Beste Approximation von Elementen eines nuklearen

JOURNAL
OF APPROJUMATION
THEORY
1,77-84
Beste Approximation
nuklearen
(1968)
von Elementen
Raumes
eines
EBERHARD SCHOCK
Institut fir Angewandte Mathematik der UnicersitSit Bonn, Bonn, DeutschIand
Fiir einen normierten Funktionenraum E und einen i-dimensionalen
Teilraum El von E sei
p(x, Ei) = inf{‘ix - ~11,y E Ei}
der Minimalabstand des Elementesx von El. Es ist bekannt, da13esTeilraume
SO da13p(X,Ei) ftir alle x E E eine Nullfolge ist. Wie man weif.3,
hangt
die Geschwindigkeit, mit der p(x, El) gegen Null konvergiert, sehr wesentlich
von den Differenzierbarkeitseigenschaften von x ab.
Wir werden hier die Konvergenzgeschwindigkeit der GroI3e p(x, E,) untersuchenfiir den Fall, da13x ein Element einesnuklearen lokalkonvexen Raumes
E ist. Dabei stellt sich heraus, dab es zu jeder stetigen Halbnorm p. auf E
eine Folge von i-dimensionalen Teilraumen Ei von E gibt, so daB fur jede
beschrankte Teilmenge A von E sogar das Supremum sup{p(x, E,), x E A} eine
mindestens schnell fallende Zahlenfolge ist, d.h.
Ei gibt,
lim i” sup {p(x, E,), x E A} = 0
i-tm
fiir alle natiirlichen Zahlen k, genauer: die Folge {sup{p(x, E,), x E A}, i E Z}
ist ein Element des diametralen Folgenraumes von E.
1.1. Es sei E ein lokalkonvexer Raum. U(E) sei ein Fundamentalsystem von
abgeschlossenenabsolutkonvexen Nullumgebungen U von E. Fur U E U(E)
sei p”(x) = inf{T > 0, x E TU) das Minkowski-Funktional von U. Wir bilden
fur UE U(E) den normierten Raum E(U) = E/&‘(O) mit der Norm pL,.
Ein lokalkonvexer Raum E heiI3t nuklear, wenn es zu jedem U E U(E) ein
V E U(E) gibt mit VC U, so da0 die kanonische Abbildung E( V, U) : E(V)
-+ E(U) nuklear ist, d.h. es gibt lineare Funktionale ZiE E(V)’ und Elemente
y1 E E(U) mit
so da13ftir alle x E E(V) gilt
Eine Einftihrung in die Theorie der nuklearen Raume findet man in [5].
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78
EBERHARD SCHOCK
1.2. Es sei I= {O,l,Z:. . .> und P eine Menge von Zahlenfolgen cr= (ul, i E I)
mit den Eigenschaften
(Fl) Fi.ir alle i E I gilt ui 2 0.
(F2) Fiir alle i E I gibt es ein ~7E P mit ui > 0.
(F3) Fi.ir je zwei Folgen u(I), crC2)
E P gibt es eine Folge (TE P mit
max(oI’),a~*)) < ui.
Dann bildet die Menge aller (reellen oder komplexen) Zahlenfolgen
7 = {77i,i E 1} mit
PA771= s ITi I ui < 3J
fiir alle u E P einen linearen Raum r, (Folgenraum), der in der durch die
Halbnormen p. erzeugtenlokalkonvexen Topologie vollstgndig ist.
Ein Folgenraum I’, ist nach einem Kriterium von Grothendieck und
Pietsch genau dann nuklear, wenn es zu jedem u E P ein T E P und eine Folge
p={pI,iEZ)Ell
gibt mit ai~E”iTi. Dann l%Bt sich seine Topologie such
erzeugendurch das Systemder Halbnormen
4c7(rl)=suP{l?lil
ui3 iEZ1
fiiruEP.
Ein Folgenraum r, heiBt Potenzreihenraum, wenn es eine Folge von reellen
Zahlen xi mit 0 < cc0< ccl< . . . gibt, so dal3P aus den Folgen u = {pal, i E Z}
mit 0 =Cp < p,, besteht. 1st p,, < ,jc (bzw. p,, = a), so hei& r, von endlichem
(bzw. unendlichem) Typus.
Insbesondere bezeichnen wir mit (s) den Raum der schnell fallenden
Zahlenfolgen mit P = {{p’og(i+‘), i E I}, 0 < p -c cc;} d.h. P = {((i + l)“, i E I},
k E I>.
