Erdbeben - Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik

Erdbeben
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Erdbeben – Teil 1
Seismologische Grundbegriffe
Erdbebenskalen
Zur Charakterisierung der Stärke eines Erdbebens dienen die Magnitudenskala und die
Intensitätsskala.
Magnitudenskala (Richterskala)
Die Magnitude M ist ein Maß für die Herdenergie, d.h. ein Maß für die bei einem Erdbeben im
Herd in Form elastischer Wellen abgestrahlte Energie. Es gilt die folgende empirische Beziehung
zwischen Herdenergie E und Magnitude M :
log E =11,8+1,5 M [erg]
Bei der nach oben offenen Magnitudenskala, benannt nach C.F. Richter (1935), handelt es sich
somit um eine logarithmische Skala. Ein Zuwachs um eine Einheit bedeutet somit eine Erhöhung
Baudynamik (VO), SS 2011
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
R. Heuer
der Herdenergie um den Faktor 101,5 = 31,6 .
Erdbeben
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Es gibt im Wesentlichen drei verschiedene Definitionen der Magnitude:
Ml
Ms
Mf
Nahbeben-Magnitude = Lokalmagnitude ("local magnitude"): definiert von Richter, 1935,
gilt bis zu Epizentraldistanzen ~ 500 km.
Oberflächenwellen-Magnitude ("surface wave magnitude"): definiert von Gutenberg,
1945, wird aus den Maximalausschlägen von Oberflächenwellen ermittelt.
Raumwellen-Magnitude ("body wave magnitude"): definiert von Gutenberg, 1945; wird
aus den Maximalausschlägen der Raumwellen ermittelt (auch Fernbeben-Magnitude
genannt).
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Typische Zahlenwerte für die Maginitude M s :
1-2 ... gerade noch spürbares Beben
3-4 ... mittleres Beben
~ 7 ... stärkstes im Alpenraum zu erwartendes Beben
~ 9... stärkstes theoretisch mögliches Beben
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Intensitätsskala
Die Intensität I ist ein Maß für die Wahrnehmbarkeit und die lokale Zerstörungskraft eines
Erdbebens. Die Intensitätsskala wird auch "makro-seismische Skala" genannt. Die lokale
Zerstörungskraft und somit die Auswirkungen eines Erdbebens sind im Wesentlichen abhängig
von den folgenden Parametern:
- Magnitude
- Frequenzgehalt an der Quelle (abhängig vom Herdmechanismus)
- Herdtiefe
- Herdentfernung vom Standort
- Geologie / Topographie
- Lokaler Untergrund / Baugrund
- Frequenzgehalt am Standort
- Dauer des Bebens am Standort
Die Magnitude ist somit nur eine Größe (unter zahlreichen andern), welche die Auswirkungen eines
Erdbebens beeinflussen. Die Intensität wird ermittelt durch Bewertung der Wahrnehmbarkeit und
der lokalen Schäden. Es werden verschiedene Intensitätsskalen benützt, wobei zwischen den
verschiedenen 12-teiligen Skalen keine großen Unterschiede bestehen.
MSK-Skala (1964, benannt nach Medvedev-Sponheuer-Karnik) - vorwiegend in Europa
MM-Skala (1931, Version 1956, benannt als Modifizierte Mercalli-Skala) - vor allem in den
USA, z.T. auch in Europa (z.B. Italien)
MS-Skala (benannt nach Mercalli-Sieberg) - vor allem in Deutschland
Es existieren empirisch gefundene Formeln, die den Zusammenhang zwischen der NahbebenMagnitude M l und der Epizentralintensität I0 wiedergeben (diese sind jedoch vom Standort
abhängig). Z.B. gilt für das Gebiet Slovenien
Baudynamik (VO), SS 2011
H [km] ... Herdtiefe
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R. Heuer
M l = 0,66 I0 + 1,7 log H − 1,1
Erdbeben
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MSK-Skala:
Erdbebenwellen
Baudynamik (VO), SS 2011
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R. Heuer
Die Prozesse beim Bruchvorgang im Erdbebenherd bestimmen die Eigenschaften der
abgestrahlten Wellen (z.B. Abstrahlcharakteristik, spektrale Zusammensetzung). Von der Quelle
breiten sich die seismischen Wellen durch die Erde aus. Die Eigenschaften dieses
