9.) Longitudinale Strahldynamik

9.) Longitudinale Strahldynamik
Nun betrachten wir den longitudinalen Teil der Strahldynamik. Hier kommt es auf die Synchronisation
der Teilchen mit dem beschleunigenden HF-Feld an. Die HF-Beschleunigung kann nur funktionieren,
wenn die Teilchen longitudinal in Pakete (Bunche) gebündelt sind, ein Auseinanderlaufen der
Teilchenpakete verhindert wird und die Synchronisation der Teilchenpakete mit dem
beschleunigenden HF-Feld erhalten bleibt. Æ Phasenfokussierung
Immer dann, wenn die Teilchen mit unterschiedlichem Impuls unterschiedliche Laufzeiten haben, tritt
die Phasenfokussierung in Erscheinung. Linearbeschleuniger, Synchrozyklotron, Synchrotron und
Mikrotron sind z.B. HF-Beschleuniger mit Phasenfokussierung. Immer dann, wenn auch Teilchen mit
unterschiedlichem Impuls gleiche Laufzeiten (Isochron Modus in Ringen) haben, entfallen die
Notwendigkeit und die Möglichkeit der Phasenfokussierung. Das Isochronzyklotron ist z. B. ein HFBeschleuniger ohne Phasenfokussierung.
Synchronisationsbedingung: ω HF = h ⋅ ωs
wobei ωs die Kreisfrequenz des Teilchens ist und ωHF die HF-Frequenz der Beschleunigungscavities
darstellt. h ist die Harmonische Zahl
Der Fahrplan für die Hochbeschleunigung wird von der Magnetfeldrampe für die Ablenkmagnete
vorgegeben. Aus der Geschwindigkeit, mit der das Magnetfeld der Ablenkmagnete hochgefahren wird,
ergibt sich für das synchrone Teilchen der Energiezuwachs [∆Es]U pro Umlauf.
SS2013
9.1
[∆Es ]U = Cs dps
dt
; Cs = Umlauflänge Synchronteilchen
dp s
= q ⋅ R ⋅ B&
dt
C
∆p s = q ⋅ R ⋅ B& τ s = q ⋅ R ⋅ B& ⋅ s Æ E 2 = p 2c 2 + m 2c 4 ⇒ ∆E = cβ ⋅ ∆p
0
cβ
mit p s = q ⋅ R ⋅ B ⇒
dp s
&
∆E = cβ ⋅ ∆p s = q ⋅ R ⋅ B ⋅ C s =
⋅ Cs
dt
Wir ermitteln nun den Energiegewinn
beim Durchqueren eines
Beschleunigungsspaltes.
Das elektrische Wechselfeld ist
E s (0, s, t ) = E s (0, s) sin(ω HF ⋅ t + ϕ s )
dp s
= qE s (0, s, t ) = qE s (0, s) sin(ω HF ⋅ t + ϕ s )
dt
SS2013
9.2
sin (ω HF t + ϕ s )
Phasendefinition Ringbeschleuniger:
Diese folgt einer Sinusfunktion und
nicht wie bei den Linearbeschleunigern
einer Kosinusfunktion.
D.h. Nullgrad Sollphase ist der Nulldurchgang und nicht wie bei den Linac
Gaps das Maximum der Beschleunigungsspannung.
