Ebene 2D- Koordinatentransformationen

Ebene 2D- Koordinatentransformationen
Örtliche Koordinaten müssen in Landeskoordinaten überführt werden, in der grafischen
Datenverarbeitung werden Karten in das Koordinatensystem eingepasst. Das geschieht mit Hilfe von
Transformationsverfahren. Ziel dieser Abhandlung soll es sein, die Begriffe 4-Parameter- und 6Parametertransformation zu erläutern. Rechenverfahren sollen nicht abgeleitet, sondern
transparent gemacht werden. Die eigentliche Berechnung erfolgt immer mit Rechenprogrammen (z.B.
KAVDI, KIVID oä.)
Bei einer Transformation müssen für alle Punkte Koordinaten im Quellsystem (= Altes System) und
zusätzlich für mindestens zwei dieser Punkte Koordinaten im Zielsystem (= Neues System) gegeben
sein. Diese beiden Punkte werden als identische Punkte (= Stützpunkte) bezeichnet. In der Praxis
liegen mehr als zwei identische Punkte vor. In diesen Fällen ist die Transformation überbestimmt.
Eine überbestimmte Umformung ist wegen der Nachbarschaftstreue und der Kontrolle immer
anzustreben (siehe auch die Prinzipskizze).
Vereinfacht kann man sich die überbestimmte Transformation so vorstellen:
Aus den Koordinaten der identischen Punkte wird in jedem System der Schwerpunkt PS bzw. PS
berechnet.
Schwerpunkt im Quellsystem:
ys = y/n ;
x s = x/n
Schwerpunkt im Zielsystem
Y s = Y/n ;
X s =  X/n
n = Anzahl der identischen Punkte
Der Nullpunkt des Quellsystems wird parallel zu den Achsen des neuen Systems so verschoben,
dass die Schwerpunkte zur Deckung kommen (Parameter a und b). Die Parameter a und b sind dann
die Koordinaten des Koordinatennullpunktes O im Zielssystem. Siehe hierzu Excel-Tabelle bis Zeile
14!!!. Anschließend werden alle Punkte des Quellsystems im Schwerpunkt PS um den Winkel 
gedreht (Parameter ). Alle Punkte des Quellsystems (auch der Koordinatennullpunkt) machen diese
Verschiebung und Drehung mit. Im Rahmen der Punktgenauigkeit sind decken sich jetzt die
identischen Punkte in beiden Systemen, Siehe dazu auch eine Powerpoint-Präsentation.
Aus dem Vergleich der Strecken der identischen Punkte zu den Schwerpunkten im Quell- und
Zielsystem lässt sich ein Maßstabsfaktor m berechnen (Parameter m).
Berechnung des Drehwinkels und des Maßstabsfaktors m
In beiden Koordinatensystemen werden vom jeweiligen Schwerpunkt zu den identischen Punkten die
Richtungswinkel T bzw. t und die Strecken salt und sneu berechnet. Daraus lassen sich dann
mehrfach berechnen:
 = t - T
m = sneu / salt
 Parameter und m
Siehe Excel-Tabelle, Zeile 24, Spalten D und G!!!
Die bei den mehrfach berechneten Werten  und m auftretenden Differenzen werden nach den
Regeln der Ausgleichungsrechnung verteilt (oder wie hier vereinfacht gemittelt). Siehe Excel-Tabelle!!
Berechnung der Punktkoordinaten im Zielsystem
Im Quellsystem werden vom Schwerpunkt PS aus zu den umzuformenden Punkten die
Richtungswinkel Ti und die Strecken si berechnet.
Die noch unbekannten Richtungswinkel ti im Zielsystem lassen sich dann wie folgt berechnen:
ti = Ti + 
Mit den Schwerpunktkoordinaten
polar berechnet:
Ys
und
Xs
werden die Koordinaten der Punkte im Zielsystem
Yi = YS + m * si * sin ti
Xi = XS + m * si * cos ti
Siehe dazu auch Aufgabe 9 !!!. Nach dem gleichen Verfahren lassen sich die Koordinaten der
identischen Punkte im Zielsystem (Y, X - Koordinaten) durch polares Anhängen erneut berechnen.
Die auftretenden Differenzen zu den gegebenen Koordinaten im Zielsystem werden als Restklaffen
bezeichnet.
Die so beschriebene Transformation wird als 4-Parameter Transformation oder HelmertTransformation (nach dem Geodäten Helmert) bezeichnet. Wird auf die Berücksichtigung des
Maßstabsfaktors verzichtet, spricht man von einer 3-Parameter-Transformation.
Affine Transformation
Werden für die Y- und X - Achsen getrennte Drehwinkel  und  und getrennte Maßstabsfaktoren
my und mx berechnet, so spricht man von einer affinen Transformation oder 6 – Parameter
Transformation
( Parameter a, b, ,  , my und mx ). Notwendig für die Berechnung der 6
Parameter sind 3 Koordinatenpaare, also drei identische Punkte. Bei mehr als 3 identischen Punkten
liegt eine überbestimmte Transformation vor. Es treten Restklaffen auf, die wiederum verteilt werden
müssen.
Weil die Differenz der Drehwinkel selten 100 Gon und die Maßstabsfaktoren m y und mx selten gleich
sein werden, wird durch die Transformation die Geometrie geändert. Aus einem Rechteck wird nach
der Umformung ein Parallelogramm.
Wahl des Umformungsverfahrens
Liegen nur wenige identische Punkte vor, so sollte die 4-Parameter Transformation bevorzugt
werden. Bei einem wenig überbestimmten System fällt ein Fehler in einem Anschlusspunkt nicht auf,
er wird gleichmäßig auf die übrigen identischen Punkte verteilt. Es sollte immer zuerst eine 4Parameter-Transformation durchgeführt werden. Nur sie liefert eine Kontrolle über die Genauigkeit
und Zuverlässigkeit der identischen Punkte. Im Anschluss daran kann ggflls. eine affine
Transformation durchgeführt werden.
Lage der Passpunkte
Die Passpunkte sollten gleichmäßig über das gesamte Umformungsgebiet verteilt sein. Kein
umzuformender Punkt sollte außerhalb des Umformungsgebietes liegen (siehe Anlage).
Restklaffenbeitigung
Nach der Transformation der identischen Punkte vom alten (Startsystem) in das neue System
(Zielsystem)
treten
gegenüber
den
gegebenen
Koordinaten
des
neuen
System
Koordinatendifferenzen auf. Diese Koordinatendifferenzen werden als Restklaffen bezeichnet. Da die
Koordinaten der identischen Punkte im neuen System in der Regel Sollkoordinaten sind, müssen die
Restklaffen um die benachbarten Neupunkte so verteilt werden, dass die Nachbarschaftstreue zu den
identischen Punkten erhalten bleibt. In der Praxis haben sich folgende Verfahren der
Restklaffenbeseitigung bewährt:

