It`s a long way to infinity

It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
It’s a long way to infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Was Sie erwartet:
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Das Unendliche ist eine tragende Säule der Analysis.
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Die klassische Analysis nähert sich dem unzugänglichen
Unendlichen mit Hilfe des Limesbegriffs. Auf entsprechenden
Konstruktionen ruhen, unter anderem:
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Die klassische Analysis nähert sich dem unzugänglichen
Unendlichen mit Hilfe des Limesbegriffs. Auf entsprechenden
Konstruktionen ruhen, unter anderem:
I
eine Konstruktion der reellen Zahlen
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infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Die klassische Analysis nähert sich dem unzugänglichen
Unendlichen mit Hilfe des Limesbegriffs. Auf entsprechenden
Konstruktionen ruhen, unter anderem:
I
eine Konstruktion der reellen Zahlen
I
die Begriffe der Stetigkeit, der Reihe, der Ableitung und
des Integrals
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infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Die klassische Analysis nähert sich dem unzugänglichen
Unendlichen mit Hilfe des Limesbegriffs. Auf entsprechenden
Konstruktionen ruhen, unter anderem:
I
eine Konstruktion der reellen Zahlen
I
die Begriffe der Stetigkeit, der Reihe, der Ableitung und
des Integrals
I
die Konstruktion von Lösungen von Gleichungen:
Zwischenwertsatz von Bolzano, Existenzsatz von
Picard-Lindelöf, Existenzaussagen für partielle
Differentalgleichungen
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infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Die klassische Analysis nähert sich dem unzugänglichen
Unendlichen mit Hilfe des Limesbegriffs. Auf entsprechenden
Konstruktionen ruhen, unter anderem:
I
eine Konstruktion der reellen Zahlen
I
die Begriffe der Stetigkeit, der Reihe, der Ableitung und
des Integrals
I
die Konstruktion von Lösungen von Gleichungen:
Zwischenwertsatz von Bolzano, Existenzsatz von
Picard-Lindelöf, Existenzaussagen für partielle
Differentalgleichungen
I
zahllose Anwendungen im Bereich der Numerik
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Warum ist die Geschichte der Genese der Begriffe Unendlich
und Limes relevant für die Didaktik?
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Warum ist die Geschichte der Genese der Begriffe Unendlich
und Limes relevant für die Didaktik?
I
Die grössten Denker der Geschichte haben über zwei
Jahrtausende um diese Begriffe gerungen.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Warum ist die Geschichte der Genese der Begriffe Unendlich
und Limes relevant für die Didaktik?
I
Die grössten Denker der Geschichte haben über zwei
Jahrtausende um diese Begriffe gerungen.
I
Das gymnasiale Curriculum orientiert sich an der
historischen Entwicklung: Die Ontogenese rekapituliert
die Phylogenese.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Einleitung
Warum ist die Geschichte der Genese der Begriffe Unendlich
und Limes relevant für die Didaktik?
I
Die grössten Denker der Geschichte haben über zwei
Jahrtausende um diese Begriffe gerungen.
I
Das gymnasiale Curriculum orientiert sich an der
historischen Entwicklung: Die Ontogenese rekapituliert
die Phylogenese.
I
Genese: Wie kommt man zu einem bestimmten Begriff?
Warum so? Wozu braucht man den Begriff?
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N. Hungerbühler
Einleitung
Warum ist die Geschichte der Genese der Begriffe Unendlich
und Limes relevant für die Didaktik?
I
Die grössten Denker der Geschichte haben über zwei
Jahrtausende um diese Begriffe gerungen.
I
Das gymnasiale Curriculum orientiert sich an der
historischen Entwicklung: Die Ontogenese rekapituliert
die Phylogenese.
I
Genese: Wie kommt man zu einem bestimmten Begriff?
Warum so? Wozu braucht man den Begriff?
I
Schlüsselstellen der Geschichte sind Schlüsselstellen für
die Fachdidaktik der Mathematik.
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L. Halbeisen
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Warum sind nicht abbrechende Prozesse so
wichtig?
Konstruktiver Aspekt des Grenzwertbegriffs: Approximation
sonst unzugänglicher Objekte oder Grössen durch Folgen.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Warum sind nicht abbrechende Prozesse so
wichtig?
Konstruktiver Aspekt des Grenzwertbegriffs: Approximation
sonst unzugänglicher Objekte oder Grössen durch Folgen.
I
Gemetrie: Approximation der Zahl π durch Exhaustion
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N. Hungerbühler
Warum sind nicht abbrechende Prozesse so
wichtig?
Konstruktiver Aspekt des Grenzwertbegriffs: Approximation
sonst unzugänglicher Objekte oder Grössen durch Folgen.
I
I
Gemetrie: Approximation der Zahl π durch Exhaustion
Physik:
I
I
Zusammenhang zwischen Ortsfunktion, Geschwindigkeit
und Beschleunigung, Newtons zweites Gesetz.
Als Ergänzung zu Oberfächen- und
Volumenberechnungen von Rotationskörpern:
Trägheitsmomente, Schwerpunktsberechnungen (Sätze
von Steiner und Guldin) als Illustration von
Riemannsummen.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Warum sind nicht abbrechende Prozesse so
wichtig?
Konstruktiver Aspekt des Grenzwertbegriffs: Approximation
sonst unzugänglicher Objekte oder Grössen durch Folgen.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Warum sind nicht abbrechende Prozesse so
wichtig?
Konstruktiver Aspekt des Grenzwertbegriffs: Approximation
sonst unzugänglicher Objekte oder Grössen durch Folgen.
I
Numerik: Bisektionsverfahren, Lösung einfacher
Fixpunktgleichungen durch Iteration, Heron- oder
Aitkenverfahren (algorithmischer Aspekt, Innenleben
des TR).
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N. Hungerbühler
Warum sind nicht abbrechende Prozesse so
wichtig?
Konstruktiver Aspekt des Grenzwertbegriffs: Approximation
sonst unzugänglicher Objekte oder Grössen durch Folgen.
I
Numerik: Bisektionsverfahren, Lösung einfacher
Fixpunktgleichungen durch Iteration, Heron- oder
Aitkenverfahren (algorithmischer Aspekt, Innenleben
des TR).
I
Fraktale: Kochsche Schneeflocke, Sierpinski-Dreieck,
Einzugsgebiet der Nullstellen der Newton-Methode für
z 3 − 1.
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Warum sind nicht abbrechende Prozesse so
wichtig?
Konstruktiver Aspekt des Grenzwertbegriffs: Approximation
sonst unzugänglicher Objekte oder Grössen durch Folgen.
I
Numerik: Bisektionsverfahren, Lösung einfacher
Fixpunktgleichungen durch Iteration, Heron- oder
Aitkenverfahren (algorithmischer Aspekt, Innenleben
des TR).
I
Fraktale: Kochsche Schneeflocke, Sierpinski-Dreieck,
Einzugsgebiet der Nullstellen der Newton-Methode für
z 3 − 1.
I
Stochastik: Gesetz der grossen Zahlen, Monte Carlo
Simulationen.
