Basisprüfung D-INFK
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Prof. Dr. M. Schweizer
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Winter 2008
Basisprüfung D-INFK
1. (10 Punkte)
Bei den folgenden 10 Fragen gibt es pro richtig beantwortete Frage 1 Punkt. Pro falsche Antwort
gibt es 1/2 Punkt Abzug. Minimal erhält man für die gesamte Aufgabe 0 Punkte.
a) Seien A und B zwei Ereignisse mit 0 < P [A] ≤ 1/2 und 0 < P [B] ≤ 1/2. A und B sind
unabhängig, falls
1) P [A|B] = P [A]
3) P [A ∪ B] = P [A] + P [B]
2) P [A|B] = 0
b) Der Schweizer Bundesrat besteht aus 7 Personen, davon 3 Frauen. Nehmen Sie an, dass er
zufällig 3 seiner Mitglieder für eine Kommission bestimmt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dafür genau 2 Frauen und ein Mann bestimmt werden?
1) 12/35
2) 4/35
3) 18/343
c) In einer Urne befinden sich 100 schwarze und 20 rote Kugeln. Es wird jeweils zufällig eine Kugel
gezogen und danach wieder zurückgelegt. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der Ziehungen,
bis eine rote Kugel gezogen wird. Es gilt dann
1) X ist binomialverteilt,
2) X ist geometrisch verteilt,
3) die Verteilung von X ist durch diese Angaben nicht eindeutig bestimmt.
d) Sei X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E[X] = 2 und Varianz Var[X] = 3. Wie gross
ist die Varianz von Y = 2X + 1?
1) 13
2) 12
3) 6
e) Welche der folgenden Aussagen ist für eine beliebige Zufallsvariable X mit Erwartungswert
E[X] = 0 und Varianz Var[X] = b > 0 richtig?
1) P [|X| ≥ b] ≤
1
b
2) P [|X| ≥ b] ≤
1
b2
3) P [|X| ≥ b] ≤ 1 −
1
b2
f ) Ein fairer Würfel wird 900mal geworfen. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der Würfe mit
Augenzahl 1 oder 2. Wie gross ist die Varianz von X?
1) 600
2) 250
3) 200
g) Seien A und B zwei Ereignisse mit bedingter Wahrscheinlichkeit P [A|B] = 1/3. Wie gross ist
dann P [A|B c ], wobei B c das Komplement von B bezeichnet?
1) 2/3
2) 1/3
3) P [A|B c ] ist durch diese Angaben nicht eindeutig bestimmt.
h) Die Zufallsvariable X habe eine Verteilungsfunktion FX mit zugehöriger Dichte fX . Wir definieren Y = exp(X). Dann gilt für die Dichte fY von Y
1) fY (y) = log fX (y) , y > 0 2) fY (y) = fX (log y), y > 0 3) fY (y) = y1 fX (log y), y > 0
i) Seien X1 und X2 Zufallsvariablen. Die gemeinsame Verteilungsfunktion von (X1 , X2 ) ist eindeutig durch die Randverteilungen FX1 und FX2 von X1 und X2 bestimmt, falls
1) X1 und X2 unabhängig sind,
2) X1 und X2 normalverteilt sind,
3) X1 und X2 identisch verteilt sind (d.h. FX1 = FX2 ).
j) Wir betrachten zwei Maschinen A und B mit Lebensdauern XA und XB . Weiter definieren
wir
Y als die Zeit, zu der die erste der beiden Maschinen ausfällt Y = min(X
A , XB ) , und Z als
die erste Zeit, zu der beide Maschinen defekt sind Z = max(XA , XB ) . Die Erwartungswerte
E[XA ] = 3, E[XB ] = 6 und E[Y ] = 2 sind bekannt. Es gilt dann
1) E[Z] = 7
2) E[Z] = 6
3) E[Z] ist durch diese Angaben nicht eindeutig bestimmt.
2. (10 Punkte)
Nehmen Sie an, die Firma Meteo-Tropical arbeite mit folgendem Modell für die Niederschlagsmenge
in den Tropen. Die Zufallsvariable X beschreibe die tägliche Niederschlagsmenge in mm, und die
zugehörige Dichte sei gegeben durch
(
ce−ηx
fX (x) =
0
, x ≥ 0,
, sonst,
für c, η > 0.
a) Wie muss c für ein fest vorgegebenes η gewählt werden, damit fX eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt?
