berechenbar

Kapitel 2.
Berechenbarkeitstheorie
2.1 Intuitiver Berechenbarkeitsbegriff und
Churchsche These
Eine (partielle) Funktion f : Nk → N wird als
berechenbar angesehen, wenn es einen
“Algorithmus” gibt, der f berechnet:
Bei Eingabe (n1, . . . , nk ) ∈ Nk stoppt der
Algorithmus nach endlich vielen Schritten mit der
Ausgabe f (n1, . . . , nk ).
Ist f (n1, . . . , nk ) undefiniert, so stoppt der
Algorithmus bei Eingabe (n1, . . . , nk ) nicht.
124
Beispiel 1:
INPUT(n);
REPEAT UNTIL FALSE;
Dieser Algorithmus berechnet die total undefinierte
Funktion Ω : n 7→ “undefiniert”.
Beispiel 2:


 1 falls n ein Anfangsabschnitt der
Dezimalbruchentwicklung von π ist
f (n) =


0 sonst
ist berechenbar.
Beispiel 3:


 1 falls n in der Dezimalbruchentwicklung
von π vorkommt
g(n) =


0 sonst
ist möglicherweise nicht berechenbar.
125
Beispiel 4:


1 falls n in der Dezimalbruchentwicklung




von π irgendwo mindestens n-mal
h(n) =

hintereinander eine 7 vorkommt



 0 sonst
ist berechenbar, denn:
1. Fall: In der Dezimalbruchentwicklung von π
treten beliebig lange 7-er Folgen auf.
Dann: h(n) = 1 für alle n.
2. Fall: Es gibt eine Zahl n0, sodass die längste
7-er Folge die Länge n0 hat.
Dann: h(n) =
(
1 falls 0 ≤ n ≤ n0
0 falls n > n0.
Problem: Wir wissen nicht, welcher dieser Fälle gilt.
126
Eine reelle Zahl r ist effektiv approximierbar , wenn
die folgende Funktion fr berechenbar ist:
fr (n) =