Übertragungsmediums verändern in erheblichem Maß Amplitude und Frequenzgehalt der
abgestrahlten Wellen. Die an einem bestimmten Standort registrierten Wellen enthalten deshalb
sowohl Informationen über die Quelle (Erdbebenherd) als auch über das Übertragungsmedium,
welches die Wellen durchlaufen haben.
Erdbeben
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Wellenarten
Es wird zwischen zwei Haupttypen seismischer Wellen unterschieden:
Raumwellen: Primärwellen (P - Wellen) und Sekundärwellen (S - Wellen)
Oberflächenwellen: Lovewellen (L - Wellen) Rayleighwellen (R - Wellen)
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Raumwellen treten in der Erdkruste und zum Teil (P-Wellen) auch im Erdinneren auf. P-Wellen
sind Kompressions-Dilatationswellen, d.h. Longitudinalwellen. Die Teilchen bewegen sich in
Fortpflanzungsrichtung der Welle vorwärts und zurück, ähnlich wie bei Schallwellen. Dies
geschieht im festen Gestein, im flüssigen Magma, im Wasser. An Oberflächen können
Schallwellen abgestrahlt werden (Frequenz im hörbaren Bereich). P - Wellen treffen am Standort
eines Beobachters stets vor den S-Wellen ein, da ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit größer ist.
S-Wellen sind Scherwellen. d.h. Transversalwellen. Die Teilchen bewegen sich quer zur
Fortpflanzungsrichtung der Welle hin und her, und zwar in einer Horizontalebene (SH-Welle)
oder in einer Vertikalebene (SV-Welle) oder kombiniert. Dies geschieht nur im festen Gestein,
nicht aber im flüssigen Magma oder im Wasser, da hier keine Schersteifigkeit vorhanden ist.
Erdbeben
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Oberflächenwellen treten nur an der Erdoberfläche auf, die Bewegung der Teilchen nimmt nach
unten stark ab. Die Eindringtiefe entspricht etwa der Wellenlänge (frequenzabhängig).
Oberflächenwellen treffen am Standort eines Beobachters stets nach den S-Wellen ein, da ihre
Fortpflanzungsgeschwindigkeit etwas kleiner ist.
L-Wellen sind ähnlich den SH - Wellen. Die Teilchen bewegen sich horizontal quer zur
Fortpflanzungsrichtung, jedoch nach unten stark abnehmend.
R-Wellen sind ähnlich den Wasserwellen. d.h. den Wellen an der Oberfläche eines
Wasserspiegels nach Einschlag eines Steines. Die Teilchen bewegen sich in einer Vertikalebene
elliptisch. d.h. kombiniert sowohl horizontal vorwärts und zurück als auch vertikal auf und ab.
Wellengeschwindigkeiten
In homogenen Medien ist die Wellengeschwindigkeit eine Funktion elastischer Parameter und der
Materialdichte, d.h. abhängig von der chemisch-petrographischen Zusammensetzung, von Druck
und Temperatur.
vp =
(1 − ν )
2
(1 − ν − 2ν )
E
,
ρ
vs =
G
,
ρ
v R ≈ 0,97 vs
z.B.: ν = 0,25 (übliche Annahme für die Erdkruste):
Baudynamik (VO), SS 2011
vs / v p = 1 / 3 = 0,58
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G = E / 2(1 + ν ) = 0,4 E
Erdbeben
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Physikalische Kenngrößen für die Tragwerksbemessung
Bodenverschiebung (ground displacement)
d g (t)
Bodengeschwindigkeit (ground velocity)
vg (t)
Bodenbeschleunigung (ground acceleration)
ag (t)
Größenordnung der Spitzenwerte bei einem mittelstarken Erdbeben (I0 ≈ VIII, M ≈ 6 ÷ 6,5) :
d g, max = 0,1 ÷ 0,3 m
vg, max = 0,1 ÷ 0,3 m / s
ag, max = 1,5 ÷ 3,0 m / s2 = 0,15 ÷ 0,30 g
Abschätzung für Alpengebiet (aus Friauler Erdbeben 1976 ermittelt):
ag, max = 0,26 ⋅ I ( MSK ) − 1,81
⎡ m / s2 ⎤
⎣
⎦
Vertikale Bodenbeschleunigung:
ag, horiz
≈ 0,3 ÷ 1,0
ÖNORM B 1998-1 (Eurocode 8):
Frequenzbereich der Bodenbewegung:
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ag,vert
ag, horiz
=
2
3
f = 0,1 ÷ 30 Hz
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ag,vert
Erdbeben
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Die Methode der Antwortspektren für erdbebenerregte Strukturen
Einmassenschwinger
x + x ) + 2ζω
(
 

