Aufgabe 7.1 Aufgabe 7.2 Aufgabe 7.3

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans
2
Dipl.-Inform. Markus Bender ∗
∗1
06.06.2012
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 7
Abgabe bis 13.06.12, 09:00 s.t.
Aufgabe 7.1
Verwenden Sie eines der Davis-Putnam-Verfahren (DP oder eine Version von DPLL) um
die Erfüllbarkeit der Formel
(P ) ∧ (Q ∨ ¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ ¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ ¬P ∨ ¬R)
zu untersuchen. Geben Sie ein Modell an, sollte die Formel erfüllbar sein.
Aufgabe 7.2
Gegeben Sei die Formel
(B → C) ∧ (C ↔ A) ∧ (A ↔ ¬B) ∧ (B ∨ ¬C)
Zeigen Sie mit Hilfe der folgenden Verfahren, dass die Formel unerfüllbar ist.
1) Aussagenlogisches Tableau
2) Klauseltableau mit schwacher Konnektionsbedingung (Das hier von Ihnen hergeleitete
Tableau darf nicht mit dem Tableau aus 3) identisch sein)
3) Klauseltableau
Elimination)
mit
starker
Konnektionsbedingung
und
Regularität
(Modell-
Transformieren Sie die gegebene Formel für 2) und 3) in eine Klauselmenge. Für 1) darf mit
Ausnahme der Elimination der Äquivalenzen keine Umformung an der gegebenen Formel
vorgenommen werden.
Aufgabe 7.3
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {f /2, g/1, a/0, b/0} und Π = {p/2, ≈/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X.
Markieren Sie durch Ankreuzen, welcher der folgenden Ausdrücke über Σ und X zu welchem der genannten Konzepten gehört.
Ausdruck
Term Atom Literal Klausel Formel "Nichts"
¬p(g(a), f (x, y))
(f (x, x) ≈ x)
p(f (x, a), x) ∨ p(a, b)
p(¬g(x), g(y))
¬p(f (x, y))
p(a, b) ∧ p(x, y) ∧ y
∃y(¬p(f (y, y), y))
∀x∀y(g(p(x, y)) ≈ g(x))
Aufgabe 7.4
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {1/0, 2/0} und
• Π = {p/1, q/1, r/2, s/2, t/2, u/3, v/3, ≈/2}.
Ferner sei X eine Menge von Variablen und w, x, y, z ∈ X.
Die Prädikate beschreiben folgende Sachverhalte:
• p(x) beschreibt, dass x gerade ist.
• q(x) beschreibt, dass x prim ist.
• r(x, y) beschreibt, dass x die Zahl y teilt.
• s(x, y) beschreibt, dass x und y teilerfremd sind.
• t(x, y) beschreibt, dass x ≤ y ist.
• u(x, y, z) beschreibt, dass x der größte gemeinsame Teiler von y und z ist.
• v(x, y, z) beschreibt, dass x das kleinste gemeinsame Vielfache von y und z ist.
• x ≈ y beschreibt, dass x gleich y ist.
Die Konstante 1/0 entspricht der natürlichen Zahl 1, die Konstante 2/0 der natürlichen
Zahl 2. Formalisieren Sie mit Hilfe der Prädikatenlogik:
a) Für alle Zahlen x gilt: Ist x durch 2 teilbar, so ist x eine gerade Zahl.
b) Für alle Zahlen x gilt: Ist x ungleich 1 und nur durch sich selbst und durch 1 teilbar,
so ist x prim.
c) Für alle Zahlen x, y gilt: Gibt es keine Zahl, die x und y teilt und ungleich 1 ist, so sind
x und y teilerfremd.
d) Für alle Zahlen x, y gilt: Ist der größte gemeinsame Teiler von x und y gleich 1, so sind
x und y teilerfremd.
e) Für alle Zahlen x, y gilt: Sind x und y teilerfremd und es gibt eine Zahl, die sowohl x
als auch y teilt, so muss diese Zahl 1 sein.
f) Für alle Zahlen x, y, z gilt: Ist x ein Teiler von y und z, und x ist größer als alle anderen
Teiler von y und z, so ist x der größter gemeinsame Teiler von y und z.
g) Für alle Zahlen x, y, z gilt: Ist x ein Vielfaches von y und z, und x ist kleiner als alle
anderen Vielfachen von y und z, so ist x das kleinste gemeinsame Vielfache von y und
z.
∗1
B 225 [email protected] www.uni-koblenz.de/~sofronie
B 224 [email protected]
www.uni-koblenz.de/~mbender
Falls Sie die Lösung Ihrer Gruppe abgeben wollen, denken Sie bitten daran, die Namen, E-Mail-Adressen
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und Übungsgruppen zu notieren.
Bitte beachten Sie die folgenden zusätzlichen Modalitäten zur Abgabe von Übungsblättern:
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• Die Abgabe auf Papier erfolgt in der Vorlesung, oder in Raum B224.
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