Cauchy-Kriterium

Cauchy-Kriterium
Eine Folge (an ) konvergiert genau dann, wenn für alle ε > 0 ein nε
existiert, so dass
|aj − ak | < ε
für alle j, k > nε .
Cauchy-Kriterium
1-1
Cauchy-Kriterium
Eine Folge (an ) konvergiert genau dann, wenn für alle ε > 0 ein nε
existiert, so dass
|aj − ak | < ε
für alle j, k > nε .
Mit Hilfe dieses auf Cauchy zurückgehenden Kriteriums ist der Nachweis
der Konvergenz ohne Kenntnis des Grenzwertes möglich.
Cauchy-Kriterium
1-2
Beweis:
(i) Notwendigkeit des Cauchy-Kriteriums:
Cauchy-Kriterium
2-1
Beweis:
(i) Notwendigkeit des Cauchy-Kriteriums:
Definition des Grenzwerts
=⇒
a = lim an
⇐⇒
|am − a| < ε für m > mε
Cauchy-Kriterium
2-2
Beweis:
(i) Notwendigkeit des Cauchy-Kriteriums:
Definition des Grenzwerts
=⇒
a = lim an
nε = mε/2
⇐⇒
|am − a| < ε für m > mε
=⇒
|aj − ak | ≤ |aj − a| + |a − ak | < ε/2 + ε/2 = ε
für j, k > nε
Cauchy-Kriterium
2-3
Beweis:
(i) Notwendigkeit des Cauchy-Kriteriums:
Definition des Grenzwerts
=⇒
a = lim an
nε = mε/2
⇐⇒
|am − a| < ε für m > mε
=⇒
|aj − ak | ≤ |aj − a| + |a − ak | < ε/2 + ε/2 = ε
für j, k > nε
(ii) Cauchy Kriterium hinreichend:
Cauchy-Kriterium
2-4
Beweis:
(i) Notwendigkeit des Cauchy-Kriteriums:
Definition des Grenzwerts
=⇒
a = lim an
nε = mε/2
⇐⇒
|am − a| < ε für m > mε
=⇒
|aj − ak | ≤ |aj − a| + |a − ak | < ε/2 + ε/2 = ε
für j, k > nε
(ii) Cauchy Kriterium hinreichend:
Der Beweis benutzt die Vollständikeit der reellen Zahlen.
Cauchy-Kriterium
2-5
Beispiel:
geometrische Konvergenz ( =⇒
Cauchy-Kriterium):
|an+1 − an | ≤ cq n
mit q ∈ [0, 1)
Cauchy-Kriterium
3-1
Beispiel:
geometrische Konvergenz ( =⇒
Cauchy-Kriterium):
|an+1 − an | ≤ cq n
mit q ∈ [0, 1)
Bedingung
=⇒
|aj − ak | ≤ |aj − aj+1 | + |aj+1 − aj+2 | + · · · + |ak−1 − ak |
≤ cq j (1 + q + q 2 + ...) ≤
cq j
1−q
für j < k
Cauchy-Kriterium
3-2
Beispiel:
geometrische Konvergenz ( =⇒
Cauchy-Kriterium):
|an+1 − an | ≤ cq n
mit q ∈ [0, 1)
Bedingung
=⇒
|aj − ak | ≤ |aj − aj+1 | + |aj+1 − aj+2 | + · · · + |ak−1 − ak |
≤ cq j (1 + q + q 2 + ...) ≤
cq j
1−q
für j < k
rechte Seite < ε für j, k > nε = ln ε(1−q)
/ ln q, denn
c
cq j
<ε
1−q
⇔
qj <
ε(1 − q)
c
⇔
j ln q < ln(ε(1 − q)/c)
|{z}
<0
Cauchy-Kriterium
3-3
Anwendung auf rekursiv definierte Folgen, z.B.
p
an = 2 + an−1 , a0 = 1
Cauchy-Kriterium
3-4
Anwendung auf rekursiv definierte Folgen, z.B.
p
an = 2 + an−1 , a0 = 1
zeige geometrische Konvergenz mit vollständiger Induktion
Cauchy-Kriterium
3-5
Anwendung auf rekursiv definierte Folgen, z.B.
p
an = 2 + an−1 , a0 = 1
zeige geometrische Konvergenz mit vollständiger Induktion
Induktionsanfang (n = 0):
|a1 − a0 | ≤ c
c = |a1 − a0 |
Cauchy-Kriterium
3-6
Anwendung auf rekursiv definierte Folgen, z.B.
p
an = 2 + an−1 , a0 = 1
zeige geometrische Konvergenz mit vollständiger Induktion
Induktionsanfang (n = 0):
|a1 − a0 | ≤ c
c = |a1 − a0 |
Induktionsschluss (n → n + 1):
Cauchy-Kriterium
3-7
Anwendung auf rekursiv definierte Folgen, z.B.
p
an = 2 + an−1 , a0 = 1
zeige geometrische Konvergenz mit vollständiger Induktion
Induktionsanfang (n = 0):
|a1 − a0 | ≤ c
c = |a1 − a0 |
Induktionsschluss (n → n + 1):
Umformung der Differenz
p
√
|an+1 − an | = | 2 + an − 2 + an−1 | = √
an − an−1
√
2 + an + 2 + an−1 Cauchy-Kriterium
3-8
Anwendung auf rekursiv definierte Folgen, z.B.
p
an = 2 + an−1 , a0 = 1
zeige geometrische Konvergenz mit vollständiger Induktion
Induktionsanfang (n = 0):
|a1 − a0 | ≤ c
c = |a1 − a0 |
Induktionsschluss (n → n + 1):
Umformung der Differenz
p
√
|an+1 − an | = | 2 + an − 2 + an−1 | = √
an − an−1
√
2 + an + 2 + an−1 Induktions-Voraussetzung, ak ≥ 0
1
|an+1 − an | ≤ √ cq n−1 ≤ cq n
2 2
√
bei Wahl von q = 1/(2 2)
Cauchy-Kriterium
3-9