Verteilung nach Abstandsgewichten (Gewichte = 1/s oder 1/s² usw.)

Verteilung mit Hilfe der Multiquadratischen Interpolation
Diese beiden Methoden finden sich durchgängig in allen Rechenprogrammen und CAD-Programmen.
Die Multiquadratische Interpolation sollte bevorzugt verwendet werden.
Aufgaben:
1. Wann spricht man von einer überbestimmten Transformation?
2. Wie viele identischen Punkte sind mindestens notwendig bei einer
a) 4 – Parameter-Transformation
b) 6 – Parameter-Transformation ?
3. Wie werden die Transformationsverfahren nach Aufgabe 2 auch benannt.
4. Benennen Sie die Parameter bei einer
a) 4 – Parameter-Transformation
b) 6 – Parameter-Transformation
5. Was sind Restklaffen?
6. Benennen Sie 2 Methoden der Restklaffenverteilung in den Programmen KAVDI und Geograf!
7. Wo werden in der Praxis überbestimmte Transformationsverfahren benötigt (zwei Fälle)?
8. Bei einer Gebäudeeinmessung (siehe Fortführungsriss) wurden örtlich die Koordinaten der Punkte
100 –103 und 500 – 505 mit einer Totalstation gemessen. Für die Grenzpunkte 100 - 103 liegen
Gauß-Krüger Koordinaten vor:
Koordinaten der identischen Punkte:
Örtliche Koordinaten (Quellsystem)
Pkt
y
x
100
2,000
3,217
101
4,342
23,891
102
24,335
22,792
103
22,083
2,735
Pkt
100
101
102
103
Gauß-Krüger Koordinaten (Zielsystem)
Rechts (Y)
Hoch(X)
3416430,080
5799451,800
3416447,000
5799439,800
3416436,440
5799422,860
3416419,950
5799434,490
Koordinaten der umzuformenden Punkte
Örtliche Koordinaten (Quellsystem)
Pkt
y
x
500
7,506
7,404
501
8,642
17,339
502
15,597
16,544
503
15,369
14,557
504
20,337
13,989
505
19,429
6,041
a) Berechnen Sie mit Hilfe von KAVDI die Gauß-Krüger Koordinaten der Punkte 500-505.
Benutzen Sie für die Restklaffenverteilung die angegebenen Methoden und nehmen Sie einen
Vergleich vor.
b)
In nur schwach überbestimmten Stützpunktsystem können grobe Fehler in einer
Stützpunktkoordinate unentdeckt bleiben. Der Fehler wird durch Verteilung auf die anderen
Stützpunkte verschmiert. Also nicht blind den Genauigkeitsangaben des Programms trauen. Die
Beurteilung erfordert den Sachverstand des Auswerters.
Prüfen Sie den Verschmierungseffekt, indem Sie die Koordinaten eines Stützpunktes um 10cm
ändern und die Transformation erneut starten.
c)
Überprüfen Sie ob überall ein Grenzabstand von 3,00 m eingehalten wurde.
9.
In der beigefügten Exceltabelle sind die Schwerpunktkoordinaten in beiden Systemen und der
bereits berechnet. Vervollständigen Sie die Tabelle durch nachfolgende Berechnungen.
Berechnen Sie:

Den mittleren Drehwinkel mittel und den mittleren Maßstabsfaktor m mittel

Für die identischen Punkte 100 - 103 mit Hilfe von mittel und mmittel die Koordinaten yneu
und xneu.(Gauß-Krüger Koordinaten)

Für die Punkte 100- 103 die Restklaffen

Die Gauß-Krüger Koordinaten der Punkte 500-505
Vergleichen Sie die Koordinaten mit den von KAVDI ermittelten Koordinaten. Starten Sie dazu
die KAVDI-Transformation erneut ohne Restklaffenbeseitigung.
Gez. Nospickel / September 2004