Tutorial 3

Prof. Dr. Gerhard Berendt
SS 2005
Mathematische Grundlagen der Codierung / Endliche Strukturen
Tutorial 3: Konstruktion eines endlichen Körpers / S. 1 von 4
Konstruktion eines Erweiterungskörpers.
Im folgenden soll der Körper K16 mit 2
4
= 16 Elementen als Erweiterung des
BOOLschen Körpers K2 explizit konstruiert werden. Grundlage der Konstruktion ist
der Satz 4.5 aus Arbeitsblatt 4.
Der zu konstruierende Körper muß nach Satz 4.5 (15) = 8 primitive Elemente,
ferner noch (5) = 4 Elemente der Ordnung 5, (3) = 2 Elemente der Ordnung 3 und
natürlich (1) = 1 Element der Ordnung 1 (die 1) enthalten. Ausgehend vom Körper
K2 wollen wir daher ein primitives Element  adjungieren. Aus Satz 4.5 folgt, dass
dann alle Körperelemente von K16 aus 0 und den Potenzen  j (j = 0 .. 14) bestehen (
15
= 1 !). Die übrigen primitiven Elemente sind die Potenzen  r , für die r teilerfremd
zu 15 ist, die Elemente niedrigerer Ordnung sind die Potenzen  r mit ggT(r,15) > 1.
Damit ist die Multiplikationstabelle von K16 bereits komplett; was noch völlig fehlt,
ist die Tabelle für die Addition der 16 Elemente.
Wir betrachten nun das Element . Es ist Wurzel eines eindeutigen normierten über
K2 irreduziblen Polynoms f. Der durch die Adjunktion von  erhaltene Körper ist
eine Erweiterung von K2 vom Grad d = grad(f ) und hat daher die Ordnung 2d. Da 
ein primitives Element von K16 ist, folgt d = 4. Das Polynom f muß also vom Grade 4
sein und die Eigenschaft besitzen, dass es Teiler von X 15 – 1 ist, nicht aber Teiler
von X r – 1 für r < 15 . Ein solches Polynom heißt auch primitiv vom Grad 4.
Die Untersuchung der irreduziblen Polynome vom Grad 4 über K2 ergibt, dass zwei
solcher primitiven Polynome existieren:
f1  X 4  X  1
und
f2  X 4  X 3  1
Jedes dieser beiden Polynome besitzt als Wurzeln jeweils 4 der 8 primitiven
Elemente aus K16.
Sei  nun z.B. eine Wurzel von f1 = 0. Dann folgt:1

1
= ,
Die erforderlichen Polynom-Multiplikationen modulo f1 können bequem mittels Schieberegistern
ausgeführt werden
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Mathematische Grundlagen der Codierung / Endliche Strukturen
Tutorial 3: Konstruktion eines endlichen Körpers / S. 2 von 4
2
= 2 ,
3
= 3 ,
4
=  + 1,
5
= 4  
= 2 +  ,
6
= 5  
= 3 + 2 ,
7
= 6  
= 3 +  + 1 ,
8
= 7  
= 2 + 1 ,
9
= 8  
= 3 +  ,
10
= 9  
= 2 +  + 1 ,
11
= 10  
= 3 + 2 +  ,
12
= 11  
= 3 + 2 +  + 1 ,
13
= 12  
= 3 + 2 + 1 ,
14
= 13  
= 3 + 1 ,
15
= 14  
=1.
Die 3 weiteren Wurzeln von f1 = 0 sind – wie die Tabelle zeigt – die Potenzen 2, 4
und 8. Die noch verbleibenden 4 primitiven Elemente 7, 11, 13 und 14 sind
hingegen Wurzeln des Polynoms f2 .
Damit ist der konstruierte Körper komplett definiert
Als Erweiterungskörper von K2 ist K16 ein (vierdimensionaler) Vektorraum V über K2 ,
dessen Elemente als geordnete Quadrupel der Zahlen 0 und 1 (mit kanonisch
definierter Addition und Multiplikation mit den Skalaren 0 und 1) geschrieben
werden können. Wie man sieht, sind die Potenzen  i (i = 0, 1, 2, 3) linear unabhängig
und bilden eine (die kanonische) Basis (0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0) und (1,0,0,0).
Alle Vektoren in V können dann über die Zuordnung der Basisvektoren und der in V
kanonisch definierten Addition unmittelbar gebildet werden:
(0,0,0,0) = 0 ,
(1,0,0,0) = 1
= 15 ,
(0,1,0,0) = 
= 1 ,
(1,1,0,0) =  + 1
= 4 ,
(0,0,1,0) = 2
= 2 ,
(1,0,1,0) = 2 + 1
= 8 ,
,
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Mathematische Grundlagen der Codierung / Endliche Strukturen
Tutorial 3: Konstruktion eines endlichen Körpers / S. 3 von 4
(0,1,1,0) = 2 + 
= 5 ,
(1,1,10) = 2 +  + 1
= 10 ,
(0,0,0,1) = 3
= 3 ,
(1,0,0,1) = 3 + 1
= 14 ,
(0,1,0,1) = 3 + 
= 9 ,
(1,1,0,1) = 3 +  + 1
= 7 ,
(0,0,1,1) = 3 + 2
= 6 ,
(1,0,1,1) = 3 + 2 + 1
= 13 ,
(0,1,1,1) = 3 + 2 + 
= 11 ,
(1,1,1,1) = 3 + 2 +  + 1
= 12 .
Die Darstellung des Erweiterungskörpers als kanonischer Vektorraum über K2 kann
nutzbringend in der Codierungstheorie verwendet werden, wenn die 0/1-Tupel als
Bitfolgen in Codes interpretiert werden.
Zusätzliche Bemerkungen:
Ein Polynom f3 höchstens 4. Grades aus dem Polynomring über K2, das zwar
irreduzibel, nicht jedoch primitiv ist, ist also Teiler von X r – 1 mit r als einer ganzen
Zahl < 15, die selbst Teiler von 15 ist. Die Wahl einer Nullstelle eines solchen
Polynoms als neues Element des zu konstruierenden Körpers liefert daher auch kein
primitives Element von K16 , sondern nur eins der (r) der Ordnung r und damit einen
kleineren Erweiterungskörper von K2 .
Nach Satz 4.5 aus Arbeitsblatt 4 existieren zu jedem Körper der Ordnung q = 2 r
(q-1) primitive Elemente. Da ein Polynom vom Grad r über diesem Körper r
Wurzeln hat, und die Wurzeln eines primitiven Polynoms sämtlich die Multiplizität 1
besitzen, muß es mithin (2r-1) / r primitive Polynome über Kq geben, eine mit r
schnell wachsende Zahl (r):
r
1
2
3
4
8
16
24
q = 2r
2
4
8
16
256
65536 16.777.216 4.294.967.296
(r)
1
1
2
2
16
2048
276.480
32
67.108.864
Die praktische Bestimmung der Körperelemente entlang des hier gezeigten Weges
kann daher naturgemäß nur für nicht zu große Werte von p erfolgen. Die
erforderlichen Multiplikationen der vorkommenden Polynome modulo eines
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Mathematische Grundlagen der Codierung / Endliche Strukturen
Tutorial 3: Konstruktion eines endlichen Körpers / S. 4 von 4
gefundenen primitiven Polynoms kann jedoch mit Hilfe von Schieberegistern
automatisiert werden.