Stochastik 2 - Urnenmodelle - Mathe
Werbung
Stochastik 2 Urnenmodelle Mathe-Squad GbR 4. Dezember 2015 Urnenmodelle 1 Laplace-Experimente Zufallsexperiment, bei dem alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A : P (A ) = Urnenmodelle |A | |Ω| = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Laplace-Experimente 2 Anzahl der Möglichkeiten Aus einer Urne mit n Kugeln wird k -mal mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen nk Möglichkeiten Aus einer Urne mit n Kugeln wird k -mal ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = n! (n−k )! Möglichkeiten Aus einer Urne mit n Kugeln wird k -mal ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen n k Urnenmodelle = n! k !·(n−k )! Möglichkeiten Anzahl der Möglichkeiten 3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Ziehen ohne Zurücklegen Wahrscheinlichkeit ändert sich bei jedem Zug Urne mit N Kugeln, K schwarze Kugeln, n-mal Ziehe ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge P („genau k schwarze Kugeln“) = (Kk )·(Nn−−kK ) (Nn ) Tipps Entspricht dem Ziehen mit einem Griff Schwarze Kugeln meist stellvertretend für „Treffer “ Urnenmodelle Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 4 Ziehen mit Zurücklegen Wahrscheinlichkeit bleibt nach jedem Zug gleich Urne mit einem Anteil p an schwarzen Kugeln, n-mal Ziehe mit Zurücklegen P („genau k schwarze Kugeln“) = n k · p k · (1 − p )n−k Tipps Für N Kugeln und K schwarzen Kugeln ist p = K N Spielt die Reihenfolge eine Rolle, Formel nicht direkt anwendbar Urnenmodelle Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 5