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Der klassische Weg der Antike
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
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N. Hungerbühler
Der klassische Weg der Antike
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
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Der klassische Weg der Antike
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
:
= R2 : r 2
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Der klassische Weg der Antike
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
0=
:
− R2 : r 2
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Der klassische Weg der Antike
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
0 =
:
− R 2 : r 2
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Der klassische Weg der Antike
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
0 < λ =
:
− R 2 : r 2
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Der klassische Weg der Antike
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
0 < λ =
:
− R 2 : r 2 = :
−
:
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Der klassische Weg der Antike
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
0 < λ =
:
− R 2 : r 2 = :
−
:
< λ
n gross
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Der klassische Weg der Antike
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Euklid
I
berechnet Flächen mit der Exhaustionsmethode
I
beweist in Satz 2 aus dem Buch XII der
Elemente mit Hilfe der Exhaustionsmethode:
Kreissatz
Kreisflächen verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer
Radien.
0 < λ =
:
− R 2 : r 2 = :
−
:
< λ
n gross
Exhaustionsmethode
I
Eine Fläche wird durch eingeschriebene Flächen
“ausgeschöpft”.
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Exhaustionsmethode
I
Eine Fläche wird durch eingeschriebene Flächen
“ausgeschöpft”.
I
Grundlage ist ein Satz von Eudoxos von Knidos.
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Exhaustionsmethode
I
Eine Fläche wird durch eingeschriebene Flächen
“ausgeschöpft”.
I
Grundlage ist ein Satz von Eudoxos von Knidos.
Exhaustionslemma
Zieht man von irgendeiner Grösse einen Teil ab, der nicht
kleiner als die Hälfte dieser Grösse ist, vom Rest einen Teil,
der nicht kleiner als die Hälfte ist, und so weiter, so bleibt
schliesslich eine Grösse übrig, die kleiner als jede
vorgegebene Grösse derselben Art ist.
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Exhaustionsmethode
I
Eine Fläche wird durch eingeschriebene Flächen
“ausgeschöpft”.
I
Grundlage ist ein Satz von Eudoxos von Knidos.
Exhaustionslemma
Zieht man von irgendeiner Grösse einen Teil ab, der nicht
kleiner als die Hälfte dieser Grösse ist, vom Rest einen Teil,
der nicht kleiner als die Hälfte ist, und so weiter, so bleibt
schliesslich eine Grösse übrig, die kleiner als jede
vorgegebene Grösse derselben Art ist.
I
Exhaustion kommt ohne Grenzwertbegriff aus!
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die Griechen hatten eine “heilige Scheu” vor dem
Unendlichen:
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N. Hungerbühler
Die Griechen hatten eine “heilige Scheu” vor dem
Unendlichen:
I
Das Paradoxon von Zenon: Der Wettlauf zwischen
Achilles und der Schildkröte zeigt, dass Argumente mit
unendlich vielen Schritten undurchsichtig werden.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die Griechen hatten eine “heilige Scheu” vor dem
Unendlichen:
I
Das Paradoxon von Zenon: Der Wettlauf zwischen
Achilles und der Schildkröte zeigt, dass Argumente mit
unendlich vielen Schritten undurchsichtig werden.
I
Das Paradoxon vom fliegenden Pfeil: Es zeigt, dass
der Begriff der Geschwindigkeit einer Klärung bedarf.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die Griechen hatten eine “heilige Scheu” vor dem
Unendlichen:
I
Das Paradoxon von Zenon: Der Wettlauf zwischen
Achilles und der Schildkröte zeigt, dass Argumente mit
unendlich vielen Schritten undurchsichtig werden.
I
Das Paradoxon vom fliegenden Pfeil: Es zeigt, dass
der Begriff der Geschwindigkeit einer Klärung bedarf.
I
Euklid formulierte seinen Primzahlsatz im Buch IX der
Elemente sehr vorsichtig:
Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von
Primzahlen.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die Griechen hatten eine “heilige Scheu” vor dem
Unendlichen:
I
Das Paradoxon von Zenon: Der Wettlauf zwischen
Achilles und der Schildkröte zeigt, dass Argumente mit
unendlich vielen Schritten undurchsichtig werden.
I
Das Paradoxon vom fliegenden Pfeil: Es zeigt, dass
der Begriff der Geschwindigkeit einer Klärung bedarf.
I
Euklid formulierte seinen Primzahlsatz im Buch IX der
Elemente sehr vorsichtig:
Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von
Primzahlen.
Also nicht etwa so: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
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N. Hungerbühler
Blüte der Exhaustionsmethode
Archimedes
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Blüte der Exhaustionsmethode
Archimedes (Happy Birthday!)
I
trieb die Exhaustionsmethode zur Blüte
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Blüte der Exhaustionsmethode
Archimedes (Happy Birthday!)
I
trieb die Exhaustionsmethode zur Blüte
I
berechnete unter anderem die Fläche eines
Parabelsegments:
Parabelsegment
Der Inhalt eines Parabelsegments ist 4/3 des Inhalts des
Dreiecks, das mit ihm gleiche Grundfläche und Höhe hat.
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Blüte der Exhaustionsmethode
Archimedes (Happy Birthday!)
I
trieb die Exhaustionsmethode zur Blüte
I
berechnete unter anderem die Fläche eines
Parabelsegments:
Parabelsegment
Der Inhalt eines Parabelsegments ist 4/3 des Inhalts des
Dreiecks, das mit ihm gleiche Grundfläche und Höhe hat.
Die Fläche unter der Kurve minus ein Sandkorn ist kleiner
als die Gesamtfläche des Mosaiks aus den vielen Dreiecken.
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In der Schule?
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(a, a2 )
y = x2
(b, b 2 )
( 12 (a + b), 14 (a + b)2 )
1
(a
2
b
+ b)
1 1
Dreiecksfläche = 12 det  a b
a2 b 2

a

1
1
 = 1 (a − b)3
2 (a + b)
8
1
2
(a
+
b)
4
Archimedes’ Vision
Archimedes
I
entwickelte eine mechanische Methode
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Archimedes’ Vision
Archimedes
I
entwickelte eine mechanische Methode
Die mechanische Methode (im Palimpsest)
Archimedes fand vor dem Exhaustionsbeweis ein
heuristisches Argument, indem er die Flächen als “Summe”
paralleler Strecken (Indivisiblen) auffasste und gegeneinander
abwog.
Genial, aber ad hoc!
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N. Hungerbühler
Der klassische Weg in die Neuzeit:
Das 16. und 17. Jahrhundert
Galileo Galileis Programm für die Physik:
qualitativ beschreibende (aristotelische) Lehre
↓
quantitativ erklärende (mathematische) Grundlage
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Der klassische Weg in die Neuzeit:
Das 16. und 17. Jahrhundert
Galileo Galileis Programm für die Physik:
qualitativ beschreibende (aristotelische) Lehre
↓
quantitativ erklärende (mathematische) Grundlage
Galileo untersuchte insbesondere die Begriffe
Geschwindigkeit und Beschleunigung mit Hilfe der
Indivisiblenmethode.
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N. Hungerbühler
Der klassische Weg in die Neuzeit:
Das 16. und 17. Jahrhundert
Galileo Galileis Programm für die Physik:
qualitativ beschreibende (aristotelische) Lehre
↓
quantitativ erklärende (mathematische) Grundlage
Galileo untersuchte insbesondere die Begriffe
Geschwindigkeit und Beschleunigung mit Hilfe der
Indivisiblenmethode.
James Gregory erkannte:
Quadraturen und Kubaturen erfordern eine ganz
neue Operation: den Grenzübergang. Mit Geometrie und Algebra allein sind erst einige Zimmer im
Haus der Mathematik zugänglich!