g
0
x + ω 02 x = 0
Null − AB : x(t = 0) = 0 ,
 = 0) = 0
x(t
xt
x + 2ζω 0 x + ω 02 x = − xg
t
x(t) = −
1
−ζω t − τ
xg (τ ) e 0 ( ) sin ω D t − τ dτ
∫
ωD 0
t
(
 = − ∫ xg (τ ) e
x(t)
(
−ζω 0 t − τ
)
(
)
)
cos ω D t − τ dτ − ζω 0 x(t)
0
 ≈ −ω 02 x(t) für ζ << 1
xt (t) = −ω 02 x(t) − 2ζω 0 x(t)
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(Relativ-)Verschiebungsspektrum S d
t
S d (ω 0 ,ζ ) = x max = −
1
−ζω t − τ
xg (τ ) e 0 ( ) sin ω D t − τ dτ
∫
ωD 0
(
)
≈
max
1
ω0
t
∫ x (τ ) e
g
(
−ζω 0 t − τ
)
(
)
sin ω 0 t − τ dτ
0
max


Sv (ω0 ,ζ )
Sv … Pseudo(relativ)geschwindigkeitsspektrum
Anmerkung:
Sv (ω 0 ,ζ ) ≠ x max
Pseudo(absolut)beschleunigungsspektrum S a
S a (ω 0 ,ζ ) = xt
max
≈ ω 02 S d (ω 0 ,ζ ) = ω 0 Sv (ω 0 ,ζ )
Oft werden die Spektren auch in Abhängigkeit der Grundschwingungsdauer T0 = 2π / ω 0 (anstelle
Maximale Federkraft:
f S max = k S d = mω 02 S d = mω 0 Sv = m S a
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von ω 0 ) dargestellt.
Erdbeben
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Grenzwerte:
T0 → 0 (hohe Steifigkeit):
x ≈ 0 ⇒ xt ≈ xg ,
S a → ag ,max
T0 → ∞ (geringe Steifigkeit):
xt ≈ 0 ⇒ x ≈ − xg ,
S d → d g ,max
Freihand-Entwurfsspektrum:
S a ≈ 4 ag ,max ,
Sv ≈ 3vg ,max ,
S d ≈ 2 d g ,max
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R. Heuer
Kombinierte Darstellung der Spektren S a , Sv , S d des Erdbebens von El Centro (CA), 1940
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Erdbeben
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Baudynamik (VO), SS 2011
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R. Heuer
Erdbeben
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Erdbeben
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Beispiel E1:
m = 20000 kg ,
ω0 =
k = 5,0 MN / m ,
ζ=2%
k
500
=
= 15,81 rad / s
m
2
f =
ω0
= 2,5 Hz
2π
T=
2π 1
1
= =
= 0,40 s
ω 0 f 2,5
(
)
Sv T = 0,40 s, ζ = 2 % = 0,16 m / s
1
1
Sv =
0,16 = 0,01 m
ω0
15,81
x
Maximale Federkraft:
f S max = mω 0 Sv = 20000 ⋅15,81⋅ 0,16 = 50592 N = 50,6 kN
Baudynamik (VO), SS 2011
max
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= Sd =
Maximale Verschiebung:
Erdbeben
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Erdbeben – Teil 2
Allgemeiner Mehrmassenschwinger



