Quasioptische Komponenten 2.Teil

6.1 Fokussierende Elemente
x
w0in
A
w0out
din
dout
!i
B
0
z=0
Abbildung 6.10: Reflektierter Strahl in Transmission dargestellt.
Diese Formel gilt übrigens auch für einen off axis Parabolspiegel, wobei dort dann
natürlich die entsprechende aequivalente Brennweite eingesetzt werden muss. Das bedeutet, dass bei einem relativ kleinen Reflexionswinkel und bei einem relativ grossen f /DVerhältnis der Kopplungskoeffizient gross wird. Die Forderung für ein Kf ≥ 0.99 zusammen mit der Bedingung, dass der Spiegel Durchmesser D ≈ 4wm ist, liefert f /D ≥ 1.0
für ϑi ≤ 45° und f /D ≥ 0.5 für ϑi ≤ 30°.
Zusätzlich zu den oben erwähnten Effekten wird ein Teil des Signals in der Kreuzpolarisation reflektiert. Eine ähnliche Rechnung ergibt für diesen Fall, dass der Anteil
des ursprünglichen Strahles, der in die Kreuzpolarisation geht, doppelt so gross ist, wie
derjenige in den höheren Moden, und dass der Kopplungsfaktor Kco in diesem Fall wird:
Kco = 1 − 2U 2 = 1 −
2
wm
tan2 θi
.
4f 2
(6.49)
Es bleibt anzufügen, dass durch geschickte Wahl von off axis Spiegelpaaren es möglich
ist, die diskutierten Effekte zu minimieren, weil der eine Spiegel eine Verzerrung, die
durch den anderen produziert wird, aus kompensieren kann.
Ohmsche Verluste in Spiegeln
Die Verluste in Spiegeln infolge nicht unendlicher Leitfähigkeit sind zwar sehr gering,
können aber trotzdem eine Rolle spielen. Der Oberflächenwiderstand (Widerstand pro
Einheitsfläche) ist
Rs =
! πνµ "1/2
0
σ
= (πνµρ)1/2 ,
(6.50)
137
6 Quasioptische Komponenten
wobei ν die Frequenz, σ die elektrische Leitfähigkeit und ρ = 1/σ ist. Die Eindringtiefe
oder ’skin depth’ ist
δ=
#
ρ
πνµ0
$1/2
.
(6.51)
Diese Eindringtiefe ist sehr gering und in der Grösse von Bruchteilen von Mikrometern.
Für den Reflexionsfaktor für die Leistung gilt bei senkrechtem Einfall:
r2 = 1 − 4(πε0 νρ)0.5 .
(6.52)
Die Schlüsselgrösse ist selbstverständlich der Oberflächenwiderstand. Es zeigt sich allerdings, dass gemessene Werte etwa einen Faktor 2 grösser sind als theoretische Werte.
6.1.3 Linsen
Im submillmeter- und THz-Bereich werden vorwiegend dielektrische Linsen eingesetzt.
Vorausgesetzt, dass die verwendete Linse genügend weit von der Strahltaille zu liegen
kommt, können wir beim Entwurf von quasioptischen Linsen vorgehen wie in der geometrischen Optik. Wegen der doch relativ grossen Wellenlänge, gegenüber der herkömmlichen
Optik, ist es möglich, Linsenoberflächen direkt mit numerisch gesteuerten Fräsmaschinen
herzustellen. Wir werden weiter unten noch auf die verschiedenen Materialien zu sprechen kommen.
Das Grundprinzip der Bestimmung einer Linsenfläche beruht darauf, dass eine einfallende Welle, von einer Punktquelle ausgehend, in eine ebene Welle transformiert werden
soll, die dann allenfalls mittels einer zweiten Linsenfläche wieder zu einem Punkt fokussiert werden soll. Dabei bedient man sich des Prinzips von Fermat, das besagt, dass die
optische Weglänge8 entlang jedes Pfades gleich sein muss. In Abbildung 6.11 bedeutet
das, dass der optische Weg von F zu einem beliebigen Punkt P identisch sein muss zu
demjenigen entlang der Ausbreitungsachse, d.h.
F P = F Q + nQQ! .
(6.53)
Wir bezeichnen die Strecke F Q als Brennweite f und erhalten in Polarkoordinaten für
den Radius der Linsenkontur
(n − 1)f
r=
.
(6.54)
n cos α − 1
Für ein Material mit n > 1 wird dadurch eine hyperbolische Oberfläche beschrieben. Für
die maschinelle Fertigung ist ein zylindrisches Koordinatensystem besser geeignet, wobei
die z-Achse der Symmetrieachse entspricht und wir mit ρ den Abstand von der Achse
bezeichnen. Der Ursprung des Koordinatensystems liege in der Scheitel der Kurve. Es
gilt dann:
ρ2 = 2f z(n − 1) + z 2 (n2 − 1).
(6.55)
8
Als optische Weglänge eines Pfades bezeichnet
man die Summe aus dem Produkt von Brechungsindex
%
n und individueller Weglänge l, d.h.
ni l i
138
6.1 Fokussierende Elemente
!
p
r
F
"
z
Q
f
Q´
Abbildung 6.11: Optische Weglängen bei einer einseitigen Linse mit Brechungsindex n
Als Näherung von Gleichung (6.55) wird oft eine sphärische Kontur gewählt, die sich
dann im gleichen Koordinatensystem ausdrücken lässt als
ρ2 = 2f z(n − 1) − z 2 .
(6.56)
Ein Beispiel einer plano-konvex Linse für eine Frequenz von 200 GHz aus Teflon zeigt
Abbildung 6.12.
Verluste in Linsen
Eine dielektrische Linse wird wegen des Linsenmaterials selbst gewisse Verluste aufweisen. Die Absorption in der Linse wird natürlich primär vom verwendeten Material
abhängen, aber dann auch von der Dicke der Linse, des Linsenprofils und der Beleuchtung der Linse. Relativ einfach lassen sich die Verluste im Zentrum der Linse abschätzen.
Es zeigt sich, dass die Dicke einer Linse mit Durchmesser D und Brennweite f gefertigt
aus einem Material mit Brechungsindex n gegeben ist durch:
tc ∼
=
D2
.
8f (n − 1)
(6.57)
Wir definieren den Verlust pro Weglänge mit α, so dass die Leistung am Ausgang Pout
zur Leistung am Eingang Pin geschrieben werden kann mit
Pout = Pin exp(−αt),
(6.58)
139
6 Quasioptische Komponenten
Abbildung 6.12: Beispiel einer Teflonlinse
wobei wir mit α den Absorptionskoeffizienten bezeichnen
α=
2πn tan δ
.
λ0
(6.59)
Dabei ist λ0 die Wellenlänge im Vakuum und mit tan δ bezeichnen wir denn sog. Verlustwinkel
ε!!
tan δ = ! .
(6.60)
ε
Dabei sind ε! und ε!! Realteil und Imaginärteil der komplexen relativen Dielektrizitätskonstanten
ε = ε! − jε!! .
(6.61)
Der Brechungsindex ist dann definiert als
n=
√
ε,
(6.62)
was für Materialien mit geringen Verlusten zu
√
n = ε!
(6.63)
führt. Mit Gleichung (6.57) und (6.59) erhalten wir
αtc =
πD2 n tan δ
πD2
=
L0 ,
4f λ0 (n − 1)
4f λ0
(6.64)
wobei L0 als relativer Verlustparameter bezeichnet wird und die Abhängigkeit vom Material beschreibt:
n
L0 =
tan δ.
(6.65)
n−1
140
6.1 Fokussierende Elemente
Als Beispiel betrachten wir Rexolite bei 250 GHz, das einen Brechungsindex von 1.59
hat und einen Verlustwinkel von 2.2 · 10−3 aufweist. Somit erhalten wir L0 = 5.9 · 10−3 .
Für Quartz würden wir einen rund 20 mal kleineren Wert erhalten. Eine Teflon Linse der
Dicke 5cm weist bei 600 GHz einen Verlust von rund 15% auf. Eine entsprechende Rexolite Linse sogar 60%. Eine kleine Übersicht über die Werte einiger gängiger Materialien
ist in unten stehender Tabelle gegeben. Dabei ist zu beachten, dass der Verlustwinkel für
die meisten Materialien von der Frequenz abhängt. Die entsprechenden Werte zeigen,
dass im submillimeter Bereich die Verluste signifikant sein können und dass aus diesem
Grunde optische Systeme eher mit reflektiven Elementen aufgebaut werden, im Gegensatz zum herkömmlichen optischen Bereich, wo vor allem refraktive Elemente eingesetzt
werden.
Dielektrikum
n
tg δ Frequenz
[·10−4 ]
[GHz]
Acryl
Mylar
Polyethylen
Rexolite
Styropor
Teflon
TPX
1.61
81-135
1.75
360-680
1.52
3.6-4.4
1.59
15-40
1.03 0.53-0.81
1.43
2.5-17
1.46
5.6-13
60-300
120-1000
90-270
120-550
200-260
120-1110
300-1200
Vergütung von Linsen
Zusätzlich zu den Verlusten durch Absorption kommen bei Linsen noch Verluste durch
Reflexion am Übergang vom Medium Luft auf das dielektrische Medium der Linse und
umgekehrt. Der Unterschied im Brechungsindex n, resp. der Dielektrizitätskonstanten
ε führt zu Reflexionen am Interface und insgesamt zu Mehrfachreflexionen. Dabei ist
nicht nur störend, dass nicht die gesamte Leistung in Ausbreitungsrichtung propagiert
wird, sondern vor allem der Effekt, dass reflektierte Leistung in ungewünschte Richtungen geht. Dies ist speziell in hochempfindlichen Radiometern störend, wo der Effekt
als baseline effect bezeichnet wird und sich beispielsweise als überlagerte Stehwelle im
Nutzsignal bemerkbar macht. Diese Stehwellen können so stark sein, dass eine Messung
des gewünschten Signals unmöglich wird. Man wird also versuchen, solche Reflexionen
unbedingt zu verhindern. Wenn es nicht möglich ist eine reflektive Optik zu verwenden,
so müssen die dielektrischen Komponenten mit einer Reflexions-Verminderungsschicht
versehen werden. Dies ist aus der klassischen Optik bekannt, indem etwa Linsen mit
λ/4-Schichten beschichtet werden.
Wir wollen im Folgenden kurz die Theorie der Reflexionen an einem ebenen Interface
betrachten. Ein Strahl trete von einem Medium mit Brechungsindex n1 in ein Medium
mit Index n2 unter einem Einfallswinkel ϑi ein. Dann gilt für den Winkel des gebrochenen
transmittierten Strahls ϑt gemäss dem Snellschen Gesetz
'
&# $
n1
sin θi .
(6.66)
θt = arcsin
n2
141
6 Quasioptische Komponenten
Die Reflexionskoeffizienten des elektrischen Feldes hängen von der Polarisation des einfallenden Feldes ab. Dabei bezeichnet man eine einfallende Welle, deren E-Feldvektor
parallel zur Einfallsebene liegt als parallel polarisiert. Die Einfallsebene wird durch den
einfallenden Strahl und die Flächennormale aufgespannt. Analoge Definitionen gelten für
den senkrechten oder orthogonalen Fall. Die Reflexionskoeffizienten sind im allgemeinen
komplex und werden durch die Fresnel-Formeln beschrieben:
tan(θi − θt )
tan(θi + θt )
(6.67)
− sin(θi − ϑt )
.
sin(θi + θt )
(6.68)
r# =
r⊥ =
Für die Transmissionskoeffizienten des Feldes gilt
t# =
n1
(1 + r# )
n2
t⊥ = 1 + r⊥ .
(6.69)
(6.70)
Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten9 der Leistung, R resp. T erhält man
dann mit
R =| r |2
(6.71)
und
T = 1 − R.
(6.72)
Figur 6.13 gibt als Beispiel die Reflexionskoeffizienten für parallel und orthogonal polarisierte einfallende Strahlung unter verschiedenen Einfallswinkeln samt zugehörigen
Phasenänderungen beim Übergang von Luft in ein Dielektrikum. Bei paralleler Polarisation tritt ein Winkel auf, bei dem die Reflexion verschwindet. Dieser Winkel heisst
Brewster-Winkel ϑB und berechnet sich mit
ϑB = arctan
n2
.
n1
(6.73)
Es sollte unbedingt darauf geachtet werden, dass dielektrische Medien, die z.B. als Fenster in einem quasioptischen Aufbau verwendet werden, unter dem Brewster Winkel angeordnet sind. Das bedingt aber auch, dass die einfallende Strahlung entsprechend parallel
polarisiert ist.
Figur 6.14 zeigt den analogen Sachverhalt allerdings beim Übergang vom dichten
Medium in Luft. Beim Überschreiten des kritischen Winkels ϑc tritt innere Totalreflexion
auf. Dieser von der Polarisation unabhängige Winkel berechnet sich durch
ϑc = arcsin
n2
n1
(6.74)
Für einen Übergang von Luft in ein Dielektrikum mit einer Dielektrizitätskonstanten
9
Vorsicht: Der Transmissionskoeffizient der Leistung ist NICHT gleich dem Quadrat des Betrags des
Transmissionskoeffizienten für das Feld
142
6.1 Fokussierende Elemente
1
0.8
0.8
Phase ["]
1
r!
0.6
Quartz
0.4
0.6
0.4
Teflon
0.2
0
0.2
0
20
40
60
0
80
0
20
1
0.8
0.8
Phase ["]
1
r##
0.6
Quartz
0.4
40
60
80
Einfallswinkel
Einfallswinkel
0.2
Quartz
0.6
Teflon
0.4
0.2
Teflon
0
0
20
40
60
0
80
0
20
40
60
80
Einfallswinkel
Einfallswinkel
Abbildung 6.13: Reflexionskoeffizienten und zugehörige
Übergang von Luft in Teflon resp. Quartz
1
Phasenänderungen
beim
1
Quatz
0.8
Phase ["]
0.8
r!
0.6
0.4
Teflon
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
Quartz
Teflon
0
20
40
60
80
0
20
Einfallswinkel
1
1
0.8
0.8
Quartz
r##
Phase ["]
Teflon
0.6
0.4
0.2
0
40
60
80
Einfallswinkel
Quartz
0.6
0.4
Teflon
0.2
0
20
40
60
Einfallswinkel
80
0
0
20
40
60
80
Einfallswinkel
Abbildung 6.14: Reflexionskoeffizienten und zugehörige
Übergang von Teflon resp. Quartz in Luft
Phasenänderungen
beim
143
6 Quasioptische Komponenten
√
ε, resp. einem Brechungsindex n = ε, unter dem Einfallswinkel ϑi lassen sich die
Reflexionskoeffizienten auch schreiben mit
− cos ϑi + (ε − sin2 ϑi )1/2
r⊥ =
cos ϑi + (ε − sin2 ϑi )1/2
ε cos ϑi − (ε − sin2 ϑi )1/2
r# =
.
