Mathematik IV

Christian Beck
Parmenides Garcia Cornejo
Ralf Gerkmann
Donnerstag, 5. Mai 2011
Mathematik IV
(Lebesgue-Theorie, Funktionentheorie und Gewöhnliche Differentialgleichungen)
— Blatt 1 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 3
(a) Für jedes α ∈ R definieren wir eine Matrix Dα ∈ M2 (R) durch
!
cos(α) − sin(α)
Dα =
.
sin(α) cos(α)
Die Drehung mit Winkel α um einen Punkt p ∈ R2 ist gegeben durch ρp,α = τp ◦ φDα ◦ τ−p ,
wobei die Abbildung τp durch τp (x) = p + x definiert ist und φDα die zur Matrix Dα lineare
Abbildung bezeichnet. Zeigen Sie, dass die Lebesgue-Messbarkeit und das Lebesgue-Maß einer
Teilmenge B ⊆ R2 unter ρp,α erhalten bleibt.
(b) Sei H ⊆ Rm eine lineare Hyperebene, n ein Vektor mit knk = 1, der auf H senkrecht steht, und
v ∈ Rm beliebig. Dann nennt man
σv+H : Rm → Rm
,
x 7→ x − 2hx − v, nin
die Spiegelung an der affinen Hyperebene v +H, wobei h·, ·i das euklidische Standard-Skalarprodukt
auf Rm bezeichnet. Zeigen Sie, dass die Lebesgue-Messbarkeit und das Lebesgue-Maß einer Teilmenge B ⊆ Rm unter σv+H erhalten bleibt.
Aufgabe 4
Seien p, q, r ∈ R2 drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen affinen Geraden liegen. Das Dreieck mit
Eckpunkten p, q, r ist dann gegeben durch ∆(p, q, r) = {λp + µq + νr | λ, µ, ν ∈ [0, 1], λ + µ + ν = 1}.
Zeigen Sie:
(a) Es gilt ∆(p, q, r) = p + ∆(0, q − p, r − p).
(b) Das Dreieck ∆(p, q, r) ist messbar.
Aufgabe 5
Als Kreissektor mit Radius r > 0 und Winkel α ∈ [0, 2π] bezeichnen wir die Menge
Kr,α
=
{(s cos(β), s sin(β)) | 0 ≤ s ≤ r, 0 ≤ β ≤ α} .
Wir setzen als bekannt voraus, dass der Einheitskreis K1,2π das Lebesgue-Maß π besitzt. Beweisen Sie
die Formel µ(Kr,α ) = 12 αr2 .
Dieses Übungsblatt wird in der Woche vom 9. bis zum 13. Mai in den Tutorien bearbeitet.
Hinweise zur Bearbeitung der Aufgaben
Aufgabe 3
Hier geht es lediglich darum, Satz 1.2.11 anzuwenden. Denken Sie außerdem daran, dass das LebesgueMaß translationsinvariant ist. Bei Aufgabenteil (a) ist ρp,α bereits aus Translationen und einer linearen
Abbildung zusammengesetzt, so dass der Satz unmittelbar anwendbar ist. Bei Aufgabenteil (b) ist
vielleicht nicht direkt klar, dass eine affine Transformation vorliegt. Um zu zeigen, dass der Skalierungsfaktor für das Maß gleich 1 ist, sehen Sie sich an, was bei zweimaliger Anwendung der Spiegelung passiert.
Aufgabe 4
Aufgabenteil (a) ist der Beweis einer Mengengleichung. Für ⊆“ muss gezeigt werden, dass jeder Punkt
”
x der Form λp + µq + νr mit λ, µ, ν wie angegeben auch in der Form p + x′ mit x′ ∈ ∆(0, q − p, r − p)
dargestellt werden kann. Dies gelingt durch eine einfache Umformung, und die Inklusion ⊇“ funk”
tioniert ähnlich. Bei Aufgabenteil (b) ist die Abgeschlossenheit der Menge nachzuweisen. Dies gelingt
wahrscheinlich am einfachsten durch Betrachtung einer Folge in dieser Menge.
Aufgabe 5
Beweisen Sie zunächst µ(Kr,α ) = r2 µ(K1,α ), so dass wir uns auf den Fall r = 1 beschränken können. Bei
der Bestimmung von µ(K1,α ) orientieren wir uns an der Beweisstrategie von Lemma 1.2.7. Zeigen Sie
die Aussage zunächst für Winkel der Form
2π
n
mit n ∈ N. Verwenden Sie dabei, dass das Lebesgue-Maß
unter Drehungen (vgl. Aufgabe 3) invariant ist. Gehen Sie dann zu rationalen Vielfachen von 2π über,
und behandeln Sie zum Schluss beliebige Winkel.