Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und ¨Okonometrie

Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Prof. Dr. Volker Steinmetz
Dipl. Kfm. Stefan Klößner
Fuzzy-Methoden: 8. Hausaufgabe
Aufgabe 62
Es sei Ω = {A, B, C, D, E} eine Menge von Personen. Ferner sei auf Ω die F-Relation R (”ω1 ist mit ω2
befreundet”) durch folgende Tabelle gegeben:
ω1
A
B
C
D
E
A
1
0,5
1
0
0,3
B
0,5
1
0,4
0
0,8
C
1
0,4
1
1
0
D
0
0
1
1
0,2
0
0,2
1
ω2
E
0,3 0,8
(a) Untersuchen Sie R auf Symmetrie, Reflexivität und Vollständigkeit.
(b) Für welche T-Normen T ist R T -transitiv ?
(c) Es sei D = {(A, 0.7); (B, 0.8); (C, 1); (D, 0); (E, 0.3)} die F-Menge der durchtrainierten Personen aus
Ω. Bestimmen Sie R ◦D bzgl. der T-Norm Tmin und geben Sie eine mögliche Interpretation für diese
F-Menge an.
Aufgabe 63
Gegeben sei die Abbildung
G : R → FP(R), R 3 x 7→ G(x) = (x +
x−1
,x +
(x − 1)2 + 1
q
x+1
, 1, 1)LR ,
(x + 1)2 + 1
q
wobei L = R : [0, ∞[→ [0, 1] mit L(u) = R(u) = max{0; 1 − u}.
(a) Ist G eine FE-Funktion ?
(b) Zeichnen Sie G(x) in ein Koordinatensystem für die folgenden Werte von x: -3,-1,0,1,3 .
(c) Überprüfen Sie G auf Urbildtreue.
(d) Für welche α erfüllt G die Forderung der α-Urbildtreue ?
Aufgabe 64
Die Verkaufnix AG stellt Motoren für den Einsatz in Formel 1-Wagen her. Nach der Produktion werden
die Motoren einer Qualitätskontrolle unterzogen, in der u.a. überprüft wird, ob die Motoren über eine
genügend große PS-Zahl verfügen. Die Betriebsleitung möchte wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein
produzierter Motor die Qualitätskontrolle erfolgreich passiert.
(a) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für diese Wahrscheinlichkeit an, wenn aus den Unterlagen
der Abteilung Qualitätskontrolle bekannt ist, daß von den im relevanten Zeitraum produzierten 2500
Motoren genau 275 die Anforderungen nicht erfüllt haben.
(b) Dem Betriebsrat kommt zu Ohren, daß ein Motor nur dann als einwandfrei eingestuft wird, wenn er eine PS-Zahl von mindestens 815 aufweist. Die Arbeiter sind mit dieser Art und Weise der Durchführung
der Qualitätskontrolle nicht zufrieden, weil gewisse Schwankungen in der PS-Zahl auch bei fehlerfreier
Produktion immer vorhanden seien und auch die Messung der PS-Zahl mit Fehlern behaftet sei. Sie
verlangen daher einen Ansatz mit Hilfe von Fuzzy-Konzepten. Eine neue Stichprobe ergibt die folgenden Realisationen für die Fehlerfreiheit der Motoren:
B = (B1 , B2 , . . . , B10 ) mit
B1 = (0.9, 0.2, 0.1)LR , B2 = (1, 0, 0)LR , B3 = (0.9, 0.3, 0.1)LR , B4 = (1, 0.3, 0)LR , B5 = (0.5, 0, 0.3)LR ,
B6 = (0.9, 0.2, 0.1)LR , B7 = (1, 0.2, 0)LR , B8 = (0.9, 0.3, 0.1)LR , B9 = (1, 0, 0)LR , B10 = (0.8, 0, 0.2)LR ,
wobei L = R : [0, ∞[→ [0, 1], x 7→ max{0, 1 − x}.
(i) Berechnen Sie aufgrund dieser Stichprobe einen scharfen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit,
daß ein produzierter Motor einwandfrei ist, indem Sie mit den Gipfelpunkten der Realisationen
arbeiten.
(ii) Berechnen Sie einen Fuzzy-Schätzwert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 65
Von einer Zufallsvariablen Y sei bekannt, daß sie über [0, k] (k > 0 unbekannt) gleichverteilt sei. Aus der
Schließenden Statistik ist bekannt, daß man zum Testen der Hypothese H0 : k ≤ k0 gegen H1 : k > k0 zum
Niveau α bei Vorliegen einer einfachen Stichprobe X1 , . . . , Xn und einer Realisation x1 , . . . , xn wie folgt
vorgehen kann:
• Man bestimme die Teststatistik T (x1 , . . . , xn ) = max(x1 , . . . , xn ).
• Man setze als kritischen Bereich K ∗ =]λ(k0 , α), ∞[, wobei λ(k0 , α) = k0 ·
√
n
1 − α.
• Gilt T (x1 , . . . , xn ) ∈ K ∗ , so verwerfe man H0 , andernfalls nehme man H0 an.
Es seien n = 2, α = 0, 19, k0 = 5 und die F-Realisationen B1 = (4, 3, 3)LR sowie B2 = (3, 1, 6)LR gegeben
(L = R : [0, ∞[→ [0, 1], x 7→ max{0; 1 − x}). Führen Sie einen entsprechenden Fuzzy-Test durch. Welche
Konsequenzen sollte man aus dem Testergebnis ziehen ?


z − 2 : 2 ≤ z ≤ 25



z−1
5


 3 : 2 ≤z≤4
7−z
Hinweis: µmax(B1 ,B2 ) (z) =
:4≤z≤5
3


9−z

:5≤z≤9

6


 0 : sonst
Aufgabe 66
Gegeben seien die Daten aus Aufgabe 65. Aus der Schließenden Statistik ist bekannt, daß man bei Vorliegen
einer einfachen Stichprobe X1 , . . . , Xn und einer Realisation x1 , . . . , xn durch
max(x1 , . . . , xn )
√
]
, ∞[
n
1−α
ein (einseitiges) Konfidenzintervall für k zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 − α erhält.
(a) Berechnen Sie die Fuzzy-Konfidenzbereichsschätzfunktion für k.
(b) Berechnen Sie die induzierte F-Konfidenzmenge.
ENDE