g/2
∆E sHF = q
∫ Es (0, s) sin(ω HF ⋅ t + ϕ s )ds
0o
90o
180o
360o
−g / 2
g/2
=q
∫ E (s)[sin(ω
s
HF
⋅ t ) cos ϕ s + cos(ω HF ⋅ t ) sin ϕ s )]ds
−g / 2
g/2
1
E0 =
E s ( s )ds
∫
Mit
folgt
g −g / 2
SS2013
9.3
∆E sHF
g/2
⎡ g/2
⎤
E s ( s) cos(ω HF ⋅ t )ds
⎢ ∫ E s ( s) sin(ω HF ⋅ t )ds
⎥
∫
−g / 2
−g / 2
⎥ = q ⋅ g ⋅ E T sin ϕ
= q ⋅ g ⋅ E0 ⎢⎢
+
cos
ϕ
sin
ϕ
s
s⎥
0
s
g/2
g/2
⎢
⎥
E s ( s)ds
E s ( s)ds
∫
∫
⎢⎣
⎥⎦
−g / 2
−g / 2
mit
g/2
⎡ g/2
⎤
E s ( s) cos(ω HF ⋅ t )ds ⎥
⎢ ∫ E s ( s) sin(ω HF ⋅ t )ds
∫
−g / 2
−g / 2
⎥ ≤1
+
cot
ϕ
T = ⎢⎢
s
g/2
g/2
⎥
⎢
⎥
E s ( s)ds
E s ( s)ds
∫
∫
⎢⎣
⎥⎦
−g / 2
−g / 2
Dies ist der sogenannte Transit-Time-Factor (TTF). E0*g ist die durchfallene Spannung für ein
Teilchen, wenn sich das elektrische Feld zeitlich nicht ändert. Der TTF misst das Verhältnis zwischen
dem realen Energiegewinn des Teilchens zu dem in einem dc-Feld mit der Spannung E0 gT sin ϕ s .
Der TTF ist ein Maß für die Reduzierung des Energiegewinns durch das zeitlich variierende elektrische
g/2
Feld im Spalt. Nun gilt
∫ E (s) sin(ω
s
−g / 2
HF
⋅ t )ds = 0
, wenn das Feld symmetrisch zu s=0 ist, denn
sin(ω HF ⋅ t ) ist antimetrisch in s. Damit erhält man für den TTF:
SS2013
9.4
⎡ g/2
⎤
⎢ ∫ E s ( s) cos(ω HF ⋅ t )ds ⎥
−g / 2
⎥ ≤1
T = ⎢⎢
g/2
⎥
⎢
⎥
E s ( s)ds
∫
⎢⎣
⎥⎦
−g / 2
Ist der Geschwindigkeitszuwachs gering, so gilt
ω HF ⋅ t = ω ⋅ ∫
ds
s
2π ⋅ s 2π ⋅ s
=ω⋅
=
=
βλ
v( s)
v( s) THF βc
βλ ist der Weg, den ein Teilchen mit der Geschwindigkeit β*c in einer HF-Periode zurücklegt.
Damit und für ein konstantes Feld folgt:
g/2
Es 0
T=
∫
cos(
βλ
−g / 2
)ds
Es 0 g
βλ ⎡ 2π
=
sin
2π ⋅ g ⎢⎣ βλ
SS2013
2π ⋅ s
g/2
⎤
βλ
π ⋅g
s⎥
=
sin
βλ
⎦−g / 2 π ⋅ g
9.5
Der Energiegewinn durch einen Resonator bei einem Umlauf ist
∆E sHF = q ⋅ g ⋅ E0T sin ϕ s = q ⋅U eff sin ϕ s = q ⋅ RB& ⋅ C s Æ U eff sin ϕ s = RB& ⋅ C s
Beispiel SIS18: R = 10 m, Cs = 216,72 m,
B& = 10 T/s
⇒ U eff sin ϕ s = 22 kV
9.1. Synchrotronschwingung
Die Phasenfokussierung ist nur möglich,
wenn die Kreisfrequenz ωs mit der die
Teilchen umlaufen, vom Impuls p abhängt.
Bei der angezeigten Phasenlage
werden die Teilchen, welche zu früh in den
Spalt eintreten weniger beschleunigt, als die,
die zu spät in diesen eintreten. Da die
ersten Teilchen die schnellsten sind und die
späteren Teilchen die langsamsten, wird
da der Puls zusammengehalten.
Wie wir schon gesehen haben gilt im Ringbeschleuniger
SS2013
9.6
⎛ 1
∆p
1 ⎞⎟ ∆p
⎜
=⎜ 2 − 2 ⎟
=η
ωs ⎝ γ
ps
γ tr ⎠ p0
∆ω
Über eine Umdrehung variiert die HF-Phase φ um h*2π und der Umlaufwinkel θ um 2π.