ε cos ϑi + (ε − sin2 ϑi )1/2
(6.75)
(6.76)
Bei senkrechtem Einfall (normal incidence ) gilt10
|rn.i. | =
n−1
.
n+1
(6.77)
Dieser Wert ist nur für Materialien mit sehr kleinem Brechungsindex kleiner als 0.2 was
für den Reflexionsfaktor der Leistung 4% ausmacht. Eine Teflon Linse wird also rund 3%
pro Fläche reflektieren. Zusätzlich müssen Mehrfachreflexionen und die entsprechenden
Phasenlagen berücksichtigt werden, so dass der tatsächliche Reflexionsfaktor wesentlich
höher sein kann, was bei einer Teflon Linse bis 12% gehen kann. Eine Vergütung der
Oberflächen ist also absolut zwingend, will man nicht Stehwellen generieren.
Reflexionen können vermieden werden, wenn auf das Dielektrikum eine zusätzliche
Schicht aufgebracht wird, die eine Dielektrizitätskonstante aufweist, welche zwischen
derjenigen des Mediums und Luft liegt und eine Dicke aufweist, so dass sich die beiden
reflektierten Wellen weginterferieren. Analoge Probleme löst man in der Leitungstheorie
durch Einbringen eines Stückes Leitung mit einer Impedanz von Zm der Länge λ/4
zwischen nicht angepasste Leitungen mit Impedanzen Z0 und Zl , wobei gilt
(
Zm = Z0 Z l .
(6.78)
Die Impedanz Z ist mit dem Brechungsindex n verknüpft durch
Z = µ0 c/n.
(6.79)
Im optischen Fall gilt, unter Berücksichtigung der Polarisation der einfallenden Welle,
für die geforderte Dielektrizitätskonstanten der Anpass-Schicht, εm , beim Übergang von
Luft auf das Medium, charakterisiert mit ε:
εm# =
ε{1 + [1 − 4 sin2 θi cos θi (ε − sin2 θi )0.5 /ε]0.5 }
2 cos θi (ε − sin2 θi )0.5
εm⊥ = sin2 θi + cos θi (ε − sin2 θi )0.5
Bei senkrechtem Einfall vereinfacht sich dies auf den simplen Ausdruck
√
εmn.i. = ε.
(6.80)
(6.81)
(6.82)
Die Dicke der geforderten Schicht findet man durch Betrachtung der optischen Pfa10
Reflexion tritt z.B. auch auf beim Übergang von Luft auf flüssigen Stickstoff, wie er häufig zu Kalibrationszwecken verwendet wird. Der Brechungsindex für flüssigen Stickstoff beträgt im Mikrowellenund submillimeter Wellen-Bereich 1.196. Der Wert ist minim von der Temperatur d.h. vom Dampfdruck abhängig.
144
6.1 Fokussierende Elemente
"=1
"m
d
cos !
t
!i
!t
!i
d
d´
Abbildung 6.15: Geometrie der Strahlen in einer dielektrischen Vergütungsschicht mit
einer Dielektrizitätskonstsnten εm
de im Dielektrikum in Figur 6.15. Die Phasenverzögerung des Strahls, der durch das
Dielektrikum geht und zurück reflektiert wird, beträgt
# √
$
π 2d εm
!
φ=
−d ,
(6.83)
λ0
cos θt
was sich noch Umformen lässt zu
&
'
2πd
φ=
(εm − sin2 θi )0.5
λ0
(6.84)
wobei λ0 die Wellenlänge im Vakuum ist. Die Dicke einer λ-viertel-Platte berechnet sich
somit zu
λ0 /4
dm =
.
(6.85)
(εm − sin2 θi )0.5
Für senkrechten Einfall reduziert sich dieser Ausdruck auf
λ0
dmn.i. = √ ,
4 εm
(6.86)
λ0
,
4ε0.25
(6.87)
d.h.
dmn.i. =
145
6 Quasioptische Komponenten
resp.
λ0
dmn.i. = √ .
4 n
(6.88)
Man sieht in den Figuren 6.16 und 6.17, dass für eine ideale Anpassung die Dicke und die
2.8
2.6
2.4
!match
2.2
2
1.8
!""
1.6
1.4
!#
1.2
0
10
20
30
40
50
60
Einfallswinkel
Abbildung 6.16: Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten einer λ-Viertel-Schicht vom
Einfallswinkel für parallele und senkrechte Polarisation für Teflon.
Dielektrizitätskonstante der Schicht von der Polarisation der einfallenden Welle und dem
Einfallswinkel abhängen. Das bedeutet, dass eine homogene Schicht nicht ideale Bedingungen schafft und dass eigentlich die Schichtdicke variiert werden müsste. Dies könnte
beispielsweise durch eine numersiche Fräsmaschine erfolgen. Doch stellt sich ein ganz
anderes Problem bei der Vergütung von Linsen oder Fenstern im Mikrowellenbereich.
Typische Linsen werden aus Teflon gefertigt, das einen Brechungsindex von n = 1.44
hat. Damit müsste eine Linsenvergütung einen Brechungsindex von rund 1.2 haben. Ein
solches Material existiert aber nicht und es müssen andere Lösungen gefunden werden.
Eine Variante der Anpassung besteht darin, dass eine λ-Viertel-Schicht simuliert oder
emuliert wird. Das kann man dadurch erreichen, dass aus dem zu vergütenden Objekt
(Linse, Fenster etc.) Material abgetragen wird, so dass eine Schicht dünner aussieht
als das darunterliegende Medium. Dies wird häufig durch Anbringen von Rillen (engl.
grooves) realisiert, die entweder parallel verlaufen oder aber aus Symmetriegründen konzentrisch aus dem Material herausgefräst werden. Die geometrische Anordnung solcher
Rillen zeigt Figur 6.18 und Figur 6.19. Wir bezeichnen das Verhältnis von Rillen zu
Nicht-Rillen mit
dg
(6.89)
f= .
lg
146
6.1 Fokussierende Elemente
0.34
Dicke normiert auf Wellenlänge im Vakuum
0.32
0.3
0.28
0.26
!"
0.24
!
##
0.22
0.2
0.18
0
10
20
30
40
50
60
Einfallswinkel
Abbildung 6.17: Abhängigkeit der Dicke einer λ-Viertel-Schicht vom Einfallswinkel für
parallele und senkrechte Polarisation für Teflon. Die Dicke ist normiert
auf die Wellenlänge im Vakuum.
E!
E||
"!1
1
d
Rillen
2dg
2lg
Substrat
"
Abbildung 6.18: Geometrische Anordnung von Rillen in einem Dielektrikum mit einer
Dielektrizitätskonstanten ε.
147
6 Quasioptische Komponenten
2 dg
d
d
!m
2 lg
^
n
"i
!
!
Abbildung 6.19: Geometrische Anordnung von Rillen in einer dielektrischen Linse mit
einer Dielektrizitätskonstanten ε.
Für das einfallende Feld wirken die Kanäle wie Kondensatoren, die parallel oder seriell
geschaltet sind, je nach der Polarisation der einfallenden Strahlung. Vorausgesetzt wird,
dass das Verhältnis aus Rillenabstand, D = 2lg , zu Wellenlänge ≤ 1 ist. Das lässt sich
auch ausdrücken durch
λ
D<√
.
(6.90)
ε + sin ϑi
Die Literatur liefert für die simulierten Dielektrizitätskonstanten für die verschiedenen
Polarisationen:
εm# = 1 + (ε − 1)f
(6.91)
und
εm⊥ =
1
1−
ε−1
f
ε
.
(6.92)
Für die Anpassung geht man also wie folgt vor: Nach der Wahl eines genügend kleinen Rillen-Abstandes D = 2lg bestimmt man das Verhältnis f aus Gleichung (6.91)
oder (6.92), wobei für εm der entsprechende Wert aus Gleichung (6.80) resp. (6.81) eingesetzt werden muss. Die zugehörige Dicke erhält man dann aus Gleichung (6.85). Für
senkrechten Einfall vereinfachen sich die Ausdrücke für f :
f# =
148
√
ε−1
ε−1
(6.93)
6.1 Fokussierende Elemente
und
√ √
ε( ε − 1)
f⊥ =
.
ε−1
(6.94)
Man sieht, dass eine Vergütung mit Rillen anisotrop ist, und dass eine Vergütung für
Abbildung 6.20: Ein mit Rillen vergütetes Fenster
beide Polarisationsrichtungen nicht möglich ist. In der Praxis wählt man meistens einen
Mittelwert. Ein Beispiel eines vergüteten Fensters zeigt Figur 6.20.
Eng verwandt mit der Anwendung von Dielektrika als Linsen oder Fenster ist die
Anwendung als quasioptischer Koppler oder als quasioptisches Hybrid. Dabei wird eine
dünne Platte verwendet oder auch einfach eine Folie11 . Wir betrachten ein Dielektrikum
der Dicke d < λ, mit einer Dielektrizitätskonstante ε auf welches unter dem Winkel
ϑi Strahlung einfalle (Figur 6.21). Die Platte sei so dünn, dass wir ebene Wellen annehmen können. Wir wollen die reflektierten und transmittierten Anteile der Leistung
bestimmen und die Phasenlage infolge Mehrfachreflexion innerhalb des Dielektrikums
mit berücksichtigen.
Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für die verschiedenen Übergänge werden durch die Fresnel-Formeln beschrieben. (Vgl. Gleichungen (6.67), (6.68), (6.69),
(6.70)). Für die Phasenschiebung des reflektierten Strahles erhält man
∆Φ =
4πd
(ε − sin2 ϑi )1/2 .
λ0
(6.95)
Man kann zeigen, dass die reflektierte und die transmittierte Welle 90° ausser Phase sind
und zwar unabhängig von der Wellenlänge oder der Dicke d. Der Reflexionskoeffizient
11
Das kann durchaus eine Haushaltfolie sein.
149
6 Quasioptische Komponenten
2l
!t
l
!t
2l S !
t
d
d´´
d´´ !
i
S
!t
!i
d
!i
Abbildung 6.21: Ausbreitung optischer Strahlen in einer dünnen Platte. Linkes Teilbild
zeigt den Verlauf für Reflexion und das rechte Teilbild für Transmission.
für die Leistung R und der Transmissionskoeffizient T ergeben sich zu
F sin2 (∆Φ/2)
R=
1 + F sin2 (∆Φ/2)
(6.96)
1
1 + F sin2 (∆Φ/2)
(6.97)
4|r|2
.
(1 − |r|2 )2
(6.98)
und
T =
wobei
F =
F wird via den Reflexionskoeffizienten für die Amplitude r von der Polarisation, dem
Einfallswinkel und der Dielektrizitätskonstanten des Materials abhängen. Falls ein Koppler gebildet werden soll, ein quasioptisches Hybrid, so dass die halbe Leistung reflektiert
und die andere Hälfte transmittiert wird, so muss F möglichst eins sein und die Phasenschiebung π. Dies bedingt eine Dicke d von
d=
λ0
.
4(ε − sin2 ϑi )1/2
(6.99)
Es ist also möglich auf diese Art einen 3dB-Leistungskoppler zu erhalten. Für viele
Anwendungen ist allerdings nicht ein 3dB- Koppler gefragt, sondern eine viel geringere
Kopplung, wie etwa beim Einkoppeln der LO-Leistung für einen SIS-Empfänger. Die
150
6.2 Polarisationsgitter
Reflexion soll sehr klein sein, d.h.
R ≈ F · sin2 (∆Φ/2)
#
$2
∆Φ2
2πd
≈ F·
=F
(ε − sin2 ϑi ).
4
λ0
(6.100)
(6.101)
Für senkrechte Polarisation führt dies auf
(ε − 1)2
F⊥ =
4 cos2 ϑi (ε − sin2 ϑi )
und damit
|R⊥ | ∼
=
#
(ε − 1)πd
λ0 cos ϑi
$2
.
(6.102)
(6.103)
Mit ε ≈ 2.5 und ϑi ' 45° reicht so eine Folie mit d = λ0 /70 um einen 20dB- Koppler zu
erhalten.
6.2 Polarisationsgitter
6.2.1 Einleitung
Eine wesentliche Komponente in einem quasioptischen Aufbau ist ein Polarisationsgitter. Wie der Name sagt, spielt bei dieser Komponente die Polarisation der Strahlung
eine Rolle. Gitter aus parallel angeordneten Drähten können für eine Vielzahl von Anwendungen verwendet werden, wie z.B. das Aufteilen und Zusammenfügen von Gauss
Strahlen, oder das Drehen der Polarisationsrichtung, als Abschwächer, aber auch als
frequenzabhängige Filter. Ein Beispiel eines Polarisationsgitters zeigt Figur 6.22. Solche
Gitter können ansehnliche Grösse haben, wobei einige zehn cm nicht unmöglich sind.
Als Gitterdrähte werden Wolframdrähte12 verwendet, die meist noch vergoldet sind. Die
Dicke der Drähte beträgt ca. 5 - 30µm.
Es existiert viel Literatur über die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen
an einem Gitter, resp. der Streuung von Wellen an einer periodischen leitenden Struktur.
Sie ist im allgemeinen sehr komplex trotz der Einfachheit des Problems. Wir wollen in
den folgenden Abschnitten zuerst Fälle betrachten wo die Wellenlänge der Strahlung
gross ist im Vergleich zum Drahtdurchmesser und zum Drahtabstand. Unter diesen Voraussetzungen ist das Verhalten eines Gitters frequenzunabhängig. Ist dies nicht mehr
der Fall, d.h. entspricht der Drahtabstand etwa der halben Wellenlänge, so wird das
Verhalten frequenzabhängig.