1.3. Fiir zwei Teilmengen A und B eines lokalkonvexen Raumes E mit
A c B und fiir einen linearen Teilraum Ei von E mit dim E, = i sei
S(A, B, Ei) = inf(6 > 0: A c 6B + E1}
und
&(A, B) = inf{G(A, B, EJ, Ei c E, dim& = i}.
ai(A, B) heil3t i-ter Durchmesser von A beziiglich B.
1.4. Als diametrale Dimension AU(E) eines lokalkonvexen Raumes E
bezeichnet man (vgl. [I]) die Gesamtheit aller Zahlenfolgen 6 = (Si, i E I)
mit der Eigenschaft : Fiirjedes 6 E O”(E) und fiirjede Nullumgebung U E U(E)
gibt es ein V E U(E) mit VC U, so da13fiir alle i E I gilt a,( V, U) < 6i.
Mit Hilfe der diametralen Dimension wird in [7] jedem lokalkonvexen
Raum E ein Folgenraum, der diametrale Folgenraum A,(E) zugeordnet:
APPROXIMATION IN NUKLEAREN RibMEN
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Ein lokalkonvexer Raum E ist dann und nur dann nuklear, wenn sein
diametraler Folgenraum n,(E) nuklear ist.
1.5. Sei U E U(E), Ei ein linearer Teilraum von E mit dim Ei = i und A
eine Teilmenge von U. Dann bezeichnen wir mit
dX,Pu, Ei) = infhdx
- Y>,Y E:Ei)
den Minimalabstand von x zu E; beziiglich der Halbnorm p. und mit
,@,P,,E,)=
su~bk~rr,h),
XE 4.
2.1. Nach diesen Vorbemerkungen beweisenwir das
LEMMA 1. Fiir alle U E U(E), fiir jede Teilmenge A con U und fiir jeden
endlichdimensionalenTeilraum EI eon E gilt
~(A,P,, EJ = WA, U, Ei).
Beweis.Wir zeigen
PM Prr,-G) G wt K 4).
(1)
SeiAcSU+Ei.DanngibtesfiirallexEAeinyEE,mitx--yESU.Also
ist p,(x - y) G 6. Dann ist aber such inf{p,(x - y), y E El} G 8. Da diese
Aussage fur alle x E A gilt, ist sup{inf{p,(x - y), y E E,}, x E A} G 6. Daher
gilt fur alle S > 0 mit A c SU -t Ei die Aussage p(A,p,, Ei) G 6. Wir erhalten
also
p(A,p,, EJ < inf(S > 0, A E SU + EL}= S(A, U, EJ.
dA,PU,
Ei)
a
6(A~
u3
Ei)-
(2)
Fiir alle x E A ist inf{p,(x - y), y E El} < p(A,p,, Ei). Da zu jedem x E A eine
Minimallijsung y(x) E EI existiert mit inf{po(x - y), y E El} =po(x -y(x)),
ist x E y(x) + p(A,p,, Et) *U. Also ist x E p(A,p,, Ei) * U + E,. Diese Aussage
gilt ftir alle x E A. Daher ist A c p(A,p,, EJ *U + Ei. Daraus folgt
S(A, U, Ei) = inf{S > 0, A c SU -t- El} < p(A,p,, Ei).
Damit ist die Behauptung des Lemmas bewiesen.
2.2. Als einfache Folgerung aus diesem Lemma erhalten wir den
SATZ1. Sei E ein nuklearer Raum. Fiir alle U E U(E) gibt es eine Folge con
Teilriiumen Ei uon E mit dimEi = i, SOda13fiir alle beschriinkten Teilmengen
A van E gilt
{~(A,Pu, El), i E I> Eh(E)
das hei&, fiir alle S E A,(E) gilt
lim S;’ p(A,p”, EJ = 0.
i-kc
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EBERHARD SCHOCK
Be~cis. Da cl,;(E) nuklear ist, gibt es zu jedem 6 E o.(E) ein y E d,(E)
und ein p E 1’ mit yi < pi 6i ftir i E I. Zu der Nullumgebung U bestimmen
wir ein VE U(:(E)mit Si(V, Cr)< yi. Dann gibt es fiir die beschrankte Menge
A ein I’ > 0 mit A c r V, also ist &(A, U) < r6,( V, U) G ryi und es gilt
Fur alle i E I gibt es Teilraume El mit dimEi = i, so dal3 gilt p(A,p,,EJ
6(A, U, Ei) < 26i(A, U). Also gilt
G AA, PC,Ei) 8; ‘~2~6i(A,U)6;‘~2r~~,<r,
=
I
Die Folge (p(A,p,,Ei), i E I> gehijrt also zu /1,(E).