Es bezeichne Xi die Niederschlagsmenge in mm am Tag i ≥ 1. Wir nehmen an, dass die Niederschlagsmengen an verschiedenen Tagen unabhängig voneinander sind und die gleiche Verteilung
haben wie X.
b) Wir betrachten nun eine Zeitperiode von n = 100 Tagen. Für diese Periode
sei aufgrund
p
von Erfahrungswerten c = η = 1/5 bekannt, d.h. E[X1 ] = 5 mm und Var[X1 ] = 5 mm.
Berechnen Sie mittels einer geeigneten Approximation die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser
100-tägigen Periode insgesamt mehr als 550 mm Niederschlag fällt.
c) Wir reden von einem “Monsuntag”, falls die Niederschlagsmenge an jenem Tag mehr als 10 mm
beträgt. Es sei L = min {k ≥ 1|Xk ist ein Monsuntag}. Die Zufallsvariable L besitzt also eine
geometrische Verteilung, d.h. L ∼ Geom(p). Welchen Wert hat p, falls wiederum c = η = 1/5
angenommen wird?
d) Im Allgemeinen sind die Werte von p (und η) unbekannt und müssen anhand von Daten
geschätzt werden. Nehmen Sie an, dass Li (1 ≤ i ≤ 6) unabhängig und geometrisch verteilt
sind mit Parameter p. Um p zu schätzen, werden an 6 verschiedenen Messstationen für L
folgende Realisierungen Li (ω) = li (1 ≤ i ≤ 6) beobachtet.
Messstation
li
A
4
B
3
C
7
D
8
E
11
F
15
Schätzen Sie p mittels der Maximum-Likelihood-Methode. Geben Sie dazu sowohl den Schätzer
pM LE wie auch den Schätzwert pbM LE an.
3. (15 Punkte)
Christoph fährt jeden Morgen mit dem Fahrrad zur Arbeit. Auf seinem Arbeitsweg kommt er an
zwei Ampeln vorbei. An jeder der beiden Ampeln muss er unabhängig von der anderen mit der
Wahrscheinlichkeit 2/3 warten. Die Wartezeiten X1 und X2 (in Minuten) an den beiden Ampeln
sind beide unabhängig voneinander auf dem Intervall [0, 3] gleichverteilt. Die Gesamtwartezeit wird
mit der Zufallsvariablen T beschrieben. Somit gilt T = Y1 X1 +Y2 X2 , wobei Y1 und Y2 unabhängige
Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit p = 2/3 sind und X1 , X2 , Y1 , Y2 unabhängig sind.
a) Berechnen Sie E[T ].
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Christoph nur an der ersten, jedoch nicht an der
zweiten Ampel warten muss, gegeben, dass seine Gesamtwartezeit weniger als 3 Minuten beträgt. Verwenden Sie dabei ohne Beweis, dass P [T ≤ 3] = 7/9.
Verwenden Sie zur Bearbeitung der nachfolgenden Teilaufgaben c) und d) (noch ohne Beweis),
dass die Dichte der Summe Z der beiden Zufallsvariablen X1 und X2 durch
1
für 0 ≤ z ≤ 3,
9z
2
1
fZ (z) = 3 − 9 z für 3 < z ≤ 6,
0
sonst
gegeben ist.
c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FZ der Zufallsvariablen Z.
d) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FT der Zufallsvariablen T .
(Hinweis: Sie dürfen die Formel für die Verteilungsfunktion einer auf dem Intervall [0, 3]
gleichverteilten Zufallsvariablen ohne Beweis direkt aus Ihrer Zusammenfassung verwenden.)
e) Zeigen Sie, dass für die Dichte fZ von Z = X1 + X2 folgendes gilt:
i) fZ (z) = 91 z
ii) fZ (z) = 23 − 19 z
für 0 ≤ z ≤ 3,
für 3 < z ≤ 6.