Ein Gitter (siehe Figur 6.23) bestehe aus einer grossen Zahl paralleler Drähte im Abstand g ( λ/2 und mit einem Draht-Durchmesser 2a < g. Eine einfallende Welle, deren
Polarisationsrichtung parallel zu den Gitterdrähten ist, wird reflektiert, wogegen die orthogonale Komponente transmittiert wird. Gute freistehende Polarisationsgitter werden
12
Wolframdrähte werden z.B. von Herstellern von Glühlampen angeboten
151
6 Quasioptische Komponenten
Abbildung 6.22: Bild eines Gitters mit einem Durchmesser von 17cm.
erzielt mit Drahtabständen ≤ λ/4 und Drahtdurchmessern von ≤ λ/10. Eine Problemzone bildet allenfalls der Ohm’sche Verlust in den Gitterdrähten. Die mathematische
Behandlung eines solchen Gitters wird häufig mittels eines elektrischen Ersatzschaltbildes durchgeführt, wobei die Gitterdrähte als Impedanzen dargestellt werden. Dies führt
auf Formeln für die Reflektivität als Funktion der Gitterimpendanz, welche schwierig
in Bezug zu den Gitterparametern zu bringen ist. Allerdings lässt sich sagen, dass die
Reflektivität nahezu 1 ist, und die Phase der reflektierten Welle ∼ π ist, wie man dies
für eine elektrisch leitende Platte, d.h einen Spiegel, erwarten würde.
Das Gitter stehe senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und die Drähte bilden einen
Winkel ϑ mit einer einfallenden linear polarisierten Welle. Damit wird die parallel zu den
Drähten liegende Komponente reflektiert, die orthogonal dazu stehende transmittiert:
und für die Leistung gilt
t=
|Et |
= sin ϑ,
|Einc |
(6.104)
r=
|Er |
= cos ϑ
|Einc |
(6.105)
T = t2 ,
(6.106)
R = r2 .
(6.107)
Die transmittierte Welle ist um den Winkel π2 − ϑ gegenüber der einfallenden Welle
gedreht. Was passiert, wenn nun ein zweites Gitter in den Strahl plaziert wird, dessen
Drähte senkrecht auf der ursprünglichen Polarisationsrichtung stehen? Es wäre ein Trugschluss, anzunehmen, dass die transmittierte Amplitude total sin2 ϑ wäre! Dies ist nicht
152
6.2 Polarisationsgitter
g
2a
Ei
Et
!i
!i
^
n
Er
Abbildung 6.23: Schematische Darstellung eines Polarisationsgitters aus runden
Drähten. Die Komponente des einfallenden Feldes, die parallel zu den
Drähten ist, wird reflektiert, wogegen die orthogonale Komponente
transmittiert wird.
der Fall, da ein Teil am zweiten Gitter zurück zum ersten Gitter reflektiert wird und
im Prinzip ein Interferometer entsteht. Das zeigt auch deutlich eine Problemzone eines
Polaristaionsgitters auf, dass nämlich die parallele Komponente reflektiert wird und sich
störend bemerkbar machen kann.
Mehrfachreflexionen können vermieden werden, wenn die Gitter gegenüber der Einfallsrichtung gedreht werden. Dabei ist aber wichtig, dass für den Reflexions- resp. den
Transmissionskoeffizient der Winkel der Drähte massgebend ist, wie ihn eine einfallende Welle sieht, d.h. die Projektion der Drähte auf eine Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dies wird in Abbildung 6.24 dargestellt. Ein Gitter sei um den Winkel
ϕ gegenüber einem senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehendem Gitter gedreht. Die
Gitterdrähte seien um den Winkel ϑ gedreht. Eine einfallende Welle sieht aber die Drähte
unter einem anderen Winkel ϑ! gedreht, nämlich unter der Projektion zur Ausbreitungsrichtung:
ϑ! = tan−1 (tan ϑ cos ϕ).
(6.108)
Um ein Gitter unter einem Winkel ϑ! zu erhalten, müssen die Drähte bei der Herstellung
153
6 Quasioptische Komponenten
!
Senkrecht zu Strahl
!´
gekipptes Gitter
Gitter
Ebene
"
Einc
Gitter projiziert auf
Strahlrichtung
Abbildung 6.24: Gitter, das um den Winkel φ zur Ausbreitungsrichtung gedreht ist und
dessen Drähte um den Winkel ϑ gekippt sind.
unter dem Winkel ϑ fabriziert werden, wobei
#
$
tan ϑ!
−1
ϑ = tan
.
cos ϕ
(6.109)
6.2.2 Gitter als Diplexer
Wie die Figur 6.23 zeigt, kann mit einem Gitter nicht nur ein Strahl in zwei zu einander
orthogonale Komponenten zerlegt werden, sondern es gibt auch die Möglichkeit zwei
Signale, die orthogonal zueinander polarisiert sind, zusammenzufügen. Diese Anordnung
bezeichnet man als Diplexer. Bei diesem Vorgang müssen nicht beide Signale die gleiche
Frequenz haben.
6.2.3 Gitter als Abschwächer
Mittels eines um ϕ = 45° gedrehten Gitters kann ein Abschwächer/Leistungsteiler realisiert werden. Durch eine spezielle Anordnung von Gittern kann ein Abschwächer resp.
Leistungsteiler gebildet werden, der frei von Reflexionen zum Eingangstor ist. Solch eine Anordnung zeigt Figur 6.25. Das erste Gitter ist nicht grundsätzlich notwendig, hilft
aber klar die Polarisation der einfallenden Strahlung zu definieren und macht gleichzeitig
die Anordnung symmetrisch. Für die Transmission der Amplitude gilt:
tab = sin2 ϑ!
154
6.2 Polarisationsgitter
tac = sin ϑ! cos ϑ!
tad = cos ϑ!
(6.110)
und für die Leistung entsprechend
Tab = sin4 ϑ!
Tac = sin2 ϑ! cos2 ϑ!
Tad = cos2 ϑ! .
(6.111)
Dieser Sachverhalt wird in Figur 6.26 dargestellt. Man sieht, dass beim Tor b und d jeder
Bruchteil zwischen 0 und 1 der einfallenden Strahlung beim Tor a erhalten werden kann,
je nachdem um welchen Winkel ϑ! das Gitter gedreht ist. Beim Tor c kann maximal 1/4
der Leistung erhalten werden.
c´
Horizontales
Gitter
d´
Horizontales
Gitter
Gitter
!´
a
b
d
c
Abbildung 6.25: Abschwächer/Leistungsteiler mit Gittern, der keine Reflexion zum Eingangstor aufweist. Alle Gitter sind um den Winkel ϕ = 45° gedreht.
Das erste und dritte Gitter weisen horizontale Gitterdrähte auf, wogegen das mittlere Gitter Drähte unter dem Winkel ϑ! aufweist. Leistung
vom Eingangstor a kann zu b, c und d gelangen. Leistung, die bei b
eintritt, kann zu a, c! und d! gekoppelt werden.
6.2.4 Drehung der Polarisation
Drehung von linear zu linear
Oft ist es von Interesse die Polarisationsrichtung in einem System aufrecht zu erhalten.
Diese Anforderung kann dazu führen, dass es nötig ist die Polarisationsrichtung zu drehen, weil gewisse Komponenten im System die ursprüngliche Richtung verändert haben.
155
6 Quasioptische Komponenten
1
0.9
T
ad
0.8
Transmittierte Leistung
0.7
0.6
T
ab
0.5
0.4
0.3
0.2
Tac
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Projizierter Gitterwinkel bez. Richtung des einfallenden Feldes
Abbildung 6.26: Transmittierte Leistung bei einem Gitter-Abschwächer gemäss Figur
6.25.
Eine einfache Art die Polarisationsrichtung zu drehen, geschieht mittels eines sog. Hausdachspiegels wie er in Figur 6.27 schematisch dargestellt ist. Solch ein Spiegel besteht
aus zwei senkrecht zueinander montierten Spiegeln, wobei der Dachfirst senkrecht auf
der Ausbreitungsrichtung steht. Meistens wird diese Anordnung ohne zusätzlichen Offsetwinkel verwendet. Wenn das elektrische Feld anfänglich den Winkel α zum Dachfirst
aufweist, so ist es nach der Reflexion um den Winkel 2α gegenüber der ursprünglichen
Richtung gedreht.
Eine andere Art die Polarisationsrichtung zu drehen, besteht darin, mehrere Gitter
hintereinander zu stellen, die alle um einen bestimmten Winkel gedreht sind. Die Polarisationsrichtung kann durch Projektion des einfallenden Feldes auf die Richtung, welche
durch die Gitterdrähte definiert wird, geändert werden. Ein einzelnes Gitter, dessen
Transmissionsrichtung (d.h. die Richtung senkrecht zu den Drähten) einen Winkel β
mit dem einfallenden linear polarisierten Feld macht, wird den Anteil cos β durchlassen
und damit cos2 β der Leistung transmittieren. Das ist in den meisten Fällen aber nicht
was man will, da die Leistung signifikant reduziert wird. Wenn aber n Gitter verwendet werden, die alle um den Winkel β/n gegeneinander gedreht sind, so wird die totale
transmittierte Leistung Tn nach n Gittern
# $
β
2n
(6.112)
Tn = cos
n
betragen, und die ursprüngliche Polarisationsrichtung wird um den Winkel β gedreht
sein. Schon für relativ wenige Gitter erreicht man Transmissionswerte von mehr als
0.9. Problematisch ist allerdings, dass bei jedem Gitter ein Teil reflektiert wird, der
beim voraus gehenden Gitter wieder reflektiert wird und dadurch ein Interferometer
156
6.2 Polarisationsgitter
^z
"
!
Offset (Winkel !)
!
^z
"
Abbildung 6.27: Hausdachspiegel, der unter einem Offsetwinkel θ verwendet wird. Die
Polarisationsrichtung wird um den Winkel 2α gedreht.
gebildet werden kann. Da dies unerwünscht ist, müssen die einzelnen Gitter gegenüber
der Ausbreitungsrichtung gedreht sein, idealerweise um 45°. Der Interferometereffekt
kann aber auch genutzt werden. Durch geschickte Wahl des Rotationswinkels und des
Abstandes bei parallelen Gittern können sogar noch höhere Transmissionswerte erzielt
werden, allerdings auf Kosten einer Frequenzabhängigkeit.
Drehung von linear zu zirkular, λ/4-Platte
In einer sog. ’Waveplate’ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit für unterschiedliche Polarisationsrichtungen verschieden. Das hat zur Folge, dass nach Durchlaufen einer Waveplate
ein Phasenunterschied zwischen den beiden Polarisationsrichtungen vorliegt. Beträgt der
Phasenunterschied π/2, so spricht man von einer λ/4-Platte. Ein schematischer Aufbau
einer solchen Wellenplatte zeigt Figur 6.28.
Mittels einer λ/4-Platte kann linear polarisiertes Licht in zirkular polarisiertes Licht
verwandelt werden. Eine λ/4-Platte lässt sich realisieren, indem ein Drahtgitter vor
einem Spiegel montiert wird und zwar in einem Abstand d, so dass der entsprechende
Phasenunterschied für die an Gitter und die am Spiegel reflektierte Komponente gerade
einen Phasenunterschied von π/2 haben. Für die Anordnung in Figur 6.28 erhält man
einen Phasenunterschied13 von
∆ϕ =
13
L1 =
d
cos ϑi
4πd cos ϑi
2π(L1 + L2 )
=
λ0
λ0
(6.113)
und L2 = L1 cos 2ϑi
157
6 Quasioptische Komponenten
1
2
l
!i
d
L1
L2
Abbildung 6.28: Wellenplatte bestehend aus einem Gitter im Abstand d eines Spiegels.
und für eine λ/4-Platte muss daher der Abstand
dλ/4 =
(2K + 1)λ0
8 cos ϑi
(6.114)
sein. Dabei ist K = 0, 1, 2, 3, .... Es ist ferner zu beachten, dass zwischen den beiden
reflektierten Strahlen ein lateraler Versatz entsteht, der
l = 2d cos ϑi
(6.115)
beträgt. Dieser Versatz spielt primär bei stark fokussierten Gauss Strahlen eine Rolle.
Aber genau diese erlauben es, kleine λ/4-Platten zu realisieren. Es ist zudem offensichtlich, dass solche Wellenplatten eine eingeschränkte Bandbreite aufweisen. Eine wichtige
Anwendung einer λ/4-Platte ist diejenige als Isolator. Es wurde bereits mehrmals darauf
aufmerksam gemacht, dass reflektierte Strahlung zu Problemen in einem quasioptischen
Aufbau führen kann (baseline-Effekt in Radiometern). Durch das Einbringen eines Isolators kann dieser Effekt weitgehend vermieden werden. Linear polarisierte Strahlung
ist nach Durchlaufen einer λ/4-Platte zirkular polarisiert. Wird nun diese Strahlung irgendwo reflektiert, so wird sie weiterhin zirkular polarisiert sein, aber mit umgekehrten
Drehsinn. Wird sie nun wieder durch eine λ/4-Platte geleitet, so wird wieder linear polarisierte Strahlung entstehen, aber nun orthogonal zur ursprünglichen. Dadurch kann
sie aber weniger Probleme bereiten. Ein Beispiel für das Isolationsverhalten eines quasioptischen Isolators bei 183 GHz zeigt Figur 6.29.
6.2.5 Frequenzabhängige Gitter
Es ist auch möglich ein Gitter zu realisieren, dessen Reflektivität für eine Polarisation
parallel zu den Drähten nicht eins wird. Dadurch kann das Gitter wie ein Abschwächer
oder ein Leistungsteiler funktionieren. Diese Eigenschaft weisen Gitter auf, deren Drahtabstand vergleichbar mit λ/2 wird. Es zeigt sich jedoch, dass Gitter bei denen das
Verhältnis aus Drahtabstand zu Wellenlänge, g/λ, klein gegenüber eins ist, die Reflektivität und das Transmissionsvermögen frequenzabhängig werden. Es gibt verschiedene
158
6.2 Polarisationsgitter
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>9:;<=:+2<;:/,
=A,:+1
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89:;<=>:/23?@7
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!($
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!"#
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!&#
!&$
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Abbildung 6.29: Unterdrückung resp. Isolation bei einem quasioptischen Isolator bei
183 GHz. Die Messung der Isolation des Isolators allein und im eingebauten Zustand wird verglichen mit der Theorie. (Messung von V.Vasic)
Modelle für die Beschreibung eines Gitters unter diesen Bedingungen. Ein beliebtes
Modell beschreibt die Wechselwirkung der einfallenden Welle mit dem Gitter mittels
Impedanzen der Gitterdrähte, die für parallele Polarisation induktiv wirken. Dieses Modell liefert quantitativ vernünftige Werte, doch werden viele Effekte nicht korrekt wieder
gegeben und falls die Einfallsrichtung nicht senkrecht auf dem Gitter ist, wird die Beschreibung schwierig. Das Modell für parallele Polarisation stammt von Marcuwitz und
basiert auf dem Verhältnis der Impedanz des Gitters Zg zu derjenigen des freien Raumes
Zf s = Z0 = 120πΩ. Für runde Gitterdrähte mit Radius a gilt
!g" ! g "
Zg
=j
ln
.
