Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Camino/Wächter
Sommersemester 2017
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 3
Abgabe: A-Gruppen: 02. Juni, 13:15 Uhr; B-Gruppen: 12. Juni, 13:15 Uhr
Besprechung: 22.05., 24.05. und 26.05. (A-Gruppen); 01.06. und 02.06. (B-Gruppen)
Hinweis: Beachten Sie die geänderten Abgabetermine (wegen der vorlesungsfreien Tage) und
die geänderten Besprechungstermine (wegen Christi Himmelfahrt)!
1. Markierungsalgorithmus
Betrachten Sie folgende Hornformeln:
a)
F = (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ ¬C ∨ D) ∧ A ∧ ¬B ∧ (¬D ∨ A) ∧ (¬D ∨ B)
b)
G = (A ∨ ¬D) ∧ (¬A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ A) ∧ (¬A ∨ C) ∧ A ∧ ¬B
(3 Punkte )
Schriftlich
c)
H = A ∧ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ D) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
d)
K = (¬A ∨ ¬B ∨ E) ∧ (¬A ∨ ¬C) ∧ B ∧ (¬B ∨ B) ∧ (¬B ∨ ¬D ∨ A) ∧ D ∧ (¬D ∨ ¬E)
Testen Sie jede der Hornformeln mittels des Markierungsalgorithmus auf Erfüllbarkeit. Gehen Sie dabei folgendermaÿen vor:
•
Schreiben Sie zunächst jede Formel in prozeduraler Form.
•
Führen Sie anschlieÿend den Markierungsalgorithmus aus. Protokollieren Sie dabei
schrittweise, welche Variablen Sie markieren und warum.
•
Geben Sie für jede Formel an, ob Sie erfüllbar ist. Geben Sie gegebenenfalls auÿerdem
ein Modell für die Formel an.
2. Aussagenlogische Resolution
Betrachten Sie folgende Formeln:
a)
F1 = ¬A ∧ (A ∨ ¬C) ∧ (¬B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ C)
b)
F2 = ¬A ∧ (¬B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ B ∨ C)
(3 Punkte )
Schriftlich:
c)
F3 = (A → B) ∧ (B → C) ∧ (C → D) ∧ (D → A)
d)
F4 = F3 ∧ ¬A ∧ (A ∨ C)
Prüfen Sie mittels aussagenlogischer Resolution, welche der Formeln erfüllbar sind. Gehen
Sie dazu für jede Formel
Fi
folgendermaÿen vor:
•
Schreiben Sie
•
Führen Sie anschlieÿend die Resolution aus.
•
Ist
Fi
•
Ist
F
Fi
zunächst in Mengenschreibweise um.
unerfüllbar, reicht es, wenn Sie eine Herleitung der leeren Klausel angeben.
erfüllbar, geben Sie bitte die Resolutionshülle
die Werte der
n
Res (Fi )
für alle
n ∈ N = {0, 1, . . . }
Res∗ (Fi ) an. Geben Sie dabei auch
an.
3. Markierungsalgorithmus und aussagenlogische Resolution
Sei
F
eine beliebige (nicht unbedingt erfüllbare) Hornformel. Wir betrachten die Ausführung
F . Zeigen Sie,
{A} ∈ Res∗ (F ) gilt.
des Markierungsalgorithmus auf Eingabe
genau dann markiert wird, wenn
dass eine atomare Formel
A
aus
F
Hinweis: Gehen Sie hierbei davon aus, dass der Markierungsalgorithmus nicht abbricht,
sobald alle Variablen auf der linken Seite einer Zielklausel markiert sind.
4. Erfüllbarkeit unendlicher Formelmengen
Seien
M = {F1 , F2 , . . . }
und
N = {G1 , G2 , . . . }
unendliche Mengen aussagenlogischer For-
meln. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) Sind
M
und
N
unerfüllbar, so ist auch
b) Ist
Pp = {F1 , F2 , . . . , Fp }
c) Ist
K = {F2n | n ∈ N = {0, 1, . . . }}
{F1 ∨ G1 , F2 ∨ G2 , . . . }
für alle Primzahlen
p
unerfüllbar.
M
erfüllbar, dann ist
erfüllbar, dann ist
M
erfüllbar.
erfüllbar.
(4 Punkte )
Schriftlich:
d) Ist
Rn = {Fn , Fn+1 }
e) Ist
Sn = {F1 , F2 , F3 , . . . , F2n }
für alle
n ∈ {1, 2, . . . }
für alle
erfüllbar, dann ist
n∈N
M
erfüllbar, dann ist
erfüllbar.
M
erfüllbar.