 + C x(t)
g (t)
M x(t)
+ K x(t) = − M e w
Modale Projektion:
N 





x(t) = φ1 y1(t) + φ2 y2 (t) + ... + φ N y N (t) = ∑ φl yl (t) = Φ y
l =1
 

Φ = ⎡⎣φ1 φ2 ... φ N ⎤⎦ ... Modalmatrix ,

y = ⎡ y1(t)
⎣
y2 (t) ... y N (t) ⎤
⎦
T




g (t)
ΦT MΦ 
y + ΦT CΦ y + ΦT KΦ y = −ΦT M e w
g (t)
mk 
yk (t) + ck y k (t) + kk yk (t) = − Lk w
(Voraussetzung: modale Dämpfung)






mk = φ kT M φ k , kk = φ kT K φ k , ck = φ kT C φ k ,


Lk = φ kT M e
Speziell gilt für orthonormierte Eigenvektoren:
⎡
⎢
ΦT MΦ = I = ⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
...
0
0
1
...
0
0
0
...
0
0
0
...
1
⎤
⎥


⎥ bzw. φ T M φ = m = 1, k = 1,2,..., N
k
k
k
⎥
⎥
⎦

g (t)
yk (t) + 2ζ k ω k y k (t) + ω k2 yk (t) = −Γ k w
mit
Γ k = Lk / mk
Maximale Antwort des dem k-ten Mode zugeordneten SDOFs:
)
y (k
max =
Γ k S d(k )
= Γk
Sv(k )
ωk
= Γk
S a(k )
ω k2
mit Si(k ) = Si (Tk ,ζ k )
Maximaler modaler Anteil des Deformationsvektors:
Baudynamik (VO), SS 2011
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R. Heuer

Sv(k ) 
S a(k )
 (k )  (k ) 
(k )
xmax = φ k y max = φ k Γ k S d = φ k Γ k
= φk Γ k
ωk
ω k2
Erdbeben
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Vektor der elastischen Rückstellkräfte:
N 
N 


fs = K x = K ∑ φ k yk = ∑ fs(k )
k =1
k =1


fs(k ) = K φ k yk
⎫
⎪
 (k )
 2
⎪
⎬ ⇒ f s = M φ k ω k yk
 


⎡K − ω 2 M ⎤ φ = 0 ⇒ K φ = ω 2 M φ ⎪
k
k
k
k⎪
⎣
⎦ k
⎭
Modale äquivalente (statische) Kräfte:
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R. Heuer
 (k )

 2


)
(k )
(k )
(k )
fs,max
= M φ k ω k2 y (k
=
M
φ
ω
Γ
S
=
M
φ
ω
Γ
S
=
M
φ
max
k k k d
k k k v
k Γ k Sa
Erdbeben
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Mehrgeschoßige Hochbaukonstruktion: z.B. Schubrahmen  Schwingerkette
Bestimmung der Schubkraft im Auflager des untersten Geschoßes:
Modale Anteile:
Q0(k )
N
=∑
i=1
fs(ki )
 (k )  T  2
L2k 2 yk
y
2 yk
⎡
⎤
= ⎣ 1 1 ... 1 ⎦ fs = I M φ k ω k yk = Lk Γ k ω k
=
ωk
= M k ω k2 k




Γk m
Γk
Γk
k
Lk / mk
Lk
Die sog. effektive modale Massen M k = Lk Γ k = L2k / mk sind unabhängig von der Normierung der
Eigenschwingungsformen; deren Summe entspricht der (dynamisch wirksamen) Gesamtmasse:
N
∑ M k = mges
k =1
)
Q0,(kmax
= M k ω k2 S d(k ) = M k ω k Sv(k ) = M k S a(k )
Anregung gemäß Antwortspektrum:
Bestimmung des Einspannmomentes:
Modale Anteile:
N