(6.116)
Zf s
λ
2πa
Setzen wir noch
x=
2Zg
,
Zf s
(6.117)
so erhalten wir für den Reflexionskoeffizienten r und den Transmissionskoeffizienten t
des Feldes:
−1
r=
(6.118)
1+x
x
t=
.
(6.119)
1+x
Die Transmission nimmt zu mit zunehmendem Drahtabstand und abnehmender Drahtdicke. Die Transmission nimmt auch zu wenn die Frequenz zunimmt, aber geht nur
asymptotisch gegen eins für eine unendliche Frequenz.
159
6 Quasioptische Komponenten
Wir wollen hier ein anderes Modell angeben, das realistischere Werte angibt. Die hier
gegebene Beschreibung basiert auf einer unveröffentlichten Arbeit von Derek Martin,
welche auf dem sog. Depine Grating Code basiert.
parallele Polarisation
Wir betrachten ein Gitter, wobei q das Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand, und n das Verhältnis von Drahtabstand zu Wellenlänge beschreibe. Die einfallende
Welle trete unter einem Winkel θ auf das Gitter ein. Die Einfallsebene stehe senkrecht auf
der Gitterebene. Dann gilt für den komplexen Reflexionsfaktor rpar und den komplexen
Transmissionskoeffizienten tpar für das Feld:
rpar (q, n, θ) =
2Xx − x2 − 1
2Xx − x2 + 1 + 2i(X − x)
ppar (q, n, θ) = 2i
x2
2Xx −
X
.
+ 1 + 2i(X − x)
(6.120)
(6.121)
Dabei wurden die Hilfsgrössen X und x verwendet:
)
* +∞
,+
1
1
1
1
−
X(q, n, θ) = cos(θ)n 1n +
πq 2 m=−∞ (m2 + 2mn sin θ − n2 cos2 θ)1/2 | m |
(6.122)
2 2
x(r, n, θ) = cos(θ)nπ q .
(6.123)
Es reicht, wenn die Summation nur von etwa −25 bis 25 geht und der Wert 0 ausgelassen
wird. Figuren 6.30 und 6.31 zeigen die Abhängigkeit von Reflexion, Transmission und
zugehöriger Phase vom Verhältnis des Drahtabstandes zur Wellenlänge für den Fall wo
das elektrische Feld parallel zu den Gitterdrähten liegt.
senkrechte Polarisation
Hier erhalten wir für die entsprechenden Koeffizienten rper und tper :
rper (q, n, θ) =
2Bb + b2 + 1
−2Bb − b2 + 1 + 2i(B + r)
tper (q, n, θ) = 2i
B
.
+ 1 + 2i(B + b)
−2Bb −
b2
#
− n cos(θ)
(6.124)
(6.125)
Hier werden die Hilfsgrössen B(q, n, θ), b(q, n, θ), A1 (q, n, θ) und A2 (q, n, θ) verwendet:
1
B(q, n, θ) = A1 (q, n, θ)
2n cos(θ)
2
πq
$2
b(q, n, θ) = 2n cos(θ)
160
! πq "2
2
! πq "2
2
1
A2 (q, n, θ)
1
A2 (q, n, θ)
(6.126)
(6.127)
6.2 Polarisationsgitter
B
C+*.7607)62)*/.34..45/
2)*/.34..45/607)6874.,9/:
;!<7=06>*)*==7=6?9607/6@4,,7)0)A+,7/
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D7E=7F45/607)6874.,9/:
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Abbildung 6.30: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das parallel zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 0° einfällt. Parameter q ist das
Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
161
6 Quasioptische Komponenten
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Abbildung 6.31: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das parallel zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 45° einfällt. Parameter q ist das
Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
162
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6.2 Polarisationsgitter
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Abbildung 6.32: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das senkrecht zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 0° einfällt. Parameter q ist das
Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
163
6 Quasioptische Komponenten
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!"&
*+,-.,/0.,123!
!"'
!
!"#
!"$
!"%
!"&
!"'
*+,-.,/0.,123!
Abbildung 6.33: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das senkrecht zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 45° einfällt. Parameter q ist
das Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
164
6.2 Polarisationsgitter
und
(πqn cos θ)2
A1 (q, n, θ) = 1 +
2
+∞ .
+
m=−∞
#
3
+ ln
4
#
1
πq
$$
+
)#
πqn cos θ
2
$2 -
1
1
√
−
2
2
2
m + 2mn sin θ − n cos θ | m |
#
#
$$
/
(6.128)
1 ! πq "2 ! πq "2
−
6 2
2
#
$
+∞
2
2
2
+
m + 2mn sin θ − n cos θ
2
2
2
1/2
|m|+
− 2(m + 2mn sin θ − n cos θ)
.(6.129)
|m|
m=−∞
(πqn cos θ)2
A2 (q, n, θ) = 1 +
2
11
− ln
4
1
πq
+
Auch hier reicht es, wenn die Summation über m nur von etwa −25 bis 25 verläuft und
der Wert m = 0 ausgelassen wird. Figuren 6.32 und 6.33 zeigen die Abhängigkeit von
Reflexion, Transmission und zugehöriger Phase vom Verhältnis des Drahtabstandes zur
Wellenlänge für den Fall wo das elektrische Feld parallel zu den Gitterdrähten liegt.
6.2.6 Jones Vektoren
Gitter spielen eine wichtige Rolle in vielen quasioptischen Systemen. Für eine kompakte analytische Beschreibung eines Systems bedient man sich häufig einer MatrixSchreibweise. Wir haben solch eine Schreibweise bereits im Abschnitt 5.2 über MatrixOptik kennen gelernt. Für polarisierende Komponenten werden häufig spezielle Vektoren
und Matrizen verwendet, die sog. Jones-Vektoren.
Signale in einem quasioptischen System können durch den Polarisationsvektor des
elektrischen Feldes beschrieben werden.
#
$
→
−
→
−
→
−
EV
E =
= EV V + EH H
(6.130)
EH
→
−
→
−
V und H sind Einheitsvektoren in vertikaler und horizontaler Richtung. Mit vertikal
→
−
→
−
ist im Folgenden immer gemeint vertikal zur Ebene des optischen Aufbaus. V und H stehen senkrecht aufeinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Es handelt sich also
nicht um ein festes Koordinatensystem, sondern um ein System, das mit der Ausbrei→
−
tungsrichtung mit geht. Die dominierende Achse ist die vertikale Achse. Der E -Vektor
→
−
wird deshalb, zerlegt in die beiden Komponenten, mit E = (EV , EH ) geschrieben und
nicht wie man natürlicherweise annehmen würde mit (EH , EV ), analog einer x- und einer
y- Komponente. Dies kann zur Verwirrung führen, wenn verschiedene Literatur konsultiert wird. Wir halten uns hier an die Nomenklatur von Lesurf14 . Entsprechend werden
14
J.Lesurf, Millimetre-wave Optics, Devices and Systems, Adam Hilger, New York, 1990
165
6 Quasioptische Komponenten
Winkel bezüglich der vertikalen Achse definiert. Ein kohärentes Signal der Frequenz f
werde für eine bestimmte Ebene geschrieben als
EV = a · ei2πf t
(6.131)
EH = b · ei2πf t+ϕ
(6.132)
→
−
→
−
O = AE .
(6.133)
a und b beschreiben die Amplitude der beiden Komponenten und die Phase wird durch
→
−
ϕ beschrieben. Der Effekt einer optischen Komponente A auf ein Signal E kann in
Matrixschreibweise formuliert werden, so dass das Ausgangssignal gegeben ist durch
Falls es sich um eine Transmission handelt, schreiben wir AT , für eine Reflexion AR .
Bei mehreren optischen Komponenten, erhält man das resultierende Signal durch Matrixmultiplikation von links, z.B.
→
−
→
−
O = CT BT AR E .
(6.134)
Wir wollen nun die A Matrix für ein Polarisationsgitter herleiten, dessen Drähte gegenüber der vertikalen Achse um den Winkel ϑ geneigt sind. Wir verwenden zuerst die
übliche Schreibweise für x, y- Koordinatensysteme bei Rotationen um den Winkel α.
→
−
Damit der Effekt des Gitters G auf das E-Feld E bestimmt werden kann, wird zuerst der E-Feld-Vektor in eine horizontale und eine vertikale Komponente bezüglich der
Gitterdrähte zerlegt:
$ #
$#
$
#
cos α sin α
EH
E#
=
.
(6.135)
E⊥
− sin α cos α
EV
Transmittiert wird E⊥ wogegen −E# reflektiert wird. Für die weitere Rechnung soll aber
→
−
→
−
das resultierende Signal wieder ausgedrückt werden, durch Komponenten in V und H .
Ergo gilt für die transmittierten Komponenten:
# T $
#
$
EH
− sin α · E⊥
=
(6.136)
EVT
cos α · E⊥
#
$#
$
sin2 α
− sin α cos α
EH
=
.
− sin α cos α
cos2 α
EV
Ersetzt man den Winkel α durch den Winkel ϑ und ändert man noch die Reihenfolge
der Komponenten, so erhält man
# T $ #
$#
$
EV
sin2 ϑ
− cos ϑ sin ϑ
EV
=
(6.137)
T
EH
− cos ϑ sin ϑ
cos2 ϑ
EH
resp.
AT =
166
#
sin2 ϑ
− cos ϑ sin ϑ
− cos ϑ sin ϑ
cos2 ϑ
$
.
(6.138)
6.3 Interferometer
Für die reflektierte Komponente erhält man durch analoge Überlegungen:
$ #
$#
$
# R $ #
cos2 α
sin α cos α
EH
EH
cos α · E#
=
.
=
EVR
− sin α · E#
− sin α cos α − sin2 α
EV
(6.139)
Dabei ist zu beachten, dass das reflektierte Signal um 180° gedreht wird, was zwei Vorzeichenwechsel zur Folge hat. Weil aber auch die Blickrichtung ändert, ergibt dies nur
ein Vorzeichenwechsel für die vertikale Komponente. Somit gilt
# R $ #
$#
$
EV
− cos2 ϑ − sin ϑ cos ϑ
EV
=
(6.140)
R
EH
cos ϑ sin ϑ
sin2 ϑ
EH
resp.
AR =
#
− cos2 ϑ − cos ϑ sin ϑ
cos ϑ sin ϑ
sin2 ϑ
$
.
(6.141)
Für ein horizontales Gitter ist ϑ = 90°, für ein vertikales Gitter ist ϑ = 0°.
Wir bestimmen nun die häufigsten Matrizen für horizontale, vertikale und 45°-Gitter
sowie für einen Planspiegel, Dachspiegel und eine Strecke d.
horizontales Gitter
vertikales Gitter
Gitter unter 45°
Gitter unter −45°
Planspiegel
Dachspiegel mit Dachlinie
horizontal
Dachspiegel mit Dachlinie
vertikal
Strecke der Länge d
Dachspiegel mit Dachlinie
unter dem Winkel θ
Transmission
#
$
1 0
HT =
# 0 0$
0 0
VT =
0#1
$
1 −1
PT = 1/2
1
# −1 $
1 1
NT = 1/2
1 1
Reflexion
#
$
0 0
HR =
# 0 1 $
−1 0
VR =
0# 0
$
−1 −1
PR = 1/2
1$
# 1
−1 1
NR = 1/2
−1$ 1
#
−1 0
M=
# 0 1
$
−1 0
RH =
0 −1
#
$
1 0
RV =
0 −1
#
$
1 0
− i2πd
d=e λ
0 1
#
$
cos 2θ − sin 2θ
R=
sin 2θ cos 2θ
6.3 Interferometer
Durch geschickte Anordnung von Gittern und Dachspiegeln ist es möglich ein Interferometer aufzubauen. Interferometer basieren auf dem Prinzip, dass zwei oder mehr Strah-
167
6 Quasioptische Komponenten
len miteinander interferieren können. Dabei wird ausgenützt, dass die erzielte Phasendifferenz von der Wellenlänge resp. der Frequenz abhängt. Interferometer können z.B. als
Filter oder als Diplexer verwendet werden. Man unterscheidet Zwei-Strahl-Interferometer
und Mehr-Strahl-Interferometer. Beim Zwei-Strahl-Interferometer wird ein einfallender
Strahl aufgeteilt und nach dem Durchlaufen unterschiedlicher Weglängen wieder zusammengefügt. Dabei kann sich die Aufteilung auf die Amplitude oder die Polarisation beziehen. Das klassische Beispiel solch eines Interferometers ist das Michelson Interferometer.
Ein Mehr-Strahl-Interferometer entsteht beispielsweise durch Mehrfachreflexion an halbdurchlässigen Spiegeln. Dies führt dann z.B. auf ein Fabry-Perot-Interferometer. Bei allen
Interferometer kann Beugung eine Rolle spielen und muss entsprechend berücksichtigt
werden. Im Submillimeter-Bereich wird häufig ein sog. Martin-Puplett Interferometer
verwendet. Dieses funktioniert im Prinzip wie ein Michelson-Interferometer, wobei jedoch nicht eine Aufteilung der Amplitude des Strahles mit halbdurchlässigen Spiegeln
realisiert wird, sondern der Polarisationszustand mit Polarisationsgittern. Wir wollen
deshalb zuerst die Funktionsweise eines Michelson-Interferometers studieren.
6.3.1 Michelson-Interferometer
Spiegel
Leistungsteiler
l1
Spiegel
Input
l2
Output
Abbildung 6.34: Michelson Interferometer, aufgebaut mit zwei Spiegeln und einem
Strahlteiler.
Beim Michelson-Interferometer wird ein Strahl durch einen halbdurchlässigen Spiegel
resp. im Submillimeter-Bereich durch ein Dielektrikum aufgespalten. Die beiden Anteile
laufen dann zu einem Spiegel, wo sie reflektiert werden, gehen zurück zum Strahlteiler, der sie wieder zusammenfügt. Jeder Strahl erfährt so eine Transmission und eine
168
6.3 Interferometer
Reflexion am Strahlteiler (vgl. Figur 6.34). Ein Phasenunterschied kommt durch unterschiedliche Weglängen zu den Spiegeln zustande. Diese seien l1 und l2 . Somit ist der
gesamte Weglängenunterschied
∆ = 2(l2 − l1 ).
