Lebesgue-Maß

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Lebesgue-Maß
Das Lebesgue-Maß λ weist den Lebesgue-messbaren Teilmengen der reellen
Zahlen (Rn ) ihr Maß oder Volumen zu. Das Lebesgue-Maß hat folgende Eigenschaften:
• Falls A Q
das direkte Produkt der Intervalle I1 , I2 , . . . , In ist, dann gilt
λ(A) = nI=1 |Ii |, wobei |I| die Intervalllänge bedeutet.
• Falls A die Vereinigung von paarweise disjunkten abzählbar vielen Lebesguemessbaren
Mengen Ai ist, dann ist auch A Lebesgue-messbar mit λ(A) =
P
λ(A
).
i
i
• Falls A Lebesgue-messbar ist, dann ist auch das Komplement von A
Lebesgue-messbar.
• Es gilt λ(A) ≥ 0 für jede Lebesgue-messbare Menge A.
• Falls A und B Lebesgue-messbare Mengen sind mit A ⊂ B, dann folgt
λB ≥ λ(A).
• Vereinigungen und Durchschnitte von abzählbar vielen Lebesgue-messbaren
Mengen sind Lebesgue-messbar.
• Jede offene oder abgeschlossene Menge A ist Lebesgue-messbar.
• Falls A Lebesgue-messbar ist mit λ(A) = 0, dann ist jede Teilmenge
von A ebenfalls messbar mit dem Lebesgue-Maß 0.
• Sei A Lebesgue-messbar und x ∈ (R)n , dann ist die Translation A+x =
{a + x | a ∈ A} ebenfalls Lebesgue-messbar mit λ(A + x) = λ(A).
Die Lebesgue-messbaren Mengen bilden die kleinste σ-Algebra über den reellen Zahlen, die alle Intervalle enthält und λ ist das eindeutige, vollständige
und translations-invariante Maß auf dieser σ-Algebra, das dem Einheitswürfel
das Maß 1 zuordnet.
Die Definition des Lebesgue-Maßes durch Henri Lebesgue, die im Jahre 1902
veröffentlicht wurde, war die Grundlage der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen. Mit dem LebesgueMaß wurde es möglich, totaladditive Wahrscheinlichkeitsmaße zu definieren
und damit der Wahrscheinlichkeitstheorie eine mathematisch-theoretische
Grundlage zu geben.
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Für die Bernoulli Stochastik hat das Lebesgue-Maß keine fundamentale Bedeutung, da stetige Wahrscheinlichkeitsmaße allenfalls als Approximationen
verwendet werden.
Version: 1.00