Da fur einen nuklearen Raum E der diametrale Folgenraum cl,(E) stets
ein Teilraum von (s) ist, erhalten wir als
KOROLLAR. Fiir alle U E U(E) gibt es eine Folge con i-dimensionalen Teilriiumen Ei z’on E, so dalj fiir jede beschrtinkte Teilmenge A con E gilt: Fiir alle
natiirlichen Zahlen k ist
lim i”p(A,p,, EJ = 0.
i-m
2.3. Fiir die praktischen Anwendungen ist die Aussage von Satz 1 noch
zu schwach. 1st jedoch E ein nuklearer (F)-Raum mit regulgrer Basis, so
lassen sich die Teilraume aus Satz 1 explizit angeben.
Eine Folge von Elementen si heiBt eiie Basis des nuklearen (F)-Raumes E,
wenn es fur jedes x E E eine eindeutig bestimmte Zahlenfolge {vi, i E 1} gibt,
so da13die Beziehung
x= lim 5 qixi
tic-2 I=0
besteht.
Eine Basis heil3t regular [2], wenn es ein Fundamentalsystem U,(E) von
absolutkonvexen abgeschlossenen Nullumgebungen gibt, so dal3 fi.ir alle
U, VE U,(E) die Folge {pu(-Ui)/p,(Xi), i E Z} monoton ist. Man sieht sofort,
da8 die Einheitsvektoren in einem Potenzreihenraum eine regulare Basis
bilden.
LEMMA 2. Sei E ein nuklearer (F)-Raum mit reguliirer Basis {x,, i E I}, sei
Ei = spann(x,,x,, . . ., x,-,). Dann gilt: Fiir alle 17, V E U,(E) mit Vc U ist
S( V, U, Ei) = Si( V, U).
Beweis. [2].
Aus Satz 1 und Lemma 2 folgt dann
APPROXIMATION
IN NUKLEAREN
RAUMEN
81
SATZ
2. Sei E ein nuklearer (F)-Raum mit regultirer Basis {Xi, i E I}. Sei
EL=spann(s,,x,,..., xi-,). Dann giltfiir alle U E U,(E) undfiir alle beschrtinkten TeilnzengenA con E
ip(A,~u, Ei), i E I> E&(E).
3. Wir geben nun einige Beispiele’ an:
3.1. $[-I, l] sei der lineare Raum der auf dem abgeschlossenenInterval1
[-1, l] beliebig oft differenzierbaren reellen oder komplexen Funktionen.
&C-l, I] wird zu einem nuklearen Raum, wenn man die Topologie erzeugt
durch das Systemder Normen
A(X) = o:f:n TF* IX’k’(t>I. .
.
Der diametrale Folgenraum von 6[-1, l] ist (s). Da die TschebyschewPolynome T,(r) = cos(narccost) in G[-1, l] eine regulare Basis bilden, gilt
nach Satz 2 ftir Ei = spann(T,,, T,, . . ., Ti-i), fur jede beschrankte Menge A
von &[-I, I] und fur alle k, n E {0,1,2,. . .}
lim ik p(A,p,, Ei) = 0.
i-w
Ftir n = 0 erhalt man einen Satz von Jackson (vgl. Meinardus [3]).
3.2. Der Raum 9 aller auf R beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit
ist ein nuklearer Raum, wenn man ihn mit der aus den Normen s, gewonnenen
Topologie versieht. Yist isomorph (s), also ist (1,(Y) = (s). Die Hermiteschen
Funktionen
h,(t) = ef2/2d$nem”
bilden eine regulare Basis ftir 9’. Wir setzen Ei = spann(h,, . . .)hi-l). Also
gilt nach Satz 2 fur alle beschrankten Teilmengen A von E und fur alle k,
nE{O,1,2,...}
lim ik p(A, s,, Ei) = 0.
i&kc
3.3. Der Raum d(G) der in einer offenen Menge G der endlichen komplexen
Ebene holomorphen Funktionen wird zu einem nuklearen Raum, wenn man
seine Topologie erzeugt durch das Systemder Normen
I Die hier aufgefiihrten Beispiele van nuklearen RSumen findet man in [4], [5].