(6.142)
Wenn wir am Eingang eine ebene Welle betrachten und Beugung vernachlässigen, so
gilt für die Transmission T der Leistung (bezüglich des Eingangssignals) des Signals am
Ausgang15
&
#
$'
2π∆
2 2
T = 2|r| |t| 1 + cos
(6.143)
λ
wobei für die Reflexions- und Transmissions-Koeffizienten r und t der Amplitude gilt
|r|2 + |t|2 = 1.
Damit lässt sich die Transmission auch schreiben als
&
#
$'
2π∆
2
2
T = 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
.
λ
(6.144)
(6.145)
Wir erhalten Maxima der Transmission für Weglängenunterschiede
∆max = M λ
(6.146)
∆min = (M + 0.5)λ
(6.147)
und Minima für
wobei M eine ganze Zahl ist. Bei einem verlustfreien Strahlteiler gilt für den Anteil der
Leistung des reflektierten Ausgangssignals
&
#
$'
2π∆
2
2
R = 1 − 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
.
(6.148)
λ
Dabei ist zu beachten, dass das reflektierte Ausgangssignal in dieser Anordnung einfach zurück zur Quelle geht. Falls das Eingangssignal eine spektrale Verteilung aufweist, so kann man zeigen, dass das transmittierte Ausgangssignal als Funktion des
Weglängenunterschiedes die Fourier-Transformation des Eingangsspektrums darstellt.
Durch Fourier-Transformation des Ausgangssignals, mit der Weglänge als Parameter,
kann dann die spektrale Verteilung des Eingangsspektrums bestimmt werden.
Wie bereits erwähnt, spielen Beugungseffekte bei einem Interferometer eine Rolle.
Nehmen wir an, dass ein Gauss-Strahl mit einem Taillen-Radius w0 auf ein MichelsonInterferometer falle. Dann werden am Ausgang effektiv zwei Gauss-Strahlen, jeder mit
der halben Leistung, vorliegen, die wegen der unterschiedlichen Weglängen unterschiedlich breit sind. Dies ist in Figur 6.35 dargestellt. Ein Detektor, der ideal den einen
Strahl einkoppelt, wird aber den anderen nicht ideal einkoppeln. Für den zweiten Strahl
wird somit der Kopplungsfaktor kleiner als eins sein. Dies ist identisch mit dem früher
15
wir nehmen an, dass der beam splitter verlustfrei und die Spiegel ideal sind
169
6 Quasioptische Komponenten
Spiegel
Leistungsteiler
Spiegel
Input w0
+
Output Strahl 1
Output Strahl 2
Abbildung 6.35: Bei einem Michelson Interferometer, das für Gauss Strahlen verwendet
wird, werden die beiden Strahlen am Ausgang wegen unterschiedlicher
Ausbreitung nicht identisch sein.
diskutierten Kopplungsfaktor bei axialem Versatz. (Siehe Abschnitt ??). Für den Feldkopplunsfaktor am Ausgang können wir nun schreiben
&
'
exp(−j2π∆/λ
c = rt 1 +
.
(6.149)
1 − jλ∆/2πω02
Damit wird der Kopplungsfaktor für die Leistung, K = |c|2 ,
K = |r|2 |t|2
2 + α2 + 2[cos(2π∆/λ) + α sin(2π∆/λ)]
1 + α2
(6.150)
wobei ein Beugungsparameter α definiert wurde
α=
λ∆
.
2πω02
(6.151)
Dieser Parameter lässt sich noch mit der konfokalen Distanz zc ausdrücken
α=
∆
.
2zc
(6.152)
Im Falle , wo α → 0, erhalten wir den Transmissionswert von Gleichung 6.145. Beugung
führt also dazu, dass die maximale Transmission kleiner als eins wird und die minimale
Transmission grösser als 0. Falls wir den Weglängenunterschied gleich lassen, wie im
Falle der ebenen Welle, ∆ = M λ, so erhalten wir für den Kopplungsfaktor der Leistung
Kpw
170
max
+ α2 /4
= 4|r| |t|
.
1 + α2
2
21
(6.153)
6.3 Interferometer
Für Werte von α ( 1 finden wir durch Taylor-Entwicklung
Kpw max
3α2
=1−
.
Tmax
4
(6.154)
Daraus lernen wir, dass Beugungseffekte klein werden, wenn der Weglängenunterschied
einen Bruchteil der konfokalen Distanz ausmacht, d.h. ∆ ( zc . Genau diese Bedingung macht es allerdings aus, dass das Michelson Interferometer im Millimeter und
Submillimeter-Bereich nicht stark verbreitet ist. Ein weiterer Nachteil des klassischen
Aufbaus ist auch, dass nur zwei Tore zur Verfügung stehen, so dass der Aufbau beispielsweise nicht als Diplexer verwendet werden kann. Es gibt allerdings Varianten, die
zu einem Viertor-Zwei-Strahl-Interferometer führen. Eine mögliche Realisation zeigt Figur 6.36. Auf diese Weise wird die nicht transmittierte Ausgangsleistung nicht zurück
zum Eingangstor reflektiert, sondern zu einem weiteren Tor.
Port 1
Port 2
Port 4
Port 3
d
Abbildung 6.36: Michelson Interferometer, das als Viertor verwendet wird.
Der totale Weglängenunterschied sei
∆ = 2d
(6.155)
∆ = 2(d2 − d1 )
(6.156)
oder
je nach Aufbau des Interferometers. Für die Transmission16 der Leistung bezüglich der
16
wir betrachten weiterhin den Fall, wo die Amplitude aufgespalten wird. Beide beam splitter seien
identisch und verlustfrei. Die Spiegel seien ideal.
171
6 Quasioptische Komponenten
Leistung am Eingang gilt dann für unterschiedliche Tor-Kombinationen T13 resp. T14 :
&
#
$'
2π∆
2
2
T13 = 1 − 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
(6.157)
λ
T14
&
#
$'
2π∆
= 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
.
λ
2
2
(6.158)
Es gilt zu beachten, dass der Pfad 2 → 4 identisch ist mit 1 → 3 und entsprechend der
Pfad 2 → 3 und 1 → 4.
Der Pfad 1 → 3 hat Transmissionsmaxima für ∆ = (M − 12 )λ und zwar unabhängig
von r. Transmissionsminima treten auf für ∆ = (M − 1)λ.
Der Pfad 1 → 4 hat Transmissionsminima für ∆ = (M − 12 )λ und zwar unabhängig
von r. Transmissionsmaxima treten auf für ∆ = (M − 1)λ.
Wird möglichst maximale Transmission verlangt, so wählt man Pfad 1 → 3, da dieser
Pfad nicht durch Fluktuationen in r beeinflusst wird.
Genau gleich wie beim klassischen Michelson-Interferometer muss auch in der Variante
mit vier Toren die Beugung resp. das Gauss-Strahl-Verhalten mit berücksichtigt werden.
Für den zugehörigen Leistungs-Kopplungsfaktor gilt
K13 = (1 − |r|2 )2 +
(|r|2 )2
cos(2π∆/λ) + α sin(2π∆/λ)
− 2|r|2 (1 − |r|2 )
.
2
1+α
1 + α2
(6.159)
Falls das Interferometer so eingestellt wird, dass die Transmission ein Extremum erreicht
ohne Beugungseffekte, so erhalten wir
ext
K13
= (1 − |r|2 )2 +
(|r|2 )2 ± 2|r|2 (1 − |r|2 )
.
1 + α2
(6.160)
Falls |r|2 = 0.5 ist und α ( 1, dann finden wir durch Taylor-Entwicklung
max
K13
=1−
3α2
4
min
and K13
=
α2
.
4
(6.161)
Betrachten wir Gleichung (6.159), so sieht man, dass durch eine andere Einstellung ein
grösseres Maximum resp. ein kleineres Minimum erhalten werden kann. Das heisst, um
das Interferometer optimal zu nutzen, müsste es nachjustiert werden und zwar um den
Wert
λα
δ∆ret =
.
(6.162)
2π
Im Falle eines Diplexers liesse sich das dadurch feststellen, dass mehr Leistung zum Mischer kommt, was dessen Eigenschaften beeinflussen kann. Im Falle eines Seitenbandfilters ist der Effekt schwieriger zu messen. Die häufigste Anwendung eines Interferometers
im Millimeter- und Submillimeterbereich ist diejenige als Diplexer oder als Seitenbandfilter in einem Heterodyn-System.
172
6.3 Interferometer
Verwendung als Diplexer
Im Falle des Diplexers soll gleichzeitig das Signal wie auch der Lokaloszillator zum Ausgang gelangen. Nehmen wir an, das Signal tritt beim Tor 1 ein und gelange zum Mixer
beim Tor 3 und der Lokaloszillator werde beim Tor 2 eingekoppelt, um zum Mixer beim
Tor 3 zu gelangen. Das heisst, dass gleichzeitig die Transmission T13 für die Signalfrequenz und die Transmission T23 für die Frequenz des Lokaloszillators maximal sein
sollten. Setzt man die entsprechenden Bedingungen für den Weglängenunterschied ein
und setzt dann gleich, so erhält man als Forderung für den Weglängenunterschied eines
Diplexers
# $
λif
.
(6.163)
∆dip ∼
= (2n − 1)
2
Verwendung als Seitenbandfilter
Falls das Interferometer als Seitenbandfilter verwendet wird, so sollte gleichzeitig die
Transmission T13 für die Frequenz des Signals maximal werden und für die Frequenz des
Seitenbandes minimal. Diese Forderung führt auf die Bedingung
∆ssb ∼
= (2n − 1)
#
λif
4
$
.
(6.164)
Es ist zu beachten, dass sowohl im Falle des Diplexers als auch im Falle des Seitenbandfilters, die gleichzeitige Bedingung nicht unbedingt erfüllt werden kann, und nur
annähernd erreicht wird (deshalb kommt in Gleichungen (6.163) und (6.164) kein Gleichheitszeichen).
6.3.2 Martin-Puplett Interferometer
Eine Variante des Michelson-Interferometers besteht darin, den Strahl nicht durch Aufteilen der Amplitude, sondern durch Aufteilung der Polarisation zu teilen. Dieser Aufbau
wurde von Martin und Puplett vorgeschlagen und wird deshalb als Martin-Puplett Interferometer, MPI, bezeichnet. Solch ein Interferometer ist in Abbildung 6.37 dargestellt.
Die Funktionsweise des MPI lässt sich wie folgt beschreiben: Das einfallende Signal wird
zuerst durch ein vertikales oder horizontales Gitter propagiert, von wo es zu einem Gitter
gelangt, dessen Drähte in Projektion um 45° gedreht sind, und das einfallende Signal
aufgeteilt wird. Die entsprechenden orthogonal polarisierten Teile laufen unterschiedliche Weglängen zu einem Dachspiegel, wo sie reflektiert werden. Gleichzeitig dreht dort
die Polarisationsrichtung um 90°, so dass die reflektierten Signale nun am Gitter reflektiert resp. transmittiert werden. Da die Eigenschaft eines Gitters als Polarisationsteiler
als unabhängig von der Frequenz bezeichnet werden kann, ist ein MPI sehr breitbandig
verwendbar. Dazu kommt, dass die Verluste im Gitter praktisch vernachlässigbar sind.
173
6 Quasioptische Komponenten
Abbildung 6.37: Martin-Puplett Interferometer bestehend aus zwei Dachspiegeln und
zwei Polarisationsgittern
Abbildung 6.38: Blockdiagramm eines MPI, das als Diplexer verwendet wird.
174
6.3 Interferometer
MPI als Diplexer
Für die Beschreibung der Funktionsweise eines MPI als Diplexer gelten grundsätzlich
die gleichen Zusammenhänge, wie beim Michelson-Interferometer mit vier Toren. Der
einzige Unterschied besteht darin, dass der Polarisationszustand am Ausgang, vor dem
letzten Gitter, im allgemeinen elliptisch polarisiert ist, entsprechend der Weglängenunterschiede. Am Eingang 1 liege das Signal an mit Wellenlänge λ1 . Am Eingang 2
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Abbildung 6.39: Transmission eines Lokaloszillators bei 90 GHz als Funktion der
Weglänge sowie der Differenz von Signal und LO, wobei das Signal
bei 94 GHz liegt.
liege der Lokaloszillator, LO, an mit einer Wellenlänge λ2 . Am Ausgang (Tor 3) sei der
Mischer angebracht. Für die Transmission T13 gilt
#
$
2π∆
2
2
T13 = 1 − 2r (1 − r ) 1 + cos
(6.165)
λ
und für die Transmission T23 gilt
T23 ≡ T14
#
2π∆
= 2r (1 − r ) 1 + cos
λ
2
2
$
.
(6.166)
Für einen Leistungsteiler in Form eines Polarisationsgitters gilt r2 ≈ 0.5 und damit
#
$
2π∆
T13 = TS = 1/2 1 − cos
(6.167)
λ1
175
6 Quasioptische Komponenten
und
T23 = TLO
#
2π∆
= 1/2 1 + cos
λ2
$
.
(6.168)
Gesucht ist ein Wert für ∆, so dass TS maximal wird für das Signal und gleichzeitig TLO
maximal wird für den LO. TS wird maximal, falls cos 2π∆
= −1 und damit ∆ = 2n−1
λ1 .
λ1
2
2π∆
TLO wird maximal, falls cos λ2 = 1 und damit ∆ = (n − 1)λ2 . Die Bedingung ist erfüllt,
falls
2n − 1
λ1 = (n − 1)λ2 .
(6.169)
2
λ1 −2λ2
Damit wird n = | 2(λ
| und ∆ wird optimal für den LO falls
1 −λ2 )
∆ = (n − 1)λ2
#
$
#
$−1
λ1 − 2λ2
1
1
=
− 1 λ2 = 1/2
−
= 1/2λif .
2(λ1 − λ2 )
λ1 λ2
(6.170)
(6.171)
Da n auf diese Art bestimmt in den meisten Fällen nicht ganzzahlig sein wird, wird
entsprechend der Weglängenunterschied auch nicht für beide Teile gleich optimal sein.
Der beste Wert muss numerisch ermittelt werden.
Wir nehmen als Beispiel an, dass ein Signal die Frequenz 94 GHz aufweise und der
Lokaloszillator, LO, bei 90 GHz sei, so dass eine Zwischenfrequenz von 4 GHz resultiert,
mit einem Seitenband bei 86 GHz. Für einen bestimmte Weglänge wird die Transmission
für den LO und das Signal unterschiedlich sein. Figur 6.39 zeigt die Transmission des
LO als Funktion des Weglängenunterschiedes und gleichzeitig die Differenz der Transmission von LO und Signal. Figur 6.40 zeigt das gewünschte Resultat für die Funktion
als Diplexer.