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Das 16. und 17. Jahrhundert
Isaac Newton
I
entdeckte die binomische Reihe (1665),
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N. Hungerbühler
Das 16. und 17. Jahrhundert
Isaac Newton
I
entdeckte die binomische Reihe (1665),
I
löste das Problem Momentangeschwindigkeit
(1665)
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Das 16. und 17. Jahrhundert
Isaac Newton
I
entdeckte die binomische Reihe (1665),
I
löste das Problem Momentangeschwindigkeit
(1665)
I
fand den Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung (1666).
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N. Hungerbühler
Das 16. und 17. Jahrhundert
Isaac Newton
I
entdeckte die binomische Reihe (1665),
I
löste das Problem Momentangeschwindigkeit
(1665)
I
fand den Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung (1666).
Newton zum Grenzwert des Differenzenquotienten
“Die letzten Verhältnisse, mit denen Grössen verschwinden,
sind nicht die Verhältnisse letzter Grössen sondern
Grenzwerte, denen sich die Verhältnisse unbegrenzt
abnehmender Grössen ständig nähern und denen sie näher
kommen als irgendeine vorgegebene Differenz. . . ”
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Das 16. und 17. Jahrhundert
Gottfried Wilhelm Leibniz
I
entwickelte die Infinitesimalrechnung (ab 1675)
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N. Hungerbühler
Das 16. und 17. Jahrhundert
Gottfried Wilhelm Leibniz
I
entwickelte die Infinitesimalrechnung (ab 1675)
I
führte die heute gebräuchliche suggestive
Notation ein
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Das 16. und 17. Jahrhundert
Gottfried Wilhelm Leibniz
I
entwickelte die Infinitesimalrechnung (ab 1675)
I
führte die heute gebräuchliche suggestive
Notation ein
Leibniz über die Tangente
“Eine Tangente ist die Verbindungslinie zweier
Kurvenpunkte, die einen unendlich kleinen Abstand
voneinander haben.”
Im erst 1993 transkribierten De quadratum arithmetica circuli
ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine
tabulis fomuliert Leibnitz jedoch sorgfältig und modern, ”dass eine
krummlinig begrenzte Flache durch eine geradlinig begrenzte
treppenförmige Fläche beliebig genau angenähert werden kann,
indem der Fehler kleiner gemacht werden kann als jede
vorgegebene positive Zahl”.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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Tangenten an Kurven
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
4
3
2
bc
bc
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
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Tangenten an Kurven
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
4
3
2
bc
bc
bc
bc
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
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Tangenten an Kurven
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
4
3
2
bc
bc
bc
bc
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
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Tangenten an Kurven
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
4
3
2
bc
bc
bc
bc
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
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Tangenten an Kurven
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
df
4
3
2
bc
bc
bc
bc
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
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Tangenten an Kurven
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
df
4
dx
3
2
bc
bc
bc
bc
1
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
Der Differentialquotient
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
f0 =
df
dx
wobei df und dx unendlich kleine Grössen sind
Der Differentialquotient
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
f0 =
df
dx
wobei df und dx unendlich kleine Grössen sind
Fragen zu diesem Konzept
I
Was ist mit “unendlich klein” gemeint?
Der Differentialquotient
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
f0 =
df
dx
wobei df und dx unendlich kleine Grössen sind
Fragen zu diesem Konzept
I
Was ist mit “unendlich klein” gemeint?
I
Darf mit unendlich kleinen Grössen gerechnet werden?
Der Differentialquotient
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
f0 =
df
dx
wobei df und dx unendlich kleine Grössen sind
Fragen zu diesem Konzept
I
Was ist mit “unendlich klein” gemeint?
I
Darf mit unendlich kleinen Grössen gerechnet werden?
I
Welche Rechenregeln sollen gelten?
Der Differentialquotient
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
f0 =
df
dx
wobei df und dx unendlich kleine Grössen sind
Fragen zu diesem Konzept
I
Was ist mit “unendlich klein” gemeint?
I
Darf mit unendlich kleinen Grössen gerechnet werden?
I
Welche Rechenregeln sollen gelten?
I
...
Das 18. Jahrhundert
Explosion der Analysis: Neue Gebiete und Anwendungen
wurden in atemberaubendem Tempo erobert.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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Das 18. Jahrhundert
Explosion der Analysis: Neue Gebiete und Anwendungen
wurden in atemberaubendem Tempo erobert.
Genialer und virtuoser Umgang mit Reihen, intuitiver und
variabler Konvergenzbegriff. Die geometrische Reihe
∞
X
n=0
wird für x = −1 zum
xn =
1
1−x
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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Das 18. Jahrhundert
Explosion der Analysis: Neue Gebiete und Anwendungen
wurden in atemberaubendem Tempo erobert.
Genialer und virtuoser Umgang mit Reihen, intuitiver und
variabler Konvergenzbegriff. Die geometrische Reihe
∞
X
n=0
xn =
1
1−x
wird für x = −1 zum paradoxon non inelegans:
1 − 1 + 1 − 1 + −... =
1
2
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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Das 18. Jahrhundert
Explosion der Analysis: Neue Gebiete und Anwendungen
wurden in atemberaubendem Tempo erobert.
Genialer und virtuoser Umgang mit Reihen, intuitiver und
variabler Konvergenzbegriff. Die geometrische Reihe
∞
X
n=0
xn =
1
1−x
wird für x = −1 zum paradoxon non inelegans:
1 − 1 + 1 − 1 + −... =
1
2
1784 fordert die Berliner Akademie der Wissenschaften
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N. Hungerbühler
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Das 18. Jahrhundert
Explosion der Analysis: Neue Gebiete und Anwendungen
wurden in atemberaubendem Tempo erobert.
Genialer und virtuoser Umgang mit Reihen, intuitiver und
variabler Konvergenzbegriff. Die geometrische Reihe
∞
X
n=0
xn =
1
1−x
wird für x = −1 zum paradoxon non inelegans:
1 − 1 + 1 − 1 + −... =
1
2
1784 fordert die Berliner Akademie der Wissenschaften
“. . . dass man erkläre, wie aus einer widersprüchlichen
Annahme so viele richtige Sätze entstanden sind”.
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
De L’Hôpital und Bernoulli
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
I
Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hôpital und
Johann Bernoulli trugen wesentlich zur Entwicklung der
Infinitesimalrechnung bei.
De L’Hôpital und Bernoulli
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
I
Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hôpital und
Johann Bernoulli trugen wesentlich zur Entwicklung der
Infinitesimalrechnung bei.
I
Sie rechneten relativ unbeschwert mit unendlich kleinen
Grössen.
