Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Fleischer/Wächter
Wintersemester 2015/16
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 3
Abgabe: bis Do. 19.11. 14:00 Uhr in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: 23.11.201504.12.2015
Dieses Aufgabenblatt wird mit 26 Punkten angerechnet, d.h. fünf der Punkte zählen
als Bonuspunkte.
Hinweis:
(8
1. Hornformeln
Punkte )
a) Schreiben Sie F = (A ∨ ¬D) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ A) ∧ (¬A ∨ C) ∧ A ∧ ¬B
in prozeduraler Form und wenden Sie den Markierungsalgorithmus auf F an. Ist F
erfüllbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Schreiben Sie G = A ∧ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ D) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
in prozeduraler Form und wenden Sie den Markierungsalgorithmus auf G an. Ist G
erfüllbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Sind B1 , B2 : {A1 , . . . , An } → {0, 1} zwei Belegungen, so ist min(B1 , B2 ) die durch
min(B1 , B2 ) : {A1 , . . . , An } → {0, 1}
Ai 7→ min{B1 (Ai ), B2 (Ai )}
denierte Belegung.
Zeigen oder widerlegen Sie: Für zwei beliebige Modelle B1 , B2 einer Hornformel H ist
auch min(B1 , B2 ) ein Modell für H .
2. Resolution
(6
Punkte )
a) Schreiben Sie die Formel F = (A∨¬D)∧(¬A∨B∨¬C)∧(¬A∨A)∧(¬A∨C)∧A∧¬B als
Klauselmenge und berechnen Sie Res∗ (F ). Ist F erfüllbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Schreiben Sie die Formel G = (A ∨ B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ (¬B ∨ ¬C) als Klauselmenge
und berechnen Sie Res∗ (G). Ist G erfüllbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
3. Markierungsalgorithmus und Resolution
(4
Punkte )
Sei F eine beliebige erfüllbare Hornformel. Wir betrachten die Ausführung des Markierungsalgorithmus auf Eingabe F . Zeigen Sie, dass eine atomare Formel A aus F genau dann
markiert wird, wenn {A} ∈ Res∗ (F ) gilt.
4. Erfüllbarkeit unendlicher Formelmengen
(6
Punkte )
Seien M = {F1 , F2 , . . . } und N = {G1 , G2 , . . . } unendliche Formelmengen. Welche der
folgenden Aussagen sind im Allgemeinen richtig und welche falsch? Beweisen Sie Ihre Antworten.
a)
b)
c)
d)
Sind M und N erfüllbar, so ist auch M ∪ N erfüllbar.
Ist M oder N unerfüllbar, so ist auch M ∪ N unerfüllbar.
Sind M und N unerfüllbar, so ist auch {F1 ∨ G1 , F2 ∨ G2 , . . . } unerfüllbar.
Ist Kp = {F1 , F2 , . . . , Fp! } für alle Primzahlen p erfüllbar, dann ist M erfüllbar. Hierbei
bezeichnet · ! die Fakultätsfunktion, d. h. p! = 1 · 2 · 3 · · · · · p.
5. Endlichkeitssatz für
-Terme
(7
Punkte )
Auf Aufgabenblatt 1 haben Sie -Terme kennen gelernt. In dieser Aufgabe greifen wir die
Denitionen von dort auf und erweitern sie: Eine Menge M von -Termen heiÿt (u, f )realisierbar im Universum U , wenn u ∈ U ist und es eine Belegung A = (U, f, X ) gibt,
sodass A(t) = u für alle t ∈ M .
a) Sei + : Z × Z → Z die Addition auf den ganzen Zahlen. Zeigen Sie für alle k ∈ Z: Die
Menge {x1 , x2 , (x1 x2 )x3 , x1 (x2 x3 )} ist (k, +)-realisierbar im Universum Z.
b) Sei U ein endliches Universum und f : U × U → U eine beliebige Abbildung. Zeigen
Sie: Eine Menge M von -Termen ist genau dann (u, f )-realisierbar im Universum U ,
wenn jede endliche Teilmenge von M (u, f )-realisierbar in U ist.
Hinweis: Passen Sie den Beweis des (aussagenlogischen) Endlichkeitssatzes aus der
Vorlesung an.