Allgemeine Topologie - TU Darmstadt/Mathematik

Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Klaus Keimel
Alexander Rohr
Sommersemester 2002
10. Mai 2002
4. Übung zur Veranstaltung
Allgemeine Topologie
Gruppenübungen
Skript Abschnitt 3
Aufgabe 33 (Erzeugung der Produkttopologie)
Es seien (X1 , O1 ) und (X2 , O2 ) topologische Räume und es seien B1 , B2 Basen der Topologien
und S1 , S2 Subbasen der Topologien. Untersuche, ob die folgenden Mengensysteme Basis oder
Subbasis der Produkttopologie auf X1 × X2 sind:
a) {U1 × U2 | U1 ∈ B1 , U2 ∈ B2 },
b) {U1 × U2 | U1 ∈ S1 , U2 ∈ S2 }.
Aufgabe 34 (Stetigkeit und Produkte)
Es seien X, Y1 und Y2 topologische Räume. Beweise oder widerlege: Zwei Funktionen f1 : X → Y1
und f2 : X → Y2 sind genau dann stetig, wenn die Funktion
f : X → Y1 × Y2
mit x 7→ f1 (x), f2 (x)
bzgl. der Produkttopologie stetig ist.
Aufgabe 35 (Quotiententopologie)
Sei (X, O) ein topologischer Raum, Y eine Menge und π : X → Y eine surjektive Abbildung.
a) Zeige, daß die Menge O0 = {V ⊆ Y | π −1 (V ) ∈ O} eine Topologie auf Y ist. (Diese Topologie
wird die durch π induzierte Quotiententopologie auf Y genannt.)
b) Betrachte die folgende Abbildung:
π : [0, 3] → {0, 1, 2}