Die Regel von de L’Hôpital
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
4
3
2
1
−4
−4
−3
−3
−2
−1
1
−
−1
−2
−3
−4
2
3
4
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Die Regel von de L’Hôpital
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Das Problem
4
3
2
I
f (a) = 0 = g (a)
I
0
f (a)
=
g (a)
0
1
−4
−4
−3
−3
−2
−1
1
−
−1
−2
−3
−4
2
3
4
It’s a long way to
infinity
Die Regel von de L’Hôpital
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Das Problem
4
3
2
I
f (a) = 0 = g (a)
I
0
f (a)
= = ??
g (a)
0
1
−4
−4
−3
−3
−2
−1
1
−
−1
−2
−3
−4
2
3
4
Die Regel von de L’Hôpital
Herleitung
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die Regel von de L’Hôpital
Herleitung
df = f (a + dx) − f (a) = f (a + dx) ≈ f (a)
dg = g (a + dx) − g (a) = g (a + dx) ≈ g (a)
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die Regel von de L’Hôpital
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Herleitung
df = f (a + dx) − f (a) = f (a + dx) ≈ f (a)
dg = g (a + dx) − g (a) = g (a + dx) ≈ g (a)
f (a)
df
df · dx
df · dx
≈
=
=
g (a)
dg
dg · dx
dx · dg
It’s a long way to
infinity
Die Regel von de L’Hôpital
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Herleitung
df = f (a + dx) − f (a) = f (a + dx) ≈ f (a)
dg = g (a + dx) − g (a) = g (a + dx) ≈ g (a)
f (a)
df
df · dx
df · dx
≈
=
=
g (a)
dg
dg · dx
dx · dg
f0 =
df
dx
g0 =
dg
dx
It’s a long way to
infinity
Die Regel von de L’Hôpital
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Herleitung
df = f (a + dx) − f (a) = f (a + dx) ≈ f (a)
dg = g (a + dx) − g (a) = g (a + dx) ≈ g (a)
f (a)
df
df · dx
df · dx
≈
=
=
g (a)
dg
dg · dx
dx · dg
f0 =
df
dx
g0 =
f (a)
f0
≈ 0
g (a)
g
dg
dx
+•
; ein StušbrucE, ber bem oorigen am 2QertI)e
— 1+ X
It’s a long way to
infinity
Das 19. Jahrhundert
offcnbar nur \n bem einjtgen §aUe gteic^ ijt, toenn xzro i
tnbem
niezzx
fepn Fann, eš*fet) bennx = o. 2lu*
1+X
biefem SScpfpiele erfefyen roir bač)er, bof bie Sinomialglei*
Bernhard
Bolzano 1816
djung feinešroegš fůr jeben SBertlj oon n unb x gclte,
2. 3 u f a $ ,
Síl <*&*r
x
Augustin-Louis Cauchy 1821
«» center 25rud^, fb
txitt ber metftmirbige Umfiahb etn, bafj bie 93tnomtaí'
2
3
rci^c 1 — x - f - x — x + . . . j + x
r
bloj? buref) ^mlonglic^c
93ermeí)rung iljrer ©lieber bem 2Bert!je von (1+xJ"" 1 fo
nalje gebrac^t nerben fann, aU man nur rotil. 2)emt
ber Unterfdjieb Jttúfdjen btybm ifi x r — x r = x r + 1 , n>eí*
. í+x í + x
dješ, mnn x cin center fBxuů) ijí# fleiner oli jebe gege*
bene ©ropě gemaefet roerben fann, roenn man r gro£ ge*
nug nimmíf
2>enn ifl x <
+ i, fo roirb i . = ( i + u )
fepn, n?o u eine pofttioe ©rofe bejeic^net. ©ofl mm
x r * 1 < ali 5. 33. D roerben; fo nehrne man nur eineit
13
i+x.
SBert!) fůr r > D ( i + x ) — 1# foiftr-fi^DQ +x)
u
u
«nb ( r + i » . — l
—i oberi + ( r + i ) u > ~ — - — D(i + x)
D(i+x)
Stber nad)§* 7 ifl (1 + u ) r + ^ í + Cr + Ou + Cr+iJ^.u*
+ ^ > i + (r + i)u.«lfoumfomeMi+iO r + , > í r 7 - i — ;
D(i + x)
« I f % - 4 ^ r + i = x r + 1 < D ( i + x), * l f o x r + 1
(i + u)
TTT<D'
gafl eben fo roirb ber 2Jert>ei$ gefuljrí, roenn x negativ
i|T* <5o ofí alfo x eine ©ropě bejeidĚmcí, bíe < + 1 ifí;
fo giítbteíBinomiargletdjung aucíjfur ben SUertljn = — 1 ,
jtoar niá)t genau, aber ber Unterfdjieb fann boá) Fleiner
ali jebc gegebene ©ropě gemacfyt roerben, roemt man r,
fc. í). bie 2Jíenge ber ©lieber grop genug nimmf.
...
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Satz (Dirichlet, 1828)
Für stückweise stetige Funktionen mit höchstens
endlich vielen Maxima und Minima gilt punktweise
die Fourierreihendarstellung (mit der bekannten
Konvention an Sprungstellen).
Die aus der Anschauung durch Abstraktion geborenen reinen
Begriffe der Mathematik haben eine Tendenz, im nachhinein
Monster zu gebären. Etwa Funktionen mit besonders schlechten
Eigenschaften (stetig aber nirgends differenzierbar; nicht messbare
Funktionen; Banach-Tarski-Paradoxon; stetige Kurven, die R2
bedecken, etc.).
Das Riemann-Integral (Bernhard Riemann, 1854)
In: Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch
trigonometrische Reihen
Zweck: Erweiterung der Fourier-Theorie auf
Funktionen mit beschränkter Variation.
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infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
It’s a long way to
infinity
Das Riemann-Integral
Darboux: Sei f : [a, b] → R und Z = (x0 , x1 , . . . , xn ) eine
Zerlegung von [a, b]. Dann sind
O(Z )
U(Z )
:=
:=
n
X
k=1
n
X
(xk − xk−1 )
sup
f (x)
xk−1 <x<xk
(xk − xk−1 )
k=1
inf
xk−1 <x<xk
f (x)
Ober- respektive Untersumme von f bezüglich Z . Falls
inf
Zerlegungen
O(Z ) =
sup
U(Z )
Zerlegungen
so heisst dieser Wert Riemann-Integral von f auf [a, b].
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Riemann: Sei f : [a, b] → R und Z = (x0 , x1 , . . . , xn ) eine
Zerlegung von [a, b] mit tk ∈ [xk−1 , xk ]. Dann sei
S(Z ; t1 , . . . , tn ) :=
n
X
(xk − xk−1 )f (tk )
k=1
Falls für festes I und jedes > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für
jede Zerlegung mit max |xk − xk−1 | < δ und beliebige ti
|S(Z ; t1 , . . . , tn ) − I | < so heisst I Riemann-Integral von f auf [a, b].
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Riemann: Sei f : [a, b] → R und Z = (x0 , x1 , . . . , xn ) eine
Zerlegung von [a, b] mit tk ∈ [xk−1 , xk ]. Dann sei
S(Z ; t1 , . . . , tn ) :=
n
X
(xk − xk−1 )f (tk )
k=1
Falls für festes I und jedes > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für
jede Zerlegung mit max |xk − xk−1 | < δ und beliebige ti
|S(Z ; t1 , . . . , tn ) − I | < so heisst I Riemann-Integral von f auf [a, b].
Moore-Smith oder Filter: Das Riemann-Integral lässt sich auch
als Grenzwert von Moore-Smith-Folgen (Netze) respektive mit
Filtern definieren.
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infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Riemann: Sei f : [a, b] → R und Z = (x0 , x1 , . . . , xn ) eine
Zerlegung von [a, b] mit tk ∈ [xk−1 , xk ]. Dann sei
S(Z ; t1 , . . . , tn ) :=
n
X
(xk − xk−1 )f (tk )
k=1
Falls für festes I und jedes > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für
jede Zerlegung mit max |xk − xk−1 | < δ und beliebige ti
|S(Z ; t1 , . . . , tn ) − I | < so heisst I Riemann-Integral von f auf [a, b].