MPI als Seitenbandfilter
In der Anordnung als Seitenbandfilter ist erwünscht, dass einerseits der Pfad T13 = TS
maximale Transmission aufweist für das Signalband und andererseits minimale Transmission Tim für das Seitenband, welches sich im Abstand 2|νSignal − νL.0. | befindet. Es
gilt
$
#
2π∆
=1
(6.172)
TS = 1/2 1 − cos
λS
#
$
2π∆
Tim = 1/2 1 − cos
= 0.
(6.173)
λim
TS wird 1, falls ∆ =
2n−1
λS
2
und Tim wird 0, falls ∆ = (n − 1)λim Somit
n=
λS − 2λim
.
2(λS − λim )
(6.174)
Das ist im Prinzip, dieselbe Bedingung wie für den Diplexer, nur ist nun an die Stelle
von λ2 = λL0 die Bedingung λ2 = λim getreten.
176
6.3 Interferometer
1
Signal
LO
0.9
Transmission von Signal und LO
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
Frequenz in GHz
Abbildung 6.40: Transmission des Lokaloszillators bei 90 GHz und des Signals bei 94
GHz für einen Weglängenunterschied von 36.7 mm.
Abbildung 6.41: Blockdiagramm eines MPI, das als Seitenbandfilter verwendet wird.
177
6 Quasioptische Komponenten
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Abbildung 6.42: Transmission eines Signals bei 94 GHz und des Seitenbandes bei 86 GHz
als Funktion der Weglänge.
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Abbildung 6.43: Differenz der Transmission von Signal und Seitenbandes, damit deutlicher sichtbar wird, wo der optimale Wert der Weglänge liegt.
178
6.3 Interferometer
1
Signal
0.9
Transmission von Signal und Bild
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
91
Bild
92
93
94
Frequenz in GHz
95
96
97
Abbildung 6.44: Transmission des Signalbandes und des Bildes bei einem MPI, das als
Seitenbandfilter verwendet wird.
Figuren 6.42, 6.43 und 6.44 illustrieren das Verhalten eines MPI als Seitenbandfilter.
Eine elegante Art die Funktionsweise eines MPI zu beschreiben ist mittels der JonesVektoren und Jones-Matrizen. Dabei ist zu beachten, dass das am Dachspiegel reflektierte Signal das Gitter, welches unter 45° montiert ist, nun unter einem Winkel von
−45° sieht.
MPI mit Jones Matrizen
Das Eingangssignal E = (EV , EH ) gehe zuerst durch ein vertikales Gitter, so dass das
transmittierte Signal horizontal polarisiert wird und ergo VT E = (0, EH ) vorliegt. Dieses
Signal wird dann beim Strahlteiler, dessen Drähte um 45° gegenüber der Einfallsrichtung
gedreht sind, aufgeteilt. Am Ausgang des Interferometers erhalten wir
C1 = PT d1 Rd1 PR VT E
= 1/2e−i2π2d1 /λ (EH , −EH )
(6.175)
C2 = NR d2 Rd2 PT VT E
= 1/2e−i2π2d2 /λ (−EH , −EH ).
(6.176)
Am Schluss des MPI komme noch ein weiteres Gitter mit horizontalen Drähten, so dass
die vertikale Komponente durchgelassen werde. Für das Signal am Ausgang OH resp.
179
6 Quasioptische Komponenten
OV erhalten wir somit
OH = EoutH = HR (C1 + C2 )
(6.177)
OV = EoutV = HT (C1 + C2 )
(6.178)
OH = cos
2π(d1 − d2 ) −2πj(d1 +d2 )/λ
e
EH
λ
(6.179)
OV = j sin
2π(d1 − d2 ) −2πj(d1 +d2 )/λ
e
EH .
λ
(6.180)
Die mittlere Leistung berechnet sich alsdann zu
PH = cos2
π∆
Pin
λ
(6.181)
PV = sin2
π∆
Pin
λ
(6.182)
∆ = 2(d1 − d2 ).
(6.183)
wobei
Man kann auf einfache Weise zeigen, dass das Signal welches zurück zum Eingang geht,
aus den beiden Komponenten besteht
PR RPR VT E = (0, 0)
(6.184)
NT RPT VT E = (0, 0).
(6.185)
und
Berechnungen dieser Art lassen sich einfach mit Programmen wie Maple oder Matlab
realisieren.
6.4 Hornantennen
6.4.1 Einleitung
Bei vielen quasioptischen Aufbauten wird zum Senden oder zum Detektieren eines Signals ein sog. Rillenhorn (engl. corrugated horn) verwendet. Ein Beispiel solch einer
Hornantenne ist in Figur 4.1 dargestellt. Die Charakteristik solch einer Antenne weist
ein weitgehend Gaussförmiges Diagramm auf (vgl. dazu auch Figur 4.2). Bei einem Rillenhorn handelt es sich um ein konisches Horn, in dessen Wände Rillen eingebracht
werden. Da es insbesondere für hohe Frequenzen bei der Fertigung der Antennen nicht
180
6.4 Hornantennen
Abbildung 6.45: Schnitt durch einen Alukern mit Rillen und zugehöriger Aufkupferung
für die Herstellung eines Rillenhorns.
möglich ist, diese Rillen heraus zu drehen oder zu fräsen, werden diese Antennen meistens
durch Aufkupfern eines Alukerns realisiert. Es ist relativ einfach möglich das Negativ
der Rillen in den Alukern zu drehen. Ein Beispiel solch eines Kerns und der zugehörigen
aufgekupferten Struktur zeigt Bild 6.45. Die Theorie von Rillenhornantennen, d.h. die
Herleitung der exakten Feldverteilung im Horn ist relativ komplex und soll hier nicht
diskutiert werden. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der quasioptischen Eigenschaften. In einem Rillenhorn breitet sich die sog. HE11 -Hybridmode aus. Die Rillen
in den Wänden, welche eine Tiefe von ca. einem Viertel der Wellenlänge aufweisen, haben
zur Folge, dass die Wandströme in der Hornwand bei zwei aufeinanderfolgenden Rillenkanten 180° ausser Phase sind. Die Wandströme entstehen durch das elektrische Feld
im Hohlleiter, welches im Abstand der halben Wellenlänge die Richtung umdreht. Der
Effekt der Rillen besteht somit darin, dass das elektrische Feld in der Nähe der Wände
verschwindet. Dies führt letztlich zu einer azimuthal symmetrischen Feldverteilung, die
uniform polarisiert ist. Da die Verteilung unabhängig vom Winkel ist, bezeichnet man eine solche Antenne auch als skalare Hornantenne. Falls die Feldverteilung in der Apertur
solch einer Antenne bekannt ist, so ist es möglich, durch Entwicklung dieser Verteilung
in höhere Gauss Moden, zu bestimmen wie sich die Verteilung im Fernfeld entwickelt.
Zu diesem Zweck greifen wir auf das zurück, was wir im Abschnitt 4.3.4 über die Superposition von höheren Moden gelernt haben.
Die Entwicklung eines beliebigen elektrischen Feldes
++
E(x, y) =
amn Emn (x, y)
(6.186)
m
n
in höhere Moden ist nicht eindeutig, da die Wahl des Krümmungsradius R und der Strahl
181
6 Quasioptische Komponenten
Taille w0 frei wählbar sind. Die meisten Hornantennen weisen allerdings ein elektrisches
Feld in der Apertur auf, für welches die Phasenverteilung einer sphärischen Welle mit
Krümmungsradius Rh entspricht, wie das schematisch in Figur 6.46 ersichtlich ist. Das
Rh
Fläche
gleicher
Phase
Krümmungszentrum
r
Apertur
Abbildung 6.46: Schematische Darstellung der Fläche mit gleicher Phase in der Apertur
einer Hornantenne. Der Krümmungsradius entspricht der Schräge Rh
des Kegels.
kommt daher, dass die Feldlinien, wegen der hohen Leitfähigkeit, senkrecht auf der Wand
stehen. Die Phasenverteilung in der Apertur ist somit
φap =
πr2
.
λRh
(6.187)
Für eine Entwicklung in höhere Moden ist es deshalb sinnvoll den Krümmungsradius
R = Rh zu wählen. Für die Wahl von w0 gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wir sind
allerdings daran interessiert eine Lösung zu finden, die möglichst wenige höhere Moden
beinhaltet. Das erreichen wir, wenn wir w0 so wählen, dass die Leistung in der Grundmode maximal wird. Da wir aber alles auf die Apertur beziehen, bedeutet dies, dass wir
w in der Apertur verwenden, resp. das Verhältnis von w zum Apertur Radius a, d.h.
w/a.
6.4.2 Pyramiden-Horn
Bevor wir die Theorie auf ein Rillenhorn anwenden, betrachten wir ein Pyramidenhorn,
das durch das Aufweiten eines rechteckigen Hohlleiters entsteht. Der Hohlleiter habe die
Breite a und die Höhe b. In einem solchen Hohlleiter breitet sich der T E10 Mode aus
182
6.4 Hornantennen
und das in y-Richtung polarisierte elektrische Feld in der Apertur ist
&
'
! πx "
−π(x2 + y 2 )
Eap (x, y) = cos
exp j
|x| ≤ a2 ; |y| ≤ 2b
a
λRh
0
|x| > a2 ; |y| > 2b .
(6.188)
Dabei haben wir die Phase gemäss 6.187 verwendet. Das elektrische Feld können wir
einfach in kartesischen Koordinaten schreiben
! πx "
E(x) = cos
|x| ≤ a2
a
0
|x| > a2 .
(6.189)
Entwickeln wir nun das Feld in x-Richtung, so erhalten wir in Gauss-Hermite Moden
den Ausdruck
*√ ,
& '0.25
# 2$
2
2x
−x
−0.5
m
Em (x) =
[2 m!wx ]
Hm
exp
(6.190)
π
wx
wx2
und für den normierten Kopplungskoeffizienten cm gemäss 4.72
*√ ,
& '0.25
# 2$
2
! "
0 m−1
1−0.5
2
2x
−x
t πx
cm =
2
m!wx a
· Hm
exp
cos
dx. (6.191)
π
wx
wx2
a
Wir definieren noch die beiden Hilfsgrössen s und u
√
2x
u=
wx
πwx
s= √
2a
(6.192)
(6.193)
und schreiben neu
3 √ 40.5 2
& '0.25
# 2$
2
2s
−u
−0.5
m
cm =
[2 m!]
· Hm (u) exp
cos(su)du.
π
π
2
(6.194)
Es ist nun möglich cm für verschiedene Werte von s zu bestimmen. Es zeigt sich, dass cm
für ungerade Indizes verschwindet und dass c0 ein Maximum erreicht für einen Wert s =
0.78, resp. für wx /a = 0.35. Der zugehörige Leistungskopplungskoeffizient ist | c0x |2 =
0.99. Für einen Strahlradius in der Apertur, der ca. einem Drittel des Aperturradius
entspricht, erhält man somit die beste Kopplung zum Grundmode. Dieses Ergebnis ist
qualitativ ziemlich allgemein gültig. Eine analoge Rechnung muss nun noch für die yRichtung durchgeführt werden.
E(y) = 1) |y| ≤ 2b
0
|y| > 2b .
(6.195)
183
6 Quasioptische Komponenten
Für den Feldkopplungskoeffizienten zum Grundmode erhalten wir durch analoge Überlegungen
& '0.25
2
cn =
[2n n!wx b]−0.5
π
*√ ,
# 2$ ! "
2
2y
y
πy
· Hn
exp − 2 l
dy
(6.196)
wy
wy
b
wobei noch eine Hilfsfunktion l eingeführt wurde, für welche gilt
l(ζ) = 1) |ζ| ≤ π2
0
|ζ| > π2 .
Wir definieren erneut Hilfsgrössen
(6.197)
√
2y
(6.198)
wy
πwy
(6.199)
t= √
2b
und erhalten für den Kopplungskoeffizienten des Feldes in y-Richtung zum Grundmode
& '0.25
&
'0.5
2
t
−0.5
n
√
cn =
[2 n!]
π
2π
# 2$
2
−v
· Hn (v) exp
l(tv)dv.
(6.200)
2
v=
Im Gegensatz zur x-Richtung ist hier die optimale Kopplung bei einem Wert von t =
1.11, d.h. bei wy /b = 0.5. Der Leistungskopplungskoeffizient wird | c0y |2 = 0.89. Damit
wird der totale Kopplungsfaktor für die Leistung | c00 |2 =| c0x |2 · | c0y |2 = 0.88. Die
zugehörige Grundmode ist somit asymmetrisch. Ferner sind die Taillen für die beiden
Richtungen an unterschiedlichen Orten. Dies ist zwar nicht grundsätzlich ein Problem,
jedoch möchte man viel lieber symmetrische Bedingungen. Man kann zeigen, dass durch
die Wahl b/a = 0.7 es möglich ist einen symmetrischen Strahl zu erhalten.
6.4.3 Lage der Strahl Taille
Da für jede Mode gilt, dass sie dieselben Werte hat für den Krümmungsradius R und
den Strahlradius w, so können wir den Ort und die Grösse der Strahltaille w0 bestimmen
und erhalten
w
(6.201)
w0 = 0
10.5
1 + (πw2 /λR)2
und
R
z=
.
(6.202)
1 + (λR/πw2 )2
Mit der Kenntnis von R und w0 können wir nun auch die Phase ϕm für jede Mode
bestimmen. Jede Mode hat ihre eigene Phasenschiebung. Wenn wir also wollen, dass
die Phase für eine bestimmte Ebene, z.B. die Apertur, gleich ist für alle Moden, dann
müssen wir die entsprechende Phasenlage bei w0 entsprechend wählen.
184
6.4 Hornantennen
6.4.4 Höhere Moden im Rillenhorn
Die Feldverteilung in der Apertur eines Rillenhorns ist für eine Polarisation in y-Richtung
#
$
#
$
2.405r
−jπr2
Eap = J0
exp
ŷ.
(6.203)
a
λRh
Dabei ist J0 die Bessel-Funktion nullter Ordnung. Wegen der Zylinder-Symmetrie entwickeln wir in Gauss-Laguerre Moden. Für ein axial symmetrisches Feld sind mit Ausnahme von m = 0 die anderen m-Moden gleich Null. Für den Feldkopplungskoeffizienten
erhalten wir dann
# $0.5 # $ 2 r=a
# 2$
$
# 2$ #
2
1
2r
−r
2.405r
ap =
Lp0
2πr dr.
