 + ( Ωω2 − 1)x2 ) 2 −1
99
(C.1)
(C.2)
(C.3)
(C.4)
(C.5)
100
ANHANG C. INTEGRALE
Z 1
2 ω5
=
5 Ω5
1
= 0
−1
(1 +
− 1)x2 )2
Z 1
1
dxx
= 0
Ω2
−1
(1 + ( ω2 − 1)x2 )3
Z 1
1
dxx3
= 0
Ω2
−1
(1 + ( ω2 − 1)x2 )3
dxx
2
( Ωω2
(C.6)
(C.7)
(C.8)
(C.9)
Das verschwinden der letzten drei Integrale ergibt sich direkt aus der Achsensymmetrie der Integranden.
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen bedanken, die zum erfolgreichen Gelingen
dieser Arbeit beigetragen haben. An erster Stelle ist hier mein Betreuer Prof. Peter
Schmelcher zu nennen. Er überlieÿ mir diese interessante Themenstellung und lieÿ mir
Freiheiten bei ihrer Bearbeitung. Ich konnte jederzeit mit Fragen zu ihm kommen und
er half mir in vielen Diskussionen weiter, die alle in einer freundlichen Atmosphäre
verliefen. Während dieser ging er jederzeit auch auf Vorschläge meinerseits ein. Sein
Hinterfragen jedes Zwischenschrittes bewahrte mich vor vielen Fehlern.
Des Weiteren möchte ich Dr. Igor Lesanovsky danken für viele hilfreiche Ideen und
dafür, dass er sich immmer Zeit nahm, Fragen zu beantworten.
Herrn Prof. Schirmer danke ich für die Bereitschaft das Zweitgutachten zu erstellen.
Auÿerdem danke ich noch den Gruppenmitgliedern, zu denen ich jederzeit mit Fragen
kommen konnte.
Zum Schluss möchte ich noch meinen Eltern danken, die mich immer unterstützt
haben.
101
Literaturverzeichnis
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(Academic Press 1994)
Erlärung:
Ich versichere, dass ich diese Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die
angegeben Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Heidelberg, den 28.11.2006