6
82
EBERHARD
SCHOC‘K
wo K die Gesamtheit der kompakten Teilmengen von G durchl%uft. 1st
insbesondereGR= (2 E C, Iz! < R}, so ist ,&‘(GR)isomorph dem Potenzreihenraum
\
igz;, 2 jqJr’< -72 fiir 0 < r c R I
r= \{7)ia
I
r
Die diametrale Dimension O,(&(GR)) ist daher (vgl. [.5]) die Menge aller
positiven Zahlenfolgen mit der Eigenschaft: Fiir alle q mit 0 <q < I gilt
sup{Q’q’, i E I} < x. In &(GR) bilden die Potenzen 1, z, z*, . . . eine regulgre
Basis. 1st Ei = spann(l,z, . . .,zi-‘), so gilt nach Satz 2 fiir jede beschrgnkte
Teilmenge A, fiir jede kompakte Teilmenge K von GR und fiir alle
S E 4&-4W
lim 6;’ p(A,p,, EJ = 0.
i-ha
3.4. Der lineare Raum 9Jmder ganzen Funktionen v(z) = ~(z,, . . .,z,,,) von
In komplexen Verznderlichen wird zu einem nuklearen Raum, wenn man
seine Topologie erzeugt durch das Systemder Normen
PAT> = s”P{ldz)l~
1
,gI Izj12 G n,
9” ist isomorph dem Potenzreihenraum
r=
(7jiy i E I}, 4 lvil rilim < Co
1
fiirO<r<03.
I
Daher ist Ao(9”) = r, und 9”” besitzt eine regulgre Basis p?k.1st EL=
spann (qbyb.. ., vimI), so gilt nach Satz 2 ftir alle beschrgnkten Teilmengen
A von 9”, fiir alle k, n E {0,1,2,. . .}
lim riy P(~P,, 4) = 0
i-e0
fi.ir alle r > 0.
3.5. Der lineare Raum Ym”’ der ganzen Funktionen y(z) der Ordnung
a < w von m Vergnderlichen wird zu einem nuklearen Raum, wenn man
seine Topologie erzeugt durch das Systemder Normen
PAT) = vMz)l
ewWlof’~“)~
9 I3mist isomorph dem Potenzreihenraum
{vi, i E Z}, F lqij ri”n‘Log* -c ‘53, 0 < r < 1
i
1
und besitzt daher eine regulgre Basis TV.
Die diametrale Dimension d,(YO”) ist daher die Menge aller positiven
Zahlenfolgen S mit der Eigenschaft: Ftir alle q mit 0 < q < 1 gilt
sup{S;‘qi”m’ogl, i E Z> < w.
APPROXIMATION
IN NUKLEAREN
R&MEN
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Also gilt nach Satz 2 fiir Ei = spann(q+,,y,, . . .,qi-r), fiir alle beschrankten
Teilmengen A von gem, fur alle 6 E d “(CY,,“‘)und fur alle nattirlichen Zahlen n
lim 6;’ p(A,p,,, Ei) = 0.
i-w
3.6. Auf einer offenen Menge G des n-dimensionalen euklidischen Raumes
sei durch
ein Differentialausdruck gegeben, dessen meBbare Koeffizienten der Elliptizitatsbedingung
gentigen. Dabei sollen y eine positive Konstante und p eine lokal p-integrable
Funktion mit p > n/2 sein. Dann ist nach Pietsch [6] der Losungsraum
J’-,(G) = {x, Lx = O}.
ein nuklearer Raum, wenn man ihn mit der aus den Halbnormen
P&) = max(lx(t>l, t E Kl
erzeugten lokalkonvexen Topologie versieht (K durchlaufe die kompakten
Teilmengen von G). Aus dem Korollar zu Satz 1 folgt dann, da13i-dimensionale
Teilraume El von J’,(G) existieren mit der Eigenschaft : Fiir jede beschrankte
Teilmenge A von J’-,.(G), fur jede kompakte Teilmenge K von G und fur alle
nattirlichen Zahlen k gilt
3.7. Weitere Beispiele ftir nukleare R%umefindet man in den Arbeiten von
Wloka [9]. Triebel [S] behandelt Losungsraume von singularen Differentialoperatoren.
LITEXATUR
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EBERHARD
7. E.
SCHOCK,
SCHOCK
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Raumes,
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