(6.204)
exp
J0
π
w0
w02
w02
a
r=0
Die zugehörige Leistung ist
2 r−a
2
2
P = 2π
|E(r)| r dr = 2π
r=0
r=a
r=0
J02
#
2.405r
a
$
r dr = 0.847a2
(6.205)
und der zugehörige normierte Kopplungskoeffizient lässt sich schreiben mit
cp = 1.362s
2
2/s2
Lp (x) exp
x=0
#
−x
2
$
√
J0 (st x)dx
(6.206)
wobei noch die Hilfsgrösse x = 2r2 /w2 = w/a eingeführt wurde. Der optimale Wert im
Sinne, dass möglichst viel Leistung in der Grundmode ist, erhält man somit für
w = 0.644a,
(6.207)
wobei der Anteil der Leistung im Grundmode 0.98 beträgt. Der Phasenterm bewirkt,
dass die Strahl Taille nicht in der Apertur liegt. Wählen wir also w = 0.644a und
gleichzeitig für den Krümmungsradius R = Rh , so erhalten wir für den Ort z und die
Grösse der Strahl Taille w0
und
w0 = !
0.644a
0
12 "1/2
1 + π (0.644a)2 /λRh
z=
Rh
.
1 + [λRh /π(0.644a)2 ]2
(6.208)
(6.209)
Figur 6.47 veranschaulicht die verschiedenen Grössen.Es ist zu beachten, dass es sich
hier lediglich um ein Schema handelt. Es wäre falsch, sich innerhalb der Hornantenne
den Strahl wie gezeichnet vorzustellen. Für einen Beobachter sieht es lediglich so aus,
als wäre ein Gauss Strahl produziert worden, der eine Taille w0 hat im Abstand z links
von der Aperturebene.
185
6 Quasioptische Komponenten
Rh
!
w
w0
Apertur Radius
a
Horn
Offset
z
Abbildung 6.47: Schema eines Gauss Strahles in einem Rillenhorn.
Führen wir noch den Phasenfehler (in Radian)
πa2
β=
λRh
(6.210)
am Rand der Apertur ein, so finden wir
w0
0.644
=
a
(1 + 0.172β 2 )0.5
(6.211)
z
1
=
.
Rh
1 + 5.81β −2
(6.212)
Es lassen sich nun zwei Fälle unterscheiden, je nachdem wie gross dieser Phasenfehler β
ist.
Apertur-limitierte Antenne
Falls β ≤ 2, so sieht man, dass w0 praktisch unabhängig von β ist, und es gilt
w0 ≈ 0.644a.
(6.213)
Die Strahl-Taille ist also etwa ein Drittel des Apertur-Durchmessers. Dazu kommt, dass
die Strahl Taille praktisch in der Apertur liegt. Solch eine Hornantenne nennt man
Apertur-limitiert oder Beugungs-limitiert. Diese Antennen sind frequenzabhängig. Figur
6.48 zeigt das Antennendiagramm solch einer Antenne.17
186
6.4 Hornantennen
Abbildung 6.48: Normiertes Antennendiagramm für eine Apertur-limitierte Antenne.
Parameter ist β/2π. θ bezeichnet den Winkel bezüglich der Ausbreitungsrichtung.
Abbildung 6.49: Normiertes Antennendiagramm für eine Winkel-limitierte Antenne. Parameter ist β/2π. θ bezeichnet den Winkel bezüglich der Ausbreitungsrichtung und θ0 den Strahldivergenzwinkel.
187
6 Quasioptische Komponenten
Winkel-limitierte Antenne
Falls β ≥ 6 ist, so gilt
w0 =
1.55a
λRh
=
.
β
0.644πa
(6.214)
Der Apertur-Radius ist dann mit der Hornlänge verknüpft durch
a = Rh sin α
(6.215)
wobei α der halbe Hornöffnungswinkel ist. Der Divergenzwinkel θ0 des Gauss Strahles
ist dann durch diesen Winkel α bestimmt und lautet
θ0 = 0.644 sin α.
(6.216)
Solch eine Hornantenne bezeichnet man als Winkel-limitiert (engl. flare angle limited).
Im Gegensatz zu der Apertur-limitierten Hornantenne ist in diesem Falle die Strahl-Taille
nicht in der Apertur, sondern im Apex des Horns lokalisiert. Das Antennendiagramm ist
für diese Hornantenne frequenzunabhängig. Figur 6.49 zeigt das Antennendiagramm.
In der beschriebenen Analyse muss man sich bewusst sein, dass die Überlegungen
jeweils nur in der paraxialen Näherung gelten, d.h. w0 /λ > 0.9. Das bedeutet, dass für
ein Apertur-limitiertes Horn gilt a > 1.4λ resp. dass der Durchmesser grösser ist als
2.8λ. Im Falle der Winkel-limitierten Antenne hat die Bedingung β > 6 zusammen mit
der paraxialen Näherung zur Folge, dass a/Rh < 0.55 ist, was einem Winkel α ≈ 31°
entspricht.
Phasenzentrum
Für eine Näherung mit einer einzigen Gauss Mode sind die Wellenfronten sphärisch, mit
einem wohl definierten Krümmungsradius R. Es stellt sich die Frage, wo der Krümmungsmittelpunkt in einem solchen Falle ist. Dieser liegt hinter dem Ort der Strahl-Taille und
zwar um
2
(πw02 /λ)
∆pc = z − R = −
.
(6.217)
z
Dieser Offset ∆pc geht gegen Null für Abstände, die viel grösser sind als die konfokale
Distanz zc , d.h. für das Fernfeld. Es ist üblich, dass man den Ort des Krümmungsmittelpunktes als Phasenzenter bezeichnet. Falls höhere Moden berücksichtigt werden
müssen, gelten diese Näherungen nicht mehr. In Realität ist die Fläche gleicher Phase
nicht kugelförmig. Wir definieren deshalb das Phasenzentrum für einen spezifizierten
Abstand von der Apertur als das Zentrum einer sphärischen Oberfläche, welche der
aktuellen Phasenverteilung am nächsten kommt.18 Die Lage des Phasenzentrums wird
vom gewählten Abstand abhängen.
Figur aus R.Wylde, Millimetre-wave Gaussian beam-mode optics and corrugated feed horns, IEE
Proc., Vol. 131-H(4), pp 258-262, 1984
18
Diese Definition wurde vorgeschlagen in: R.Wylde and D.Martin, Gaussian Beam-Mode Analysis and
Phase-Centers of Corrugated Feed Horns, IEEE-MTT, Vol. 41, No. 10, p. 1691-1699, 1993.
17
188
6.5 Resonatoren
6.5 Resonatoren
Ein optischer Resonator ist im Prinzip das entsprechende Gegenstück eines elektrischen
Resonanzkreises. Er speichert Licht resp. Mikrowellen bei bestimmten Frequenzen. Normalerweise wird im Mikrowellenbereich mit geschlossenen Zylinder-Resonatoren gearbeitet. Im Millimeter- und Submillimeterbereich werden zunehmend offene Resonatoren
verwendet, wie das in der Optik bekannt ist. Gegenüber einem geschlossenen Resonator
sind in der offenen Version die Verluste durch Wandströme geringer. Zudem ist es wesentlich einfacher ein Medium in den Resonator zu bringen. Nebst der Verwendung als
Filter ist vermutlich die Anwendung als Spektrum Analysator resp. die Bestimmung von
dielektrischen Eigenschaften von Materialien der Hauptanwendungsbereich von offenen
Resonatoren. Dabei können sowohl feste wie auch gasförmige Medien untersucht werden.
Der einfachste Resonator besteht im Prinzip aus zwei planparallelen Spiegeln in einem bestimmten Abstand d zwischen denen Millimeterwellen hin und her reflektiert
werden. Die Moden eines solchen Resonators sind die stehenden Wellen, die sich ausbilden können. Eine Resonanz tritt dann auf, wenn der Abstand d der Spiegel einem
ganzzahligen, q, Vielfachen der halben Wellenlänge im Medium λ zwischen den Spiegeln
entspricht, d.h.
qλ
d=
.
(6.218)
2
Einen solchen Resonator bezeichnet man als Fabry-Perot Resonator. Dieser Resonanzeffekt kann nicht nur zwischen Spiegeln oder Gittern auftreten, sondern allgemein wo
Reflexionen auftreten infolge von Impedanz-Sprüngen. Ein unerwünschter Effekt dieser
Art trifft leider allzu häufig in Mikrowellen-Radiometern auf und wird dort als baselineEffekt bezeichnet.
Bei offenen Resonatoren, die aus zwei planparallelen Spiegeln bestehen, machen sich
zwei Nachteile bemerkbar: Verluste durch Beugung und durch ungenaue Ausrichtung.
Eine stabilere Anordnung bezüglich Ausrichtung besteht aus sphärischen Spiegeln. Nehmen wir an, wir haben einen Gauss-Strahl mit Taille w0 an einem bestimmten Ort z = 0.
Wir passen nun links und rechts von der Strahl-Taille, in den Abständen d1 und d2 gekrümmte Spiegel an, deren Krümmungsradien R1 und R2 denjenigen des Gauss-Strahles
entsprechen. Vorausgesetzt, dass die Spiegel gross genug sind, damit nicht Leistung neben den Spiegeln vorbei geht, so wird auf beiden Seiten der Gauss-Strahl auf sich zurück
reflektiert. Die beiden Spiegel fangen also sozusagen den Strahl ein und bilden einen
Resonator. Dabei sind die Gauss-Strahl Moden die Moden des Resonators. Dies gilt
auch für höhere Gauss-Laguerre oder Gauss-Hermite Moden. Ein Beispiel eines offenen
Resonators zeigt Figur 6.50. Wir betrachten nun einen Resonator bestehend aus zwei
Spiegeln M1 und M2 im Abstand L mit den Krümmungsradien R1 und R2 . Wir wollen
untersuchen wo die für Resonanz zugehörige Taille w0 zu liegen kommt und welche Resonanzfrequenzen vorliegen. Ein Schema dieser Anordnung zeigt Figur 6.51. Man kann
sich die Funktionsweise solch eines Resonators auch durch Entfaltung der Optik in Form
von Linsen vorstellen, wie das in Figur 6.52 dargestellt ist. Dabei wird die EingangsTaille in die Ausgangs-Taille abgebildet und zwar in unendlicher Abfolge. Dabei sind
die beiden Taillen gleich und fallen zusammen. Wir können diese Anordnung mit Hil-
189
6 Quasioptische Komponenten
Abbildung 6.50: Offener Resonator im Mikrowellen-Bereich. Die Halterung zwischen den
Spiegeln dient dem Ausmessen von Dielektrika. Die Einkopplung erfolgt
über einen Koaxial-Stecker.
$%$
Spiegel 2
Spiegel 1
!#
!"
()
&#$'
%$!$&"
$&"$
Abbildung 6.51: Schema eines offenen quasioptischen Resonators.
190
6.5 Resonatoren
!"
!#
Input
Output
$%"$
$&$
&$!$%"
Abbildung 6.52: Entfalteter Resonator mit Linsen dargestellt, wobei die Brennweite der
Linsen f = R/2 ist.
fe der zugehörigen ABCD-Matrix untersuchen, wobei die nötigen Randbedingungen
berücksichtigt werden müssen. Die aequivalente optische Matrix für einen entfalteten
Resonator ist dann:
#
$
A B
R =
(6.219)
C D
$#
$#
$#
$
#
$#
1 0
1 0
1 L − d1
1 L
1 d1
=
−1
−1
1
1
0
1
0 1
0 1
f2
f1
Die einzelnen Komponenten sind dann:
L
+ (L − d1 )
A=1−
f1
#
d1
B = d1 + L 1 −
f1
$
#
L
1
1
−
−
f1 f2 f1 f 2
#
$
d1
d1
L
+ (L − d1 ) 1 −
−
−
f1 f2 f2
C=
L
1
1
−
−
f 1f 2 f 1 f 2
d1 d1
L
D =1−
−
−
f1 f2 f 2
#
d1
1−
f1
#
(6.220)
d1
1−
f1
$$
(6.221)
(6.222)
$
.
(6.223)
Da der Eingang und der Ausgang im selben Medium liegen, gilt für die Determinante
A · D − B · C = 1. Für die Transformation eines Gauss-Strahls zusammen mit der
Forderung, dass die Taillen identisch sind, gilt nun für den komplexen Strahl-Parameter
qout =
Aqin + B
= qin .
Cqin + D
(6.224)
191
6 Quasioptische Komponenten
Da wir eine Taille betrachten, so gilt qin = jzc und somit
jzc A + B
= jzc .
jzc C + D
(6.225)
Auflösen nach zc ergibt
6
1 5
· −j(A − D) ± (−A2 − D2 + 2AD − 4BC)1/2
2C
6
1 5
· −j(A − D) ± (−A2 − D2 − 2AD + 4)1/2
=
2C
1
=
(−j(A − D) ± (4 − (A + D)2 )1/2 .
2C
Da aber zc reell sein muss, folgt
#
$1/2
1
1
2
zc = ±
1 − (A + D)
.
C
4
zc =
(6.226)
(6.227)
Wir setzen nun die Werte für A, C, D von oben ein
#
$
L2
L
L
A+D =2 1+
−
−
2f1 f2 f1 f2
(6.228)
und erhalten
zc = ±
!
L 1 − (1 +
L2
2f1 f2
L2
f1 f2
−
−
L
f1
L
f1
−
−
L 2
)
f2
L
f2
"1/2
.
(6.229)
Der zc -Parameter ist somit durch die Resonator Parameter f1 , f2 und L definiert. Damit
zc reell ist, muss (A + D)2 < 4 sein resp. −2 < A + D < 2 und somit
−2 <
L2
L
L
−
−
<0
2f1 f2 f1 f2
(6.230)
Es gibt nun eine Reihe von möglichen Kombinationen von Krümmungsradien der Spiegel
und Spiegelanordnungen. Die wichtigsten sollen kurz erwähnt werden.
6.5.1 symmetrischer Resonator
Für einen symmetrischen Resonator gilt f = f1 = f2 und es folgt L < 4f oder
und für die konfokale Distanz zc erhält man
#
$1/2
L 4f
zc (symm) =
−1
.
2 L
f
L
> 0.25
(6.231)
und damit für die Strahl-Taille
w0 (symm) =
192
*
λL
2π
#
$1/2 ,1/2
4f
−1
.
L
(6.232)
6.5 Resonatoren
6.5.2 halb symmetrischer Resonator
Ist einer der Spiegel plan, d.h. f = ∞, dann erhalten wir
2f
− 1)1/2
L
(6.233)
$1/2 ,1/2
2f
−1
.
