Physik im Querschnitt – Theoretische Physik (vertieft)

Physik im Querschnitt – Theoretische Physik (vertieft)
Übungsblatt 5
SS 2017
Yakovlev / Nubbemeyer
24.5.2017
Aufgabe 12: Harmonischer Oszillator im elektrischen Feld
𝑝2
̂0 =
Der Hamiltonoperator des eindimensionalen Oszillators 𝐻
+
2𝑚
𝑚
2
𝜔2 𝑥̂ 2 mit Masse m und
Kreisfrequenz ω kann durch Einführung von Stufenoperatoren
1 𝑥̂
𝑝̂
1 𝑥̂
𝑝̂
𝑎̂ =
( + 𝑖 ), 𝑎̂+ =
( −𝑖 )
𝑝0
𝑝0
√2 𝑥0
√2 𝑥0
ℏ
mit 𝑥0 = √
𝑚𝜔
̂0 = ℏ𝜔 (𝑎̂+ 𝑎̂ + 1) transformiert werden, wobei die
und 𝑝0 = √ℏ𝑚𝜔 auf die Form 𝐻
2
+]
Stufenoperatoren die Vertauschungsrelation [𝑎̂, 𝑎̂ = 1 erfüllen.
̂0 zu dem Eigenwert
Es bezeichne |n> den normierten Eigenzustand von 𝐻
1
𝐸𝑛 = ℏ𝜔 (𝑛 + 2) , 𝑛 = 0,1,2,3, …
a) Zeigen Sie, dass 𝑎̂|𝑛⟩ = √𝑛 |𝑛 − 1⟩ und 𝑎̂ + |𝑛⟩ = √𝑛 + 1 |𝑛 + 1⟩ gilt.
̂0 sind und
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass 𝑎̂|𝑛⟩ und 𝑎̂+ |𝑛⟩ wieder Eigenvektoren von 𝐻
berechnen Sie die zugehörigen Eigenwerte.
(9 Punkte)
b) Drücken Sie die Operatoren 𝑥̂, 𝑝̂ , 𝑥̂ 2 und 𝑝̂ 2 durch 𝑎̂ und 𝑎̂+ aus und berechnen Sie die
dazugehörigen Erwartungswerte im Grundzustand |0>.
(8 Punkte)
c) Zeigen Sie uner Benutzung der in Teilaufgabe b) erhaltenen Ergebnisse, dass das Produkt
∆𝑥∆𝑝 der „Unschärfen“ der Observablen Ort 𝑥̂ und Impuls 𝑝̂ im Grundzustand minimal ist im
Sinne der Heisenbergschen Unschärferelation.
(4 Punkte)
Wird der harmonische Oszillator einem konstanten elektrischen Feld E ausgesetzt, so lautet der
entsprechende Hamiltonoperator
2
̂=𝐻
̂0 − 𝑞𝐸𝑥̂ = 𝑝̂ + 𝑚 𝜔2 𝑥̂ 2 − 𝑞𝐸𝑥̂
𝐻
2𝑚
2
d) In der Störungstheorie erster Ordnung ist die Energieverschiebung durch das elektrische Feld
̂ |𝑛⟩ − ⟨𝑛|𝐻
̂0 |𝑛⟩ bestimmt. Zeigen Sie, dass die Energieverschiebung
durch ∆𝐸 (1) 𝑛 = ⟨𝑛|𝐻
∆𝐸 (1) 𝑛 nicht vom elektrischen Feld abhängt.
(4 Punkte)
Aufgabe 13: Zeeman-Effekt, Diamagnetismus
⃗ = 𝐵𝑒𝑧 . Mit dem zugehörigen
Betrachten Sie ein Wasserstoff-Atom in einem externen Magnetfeld 𝐵
⃗ =∇
⃗ × 𝐴 ist der Hamilton-Operator durch
Vektorpotential A mit 𝐵
2
𝐻=
(𝑝 − 𝑒𝐴(𝑟))
2𝑚𝑒𝑙
−
𝑒2
4𝜋𝜖0 𝑟
⃗ als Impulsoperator.
gegeben, mit 𝑝 = −𝑖ℏ∇
𝑦
𝑥
a) Zeigen Sie, dass das Vektorpotential 𝐴𝑥 = −𝐵 2 , 𝐴𝑦 = 𝐵 2 , 𝐴𝑧 = 0 zum angegebenen
Magnetfeld führt und die Eigenschaft 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = 0 besitzt.