Moore-Smith oder Filter: Das Riemann-Integral lässt sich auch
als Grenzwert von Moore-Smith-Folgen (Netze) respektive mit
Filtern definieren.
Bemerkung: Im Gegensatz zur Ableitung ist das Integral kein
simpler Grenzwert. Für die Schule ist das problematisch. Und erst
recht die Integrationstheorien von Lebesgue, Daniell, Stieltjes,
Carathéodory :-)
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Daher: Das Riemann-Integral für steige Funktionen
Sei f : [a, b] → R stetig, n ∈ N, ∆xn := n1 (b − a) und
(n)
xk := a + k∆xn . Dann ist
Rn := ∆xn
n−1
X
(n)
f (xk )
k=0
die n-te Rechteck-Summe von f .
a
Lemma
(Rn )n∈N ist eine Cauchy-Folge.
(n)
x1
(n)
x2
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Beweis: Sei > 0. Dann existiert n ∈ N so dass ∀x, y ∈ [a, b] mit
|x − y | < |b−a|
gilt
n
|f (x) − f (y )| <
.
2|b − a|
Weiter sei ` = αn für ein α ∈ N. Dann ist
|Rn − R` | =
|∆xn
n−1
X
(n)
f (xk ) − ∆x`
k=0
=
|∆x`
`−1
X
k=0
n−1 α−1
X
X
(n)
f (xk ) − ∆x`
k=0 j=0
≤
∆x`
n−1 α−1
X
X
(`)
f (xk )|
n−1 α−1
X
X
(`)
f (xαk+j )|
k=0 j=0
(n)
(`)
|f (xk ) − f (xαk+j )|
k=0 j=0
< ∆x` α n
=
2|b − a|
2
Sei nun m > n, dann gilt für ` = kgV(m, n)
|Rm − Rn | ≤ |Rm − R` | + |R` − Rn | <
+ =
2 2
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
It’s a long way to
infinity
Für die Schule: Betrachte nur den Fall einer monoton
wachsenden, positiven, stetigen Funktion f mit Ober- und
Untersumme:
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Untersumme ≤ “Fläche” ≤ Obersumme
wobei
0 < Obersumme − Untersumme = f (b) − f (a) ∆xn → 0
a
b
a
b
a
b
It’s a long way to
infinity
Für die Schule: Betrachte nur den Fall einer monoton
wachsenden, positiven, stetigen Funktion f mit Ober- und
Untersumme:
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Untersumme ≤ “Fläche” ≤ Obersumme
wobei
0 < Obersumme − Untersumme = f (b) − f (a) ∆xn → 0
a
b
a
b
a
b
Achtung: Die Folge der Obersummen respektve Untersummen ist
i.A. nicht monoton!
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
It’s a long way to
infinity
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann existiert ξ ∈ [a, b] so, dass
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Z
b
f (x)dx = f (ξ)(b − a)
a
Beweis: Es gibt (nach Weierstrass) xmin , xmax ∈ [a, b] mit
f (xmin ) ≤ f (x) ≤ f (xmax ) ∀x ∈ [a, b].
Somit
(b − a)f (xmin ) ≤ ∆xn
n−1
X
(n)
f (xk ) ≤ (b − a)f (xmax )
k=0
und im Limes n → ∞
Z
b
f (x)dx ≤ (b − a)f (xmax )
(b − a)f (xmin ) ≤
a
Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gibt es ξ
zwischen xmin und xmax mit
Z b
1
f (x)dx ∈ [f (xmin ), f (xmax )]
f (ξ) =
b−a a
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung I
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Sei f : [a, b] → R stetig und ξ ∈ ]a, b[. Dann gilt
Z x
d
f (t)dt = f (x)
dx a
Beweis:
Z x
Z x+∆x
Z x
1
d
f (t)dt = lim
f (t)dt −
f (t)dt
∆x→0 ∆x
dx a
a
a
Z x+∆x
1
(∗)
= lim
f (t)dt
∆x→0 ∆x x
= f (x)
wegen des Mittelwertsatzes der Integralrechnung.
(∗) siehe später!
It’s a long way to
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It’s a long way to
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Korollar: Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung II
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Sei f : [a, b] → R stetig und G eine Stammfunktion, d.h. G 0 = f .
Dann gilt
Z b
f (x)dx = G (b) − G (a)
a
Beweis: Sei
Z
x
f (t)dt
F (x) :=
a
Nach dem Hauptsatz I ist auch F eine Stammfunktion von f .
Somit ist F − G konstant (laut dem Mittelwertsatz der
Differentialrechnung). Also
F (a) −G (a) =
|{z}
=0
F (b) −G (b)
| {z }
R
= ab f (t)dt
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Lemma
Die Funktion f 7→
Rb
a
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
f (x)dx ist linear.
Beweis: Aus der Definition folgt sofort
Rb
Rb
Rb
I
a (f (x) + g (x))dx = a f (x)dx + a g (x)dx
Rb
Rb
I
a λf (x)dx = λ a f (x)dx für λ ∈ R.
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Lemma
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Sei f : [a, b] → R stetig, c ∈ ]a, b[. Dann gilt
Z
c
Z
b
f (x)dx +
a
b
Z
f (x)dx =
f (x)dx
c
a
a
c
b
Beweis: 1. Schritt. Sei c ein rationaler Teilpunkt von [a, b], d.h.
(n)
(n)
b−a
für alle n, k mit
c−a =: ρ ∈ Q. Dann ist c = xk = a + k∆xk
n
=
ρ.
Es
folgt
k
n−1
X
j=0
f
(n)
(xj )∆xn
=
k−1
X
j=0
f
(n)
(xj )∆xn
+
n−1
X
(n)
f (xj )∆xn
j=k
D.h. Rn (a, b) = Rk (a, c) + Rn−k (c, b) und im Limes n, k → ∞
mit n = ρk ergibt sich die Behauptung.
2. Schritt: Sei > 0 und δ > 0 so, dass für alle x, y ∈ [a, b] mit
|x − y | < δ gilt
|f (x) − f (y )| ≤
2|b − a|
1
Weiter sei b̃ < b, |b − b̃| < max(δ, 2 max
|f | ) und ∆xn = n (b − a),
˜ n = 1 (b̃ − a), x (n) = a + k∆xn , x̃ (n) = a + k ∆x
˜ n , wobei n so
∆x
k
k
n
gross sein soll, dass ∆xn < δ. Dann gilt
Rn :=
n−1
X
f
(n)
(xk )∆xn
Z
R̃n :=
k=0
f
(n) ˜
(x̃k )∆x
n
f (x)dx
a
k=0
n−1
X
b
→
Z
→
b̃
f (x)dx
a
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
|Rn − R̃n |
≤
n−1
X
(n)
(n)
(n)
(n)
˜ n|
|f (xk )∆xn − f (x̃k )∆x
k=0
≤
n−1
X
(n)
(n)
(n)
=∆xn |f (xk )−f (x̃k )|≤∆xn 2|b−a|
≤
(n)
˜ n|
|f (x )∆xn − f (x̃k )∆xn | + |f (x̃k )∆xn − f (x̃k )∆x
{z
}
{z
}
| k
|
k=0
(n)
˜
˜
|f (∆x
k )||∆xn −∆xn |<max |f |
+ =
2 2
Somit
Z
|
b
Z
f (x)dx −
a
b̃
f (x)dx| ≤ a
|b−b̃|
n
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3. Schritt: Sei b̃ wie oben und so, dass c das Intervall [a, b̃]
rational teilt. Dann gilt
Z
c
|
Z
b
c
c
Z
=|
|=
a
Z
b̃
Z
−
+
a
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b
−
+
a
Z
c
b̃
b
Z
−
+
c
Z
c
b̃
Z
Z
−
+
a
b̃
a
b
|
a
Z b̃ Z b
Z b̃ Z b
Z c Z b̃ Z b̃
−
|+|
−
| ≤ 2
≤|
+
−
|+|
c
c
a
a
a
c
a
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
=0 (1. Schritt)
≤ (2. Schritt)
≤ (2. Schritt)
Bemerkung: Wenn man das Riemann-Integral über allgemeine
Zerlegungen definiert, ist dieses Lemma sehr einfach zu beweisen.