L
(6.234)
zc (halbsymm) = L(
und damit
w0 (halbsymm) =
*
λL
π
#
6.5.3 konzentrischer Resonator
Beträgt der Abstand L = R1 + R2 , so spricht man von einem konzentrischen Resonator.
6.5.4 konfokaler Resonator
Falls f1 =
L
2
= f2 , so erhält man einen konfokalen Resonator
zc (konf okal) =
und
w0 (conf ocal) =
#
L
2
λL
2π
$1/2
(6.235)
.
(6.236)
Die Länge des Resonators ist dann gerade L = 2zc . Es ist diese Anordnung die dem
Parameter zc den Namen konfokaler Parameter eingebracht hat.
6.5.5 Lage der Strahl Taille w0
Aus der Beziehung, dass zc reell sein muss, folgt, dass A = D. Durch Gleichsetzen und
Auflösen nach d1 erhält man somit
d1 =
1 L(L − 2f2 )
2 L − f2 − f1
(6.237)
und
d2 = L − d1 .
(6.238)
Beispielsweise für einen symmetrischen Resonator, d.h. f = f1 = f2 folgt: d1 = d2 = L/2
6.5.6 g-Parameter
In der Resonatortheorie wird häufig der sogenannte g-Parameter eingeführt:
g1 = 1 −
L
R1
(6.239)
193
6 Quasioptische Komponenten
g2 = 1 −
L
R2
(6.240)
oder für sphärische Spiegel
L
(6.241)
2f1
L
g2 = 1 −
.
(6.242)
2f1
Mit dem g-Parameter lassen sich dann auch die oben bestimmten Gaussbeam-Parameter
bestimmen
L(g1 g2 (1 − g1 g2 ))1/2
zc =
(6.243)
g1 + g2 − 2g1 g2
Lg2 (1 − g1 )
(6.244)
d1 =
g1 + g2 − 2g1 g2
Lg1 (1 − g2 )
(6.245)
d2 =
g1 + g2 − 2g1 g2
und die zu Gleichung 6.230 aequivalente Beziehung
g1 = 1 −
0 < g1 g2 < 1.
(6.246)
Mit Kenntnis von d1 , d2 und zc lässt sich dann auch der Strahlradius auf den Spiegel
bestimmen, durch Einsetzen in die herkömmlichen Ausbreitungsformeln
*
# $2 ,1/2
z
w(z) = w0 1 +
(6.247)
zc
und insbesondere auch der Krümmungsradius R
zc2
.
(6.248)
z
Insbesondere ist R(d1 ) = 2f1 = R1 und R(d2 ) = 2f2 = R2 . Das heisst, dass der
Krümmungsradius der Spiegel genau dem Radius der Phasenfront des Gauss Strahls
entspricht. Ist ein Spiegel plan, d.h. R = ∞, so heisst das, dass er mit der Taille
übereinstimmen muss. Die verschiedenen Kombinationen von Anordnungen und die daraus resultierenden Grössen sind in Tabelle 6.5.6 zusammengestellt. Die Stabilitätskriterien für einen Resonator lassen sich auch graphisch darstellen. Es liegt die Bedingung
0 < g1 g2 < 1 zu Grunde, resp.
$#
$
#
L
L
1−
< 1.
(6.249)
0< 1−
R1
R2
R(z) = z +
Dieser Zusammenhang ist in Figur 6.53 veranschaulicht. Der schraffierte Bereich stellt
stabile Bedingungen dar. Allerdings gilt für Konfigurationen auf der Kurve, dass eine minime Abweichung, z.B. durch ungenaue Justierung, zu einem unstabilen Zustand
führen kann. Äusserst anfällig ist der symmetrische konfokale Resonator. Einen stabilen
L
Resonator erhält man z.B. für Werte RL1 = RL2 = R
≈ 0.6
194
6.5 Resonatoren
Bezeichnung
symmetrisch
halbsymmetrisch
planar
konzentrisch
symmetrisch konfokal
symmetrisch konzentrisch
halbkonfokal
f1
f2
R
2
R
2
R
2
∞
∞
R
2
L
2
L
4
∞
∞
L−R
2
L
2
L
4
L
R1
R
∞
∞
R
L
R2
R
R
∞
L−R
L
L
2
L
2
∞
2L
g1
L
1− R
1
1
g2
L
1− R
L
1− R
1
R−L
R
R
R−L
0
−1
1
0
−1
zc
5R
61/2
−1
L
61/2
5
−
1
L R
L
∞
0
L
2
1
2
L
2
0
L
Tabelle 6.1: Zusammenstellung der verschiedenen Resonator Konfigurationen
g2
g1g2=1
g1g2=0
planar
1
1
g1
konfokal
konzentrisch
g1g2=1
Abbildung 6.53: Stabilitätsdiagramm für offene Resonatoren.
195
6 Quasioptische Komponenten
6.5.7 Resonanzbedingung, Resonanzfrequenzen
Da die Bedingung für Resonanz ist, dass die Phase nach einem Durchlauf ein Vielfaches
von 2π ist, wollen wir uns als nächstes genauer mit der Phase beschäftigen. Die Phase
in einem Mode ist abhängig von der Modenzahl, so gilt für einen Gauss-Laguerre Mode
φpm (z) = −j[kz − (2p + m + 1)φ0 ]
(6.250)
und für einen Gauss-Hermite Mode
φmn (z) = −j[kz − (m + n + 1)φ0 ]
wobei
φ0 = tan
−1
#
z
zc
$
.
Für den fundamentalen Mode gilt dann
.
&
# $
# $'/
2πL
d1
d2
−1
−1
∆φ = 2
− tan
+ tan
.
λ
zc
zc
(6.251)
(6.252)
(6.253)
Dabei ist der erste Term die Phasenschiebung bei einer ebenen Welle und der zweite Term
derjenige des Gauss-Strahles ∆gb0 , den wir mittels der g-Parameter schreiben können
.
/
.
/
g1 (1 − g2 )
g2 (1 − g1 )
−1
−1
∆φgb 0 = tan
+ tan
.
(6.254)
[g1 g2 (1 − g1 g2 )]0.5
[g1 g2 (1 − g1 g2 )]0.5
Durch Ausdrücken des Tangens durch den Cosinus lässt sich diese Beziehung vereinfachen zu
∆φgb
0
= cos−1 (g1 g2 )0.5
&#
$#
$'0.5
L
L
−1
= cos
1−
1−
R1
R2
&#
$#
$'0.5
L
L
−1
= cos
1−
1−
.
2f1
2f2
Als Resonanz Bedingung erhalten wir nun
&
'
2πL
−1
0.5
2
− (2p + m + 1) cos (g1 g2 )
= 2πq
λ
für die Gauss-Laguerre Moden und
&
'
2πL
−1
0.5
2
− (m + n + 1) cos (g1 g2 )
= 2πq
λ
(6.255)
(6.256)
(6.257)
für die Gauss-Hermite Moden. Die zugehörigen Resonanz Frequenzen sind somit für die
Gauss-Laguerre Moden
&
'
1
c
−1
0.5
vq pm = q + (2p + m + 1) cos (g1 g2 )
(6.258)
π
2L
196
6.5 Resonatoren
und für die Gauss-Hermite Moden entsprechend
&
'
1
c
−1
0.5
vq mn = q + (m + n + 1) cos (g1 g2 )
π
2L
(6.259)
Den Index q nennt man axiale oder longitudinale Modenzahl. Moden, die sich nur in
c
q unterscheiden, haben somit einen Frequenzunterschied von 2L
. Höhere Moden mit
verschiedenen q nennt man horizontale oder axiale Moden. Die Indizes p, m und n
bezeichnen verschiedene transversale Moden.
6.5.8 Verluste im Resonator
In einem Resonator können sich verschiedene Verlustmechanismen bemerkbar machen,
die wir kurz erläutern wollen.
Beugungsverluste treten auf wegen der endlichen Grösse der verwendeten Spiegel.
Wenn wir annehmen, dass die im Resonator gespeicherte Energie den reflektierten Wellen zwischen den Spiegeln entspricht, so ist der Beugungsverlust αd für einen Fundamentalmode an einem Spiegel mit Durchmesser 2a gleich der Randbelegung (engl. edge
taper)
a2
αd = e−2 w2
(6.260)
wobei hier w = w(d1 ) resp. w(d2 ) ist. Für einen symmetrischen Resonator erhalten wir
so
# #
$
$
2πa2
2 1/2
αd = exp −
(1 − g )
(6.261)
λL
* #
$#
$1/2 ,
2πa2
2R
= exp −
−1
.
λR
L
Für einen konfokalen Resonator ist R = L und ergo
αd = e−
2πa2
λL
.
Man sieht, dass der Verlust abhängt vom Verhältnis von
man Fresnel-Zahl
Nf =
(6.262)
a
L
zu λa . Dieses Verhältnis nennt
a2
.
λL
(6.263)
Verluste im Resonator werden dann mittels dieser Fresnel-Zahl ausgedrückt
αd = e−2πNf .
(6.264)
Eine andere Definition der Fresnel-Zahl lautet
F läche des Resonatorspiegels
πa2
=
= πNf .
konf okale T EM00 M odef läche
πw12
(6.265)
197
6 Quasioptische Komponenten
Je grösser Nf , desto weniger Verluste liegen vor.
Die hier durchgeführten Abschätzungen gelten exakt für den Fundamentalmode. Genauere Rechnungen zeigen, dass die Verluste etwas anders sind und zwar
αd = 16π 2 Nf exp [−4πNf ]
αd = 1 − (πNf )2
f ürNf ≥ 1
f ürNf → 0
(6.266)
(6.267)
Sind höhere Moden im Spiel, so wird der Verlust grösser. Dies ist intuitiv klar, ist doch
der ’Spillover’ für einen höheren Mode grösser. Zu Verlusten können aber auch Öffnungen
für die Einkopplung führen.
Es ist verständlich, dass die Geometrie des Resonators möglichst nicht durch irgendwelche Einkopplungsvorrichtungen gestört werden sollte. Die häufigste Art ein Mikrowellen Signal in einen Resonator zu koppeln, geschieht entweder über Koaxialstecker, wo
dies die Frequenz zu lässt oder durch Hohlleiter. In beiden Fällen sind die Anschlüsse
nahe bei der Resonatorachse, d.h. im Zentrum der Spiegel. In Resonatoren, deren Länge
zur Abstimmung verstellt werden sollten, wird häufig die Ein- und Auskopplung beim
selben Spiegel gewählt. Häufig handelt es sich dabei um einen Planspiegel bei einem
halbsymmetrischen Resonator. Die Kopplung durch ein Loch wird zu Verlusten führen.
Ein kleines Loch ist zwar zu bevorzugen, hat aber den Nachteil, dass die Divergenz des
Pseudo-Strahles gross ist. Ist dagegen das Loch gross, so wird automatisch der Spiegel
verkleinert, was auch als Spiegelverlust bezeichnet werden kann. Es ist im Prinzip auch
möglich quasioptisch einzukoppeln, etwa durch halbdurchlässige Folien. Es ist in allen
Fällen schwierig einen quantitativen Ausdruck für die Kopplungsverluste αcoup anzugeben. Eine Zusammenstellung der möglichen Verlustmechanismen bei einer Einkopplung
über ein Loch gibt Figur 6.54.19
Weitere Verluste können auch dadurch entstehen, dass die Reflektivität der Spiegel
nicht ideal ist. Ein Effekt, der bereits im Abschnitt 6.1.2 diskutiert wurde. Für einen
Spiegel mit Oberflächenwiderstand Rs können wir den Verlust bei senkrechtem Einfall
abschätzen mit
4Rs
αm = 1 − |rn.i. |2 =
= 4 [πν00 ρ]0.5 .
(6.268)
Z0
Eine andere Art von Verlust durch Absorption tritt auf, wenn das Medium zwischen
den Spiegeln nicht Vakuum ist, sondern durch ein Gas oder ein Material mit kleinem
Absorptionskoeffizienten gefüllt ist. In diesem Falle erhalten wir pro Durchgang einen
Verlust von
αa = αL
(6.269)
wobei α die Absorption pro Weglänge des Mediums ist.
6.5.9 Güte des Resonators, Q
Die Güte eines Resonators, d.h. die Qualität mit der eine Resonanz bestimmt werden
kann, wird mit dem Faktor Q beschrieben. Dieser Faktor wird in der Literatur meistens
19
gemäss R.Clarke and C.Rosenberg, Fabry-Perot and open resonators at microwave and millimetre
wave frequencies, 2-300GHz, Journal of Physics E: Scientific Instruments, Vol. 15, pp.9-24,1982.
198
6.5 Resonatoren
Abbildung 6.54: Verluste bei Einkopplung in einen offenen Resonator.
beschrieben als
Q =
=
mittlere gespeicherte Energie
Energieverlust pro Radian
(6.270)
ω0 · mittlere gespeicherte Energie
.
Energieverlust pro Sekunde
(6.271)
Das lässt sich auch schreiben als
Q=
ω0
,
Bruchteil der pro Sekunde verlorenen Energie
(6.272)
wobei ω0 = 2π ν0 die Kreisfrequenz bei Resonanz ist. Wenn wir wieder annehmen, dass
die gespeicherte Energie aus vor und zurück reflektierten Wellen zwischen den Spiegeln
besteht, so ist die Anzahl der Einwegdurchgänge pro sec gleich c/L. Damit ist der Bruchteil der pro sec verloren gegangener Energie c/L mal der Verlust pro Durchgang. Somit
ist Q
2πν0 L
Q=
(6.273)
αt c
wobei wir mit αt den gesamten Bruchteil der Energie, der pro Durchgang verloren geht,
bezeichnen. Im Falle von mehreren Verlustmechanismen ist αt die Summe der einzelnen
Mechanismen
αt = αd + αm + αa + αcoup .
(6.274)
199
6 Quasioptische Komponenten
Dementsprechend können wir einen Qi -Wert für jeden Verlust definieren
1
αi c
=
.
Qi
2πν0 L
(6.275)
Der totale Q-Wert wird dann die reziproke Summe sein
1
1
1
1
1
=
+
+
+
.
Qt
Qd Qm Qa Qcoup
(6.276)
Wird der Qcoup -Wert für die Kopplung bei dieser Summierung ausgeschlossen, so spricht
man vom unbelasteten Q-Wert (engl. unloaded Q), andernfalls vom belasteten Q-Wert.
In der Literatur werden Q-Werte in der Grösse von 105 und höher angegeben.
200

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