 1 falls n ein Anfangsabschnitt der


Dezimalbruchentwicklung von r ist
0 sonst
R ist überabzählbar, d.h. nicht alle reellen Zahlen
sind effektiv approximierbar.
Aber : alle rationalen Zahlen sind effektiv
approximierbar.
127
Formalisierungen des intuitiven
Berechenbarkeitsbegriffs:
- Turingmaschinen∗
- Random Access Maschinen
- WHILE-Programme∗
- LOOP-Programme∗
- µ-rekursive Funktionen∗
- λ-definierbare Funktionen
- Postsche Systeme
-...
Churchsche These
Die durch die formale Definition der Turing-Berechenbarkeit
erfasste Klasse von Funktionen stimmt mit der Klasse
der im intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen
überein.
128
2.2 Turing-Berechenbarkeit
Stift
@
@
a
a
b
c
b
b
b
c
Lese-/Schreibkopf
endliche
@
@
@
Mensch
Kontrolle
Rechenblatt
Turingmaschine
Definition
Eine Funktion f : Σ∗ → Σ∗ heißt Turing-berechenbar ,
wenn es eine (deterministische) Turingmaschine M
gibt, sodass für alle x, y ∈ Σ∗ gilt:
f (x) = y gdw. z0x ⊢∗M 2 . . . 2zey2 . . . 2 (ze ∈ E).
129
Definition
Eine Funktion f : Nk → N heißt Turing-berechenbar ,
wenn es eine (deterministische) Turingmaschine M
gibt, sodass für alle n1, . . . , nk , m ∈ N gilt:
f (n1, . . . , nk ) = m gdw.
z0bin(n1)#bin(n2)# . . . #bin(nk )
⊢∗M 2 . . . 2zebin(m)2 . . . 2
(ze ∈ E).
130
Beispiel:
Die Funktion n 7→ n + 1 ist TM-berechenbar.
Bezeichnung: Band := Band+1
Beispiel:
Die überall undefinierte Funktion Ω ist TM-berechenbar:
δ(z0, a) = (z0, a, R) f.a. a ∈ Γ.
Beispiel:
Sei A ⊆ Σ∗. Definiere χ′A : Σ∗ → {0, 1}:
χ′A(w) =
(
1,
falls w ∈ A,
undefiniert, falls w 6∈ A.
A ist vom Typ 0 gdw. χ′A ist TM-berechenbar.
131
Eine Mehrband-Turingmaschine mit k ≥ 1 Bändern:
...
a1
a2 a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10 . . .
...
b1
b2 b3
b4
b5
b6
b7
b8
b9
b10 . . .
...
c1
c2 c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10 . . .
endliche
Kontrolle
δ : Z × Γk → Z × Γk × {L, R, N }k
Satz
Zu jeder Mehrband-TM M gibt es eine
(Einband-)TM M ′ mit T (M ) = T (M ′)
(bzw. M ′ berechnet dieselbe Funktion wie M ).
132
Beweis:
...
Einband-TM M ′:
a1
a2 a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
...
b4
b5
b6
b7
b8
b9
...
c8
c9
...
*
...
b1
b2 b3
*
...
c1
c2 c3
c4
c5
c6
c7
*
Band mit 2k “Spuren”
Arbeitsalphabet: Γ′ := Γ ∪ (Γ ∪ {∗})2k
Arbeitsweise von M ′:
Startkonfiguration: z0w (w ∈ Σ∗)
1. Phase:
w
*
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
*
2
*
2. Phase: M ′ simuliert M schrittweise.
3. Phase: Ergebnis von Spur 1 auf das gesamte
Band kopieren.
2
133
Ist M eine 1-Band-TM, so ist M (i, k) (i ≤ k) die
k-Band-TM, die auf Band i M simuliert, wobei alle
anderen Bänder unverändert bleiben.
Beispiele:
(i) Band := Band + 1(i, k).
Schreibweise: Band i := Band i + 1
(ii) Band i := Band i − 1.
(iii) Band i := 0.
(iv) Band i := Band j.
134
Hintereinanderschalten von TMen
Mi = (Zi, Σ, Γi, δi, zi, 2, Ei), i = 1, 2
M : start → M1 → M2 → stop
M = (Z1 ∪ Z2, Σ, Γ1 ∪ Γ2, δ, z1, 2, E2)
mit δ := δ1∪δ2∪{ (ze, a, z2, a, N ) | ze ∈ E1, a ∈ Γ1 }.
Beispiele:
(i)
start
↓
Band := Band + 1
↓
Band := Band + 1
↓
Band := Band + 1 → stop
Schreibweise: Band := Band + 3
135
(ii) start
/
M
ze1
/
M1
/
stop
ze2
M2
stop
(iii) Band = 0? :
Z := {z0, z1, ja,nein}, E = {ja,nein},
δ : (z0, a) 7→ (nein, a, N ) für a 6= 0
(z0, 0) 7→ (z1, 0, R)
(z1, a) 7→ (nein, a, L) für a 6= 2
(z1, 2) 7→ (ja, 2, L)
Hieraus: Band i=0?
(iv)
start
Band i = 0?
ja
stop
nein
M
Schreibweise: WHILE Band i 6= 0 DO M .
136
Beobachtung:
TMen bilden eine einfache Programmiersprache:
- Die Funktionen +c und −c (c ∈ N) sowie
f (x1, . . . , xn) = xi (1 ≤ i ≤ n) sind TM-berechenbar.
- Diese Sprache enthält einfache Wertzuweisungen.
- Sie enthält einfache Abfragen und while-Schleifen.
- Das Hintereinanderschalten von Programmen ist
möglich.
137
2.3 LOOP- WHILE- und GOTO-Berechenbarkeit
Die Programmiersprache LOOP
(i) Syntaktische Komponenten:
Variable
: x0 , x1 , x2 , . . .
Konstanten
: 0, 1, 2, . . .
Trennsymbole
: ; :=
Operationszeichen : + −
Schlüsselwörter : LOOP DO END
(ii) LOOP-Programme:
Wertzuweisung:
xi := xj + c (i, j ≥ 0, c ∈ N)
xi := xj − c
Hintereinanderausführung: P1; P2
Schleife: LOOP xi DO P END (i ≥ 0)
(iii) Semantik:
xi := xj + c
xi := xj − c
P1; P2
LOOP xi DO P END
“P sooft ausführen, wie dies der Wert von xi
zu Beginn angibt.”
138
Definition
Eine Funktion f : Nk → N heißt LOOP-berechenbar ,
wenn es ein LOOP-Programm gibt, das folgendes
leistet:
Wird P mit den Startwerten n1, . . . , nk in den
Variablen x1, . . . , xk gestartet, wobei alle anderen
Variablen den Startwert 0 haben, so stoppt P mit
dem Wert f (n1, . . . , nk ) in der Variablen x0.
Beobachtung:
Jedes LOOP-Programm stoppt für jede Eingabe.
Also: nur totale Funktionen können LOOP-berechenbar
sein.
Frage:
Gibt es totale Funktionen, die intuitiv berechenbar
sind, die aber nicht LOOP-berechenbar sind?
139
Beispiele LOOP-berechenbarer Funktionen:
(i) xi := xj
(ii) xi := c
(iii) IF x = 0 THEN A END :
y := 1;
LOOP x DO y := 0 END;
LOOP y DO A END
(iv) Additionsfunktion:
x0 := x1;
LOOP x2 DO x0 := x0 + 1 END
Bezeichnung: x0 := x1 + x2
(v) Multiplikationsfunktion:
x0 := 0;
LOOP x2 DO x0 := x0 + x1 END
(vi) MOD- und DIV-Funktionen
Abkürzungen: x := (y DIV z)+(x MOD 5)∗y
140
Die Programmiersprache WHILE
(i) Syntaktische Komponenten:
wie in LOOP plus Schlüsselwort WHILE und
Trennsymbol 6=
(ii) WHILE-Programme:
wie LOOP-Programme plus WHILE-Schleife:
WHILE xi 6= 0 DO P END
(iii) Semantik der WHILE-Schleife:
“Wiederhole P solange, bis xi den Wert 0 hat”
Beachte:
LOOP x DO P END
ist äquivalent zu
y := x; (∗ y neue Variable ∗)
WHILE y 6= 0 DO y := y − 1; P END
141
Definition
Eine Funktion f : Nk → N heißt WHILE-berechenbar ,
wenn es ein WHILE-Programm P gibt, das folgendes leistet:
Wird P mit den Startwerten n1, . . . , nk in den
Variablen x1, . . . , xk gestartet, wobei alle anderen
Variablen den Startwert 0 haben, so stoppt P mit
dem Wert f (n1, . . . , nk ) in der Variablen x0, falls
f (n1, . . . , nk ) definiert ist, andernfalls stoppt P nicht.
Satz
Turingmaschinen können WHILE-Programme simulieren, d.h. jede WHILE-berechenbare Funktion ist
auch Turing-berechenbar.
142