⇒ ∆φ = −h ⋅ ∆θ
Das negative Zeichen kommt daher, dass ein Teilchen hinter dem synchronen Teilchen (∆θ<0) zeitlich
später im gap ankommt (∆t>0, ∆φ>0)
d
1 d
∆p
∆ω s = ∆θ = −
∆φ = ω sη s ⋅
dt
h dt
ps
h ⋅ ω sη s ∆E
d
∆p
∆φ = −h ⋅ ω sη s ⋅
=−
dt
ps
β 2 Es
h ⋅ ωs2η s
d
∆φ = − 2
Ö dt
β Es
⎛ ∆E ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ ωs ⎠
(*)
Es gilt außerdem:
SS2013
9.7
qU eff
∆E qU eff
∆p =
=
sin ϕ s =
sin ϕ s
βc
cβ
R ⋅ω
Die Änderung des Impulses pro Sekunde ist dann
∆p ω qU eff
p& =
=
sin ϕ s
TC 2π R ⋅ ω
⇒ Rs ⋅ p& s =
q
U eff sin ϕ s
2π
Die Differenz zum Synchronteilchen ist dann
R ⋅ p& − Rs ⋅ p& s =
q
U eff (sin φ − sin ϕ s )
2π
d
d ∆E
&
&
R
p
R
p
R
p
⋅
−
⋅
≈
(
⋅
∆
)
=
( )
s
s
Entwickeln wir die linke Seite erhalten wir
dt
dt ω
d ∆E
q
(
)
=
U eff (sin φ − sin ϕ s )
Ö dt ω
2π
(**)
Man kann (*) und (**) auch zusammenfassen zu
SS2013
9.8
h ⋅ ω s2η s d ⎛ ∆E ⎞
h ⋅ ω s2η s qU eff
d2
⎜⎜
⎟⎟ = − 2
∆φ = − 2
(sin φ − sin ϕ s )
2
dt
β E s dt ⎝ ω s ⎠
β E s 2π
Wir entwickeln zunächst für kleine ∆φ (∆φ=φ−ϕs):
(***)
sin φ − sin ϕ s = cos ϕ s ⋅ ∆φ
h ⋅ ω s2η s qU eff
d2
2
∆φ = − 2
cos ϕ s ⋅ ∆φ = −ω syn
⋅ ∆φ
2
dt
β E s 2π
Für kleine Abweichungen von der Sollphase vollführen die Teilchen eine harmonische Schwingung,
die sogenannte Synchrotronschwingung. Die Synchrotronfrequenz beträgt dabei
ω syn = ω s
h ⋅η s
qU eff cos ϕ s
2
2πβ E s
Die Frequenz der Synchrotronschwingungen, νsyn = ωsyn/2π, ist im Vergleich zur Umlaufsfrequenz
νs = ωs/2π des synchronen Teilchens sehr klein. Für die Zahl der Synchrotronschwingungen pro
Umlauf, den longitudinale Tune, erhalten wir
Qsyn
SS2013
ω syn
h ⋅η s
qU eff cos ϕ s
=
=
2
ωs
2πβ E s
9.9
Als Lösung der Gleichung
d2
2
∆
φ
+
ω
syn ⋅ ∆φ = 0
2
dt
können wir
∆φ = ∆φmax cos(ω syn ⋅ t )
ansetzen. In (*) eingesetzt erhalten wir
h ⋅ ω sη s ∆E
d
∆φ = −∆φmax ⋅ ω syn sin(ω syn ⋅ t ) = −
β 2 Es
dt
ω syn β 2 E s
∆E =
∆φmax ⋅ sin(ω syn ⋅ t ) = ∆E max sin(ω syn ⋅ t )
ω s h ⋅η s
∆E max
SS2013
ω syn β 2 E s
β 2 Es
=
∆φmax = Qsyn
∆φmax
h ⋅η s
ω s h ⋅η s
mit
β 2 E s = pcβ = p ⋅ v
9.10
Damit erhält man die Koordinatendarstellung der longitudinalen Emittanzellipse:
⎛ ∆φ
⎜⎜
⎝ ∆φmax
2
⎞ ⎛ ∆E
⎟⎟ + ⎜⎜
⎠ ⎝ ∆E max
2
⎞
⎟⎟ = 1
⎠
Es ist interessant, die Synchrotronschwingung
im Hinblick auf das Zusammenspiel der Parameter
zu diskutieren. Bei einer vorgegebenen LatticeStruktur des Synchrotrons und einem vorgegebenen