(3 Punkte)
b) Beweisen Sie, dass ein Vektorpotential mit 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = 0 mit dem Impulsoperator vertauscht,
d.h. dass dafür 𝑝 ⋅ 𝐴 = 𝐴 ⋅ 𝑝 gilt.
(3 Punkte)
⃗ ⋅ 𝐴)𝜓 für eine beliebige skalare Funktion 𝜓(𝑟).
Hinweis: Verwenden Sie ⃗∇ ⋅ (𝐴𝜓) = 𝐴 ⋅ ⃗∇𝜓 + (∇
c) Schreiben Sie den Hamilton-Operator in der Form H = H0 +H‘, wobei H0 der Hamilton-Operator
des Wasserstoff-Atoms ohne Magnetfeld ist, und drücken Sie die durch das Magnetfeld
verursachte Störung H‘ durch den Drehimpulsoperator Lz und r2 sin2 ϑ aus.
(5 Punkte)
Hinweis: Der Winkel ϑ ist durch die üblichen Kugelkoordinaten definiert, also z = r cos ϑ. Es ist
hilfreich, die klassische Zyklotronfrequenz ωc = eB/mel einzuführen.
Ergebnis zur Kontrolle: 𝐻 = 𝐻0 +
𝜔𝐶
2
𝐿𝑧 +
𝑚𝑒𝑙
8
𝜔𝑐2 𝑟 2 sin2 𝜃
d) Berechnen Sie den Erwartungswert ⟨𝑛𝑙𝑚|𝐻 ′ |𝑛𝑙𝑚⟩ des im Magnetfeld linearen Terms der
Störung in den bekannten Eigenzuständen mit Vektoren |nlm> des freien Wasserstoff-Atoms,
und bestimmen Sie daraus die Zeeman-Aufspaltung der atomaren Niveaus linear im
Magnetfeld. Gibt es bei B ≠ 0 noch eine Entartung?
(5 Punkte)
e) Betrachten Sie nun Zustände mit m = 0, fur die der Term proportional zu Lz in H‘ bei der
Berechnung der Änderung der Energie keinen Beitrag liefert. Der verbleibende Beitrag zu H‘
ergibt eine Energieverschiebung der Zustände mit m = 0 von der Form
1 χ
𝐸(𝐵) = 𝐸(𝐵 = 0) − 2 μ 𝐵 2
0
Drücken Sie die dadurch definierte magnetische Suszeptibilität χ durch den Erwartungswert
von r2 sin2 ϑ aus, und verifizieren Sie, dass Zustände mit m = 0 immer diamagnetisches
Verhalten haben, also χ negativ ist (χ < 0).
(3 Punkte)
f) Berechnen Sie χ konkret für die sogenannten Rydberg-Niveaus mit l = n − 1. Zeigen Sie, dass
dafür im Limes 𝑛2 ≫ 𝛼 −1 ≈ 137 die Suszeptibilität gegenüber ihrem „natürlichen“ Wert
|𝜒| ≅ 𝛼 2 𝑎𝐵3 um einen Faktor der Ordnung n4 vergrössert wird.
(6 Punkte)
Hinweis: Verwenden Sie e2/mel = (4π/µ0) α2aB mit dem Bohr-Radius aB und die Form
Rn,l =n−1(r) ∼ rn−1 exp(−r/naB)
der radialen Wellenfunktionen bei l = n − 1 für die Berechnung von <r2> mit den Integralen
∞
∫0 𝑥 𝑘 exp(−𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘! . Der entsprechende Erwartungswert von sin2 ϑ ist
2(𝑙 2 + 𝑙 − 1)
2
⟨𝑙, 𝑚 = 0|sin 𝜃|𝑙, 𝑚 = 0⟩ =
(2𝑙 − 1)(2𝑙 + 3)