Das Hilbertsche Axiomensystem - Mathematik und ihre Didaktik

Das Hilbertsche Axiomensystem
Inzidenzaxiome
I 1 Zu zwei Punkten existiert genau eine Gerade, die mit diesen beiden
Punkten inzidiert.
I 2 Mit jeder Geraden inzidieren mindestens zwei Punkte. Es existieren
drei Punkte, die nicht mit einer Geraden inzidieren.
Anordnungsaxiome
Es sei Z ( liegt zwischen“) eine dreistellige Relation auf der Menge der
”
Punkte mit folgenden Eigenschaften:
A 1 Wenn (A, B, C) ∈ Z, so sind A, B und C kollinear und es gilt auch
(C, B, A) ∈ Z.
A 2 Zu je zwei verschiedenen Punkten A und B existiert stets ein Punkt
C mit (A, B, C) ∈ Z.
A 3 Von drei Punkten liegt höchstens einer zwischen den beiden anderen.
A 4 (Pasch-Axiom)
Falls eine Gerade durch keinen der Eckpunkte eines Dreiecks verläuft
sowie eine offene Seite dieses Dreiecks schneidet, so schneidet diese
Gerade noch mindestens eine weitere offene Seite des Dreiecks.
Kongruenzaxiome
K 1 Für jede Strecke AB existiert auf jeder Halbgeraden P Q+ genau ein
Punkt R mit AB ≡ P R.
K 2 Die Streckenkongruenz ist transitiv.
K 3 Ist B ∈ AC, R ∈ P Q, AB kongruent zu P R und BC kongruent zu
RQ, dann ist auch AC kongruent zu P Q.
K 4 Zu jedem Winkel ∠(g, h) und zu jeder Halbgeraden g gibt es in jeder
Halbebene bezüglich g genau eine Halbgerade h mit demselben Scheitel
O, so daß die Winkel ∠(g, h) und ∠(g , h) zueinander kongruent sind.
K 5 Jeder Winkel ist zu sich selbst kongruent.
K 6 Wenn für zwei Dreiecke ABC und AB C gilt AB ≡ A B , AC ≡ A C und ∠(BAC) ≡ ∠(B AC ), so gilt auch ∠(ACB) ≡ ∠(A C B ).
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Stetigkeitsaxiome
S 1 (Archimedes-Axiom)
Es seien AB und CD beliebige Strecken. Dann existieren Punkte A1 ,A2,
. . . An auf der Halbgerade AB + derart, daß
a) AA1 ≡ A1A2 ≡ · · · ≡ An−1An ≡ CD
und
b) B ∈ AAn .
S 2 (Cantor-Axiom)
Auf einer beliebigen Geraden g sei eine unendliche Folge von Strecken
AiBi gegeben mit Ai+1Bi+1 ⊂ AiBi (für alle i ∈ N), und es gebe zu
jeder Strecke CD eine natürliche Zahl n mit l(AnBn ) < l(CD). Dann
existiert auf g ein Punkt P mit P ∈ Ai Bi für alle i ∈ N.
(l(CD) ist die Äquivalenzklasse aller zu CD kongruenten Strecken.)
Parallelenaxiom
PA Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P existiert höchstens eine Gerade, die zu g parallel ist und durch P verläuft.
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