Teilchenimpuls ps sind die Größen ηs, ωs und vs
festgelegt. Der Energiegewinn pro Umlauf, der durch die
Hochfahrgeschwindigkeit der Ablenkmagnete bestimmt ist,
legt das Produkt qUeff sinφs fest. Die ”Fokussierungsstärke“
in der Schwingungsgleichung, d. h. ω2syn, ist durch das
Produkt qUeff cosφs festgelegt. Um bei einer vorgegebenen longitudinalen Emittanz von ∆φmax∆Emax die
Phasenbreite ∆φ klein, d. h. im linearen Bereich der Sinuskurve, zu halten, sollte die
Spannungsamplitude Ueff möglichst groß und sinφs möglichst klein gewählt werden.
Eine wichtige Voraussetzung für die Existenz von stabilen Lösungen und das Auftreten von
Synchrotronschwingungen ist die Bedingung
η s ⋅ cos ϕ s > 0
Daher wir bei der HF beim Überqueren von γtr eine Phasensprung von 180o erforderlich.
SS2013
9.11
9.2. Synchrotronschwingung - Separatrix
Bei größeren Schwingungsamplituden ∆φ verliert die lineare Näherung für kleine ∆φ ihre Berechtigung.
Daher müssen wir nun die nichtlineare Differenzialgleichung lösen.
2
ω syn
h ⋅ ω s2η s qU eff
d2
d2
∆φ + 2
(sin φ − sin ϕ s ) = 2 ∆φ +
(sin φ − sin ϕ s ) = 0
2
cos ϕ s
dt
dt
β E s 2π
d
Durch Multiplikation mit dt ∆φ und Integration erhält man
ω syn
1⎛ d
⎞
[− (cos φ − cos ϕ s ) − sin ϕ s ⋅ ∆φ ] = const.
⎜ ∆φ ⎟ +
2 ⎝ dt
⎠ cos ϕ s
2
2
2
⎛d
⎞
d
⎜ ∆φ ⎟
∆φ
(cos φ − cos ϕ s ) + sin ϕ s ⋅ ∆φ
h ⋅ ωsη s
⎜ dt
⎟ −2
dt
= K0
=− 2
∆E ~ ∆E
cos ϕ s
⎜ ω syn ⎟
wobei ω
ist.
E
β
ω
syn
s syn
⎜
⎟
⎝
⎠
Für kleine Werte von K0 in erhalten wir die ellipsenförmigen Trajektorien im longitudinalen
Phasenraum, die wir bereits in 9.1 abgeleitet haben. Für größere Werte werden die Ellipsen
SS2013
9.12
fischähnlich deformiert. Die Grenzlinie zwischen dem stabilen und dem instabilen Bereich wird durch
die sogenannte Separatrix markiert.
Die Amplitude einer Synchrotronschwingung
ist durch die beiden Umkehrpunkte der
Schwingung, d. h. die Extremwerte φ1
und φ 2, gekennzeichnet.
Diese Extremwerte erhält man durch
d
∆φ = 0
dt
K 0 = −2
cos φ1, 2 − cos ϕ s + sin ϕ s ⋅ (φ1, 2 − ϕ s )
cos ϕ s
Die Separatrix gibt die maximal mögliche
Energieabweichung ∆Emax vor und markiert
damit die Energieakzeptanz.
Eine größere Abweichung ∆ φ als π-ϕs kann es nicht geben, sonst gerät das Teilchen in die negative
Halbwelle. Daher ist φ 1 = π-ϕs und damit ergibt sich K0 und damit auch aus der obigen Gleichung φ 2.
