Aufgabenblatt 3

Übungsaufgaben Theoretische Informatik II SS05 Blatt 3
Aufgabe 1 Wir betrachten das spezielle Rucksackproblem RP ∗ . Eingabe:
natürliche Zahlen a1 , · · · , an und eine Zahl A. Akzeptiert wird, wenn es eine
P
Teilmenge I ⊆ {1, · · · , n} von Objekten gibt mit i∈I ai = A.
a) Man zeige die N P -Vollständigkeit von RP ∗ , indem man zeigt, dass
folgende Abbildung eine polynomielle Reduktion von 3SAT auf RP ∗ ist.
Jeder CNF-Formel C = C1 ∧ · · · ∧ Cm , wobei für alle j = 1, · · · , m Cj =
j
L1 ∨ Lj2 ∨ Lj3 3-Klausel über den Literalen x1 , · · · , xn .¬x1 , · · · , ¬xn , wird eine
Eingabeinstanz für RP ∗ von Zahlen
(a1 , · · · , an , b1 , · · · , bn , c1 , · · · , cm , d1 , · · · , dm , A)
in folgender Weise zugeordnet.
Alle Zahlen haben n + m Dezimalstellen, einen vorderen Block von m
Stellen und einen hinteren von n Stellen.
Die Zahl A besteht aus m Vieren gefolgt von n Einsen, A = 4 · · · 41 · · · 1.
Die Zahlen ai , 1 ≤ i ≤ n, entsprechen den Literalen xi . Stelle j, 1 ≤
j ≤ m, im vorderen Block gibt an, wie oft Literal xi in Klausel Cj vorkommt
(möglich sind 0,1,2,3). Im hinteren Block steht an Stelle i eine Eins, sonst
Nullen.
Die Zahlen bi , 1 ≤ i ≤ n, entsprechen den Literalen ¬xi . Stelle j, 1 ≤ j ≤
m, im vorderen Block gibt an, wie oft Literal ¬xi in Klausel Cj vorkommt
(möglich sind 0,1,2,3). Im hinteren Block steht an Stelle i eine Eins, sonst
Nullen.
Die Zahl cj hat für alle 1 ≤ j ≤ m im vorderen Block an Stelle j eine
Eins, ansonsten überall Nullen.
Die Zahl dj hat für alle 1 ≤ j ≤ m im vorderen Block an Stelle j eine
Zwei, ansonsten überall Nullen.
Aufgabe 2 Man gebe eine polynomielle Reduktion von RP ∗ auf die
Entscheidungsvariante des allgemeinen Rucksackproblems an.
Aufgabe 3 Man zeige die NP-Vollständigkeit von PARTITION, indem
man eine polynomielle Reduktion von RP ∗ auf PARTITION angibt.
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Aufgabe 4 Wir betrachten das Problem MAXCLIQUE, das darin besteht,
für einen ungerichteten Graphen eine maximale Clique auszurechnen. Ein
ungerichteter Graph heißt Clique (oder vollständig), falls alle Knotenpaare
durch eine direkte Kante verbunden sind. Formale Definition des MAXCLIQUE Problems: Eingabe: Ungerichtete Graphen G = (V, E). Zulässige
Lösungen zu G: Knotenteilmengen V 0 ⊆ V , die eine Clique definieren, d.h.,
für die gilt, dass (v 0 , v) ∈ E für alle v 6= v 0 aus V 0 . Kosten einer zulässigen
Lösung V 0 ist |V 0 |. Goal ist max.
Man zeige die NP-Vollständigkeit des Entscheidungsproblems CLIQUE,
das für gegebenen ungerichteten Graphen G und k ∈ IN entscheidet, ob G
eine Clique der Größe k hat, indem man zeigt, dass folgende Abbildung eine
polynomielle Reduktion von 3SAT auf CLIQUE darstellt:
Jeder (wie oben notierten) Eingabe C = C1 ∧ · · · ∧ Cm für 3SAT wird ein
ungerichteter Graph G = (V, E) und eine Zahl k zugeordnet.
V = {vj,s , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ s ≤ 3}
0
E = {(vj,s , vj 0 ,s0 ), j 6= j 0 , Ljs 6= ¬Ljs0 }
k = m.
Aufgabe 5 Für gegebenen ungerichteten Graphen G = (V, E) und eine
positive natürliche t bezeichne Gt = (V t , E t ) folgenden Graphen.
V t = {(v1 , · · · , vt ), v1 , · · · , vt ∈ V },
also die Menge aller t-Tupel von Knoten aus V .
E t besteht aus allen Paaren ((v1 , · · · , vt ), (w1 , · · · , wt )) für die gilt, dass
für alle i = 1, · · · , t entweder (vi , wi ) ∈ E oder vi = wi gilt.
a) Man zeichne G2 für den Graphen
G = ({1, 2, 3, 4}, {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (1, 3)})
(alle Kanten sind als ungerichtete Kanten zu verstehen).
b) Welche Beziehung besteht zwische der Größe einer maximalen Clique
in G und der Größe einer maximalen Clique in Gt ?
c) Man zeige, dass jeder polynomielle Approximationsalgorithmus konstanter Güte für MAXCLIQUE in ein FPTAS für MAXCLIQUE umgewandelt werden kann.
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