Lösung Klassenstufe 7

Lösung Klassenstufe 7-8 Aufgabe 1
Es gilt
3n + 4 5m + 8
+
2n + 3 2m + 3
(2n + 3) + (n + 32 ) − 21
(4m + 6) + (m + 32 + 12 )
=
+
2n + 3
2m + 3
1
1
1
1
=1+ −
+2+ +
2 4n + 6
2 4m + 6
1
1
=4+
−
.
4m + 6 4n + 6
a=
1
1
| ≤ 21 , | 4n+6
| ≤ 12 , da |4k + 6| ≥ 2 für alle k ∈ Z. Aus a ∈ Z folgt
Nun | 4m+6
1
1
− 4n+6
∈ Z und mit obiger Gleichung
4m+6
µ
1
1
−
4m + 6 4n + 6
¶
∈ {−1, 0, 1}.
1
1
1
Die Annahme 4m+6
− 4n+6
= −1 führt zu 4m+6
= − 21 ⇔ m = −2 und
n = −1.
1
1
Analog liefert 4m+6
− 4n+6
= −1 die Werte m = −1 und n = −2.
1
1
Gilt der dritte mögliche Fall, 4m+6
− 4n+6
= O, so folgt m = n.
1
4n+6
=
1
2
⇔
Folglich sind
a = 3,m = −2, n = −1;
a = 4,m = n ∈ Z;
a = 5,m = −1, n = −2
alle Ls̈sungen. Q.e.d.
Alternative Lösung: Wir betrachten
Werte n ∈ Z:
n
−3
Zähler: 3n + 4 −5
Nenner: 2n + 3 −3
5
a1 (n)
3
den ersten Bruch a1 (n) =
3n+4
2n+3
mal für einige
−2 −1 0 1 2 3
−2 1 4 7 10 13
−1 1 3 5 7 9
2
1
1
1
4
3
7
5
10
7
13
10
Es fällt auf, dass der Bruch immer in gekürzter Form vorliegt, d.h. der größte gemeinsame
Teiler von Zähler und Nenner ist 1. Das kann man allgemein wie folgt zeigen: Sei d ∈ N
ein Teiler von 3n + 4 und 2n + 3, dann ist d auch ein Teiler von 2(3n + 4) − 3(2n + 3) =
−1, also d = 1. Ganz analog zeigt man, dass Zähler und Nenner des zweiten Bruchs
5m+8
teilerfremd sind: sei d ∈ N ein gemeinsamer Teiler, dann teilt d auch
a2 (m) = 2m+3
2(5m + 8) − 5(2m + 3) = 1, also d = 1. Es bleibt die Frage zu beantworten, unter welcher
0
Bedinung die Summe zweier gekürzter Brüche pq und pq0 eine ganze Zahl ergeben kann.
1
Dies ist nur möglich, wenn die Nenner q und q 0 bis auf das Vorzeichen übereinstimmen,
denn:
pq 0 + p0 q
p p0
+ 0 =
∈Z
q q
qq 0
⇒
qq 0 teilt pq 0 + p0 q
⇒
⇒
⇒
q teilt pq 0 + p0 q
q teilt pq 0 , da es p0 q teilt
q teilt q 0 , da p und q teilerfremd sind
Das gleiche Argument ist aber auch für q 0 gültig, d.h auch q 0 teilt q und man erhält damit
insgesamt q = q 0 oder q = −q 0 .
Angewendet auf unsere Aufgabe erhalten wir als notwendige Bedingung dafür, dass
a = a1 (n) + a2 (m) ganzzahlig ist, also entweder
2n + 3 = 2m + 3
⇔
m=n
oder
2n + 3 = −(2m + 3)
⇔
m + n = −3
Eingesetzt in die Brüche ergibt das im Fall m = n:
a=
3n + 4 5n + 8
8n + 12
+
=
=4∈Z
2n + 3 2n + 3
2n + 3
und für den Fall m = −n − 3:
a=
8n + 11
1
3n + 4 5(−n − 3) + 8
+
=
=4−
2n + 3
−(2n + 3)
2n + 3
2n + 3
Dies ist nur ganzzahlig, falls 2n + 3 = ±1, also n = −1 oder n = −2.
Alle möglichen Paare ganzer Zahlen m, n, für die a ganzzahlig ist, sind also:
m = n ∈ Z,
m = −1, n = −2,
2
m = −2, n = −1