Gleichungen

Gleichungen
Aussagen und Aussageformen
Eine Aussage ist ein Satz (in Worten oder Zeichen), der wahr oder falsch
ist. Dabei ist es unwichtig ob der Wahrheitsgehalt der Aussage bestimmt
werden kann.
Bsp. "Buochs ist der Hauptort von Nidwalden." (Aussage, falsch)
Eine Aussageform ist ein Satz mit mindestens einer Variablen, der in eine
Aussage übergeht, wenn für die Variable(n) Werte aus einer Grundmenge G
eingesetzt werden.
Bsp. A
G
A
A
= "Der Ort x hat einen zb-Bahnhof."
= {x | x ist Ortschaft in der Schweiz}
ist wahr für x = Dallenwil
ist falsch für x = Bern
Lösungsmenge einer Aussageform: Menge aller Elemente aus G, die in die
Aussageform eingesetzt eine wahre Aussage ergeben.
Äquivalenzumformung: Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung
nicht verändert. Bei Gleichungen sind das: Addition und Subtraktion von
Zahlen und Variablen sowie Multiplikation/Division mit Zahlen ≠ 0
Gewinnumformung: Umformung, bei der Lösungen hinzu kommen können.
Multiplikation und Quadrieren sind Gewinnumformungen und sind nur
erlaubt, wenn man mit allen Lösungen eine Probe macht.
Verlustumformung: Umformung, bei der Lösungen verloren gehen können. Dazu
gehören Division und Radizieren. Verlustumformungen sind verboten.
Lösbarkeit von Aussageformen (speziell bei Gleichungen und Ungleichungen)
- erfüllbar, wenn L ≠ { }
- unerfüllbar, wenn L = { }
- allgemein gültig, wenn L = G
Lineare Gleichungen
Eine Gleichung heisst linear, wenn sie sich durch Äquivalenzumformungen
auf die Form ax = b bringen lässt. Wenn nichts anderes angegeben ist,
gilt G = IR. Die lineare Gleichung ax = b ist ...
- erfüllbar, falls a ≠ 0
- unerfüllbar, falls a = 0 und b ≠ 0
- allgemein gültig, falls a = 0 und b = 0
Bsp.
3x – 15 – 4x =
-x - 15 =
-2x - 15 =
-2x =
x =
L = {3.5}
-9 + x – 13
-22 + x
-22
-7
3.5
(zusammenfassen)
|| -x
|| +15
|| :(-2)