Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Kevin Karassek Aktuelle Themen der Fachdidaktik WS 2016/2017 Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 Münze: Kopf/Zahl Glühbirne: 3,7 h In der Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigt man für alle möglichen Ausgänge einen sogenannten _________________. Diesen bezeichnen wir mit Ω (=Omega). Ω ... Menge alle Ausgänge Beispiele: Werfen eines Würfel Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Werfen einer Münze Ω = Werfen zweier Würfel Ω = Lebensdauer einer Glühbirne Ω = Ereignisse Ereignisse werden meist mit irgendwelchen Großbuchstaben abgekürzt. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A bezeichnet man mit P(A). Beispiel: Würfeln G ... es kommt eine gerade Zahl P(G) = 1 Quelle: Education Group GmbH (http://bilder.tibs.at/node/24346) Lizenz: CC BY-­βNC-­βSA 3.0 AT Seite 1/3 1 Kevin Karassek Aktuelle Themen der Fachdidaktik WS 2016/2017 Allgemein: E ist Ereignis ↔ _________________ 2. Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? *) *) 3. Laplace-Experiment *) *) Beispiel: Münzwurf A= πΎ B= π Setzt man auf Zahl, so ist B ein günstiger Fall. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt? Def.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace π· π¨ = π¨πππππ π ππ πüπ π¨ πüπππππππ π¨πππäπππ π¨πππππ πππππ πöπππππππ π¨πππäπππ Zurück zum Beispiel: ! P(B) = ! Bem.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace allgemeiner: π·(π¨) = Seite 2/3 π¨ π΄ Kevin Karassek Aktuelle Themen der Fachdidaktik WS 2016/2017 Laplace-Annahme gilt z. B.: Würfeln, Werfen einer Münze Gilt nicht: Werfen eines Reißnagels, Zündholzschachtel 4. Grundregeln der Wahrscheinlichkeit von Kolmogorow Mögliche Werte Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1: Es gilt: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Sicheres Ereignis Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: Vorschicht bei relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten π· π = π 5. Additionsregel Wenn zwei Ereignisse einander ausschließen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere Eintritt, gleich der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten. Es gilt: _________________________________, sofern ___________ 6. Gegenereignis Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ______ : Aufgaben: (1) Beweisen Sie die Additionsregel! (2) Für ein unmögliches Ereignis gilt: P( ∅ = 0 (3) Begründen Sie, warum der Münzwurf ein Laplace-Experiment ist, der Wurf einer Zündholzschachtel dagegen nicht. Seite 3/3 Kevin Karassek Aktuelle Themen der Fachdidaktik WS 2016/2017 Interaktives Skriptum LÖSUNG: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 Münze: Kopf/Zahl Glühbirne: 3,7 h In der Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigt man für alle möglichen Ausgänge einen sogenannten Ereignisraum. Diesen bezeichnen wir mit Ω (=Omega). Ω ... Menge alle Ausgänge Beispiele: Werfen eines Würfel Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Werfen einer Münze Ω = π, π² Werfen zweier Würfel Ω = π, π, π, π, π, π, π, π, ππ, ππ, ππ Lebensdauer einer Glühbirne + Ω = β 0 Ereignisse Ereignisse werden meist mit irgendwelchen Großbuchstaben abgekürzt. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A bezeichnet man mit P(A). Beispiel: Würfeln 2 G ... es kommt eine gerade Zahl π π π π π P(G) = π + π + π = π = π = ππ % 2 Quelle: Education Group GmbH (http://bilder.tibs.at/node/24346) Lizenz: CC BY-­βNC-­βSA 3.0 AT Kevin Karassek Aktuelle Themen der Fachdidaktik WS 2016/2017 Allgemein: E ist Ereignis ↔ E ⊆ π 2. Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? *) hängt vom Zufall ab *) Experiment kann beliebig oft wiederholt werden, OHNE dass sich die Ergebnisse gegenseitig beeinflussen. 3. Laplace-Experiment *) alle Ereignisse sind gleichwahrscheinlich *) es gibt nur endlich mögliche Ausgänge des Experiments Beispiel: Münzwurf A= πΎ B= π Setzt man auf Zahl, so ist B ein günstiger Fall. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt? Def.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace π· π¨ = π¨πππππ π ππ πüπ π¨ πüπππππππ π¨πππäπππ π¨πππππ πππππ πöπππππππ π¨πππäπππ Zurück zum Beispiel: ! P(B) = ! Bem.: Wahrscheinlichkeit nach Laplace allgemeiner: π·(π¨) = π¨ π΄ Kevin Karassek Aktuelle Themen der Fachdidaktik WS 2016/2017 Laplace-Annahme gilt z. B.: Würfeln, Werfen einer Münze Gilt nicht: Werfen eines Reißnagels, Zündholzschachtel 4. Grundregeln der Wahrscheinlichkeit von Kolmogorow Mögliche Werte Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1: Es gilt: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Sicheres Ereignis Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: Vorschicht bei relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten π· π = π 5. Additionsregel Wenn zwei Ereignisse einander ausschließen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere eintritt, gleich der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten. Es gilt: P(A∪B) = P(A) + P(B), sofern A ∩ B = ∅ 6. Gegenereignis Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ¬π¨ : 1 – P(A) = P(¬A) 1 – P(¬π) = P(A) Aufgaben: (1) Beweisen Sie die Additionsregel! (2) Für ein unmögliches Ereignis gilt: P( ∅ = 0 (3) Begründen Sie, warum der Münzwurf ein Laplace-Experiment ist, der Wurf einer Zündholzschachtel dagegen nicht.