Beobachtung: Die didaktischen und die fachlichen
Schwierigkeiten liegen nicht immer an der selben Stelle.
Das Riemann-Integral ist ziemlich cool. Es löst nicht nur das
Flächenproblem, sondern auch
I
das Problem eine Stammfunktion zu finden
I
Volumen, Oberfläche, Kurvenlänge
I
Schwerpunktberechnungen
I
Problem der Rekonstruktion der Position aus der
Geschwindigkeit/Beschleunigung
I
Wahrscheinlichkeitsberechnung aus der
Wahrscheinlichkeitsdichte
I
...
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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Lemma
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann konvergiert auch
R̃n := ∆xn
n−1
X
(n)
f (ξk )
k=0
(n)
(n)
(n)
mit ξk ∈ [xk , xk+1 ] gegen
Rb
a
f (x)dx =: I .
Beweis: Sei > 0 und n so gross, dass |f (x) − f (y )| <
alle x, y ∈ [a, b] mit |x − y | ≤
|Rn − R̃n | ≤ ∆xn
|b−a|
n .
n−1
X
|b−a|
für
Dann gilt
(n)
(n)
|f (xk ) − f (ξk )| < |
{z
}
k=0
|b−a|
Somit
|I − R̃n | ≤
|I − Rn |
| {z }
→0 für n → ∞
für n genügend gross.
+ |Rn − R̃n | < 2
| {z }
<
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Rotationsvolumen
Sei f : [a, b] → [0, ∞[ stetig, der Graph rotiere über [a, b] um die
x-Achse. Dann ist das Rotationsvolumen
Z b
V =π
f 2 (x)dx
a
(n)
(n)
(n)
Wir unterteilen [a, b] wie zuvor äquidistant: x0 , x1 , . . . , xn .
(n) (n)
(n) (n)
Seien ξk , ηk ∈ [xk , xk+1 ] so, dass
(n)
|f (ξk | =
(n)
|f (ηk | =
max |f (x)|
(n)
(n)
[xk ,xk+1 ]
min |f (x)|
(n)
(n)
[xk ,xk+1 ]
Dann ist
∆xn π
n−1
X
k=0
(n)
f 2 (ηk ) ≤ V ≤ ∆xn π
n−1
X
(n)
f 2 (ξk )
k=0
Da f 2 stetig ist, konvergieren die obere und die untere Schranke
Rb
gegen π a f 2 (x)dx.
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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infinity
Kurvenlänge
Sei f : [a, b] → R stetig differenzierbar. Dann ist die Kurvenlänge
Z bp
des Graphen
1 + f 0 (x)2 dx
L=
a
Wir teilen [a, b] wieder äquidistant. Dann ist die Länge der
polygonalen Approximation:
n−1 q
X
(n)
(n)
∆xn2 + (f (xk+1 ) − f (xk ))2
Ln =
k=0
=
∆xn
n−1
X
s
k=0
=
∆xn
n−1 q
X
(n)
1+
(n)
f (xk+1 ) − f (xk ) 2
∆xn
(n)
1 + f 0 (ξk )2
k=0
p
(n)
für geeignete Zwischenwerte ξk . Da x 7→ 1 + f 0 (x)2 stetig ist,
konvergiert Ln gegen
Z bp
L=
1 + f 0 (x)2 dx
a
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die reellen Zahlen
Problem bei all diesen Errungenschaften war: Niemand konnte
Mitte des 19. Jahrhunderts genau sagen, was eine reelle
Zahl ist!
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die reellen Zahlen
Problem bei all diesen Errungenschaften war: Niemand konnte
Mitte des 19. Jahrhunderts genau sagen, was eine reelle
Zahl ist!
Richard Dedekind (Professor am Eidgenössischen
Polytechnikum Zürich) erfindet am 24. November
1858 in Zürich die Dedekindschen Schnitte und
damit ein erstes Modell der reellen Zahlen.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Die reellen Zahlen
Problem bei all diesen Errungenschaften war: Niemand konnte
Mitte des 19. Jahrhunderts genau sagen, was eine reelle
Zahl ist!
Richard Dedekind (Professor am Eidgenössischen
Polytechnikum Zürich) erfindet am 24. November
1858 in Zürich die Dedekindschen Schnitte und
damit ein erstes Modell der reellen Zahlen.
Rodolf Lipschitz schrieb 1876 an Dedekind: Ich kann
nur sagen, dass ich die von Euklid aufgestellte
Definiton für genauso befriedigend halte, wie Ihre
Definition. Aus diesem Grunde würde ich wünschen,
dass namentlich
die Behauptung wegfiele, dass solche
√ √
√
Sätze wie 2 3 = 6 bisher nicht wirklich bewiesen seien. Was
Sie an der Vollständigkeit des Gebietes erwähnen, die aus Ihren
Prinzipien abgeleitet wird, so fällt dieselbe in der Sache mit der
Grundeigenschaft einer Linie zusammen, ohne die kein Mensch
sich eine Linie vorstellen kann.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Dedekind schreibt an Lipschitz im Hinblick auf die
Vollständigkeitseigenschaft: Aber Euklid schweigt vollständig über
diesen, für die Arithmetik wichtigsten Punkt, und deshalb kann ich
Ihrer Ansicht nicht zustimmen, dass bei Euklid die vollständigen
Grundlagen für die Theorie der irrationalen Zahlen zu finden seien.
1869 publizieren Charles Méray und 1883 Georg
Cantor eine Konstruktion der reellen Zahlen via
Cauchy-Folgen. Cantor sagt dazu, dass die Definition
Dedekinds den grossen Nachteil habe, dass die
Zahlen in der Analysis sich niemals in der Form von
Schnitten darbieten, in welche sie erst mit grosser
Kunst und Umständlichkeit gebracht werden müssen.
Dagegen sei seine Definition die einfachste und
natürlichste von allen.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Was sind die reellen Zahlen?
Der nichtstandard Weg der Moderne
Abraham Robinson
I
begründete 1961 die nichtstandard Analysis
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N. Hungerbühler
Der nichtstandard Weg der Moderne
Abraham Robinson
I
begründete 1961 die nichtstandard Analysis
Logische Grundlage: Der Kompaktheitssatz
I
Beweise sind endliche Folgen von Aussagen.