M 0(k ) = ∑ hi fs(ki ) = ⎡ h1 (h1 + h2 ) ... (h1 + h2 + ...hN ) ⎤ fs(k ) = h T M φ k ω k2 yk
⎣
⎦
i=1
Anregung gemäß Antwortspektrum:


(k )
M 0,max
= h T M φ k ω k2 Γ k S d(k ) = Λ k ω k Γ k Sv(k ) = Λ k Γ k S a(k )



Λk
Modale Überlagerung für deterministische Anregung:
N
∑ Q0(k )
k =1
Baudynamik (VO), SS 2011
M0 =
N
∑ M 0(k )
k =1
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R. Heuer
Q0 =
Erdbeben
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Regeln zur modalen Überlagerung für Erbebenanregung
Square-root-of-sum-squares (SRSS) Methode zur modalen Überlagerung:
N
∑ (EE k )2
Emax ≡ E E =
k =1
E E … Maximalwert einer seismischen Beanspruchungsgröße
(Kraft- bzw. Deformationsgröße)
Anwendbar auf Systeme mit gut separierten Eigenfrequenzen
Complete quadratic combination (CQC) Mehode:
Diese Methode ist auch bei knapp benachbarten Eigenfrequenzen anwendbar.
N
N
∑ ∑ ρnm EE n EE m
Emax ≡ E E =
n=1 m=1
Korrelationskoeffizient (nach Der Kiureghian):
ρnm =
(
2
1 − β nm
)
(
8 ζn ζm
2
3/ 2
)1/ 2 (ζ n + βnmζ m ) βnm
(
2
+ 4ζ n ζ m β nm 1 + β nm
) + 4(
ζ n2
+ ζ m2
)
,
2
β nm
β nm = ω n / ω m
ρnm = ρmn kann Werte zwischen 0 (unkorreliert) und 1 (voll korreliert, z.B. für 2 Schwingungsformen mit denselben Eigenfrequenzen und Dämpfungskoeffizienten) annehmen.
Für ζ n = ζ m = ζ vereinfacht sich der Ausdruck zu
ρnm =
(
(
)
3/ 2
8ζ 2 1 + β nm β nm
2
1 − β nm
)
2
(
+ 4ζ 2 β nm 1 + β nm
)
2
Baudynamik (VO), SS 2011
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R. Heuer
WICHTIG (!!): Modal überlagerte Größen sind Endergebnisse, mit denen nicht weitergerechnet
werden darf!
Erdbeben
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Berechnungsschritte:
Eigenfrequenzen und Eigenvektoren:

ω k , φk
Modale Massen:


mk = φ kT M φ k
Partizipationsfaktoren:


Lk = φ kT M e ,
Effektive modale Massen:
Mk =
Faktor zur Berechnung des Einspannmomentes:


Λ k = h T M φk
Spektralwerte aus AW-Spektrum:
S d(k ) oder Sv(k ) oder S a(k )
Γk =
Lk
mk
Lk2
mk
Auswertung:

 S (k )
 S (k )
 (k )
xmax
= Γ k φ k S d(k ) = Γ k φ k v = Γ k φ k a
ωk
ω k2
(k )
Q0,max
= M k ω k2 S d(k ) = M k ω k Sv(k ) = M k S a(k )
(k )
M 0,max
= Λ k Γ k ω k2 S d(k ) = Λ k Γ k ω k Sv(k ) = Λ k Γ k S a(k )
Überlagerung: z.B. (SRSS)
Emax ≡ E E =
Baudynamik (VO), SS 2011
N
∑ (EE k )2
k =1
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E  x, Q0 , M 0 :
Erdbeben
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Beispiel E2: Ebener Schubrahmen mit 3 Freiheitsgraden
M1 = 20000 kg , M 2 = 15000 kg ,
M 3 = 10000 kg ,
h1 = h2 = h3 = 3,0 m
k1 = 8,0 MN / m , k2 = 6,0 MN / m , k3 = 5,0 MN / m
k =1
k=2
k=3
ω k [ rad / s ]
10,34
24,90
34,73
fk [ Hz ]
1,65
3,96
5,53
Tk [ s ]
0,61
0,25
0,18
Sv(k ) ⎡⎣ m / s ⎤⎦
0,15
0,15
0,15
⎛ 0,398⎞
⎛ -0,901⎞
⎛ 0,837 ⎞
 ⎜
 ⎜
 ⎜
⎟
⎟
φ1 = 0,786 , φ2 = -0,240 , φ3 = -1,413⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎡ 20000
⎤ ⎛ 0,398 ⎞
0
0
⎟
⎢
⎥⎜
m1 = ⎡ 0,398 0,786 1 ⎤ ⎢
0
15000
0
⎥ ⎜ 0,786 ⎟ = 22431,8 kg
⎣
⎦
⎢⎣
0
0
10000 ⎥⎦ ⎜⎝
1 ⎟⎠
⎡ 20000
⎤⎛ 1 ⎞
0
0
⎢
⎥⎜
⎟
L1 = ⎡ 0,398 0,786 1 ⎤ ⎢
0
15000
0
⎥ ⎜ 1 ⎟ = 29744,5 kg
⎣
⎦
⎢⎣
0
0
10000 ⎥⎦ ⎝ 1 ⎠
L1
m1
=
29744,5
= 1,326
22431,8
Baudynamik (VO), SS 2011
M1 =
L12
m1
=
(29744,5)2
= 39441,2 kg
22431,8
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
R. Heuer
Γ1 =
Erdbeben
18
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k =1
k=2
k=3
mk [ kg ]
22431,8
27113,0
53944,1
Lk [ kg ]
29744,5
-11628,7
5550,9
Γ k [−]
1,326
-0,429
0,103
39441,2
4987,6
571,2
244790,0
-6136,4
1346,4
M k ⎡⎣ kg ⎤⎦


h T M φ k Γ k = Λ k Γ k ⎡⎣ kgm ⎤⎦
3
∑ M k = 45000 kg
k =1
⎛ 0,00765
⎛
⎞
 Sv(1) ⎜ 0,398 ⎟
0,15 ⎜
 (1)
xmax = φ1Γ1
= 0,786 ⎟ 1,326⋅
= 0,01511
ω1 ⎜
10,34 ⎜
⎜⎝
⎜⎝ 0,01923
1 ⎟⎠
⎛ 0,00233 ⎞
 (2) ⎜
⎟
xmax = ⎜ 0,00062 ⎟ ⎡⎣ m ⎤⎦ ,
⎜ -0,00258 ⎟
⎝
⎠

SRSS: xmax
⎞
⎟
⎟ ⎡⎣ m ⎤⎦
⎟⎠
⎛ 0,00037 ⎞
 (3) ⎜
⎟
xmax = ⎜ -0,00062 ⎟ ⎡⎣ m ⎤⎦
⎜ 0,00044 ⎟
⎝
⎠
⎛ 0,008 ⎞
⎟
 (k ) 2 ⎜
= ∑ ( xmax
) = ⎜ 0,015 ⎟
k =1
⎜⎝ 0,019 ⎟⎠
N
⎡⎣ m ⎤⎦


(1)
Q0,(1)max = M1 ω1 Sv(1) = 61184 N , M 0,max
= h T M φ1 Γ1 ω1 Sv(1) = 183552 Nm

 

Λ1
(k )
⎡⎣ Nm ⎤⎦
M 0,max
SRSS: Q0, max =
N
k=2
k=3
61188,8
18629,5
2975,8
379734,0
-22920,7
7014,6
)
)2 = 64,0 kN
∑ (Q0,(kmax
k =1
Baudynamik (VO), SS 2011
M 0, max =
N
)
)2 = 380,5 kNm
∑ ( M 0,(kmax
k =1
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
R. Heuer
(k )
⎡⎣ N ⎤⎦
Q0,max
k =1