4. (15 Punkte)
Wir betrachten 10 Personen, die je ein Darlehen von einer amerikanischen Bank in der Höhe von
100’000 $ erhalten haben. Jede dieser 10 Personen kann mit Wahrscheinlichkeit 3/5 das Darlehen
in einem Jahr zurückzahlen. Wir definieren Zufallsvariablen Xj , j ∈ {1, . . . , 10}, mit
1 falls Person j ihr Darlehen in einem Jahr zurückzahlen kann,
Xj =
0 falls Person j ihr Darlehen in einem Jahr nicht vollständig zurückzahlen kann.
P
Weiter definieren wir S = 10
j=1 Xj . Die folgenden Teilaufgaben a)–d) bauen nicht aufeinander auf
und können daher in beliebiger Reihenfolge gelöst werden.
a) Unter welcher zusätzlichen Voraussetzung an Xj , j ∈ {1, . . . , 10}, ist S binomialverteilt mit
Parametern n = 10 und p = 3/5?
b) Wir nehmen nun an, dass Person j und Person j + 1 für ungerades j Ehepartner sind und
deshalb gelte Xj = Xj+1 , falls j ungerade ist. Die Zufallsvariablen Xj , j ungerade, seien
unabhängig.
i) Bestimmen Sie P [S = k] für jedes k ∈ {0, . . . , 10}.
(Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, wie die Zufallsvariable 21 S verteilt ist.
Binomialkoeffizienten und Potenzen können im Resultat stehen gelassen werden.)
ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von X1 = 1, wenn wir wissen, dass S = 4 ist.
c) Wir nehmen nun an, das Ereignis, dass sowohl Person 1 als auch Person 2 ihre Darlehen
in einem Jahr nicht vollständig zurückzahlen können, habe eine Wahrscheinlichkeit von 1/5.
Berechnen Sie die Kovarianz Cov(X1 , X2 ).
d) Sei Y = X1 + X2 binomialverteilt mit Parametern n = 2 und p = 3/5.
i) Gilt dann für die Kovarianz Cov(X1 , X2 ) = 0?
ii) Sind dann X1 und X2 unabhängig?
Begründen Sie Ihre Antworten.
Viel Erfolg!
Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung
Za
Φ(a) =
−∞
2
1
z
√ exp −
dz,
2
2π
tabelliert für a = 0.00, . . . , 3.99
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
1
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
2
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
3
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
4
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
5
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
6
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
7
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
8
.5319
.5714
.6103
.6408
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
9
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
.97725
.98214
.98610
.98928
.99180
.99379
.99534
.99653
.99744
.99813
.97778
.98257
.98645
.98956
.99202
.99396
.99547
.99664
.99752
.99819
.97831
.98300
.98679
.98983
.99224
.99413
.99560
.99674
.99760
.99825
.97882
.98341
.98713
.99010
.99245
.99430
.99573
.99683
.99767
.99831
.97932
.98382
.98745
.99036
.99266
.99446
.99585
.99693
.99774
.99836
.97982
.98422
.98778
.99061
.99286
.99461
.99598
.99702
.99781
.99841
.98030
.98461
.98809
.99086
.99305
.99477
.99609
.99711
.99788
.99846
.98077
.98500
.98840
.99111
.99324
.99492
.99621
.99720
.99795
.99851
.98124
.98537
.98870
.99134
.99343
.99506
.99632
.99728
.99801
.99856
.98169
.98574
.98899
.99158
.99361
.99520
.99643
.99736
.99807
.99861
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
.998650
.999032
.999313
.999517
.999663
.999767
.999841
.999892
.999928
.999952
.998694
.999065
.999336
.999534
.999675
.999776
.999847
.999896
.999931
.999954
.998736
.999096
.999359
.999550
.999687
.999784
.999853
.999900
.999933
.999956
.998777
.999126
.999381
.999566
.999698
.999792
.999858
.999904
.999936
.999958
.998817
.999155
.999402
.999581
.999709
.999800
.999864
.999908
.999938
.999959
.998856
.999184
.999423
.999596
.999720
.999807
.999869
.999912
.999941
.999961
.998893
.999211
.999443
.999610
.999730
.999815
.999874
.999915
.999943
.999963
.998930
.999238
.999462
.999624
.999740
.999822
.999879
.999918
.999946
.999964
.998965
.999264
.999481
.999638
.999749
.999828
.999883
.999922
.999948
.999966
.998999
.999289
.999499
.999651
.999758
.999835
.999888
.999925
.999950
.999967