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N. Hungerbühler
Der nichtstandard Weg der Moderne
Abraham Robinson
I
begründete 1961 die nichtstandard Analysis
Logische Grundlage: Der Kompaktheitssatz
I
Beweise sind endliche Folgen von Aussagen.
I
Lässt sich ein Widerspruch herleiten, so brauchen wir
dazu nur endlich viele Axiome.
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N. Hungerbühler
Der nichtstandard Weg der Moderne
Abraham Robinson
I
begründete 1961 die nichtstandard Analysis
Logische Grundlage: Der Kompaktheitssatz
I
Beweise sind endliche Folgen von Aussagen.
I
Lässt sich ein Widerspruch herleiten, so brauchen wir
dazu nur endlich viele Axiome.
I
Wenn jeweils endlich viele Axiome widerspruchsfrei sind,
so ist das ganze Axiomensystem widerspruchsfrei.
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L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
Körperaxiome
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0 , δ0 < 1/2
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0 , δ0 < 1/2, δ0 < 1/3
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0 , δ0 < 1/2, δ0 < 1/3, δ0 < 1/4, . . .
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0 , δ0 < 1/2, δ0 < 1/3, δ0 < 1/4, . . .
Eigenschaften dieses erweiterten Axiomensystems
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0 , δ0 < 1/2, δ0 < 1/3, δ0 < 1/4, . . .
Eigenschaften dieses erweiterten Axiomensystems
I
Durch die Erweiterung werden keine Widersprüche
hinzugefügt.
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0 , δ0 < 1/2, δ0 < 1/3, δ0 < 1/4, . . .
Eigenschaften dieses erweiterten Axiomensystems
I
Durch die Erweiterung werden keine Widersprüche
hinzugefügt.
I
Jedes Modell R∗ dieses Axiomensystems enhält alle
standard reellen Zahlen R.
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Axiome der reellen Zahlen
I
I
I
Körperaxiome
Axiome der Ordnung, inkl. ∀x∃n ∈ N |n · x| > 1
Axiom der Vollständigkeit
Erweiterung dieses Axiomensystems
I
δ0 sei ein Konstantensymbol
I
0 < δ0 , δ0 < 1/2, δ0 < 1/3, δ0 < 1/4, . . .
Eigenschaften dieses erweiterten Axiomensystems
I
Durch die Erweiterung werden keine Widersprüche
hinzugefügt.
I
Jedes Modell R∗ dieses Axiomensystems enhält alle
standard reellen Zahlen R.
I
δ0 ist eine unendlich kleine positive reelle Zahl.
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
I
in R∗ existiert auch 1/δ0
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
I
in R∗ existiert auch 1/δ0
I
in R∗ haben wir als natürliche Zahlen N∗
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
I
in R∗ existiert auch 1/δ0
I
in R∗ haben wir als natürliche Zahlen N∗
I
in R∗ existiert auch r · δ0 (für alle r aus R∗ )
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
I
in R∗ existiert auch 1/δ0
I
in R∗ haben wir als natürliche Zahlen N∗
I
in R∗ existiert auch r · δ0 (für alle r aus R∗ )
I
In R∗ gelten dieselben Rechenregeln wie in R.
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
I
in R∗ existiert auch 1/δ0
I
in R∗ haben wir als natürliche Zahlen N∗
I
in R∗ existiert auch r · δ0 (für alle r aus R∗ )
I
In R∗ gelten dieselben Rechenregeln wie in R.
R aus der Sicht von R∗
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
I
in R∗ existiert auch 1/δ0
I
in R∗ haben wir als natürliche Zahlen N∗
I
in R∗ existiert auch r · δ0 (für alle r aus R∗ )
I
In R∗ gelten dieselben Rechenregeln wie in R.
R aus der Sicht von R∗
I
in R gibt es die Zahl δ0 nicht
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
R∗ aus der Sicht von R∗
I
in R∗ ist δ0 eine ganz normale reelle positive Zahl.
I
in R∗ existiert auch 1/δ0
I
in R∗ haben wir als natürliche Zahlen N∗
I
in R∗ existiert auch r · δ0 (für alle r aus R∗ )
I
In R∗ gelten dieselben Rechenregeln wie in R.
R aus der Sicht von R∗
I
in R gibt es die Zahl δ0 nicht
I
eine reelle Zahl a + δ0 in R∗ (mit a aus R) “entspricht”
der Zahl a in R
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
R
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
R∗
b
δ0
R
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
R∗
b
4δ0
b
δ0
b
b
δ0
2
δ0
100
R
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
R∗
b
4δ0
b
δ0
b
b
b
δ0
2
δ0
100
δ02
R
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
R∗
b
4δ0
b
δ0
b
b
δ0
2
δ0
100
δ02
b
R
−3
−2
−1
0
b
1
−δ0
2
3
4
5
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
R∗
b
4δ0
b
δ0
b
b
b
δ02
b
2 + δ0
δ0
2
δ0
100
b
2 + δ02
R
−3
−2
−1
0
b
1
−δ0
2
b
3
2 − δ0
4
5
Nichtstandard Modelle der reellen Zahlen
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
R∗
b
b
4δ0
b
δ0
b
b
b
b
2 + δ0
δ0
2
δ0
100
δ02
b
(2 + δ0 )2
(2 + δ0 )2 − δ02
b
2 + δ02
R
−3
−2
−1
0
b
1
−δ0
2
b
3
2 − δ0
4
5
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
I
a · dx ≈
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
I
a · dx ≈ 0
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
I
I
a · dx ≈ 0
a + b · dx + c · dx 2 + . . . ≈
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
I
a · dx ≈ 0
I
a + b · dx + c · dx 2 + . . . ≈ a
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
I
a · dx ≈ 0
I
a + b · dx + c · dx 2 + . . . ≈ a
Zahlen wie zum Beispiel 1/dx haben keinen Standardteil!
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
I
a · dx ≈ 0
I
a + b · dx + c · dx 2 + . . . ≈ a
Zahlen wie zum Beispiel 1/dx haben keinen Standardteil!
Für nichtstandard natürliche Zahlen N ∗ gilt:
1
≈
N∗
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Standardteil von Zahlen aus R∗
Im Folgenden schreiben wir dx für δ0 , dx 2 für δ02 , . . .
Standardteil: Umklappen von R∗
I
a · dx ≈ 0
I
a + b · dx + c · dx 2 + . . . ≈ a
Zahlen wie zum Beispiel 1/dx haben keinen Standardteil!
Für nichtstandard natürliche Zahlen N ∗ gilt:
1
≈0
N∗
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Analysis
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Differenzieren
Die Ableitung f 0 (x) einer Funktion f : R → R ist der
Standardteil des Differenzenquotienten
f (x + dx) − f (x)
dx
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
exp0 (x) =
It’s a long way to
infinity
exp(x + dx) − exp(x)
dx
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
exp0 (x) =
It’s a long way to
infinity
exp(x + dx) − exp(x)
exp(dx) − 1
= exp(x) ·
dx
dx
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
exp0 (x) =
It’s a long way to
infinity
exp(x + dx) − exp(x)
exp(dx) − 1
= exp(x) ·
dx
dx
exp(dx) = 1 +
dx
dx 2 dx 3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
It’s a long way to
infinity
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
exp0 (x) =
exp(x + dx) − exp(x)
exp(dx) − 1
= exp(x) ·
dx
dx
exp(dx) = 1 +
exp(dx) − 1
dx
=
dx
dx 2 dx 3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
1
dx · ( 1!
