Ubungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und

Universität Heidelberg
Institut für Informatik
Priv.-Doz. Dr. Wolfgang Merkle
6. Juni 2016
Übungen zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Komplexität I
Blatt 5
(Präsenzübungen, nicht abzugeben)
Aufgabe 1 (Konfigurationen von platzbeschränkten Turingmaschinen)
Es sei s eine Platzschranke und M = (Q, {0, 1}, Γ, δ, q0 , F ) eine s(n)-platzbeschränkte k-Band-Turingmaschine
vom Offline-Typ. Eine Konfiguration von M zur Eingabelänge n besteht aus einem Zustand aus Q sowie
(i) einer Zahl aus {1, . . . , n}, der Position auf dem Eingabeband,
(ii) k Wörtern über Γ der Länge höchstens s(n), den relevanten Teilen der Bandinschriften, und
(iii) k Zahlen aus {1, . . . , s(n)}, den Kopfpositionen auf den einzelnen Bändern.
a) Geben Sie eine Darstellung der Konfigurationen von M als Wörter der Länge s(n) über einem geeigneten Alphabet an.
b) Schließen Sie aus Teil a, dass es eine nur von M abhängige Konstante d gibt, so dass M für alle n
höchstens 2d·s(n) viele Konfigurationen zur Eingabelänge n hat.
c) Zeigen Sie für die Konstante c aus Teil b, dass M 2d·s(n) -zeitbeschränkt ist.
d) Was ändert sich in den Teilen a bis c, falls M nicht als deterministisch vorausgesetzt wird?
Aufgabe 2 (Abschluss unter mengentheoretischen Operationen)
Zeigen Sie, dass die Komplexitätsklassen N P und N LOG gegen Vereinigung und Durchschnitt abgeschlossen sind.
Bemerkung: Es ist nicht bekannt, ob N P gegen Komplement abgeschlossen ist. Für N LOG folgt diese
Abschlusseigenschaft aus dem in der Vorlesung behandelten Satz von Immerman und Szelepcsényi.
Aufgabe 3 (Abschluss unter Kleene-Stern)
Der Operator Kleene-Stern überführt eine Sprache L in die Sprache
L∗ = {u1 · · · um : m ∈ N und u1 , . . . , um ∈ L},
d.h., L∗ enthält gerade alle Wörter, die durch Konkatenation von endlich vielen Wörtern aus L gebildet
werden können.
Zeigen Sie, dass die Klassen P, N P und N LOG gegen Anwendung des Kleene-Sterns abgeschlossen sind.
Aufgabe 4 (SAT und 3-SAT)
Zeigen Sie, dass SAT p-m-reduzierbar auf 3-SAT ist und folgern Sie daraus, dass 3-SAT N P-vollständig
ist.
Hinweis: Es genügt, die Klauseln α1 , . . . , αm einer gegebenen Formel ϕ in KNF unabhängig voneinander in
Formeln τ1 , . . . , τm in 3-KNF zu transformieren. Dabei dürfen beim Übergang von αi zu τi neue Variablen
hinzugenommen werden, falls gesichert ist, dass genau die erfüllenden Belegungen von αi zu erfüllenden
Belegungen von τi erweitert werden können.
Aufgabe 5 (Clique)
Eine Menge von Knoten eines ungerichteten Graphen G = (V, E) heißt Clique, falls zwischen allen Paaren
von Knoten aus dieser Menge eine Kante verläuft. Das Problem CLIQUE ist definiert als
CLIQUE := {(G, k) : der ungerichtete Graph G enthält eine Clique der Größe k}.
Zeigen Sie, dass 3-SAT p-m-reduzierbar auf CLIQUE ist und folgern Sie daraus, dass CLIQUE N Pvollständig ist.
Die Aufgaben werden in der Übung am Donnerstag, den 9. Juni, um 14 Uhr c.t. besprochen.
Die Übungen finden in SR 9 im Mathematikon statt.
Die Übungsblätter sind im PDF-Format abrufbar unter
http://math.uni-heidelberg.de/logic/ss16/komplex ss16.html .