0 falls x ∈ [0, 1]
x 7→ 1 falls x ∈ ]1, 2[


2 falls x ∈ [2, 3]
i) Bestimme die offenen Mengen in {0, 1, 2} in der von π induzierten Quotiententopologie.
Der Raum [0, 3] sei dabei mit der üblichen Topologie ausgestattet.
ii) Ist π eine offene Abbildung, d.h. sind die Bilder offener Mengen wieder offen?
Aufgabe 36 (Unendliche Produkte)
Sind X und Y topologische Räume, so schreiben wir Y X für das X-fache“ Produkt von Y ,
”
Y
Y X :=
Y.
x∈X
Was sind die Elemente dieser Menge?
Wie kann man einen Umgebung eines Elements f ∈ [0, 1][0,1] durch ein Bild veranschaulichen?
Wann konvergiert eine Folge von Elementen bezüglich dieser Topologie?
Aufgabe 37 (Abgeschlossenheit in der Produkttopologie)
Untersuche, ob in RR mit der Produktopologie die Menge der isotonen Funktionen abgeschlossen
ist. Eine Funktion f : R → R heißt isoton, wenn gilt x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y).
Hausübungen
Skript Abschnitt 3
Aufgabe 38 (Homöomorphie und Produkte)
Untersuche, ob der Kreisring A := {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4} homöomorph ist zum
topologischen Produkt des Intervalls [1, 2] und der Kreislinie S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}.
Dabei werden die Teilräume von R bzw. R2 jeweils mit der Spurtopologie betrachtet.
Aufgabe 39 (Erzeugung der Produkttopologie)
Verallgemeinere Dein Resultat aus Aufgabe 33 auf beliebige Produkte topologischer Räume.
Aufgabe 40 (Stetigkeit und Produkte)
Es seien X, X1 , X2 und Y topologische Räume. Beweise oder widerlege: Die Funktion f : X1 ×
X2 → Y ist genau dann stetig, wenn für alle x2 ∈ X2 die Abbildungen fx2 : X1 → Y mit
fx2 (x1 ) = f (x1 , x2 ) und für alle x1 ∈ X1 die Abbildungen fx1 : X2 → Y mit fx1 (x2 ) = f (x1 , x2 )
stetig sind.
Aufgabe 41 (Offenheit und Abgeschlossenheit in Produkten)
Es sei (Xi )i∈I eine Familie topologischer Räume. Für jedes i ∈ I sei Oi ⊆ Xi offen und Ai ⊆ Xi
abgeschlossen. Gilt dann immer
Q
Q
a) i∈I Oi ist offen in i∈I Xi ?
Q
Q
b) i∈I Ai ist abgeschlossen in i∈I Xi ?
Aufgabe 42 (Abzählbarkeitsaxiome und Produkte)
a) Erfüllt [0, 1][0,1] mit der Produkttopologie eines der Abzählbarkeitsaxiome?
b) Es sei C [0, 1], [0, 1] die Menge der stetigen Selbstabbildungen auf [0, 1]. Erfüllt diese Teilmenge von [0, 1][0,1] mit der Spurtopologie eines der Abzählbarkeitsaxiome?
Bitte wenden!
Aufgabe 43 (Quotienten des Einheitsquadrats)
Betrachte das Einheitsquadrat Q := {(x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 1} in R2 mit der üblichen Topologie.
a) Wir bilden Quotientenräume indem wir die linke Kante“ mit der rechten Kante“ von Q
”
”
verkleben“. Es gibt zwei verschiedene Arten dies zu tun. Formalisiere diese Idee, d. h. gib die
”
beiden zugehörigen Äquivalenzrelationen auf Q an. Welche bekannten geometrischen Objekte
sind die Quotientenräume?
b) Nun verkleben wir nicht nur die rechte und linke Kante miteinander, sondern zugleich die
obere mit der unteren Kante. Wieviele verschiedene Quotientenräume ergibt dies? Welche
bekannten geometrischen Objekte werden so beschrieben?
c) Weise nach, daß jeder der Quotientenräume aus b) lokal euklidisch ist, das heißt, daß jeder
Punkt darin eine Umgebung besitzt, die zu R2 homöomorph ist. Gilt dies auch für die Räume
aus a)?
Aufgabe 44 (Abgeschlossenheit in der Produkttopologie)
Welche der folgenden Teilmengen von RR mit der Produktopologie sind abgeschlossen:
a) Die Menge der stetigen Funktionen,
b) Die Menge der differenzierbaren Funktionen,
c) Die Menge der linearen Abbildungen.
Betrachte die Menge LG := {f : R → R | G(f ) = 0}, wobei G : RR → R eine Funktion sei.
Man kann LG als die Lösungsmenge einer durch G definierten Gleichung betrachten. Gib eine
hinreichende Voraussetzung an G an, die sicherstellt, daß die Menge LG abgeschlossenen ist.
Welcher der obigen Fälle ist ein Spezialfall hiervon?
Aufgabe 45
Es sei f : X → Y eine surjektive stetige Abbildung. Durch
x ∼ y : ⇐⇒ f (x) = f (y)
wird eine Äquivalenzrelation auf X erklärt, die Kernäquivalenz von f . Es sei π : X → X/∼ die
kanonische Projektion auf die Äquivalenzklassen. Der Raum X/∼ sei mit der durch π induzierten
Quotiententopologie ausgestattet. Zeige:
Es gibt eine eindeutig bestimmte Abbildung f : X/∼ → Y mit f = f ◦ π. Diese Abbildung f ist stetig.
f
X
π
{
{
{
/Y
{=
f
X/∼
Diese Abbildung f ist im allgemeinen kein Homöomorphismus.
Aus der Algebra kennst Du den (ersten) Isomorphiesatz für Gruppen und für Ringe. Vergleiche
diesen mit obigem Resultat.
Aufgabe 46 (Die universelle Eigenschaft des Produkts)
Für jedes i ∈ I sei pi : X → Xi eine stetige Abbildung. Zeige, daß der Raum X genau dann zum
Produktraum
Y
Xi
i∈I
homöomorph ist, wenn X folgende Eigenschaft erfüllt:
Zu jeder Familie fi : Y → Xi stetiger Abbildungen gibt es genau eine stetige Abbildung
f : Y → X mit fi = pi ◦ f für alle i ∈ I.
Q
Insbesondere hat also das Produkt i∈I Xi diese Eigenschaft und es ist durch diese Eigenschaft
bis auf Homöomorphie eindeutig charakterisiert. Man nennt diese Eigenschaft die universelle
Eigenschaft des Produkts. (Mehr dazu lernt man in der Kategorientheorie.) Für I = {1, 2} wird
sie durch folgendes Diagramm veranschaulicht:
Y
f
f1
uu
uu
u
uu pr1
u
z u
X1
X1 × XI2
f2
II
II
I
pr2 III
$ X2