+
dx
2!
+
dx
dx 2
3!
+ . . .)
It’s a long way to
infinity
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
exp0 (x) =
exp(x + dx) − exp(x)
exp(dx) − 1
= exp(x) ·
dx
dx
exp(dx) = 1 +
exp(dx) − 1
dx
=
=
dx
dx 2 dx 3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
1
dx · ( 1!
+
dx
2!
1
1!
dx 2
3!
+
dx
2!
+
+
dx
dx 2
3!
+ ...
+ . . .)
It’s a long way to
infinity
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
exp0 (x) =
exp(x + dx) − exp(x)
exp(dx) − 1
= exp(x) ·
dx
dx
exp(dx) = 1 +
exp(dx) − 1
dx
=
=
dx
dx 2 dx 3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
1
dx · ( 1!
+
dx
2!
1
1!
dx 2
3!
+
dx
2!
+
+
dx
dx 2
3!
+ . . .)
+ ... ≈ 1
It’s a long way to
infinity
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
exp0 (x) =
exp(x + dx) − exp(x)
exp(dx) − 1
= exp(x) ·
dx
dx
exp(dx) = 1 +
exp(dx) − 1
dx
=
=
⇒
dx
dx 2 dx 3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
1
dx · ( 1!
+
dx
2!
1
1!
dx 2
3!
+
dx
2!
+
+
dx
dx 2
3!
+ . . .)
+ ... ≈ 1
exp0 (x) = exp(x)
Nichtstandard Analysis
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Integrieren
Zb
f (x)dx einer Funktion f : R → R ist der
Das Integral
a
Standardteil der Summe
∗
N
X
b−a
j=1
N∗
b − a
·f a+j
N∗
(N ∗ eine beliebige nichtstandard natürliche Zahl in R∗ )
Nichtstandard Analysis
Ein Beispiel
Zb
0
x 2 dx
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
Zb
2
x dx
0
It’s a long way to
infinity
=
N∗
b X b 2
·
j ∗
N∗
N
j=1
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
Zb
2
x dx
0
It’s a long way to
infinity
=
N∗
N∗
b X b 2
b3 X 2
·
j
j ∗ = ∗3 ·
N∗
N
N
j=1
j=1
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
Zb
2
x dx
It’s a long way to
infinity
=
N∗
N∗
b X b 2
b3 X 2
·
j
j ∗ = ∗3 ·
N∗
N
N
j=1
j=1
=
b3 1 ∗ ∗
· N (N + 1)(2N ∗ + 1)
N ∗3 6
0
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
Zb
2
x dx
It’s a long way to
infinity
=
N∗
N∗
b X b 2
b3 X 2
·
j
j ∗ = ∗3 ·
N∗
N
N
j=1
j=1
=
b3 1 ∗ ∗
· N (N + 1)(2N ∗ + 1)
N ∗3 6
=
b3 1
· (2N ∗ 3 + 3N ∗ 2 + N ∗ )
3 6
∗
N
0
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
Zb
2
x dx
It’s a long way to
infinity
=
N∗
N∗
b X b 2
b3 X 2
·
j
j ∗ = ∗3 ·
N∗
N
N
j=1
j=1
=
b3 1 ∗ ∗
· N (N + 1)(2N ∗ + 1)
N ∗3 6
=
b3 1
· (2N ∗ 3 + 3N ∗ 2 + N ∗ )
3 6
∗
N
=
b3
b3
b3
+
+
3
2N ∗ 6N ∗ 2
0
Nichtstandard Analysis
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
Ein Beispiel
Zb
2
x dx
It’s a long way to
infinity
=
N∗
N∗
b X b 2
b3 X 2
·
j
j ∗ = ∗3 ·
N∗
N
N
j=1
j=1
=
b3 1 ∗ ∗
· N (N + 1)(2N ∗ + 1)
N ∗3 6
=
b3 1
· (2N ∗ 3 + 3N ∗ 2 + N ∗ )
3 6
∗
N
=
b3
b3
b3
b3
≈
+
+
3
3
2N ∗ 6N ∗ 2
0
Nichtstandard Analysis
Noch ein Beispiel: Kurvendiskussion.
Sei f : R → R, x 7→ x 3 + 5x 2 + 3x + 1. Dann gilt
f (x + dx) =
=
(x + dx)3 + 5(x + dx)2 + 3(x + dx) + 1
=
1 + 3x + 5x 2 + x 3 + (3 + 10x + 3x 2 )dx + (5 + 3x)dx 2 + dx 3
Extremalpunkte: 3 + 10x + 3x 2 = 0 ⇐⇒ x ∈ {−3, − 13 }
Wendepunkt: 5 + 3x = 0 ⇐⇒ x = − 35
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
It’s a long way to
infinity
Nichtstandard Analysis
Kurvendiskussion: Ableiten ohne Ableiten.
P∞
Sei f (x) = k=0 ak x k . Dann ist
f (x + dx)
=
∞
X
ak (x + dx)k
k=0
=
=
∞
X
k X
k k−j j
x dx
ak
j
j=0
k=0
∞ X
∞
X
k k−j j
ak
x
dx
j
j=0 k=j
|
{z
}
=:Aj
Die Koeffizienten sind
∞
X
k(k − 1) . . . (k − j + 1) k−j
f (j) (x)
x
=
Aj =
ak
j!
j!
k=j
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
. . . und noch ein Beispiel: Sei a2 6= 1. Dann ist
Zπ
ln 1 − 2a cos(x) + a2 dx =
0
=
=
st
st
n−1
π X
n
π
n
−e −2iπ/n
−e −iπ/n
k=0
log
log(1 − 2a cos(
n−1
Y
k=0
−e iπ/n
−e 2iπ/n
(k = 2)
kπ
) + a2 )
n
(a−e ikπ/n )(a−e −ikπ/n )
−e −(n−2)iπ/n
(k = n − 2)
−e −(n−1)iπ/n
(k = 1)
(k = 1)
L. Halbeisen
N. Hungerbühler
(1 − a(e ikπ/n + e −ikπ/n ) + a2 )
{z
}
|
(k = 2)
(k = 0)
0
It’s a long way to
infinity
(k = n − 1)
a
−e (n−1)iπ/n
−e (n−2)iπ/n
(k = n − 1)
(k = n − 2)
Gleichfarbige Terme zusammenfassen
Z π
I =
ln 1 − 2a cos(x) + a2 dx =
π
a − 1 n−1
0
Y
= st
log
(a2 − e 2πik/n )
n
a+1
k=0
{z
}
|
a2n −1
(Betrachte im letzten Schritt den roten Term als Polynom in der
Variable z = a2 .) Ist |a| < 1, so erhalten wir
π
a − 1
I = st
log
(a2n − 1) = 0
n
a+1
|
{z
}
beschränkt
Für |a| > 1 ist st πn log a−1
a+1 = 0, also bleibt
π
π
1 I = st
log(a2n − 1) = st π log a2 + log(1 − 2n ) = π log a2
{z
}
n |
n|
{z a }
1
2n
log a +log(1−
a2n
)
beschränkt
Also zusammen:
(
Z π
0
2
ln 1 − 2a cos(x) + a dx =
π log a2
0
falls |a| < 1
falls |a| > 1
It’s a long way to
infinity
L. Halbeisen
N. Hungerbühler