Automaten und Formale Sprachen WS 06/07

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Priv.-Doz. Dr.rer.nat.habil. K.-H. Niggl, Dipl.-Inf. U. Schellbach
http://www.tu-ilmenau.de/fakia/afs.html
K
Automaten und Formale Sprachen WS 06/07
Übungsblatt 1
Abgabetermin: Donnerstag, den 19.10.2006, in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Sprachen)
(a) Geben Sie das kürzeste und das drittlängste Präfix des Wortes afsistklasse an.
(b) Geben Sie eine Beschreibung der folgenden Sprache ohne Bezug auf bin(n)“ und n“ an.
”
”
Lungerade = {bin(n) | n ∈ N, n ist ungerade}
Aufgabe 2 (Sprachen)
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Gleichungen für Sprachen L, L1 , L2 und L3 :
(a) (L1 ◦ L2 ) ◦ L3 = L1 ◦ (L2 ◦ L3 )
(b) (L∗ )∗ = L∗
(c) (L1 ∪ L2 )∗ = L∗1 ∪ L∗2
(d) (L∗1 ◦ L∗2 )∗ = (L1 ∪ L2 )∗
(e) L ◦ L∅ = L∅ ◦ L = L∅
Aufgabe 3 (b-adische Darstellung)
Sei Σ := {1, . . . , b} das b-adische Alphabet für ein b ∈ N, b ≥ 1. Der b-adische Wert eines Wortes
a`−1 . . . a0 ∈ Σ∗ ist definiert durch:
X
[a`−1 . . . a0 ]b =
ai ·bi ∈ N
i<`
Gilt n = [a`−1 . . . a0 ]b , so heißt a`−1 . . . a0 die b-adische Darstellung von n.
Im Falle b = 1 bzw. b = 2 spricht man auch von der unären bzw. dyadischen Darstellung von n.
Unäre Darstellungen entsprechen einfach Strichlisten“.
”
(a) Geben Sie die dyadischen und binären Darstellungen (vgl. Vorlesung) der Zahlen 0 bis 7
an, und die 3-adischen Darstellungen der Zahlen 0 bis 13.
(b) Beweisen Sie in Analogie zur b-ären Darstellung aus der Vorlesung die folgenden Aussagen:
(a) Für j ≥ 0, w := a`−1 . . . aj+1 ∈ Σ∗ und 1 ≤ a < b gilt: [wabj ]b + 1 = [w(a + 1)1j ]b
(b) Für ` ≥ 0 gilt: [b` ]b + 1 = [1`+1 ]b
(c) Für ` ≥ 0 und a`−1 . . . a0 ∈ Σ∗ gilt: [1`+1 ]b > [a`−1 . . . a0 ]b
(d) Die Abbildung [ · ]b : Σ∗ → N, a`−1 . . . a0 7→ [a`−1 . . . a0 ]b ist eine Bijektion.
(e) Für jedes Alphabet ∆ gibt es eine Bijektion f : ∆∗ → N.