K 0 = −2
SS2013
cos(π − ϕ s ) − cos ϕ s + sin ϕ s ⋅ (π − 2ϕ s )
= 4 − (2π − 4ϕ s ) tan ϕ s
cos ϕ s
9.13
und damit
cos φ2 − cos ϕ s + sin ϕ s ⋅ (φ2 − ϕ s ) =
cos ϕ s
[4 − (2π − 4ϕ s ) tan ϕ s ]
−2
cos φ 2 − cos ϕ s + sin ϕ s ⋅ φ 2
= (π − ϕ s ) sin ϕ s − cos ϕ s
Beispiel:
ϕ s = 0 ⇒ φ1 = π
⇒ cos φ2 = − cos 0
⇒ φ2 = −π
Die Kreisfrequenz für große
Amplituden Ωsyn wird umso
kleiner, je größer die Amplituden sind, d.h. je größer
φ1 - φ2 ist.
SS2013
9.14
Beschleunigendes Bucket ϕS=20°
Beschleunigendes Bucket ϕS=40°
Beschleunigendes Bucket
ϕS=80°
SS2013
9.15
9.3. Longitudinale Emittanz
In der ∆φ, ∆E Phasenraumebene folgen die Teilchenbewegungen einer Hamiltonfunktion
h ⋅ ω s2η s 2 qU eff
[cos φ − cos ϕ s + sin ϕ s (φ − ϕ s )]
W −
H (φ ,W ) =
2
2π
2β E s
∆E
=
W
mit
ωs
Daher ist nach Liouville die von den Teilchen besetzte Phasenraumfläche konstant. Ist die Fläche
konstant klein ggü. der Separatrix, dann kann auch diese durch eine Ellipse umrandet werden.
Aϕ , E = π ⋅ ε long = π ⋅ ∆ϕ0 ∆E0
Zur Beschreibung der Teilchenbewegung longitudinal werden neben ∆φ und ∆E auch gerne andere
Koordinaten verwendet.
l=−
∆t =
SS2013
vs
ω HF
∆φ
ω HF
∆φ = −
=
∆φ
hω s
vs
C
∆φ = − s ∆φ
hω s
h ⋅ 2π
und
∆E = vs ∆p
9.16
In Analogie zur transversalen Emittanz wird meistens die Ortsabweichung und die relative
Impulsabweichung δ = ∆p/ps betrachtet.
⎛ ∆φ
⎜⎜
⎝ ∆φmax
2
2
⎞ ⎛ ∆E ⎞
⎛ l
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = 1 ⇒ ⎜⎜
⎠ ⎝ ∆Emax ⎠
⎝ l max
⎛ δ max ⎞ 2 ⎛ lmax ⎞ 2
⎟⎟l + ⎜⎜
⎟⎟δ = l ⋅ δ max
⇒ ⎜⎜
⎝ l max ⎠
⎝ δ max ⎠
2
2
⎞ ⎛ ∆p ⎞
⎛ l
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = 1 ⇒ ⎜⎜
⎠ ⎝ ∆pmax ⎠
⎝ l max
l2
⇒
+ β long δ 2 = ε long
2
⎞ ⎛ δ
⎟⎟ + ⎜⎜
⎠ ⎝ δ max
2
⎞
⎟⎟ = 1
⎠
β long
Die Maschinenellipse in longitudinale Richtung ist aufrecht αlong = 0. Die Betafunktion ist
β long =
β long
l max
δ max
=
Cs
ps
Cs
pv
η sCs
∆φmax
=
⋅ s s ∆φmax =
h ⋅ 2π
∆pmax h ⋅ 2π ∆Emax
2π ⋅ Qsyn
η s Cs
ηs β 2 E
=
= Cs
2π ⋅ Qsyn
2π ⋅ hqU eff cos ϕ s
βlong
ist
proportional
zum
Maschinenumfang
und
antiproportional
zur
Zahl
Synchrotronschwingungen pro Umlauf. Ist βlong klein dann ist die Phasenfokussierung stark.
SS2013
9.17
der