Blatt 8 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
03.06.2016
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 8
Abgabe bis 10.06.2016, 17:00 s.t.
Hinweis: In Belangen der Klausurzulassung ist dies ein Bonusblatt. Wenn Sie dieses Blatt
nicht einreichen, entstehen Ihnen keinen Nachteile bei der Klausurzulassung. Sie haben mit
dem Blatt aber die Möglichkeit zusätzliche Punkte im Bereich der Aussagenlogik zu erlangen
und Aufgabentypen erneut zu üben.
Bitte beachten Sie auch Blatt 7, ein reguläres Blatt, das zur gleichen Zeit erschienen ist
und auch die gleiche Abgabefrist hat.
Aufgabe 8.1
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht und
begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F allgemeingültig und ¬F ja
unerfüllbar ist.
nein Kurze Begründung:
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F unerfüllbar
ist.
Kurze Begründung:
ja
nein Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F erfüllbar
ist.
Kurze Begründung:
ja
nein Für jede endliche, unerfüllbare, aussagenlogische Klauselmenge, kann man mit
dem Resolutionsskalkül die leere Klausel herleiten.
Kurze Begründung:
ja
nein Wir nehmen an, dass P 6= NP. Jede aussagenlogische Formel lässt sich in
polynomieller Zeit in eine Formel in 2-KNF umschreiben.
Kurze Begründung:
ja
nein Aufgabe 8.2
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. F ∧ ¬G un- ja
erfüllbar.
nein
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. ¬F ∨ G all- ja
gemeingültig.
nein
Das Erfüllbarkeitsproblem aussagenlogischer Formeln (SAT) lässt sich in poly- ja
nomieller Zeit in ein semantisch äquivalentes Erfüllbarkeitsproblem in 3-KNF nein
(3-SAT) umschreiben.
Wir nehmen an, dass P 6= NP. Die Erfüllbarkeit einer aussagenlogischer For- ja
meln, die in KNF ist, lässt sich in linearer Zeit feststellen.
nein
Aufgabe 8.3
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (P ∨ ¬(Q ∧ R)) → (R ↔ Q)
a) Geben Sie eine Wahrheitstabelle an, in der Sie die Wahrheitswerte für F angeben.
b) Begründen Sie mithilfe der Wahrheitstabelle aus a) ob F erfüllbar, unerfüllbar, tautologisch ist.
Aufgabe 8.4
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (P → ¬Q) ↔ (¬R ∨ ¬Q)
Geben Sie mithilfe von Umformungen eine zu F semantisch äquivalente Formel F 0 an, die
in KNF ist.
Aufgabe 8.5
Sei Π = {P, Q, R, S, T }. Gegeben seien die folgenden Formeln über Π:
I) F1 = P ∧ ¬Q ∧ (¬R ∨ Q) ∧ (S ∨ ¬T ) ∧ (¬P ∨ T ) ∧ (Q ∨ ¬T ∨ P ) ∧ (¬T ∨ ¬R ∨ R)
II) F2 = P ∧ ¬Q ∧ (¬T ∨ R) ∧ (S ∨ ¬P ) ∧ (¬S ∨ T ) ∧ (Q ∨ ¬T ∨ ¬P ) ∧ (¬S ∨ ¬R ∨ R)
a) Welche der Formeln sind Horn-Formeln? Begründen Sie ihre Entscheidung kurz, vollständig und eindeutig.
b) Schreiben Sie die Formeln aus a), bei denen es sich um eine Horn-Formel handelt, als
Konjunktion von Implikationen auf.
c) Wenden Sie den Markierungsalgorithmus zur Überprüfung der Erfüllbarkeit von HornFormeln auf die im Schritt b) erzeugte Konjunktionen von Implikationen an. Geben Sie
explizit für jeden Schritt an, welche Atome markiert werden, und wieso die Markierung
zustande kommt.
d) Geben Sie für die Formeln aus a), die Horn-Formeln sind, an, ob sie erfüllbar oder
unerfüllbar sind. Begründen Sie kurz ihre Antwort mit Hilfe der Ergebnisse aus c); falls
eine dieser Formeln erfüllbar ist, geben Sie ein Modell an.
Aufgabe 8.6
Sei Π = {P, Q, R, S}. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{P }, {¬Q}, {¬P, R}, {P, Q, ¬R}, {¬P, R, S}, {¬Q, ¬R, ¬S}}
a) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich die Klauselmenge M ? Begründen Sie kurz
Ihre Antwort.
b) Simplifizieren Sie die Klauselmenge M mithilfe der Subsumptionsregel und geben Sie
das Ergebnis der Simplifizierung, M 0 , an. Begründen Sie durch Angabe der Subsumptionsbeziehungen zwischen den entsprechenden Klauseln in M wie Sie M 0 hergeleitet
haben.
c) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich M 0 ? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
Aufgabe 8.7
Sei Π = {P, Q, R, S, T }. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{P }, {T }, {¬P, R}, {¬Q, ¬R}, {Q, ¬S}, {Q, ¬R, S}}
Untersuchen Sie mithilfe des Resolutionsskalküls, ob M erfüllbar, unerfüllbar, tautologisch
ist.
Aufgabe 8.8
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = ((¬P → Q) ∧ (Q ∨ R)) → ((P ∧ R) ∨ Q)
Zeigen Sie mithilfe des Tableaukalküls dass die Formel F allgemeingültig ist.
Aufgabe 8.9
Sei Π eine Menge von Aussagenvariablen. Seien die folgenden Funktionen auf aussagenlogischen Formeln über Π, wie folgt definiert:
Für jede aussagenlogische
Formel F :


0
falls F ∈ Π ∪ {>, ⊥}



1 + Tiefe(F )
falls F = ¬F1
1
Tiefe(F ) =

1 + max(Tiefe(F1 ), Tiefe(F2 )) falls F = F1 op F2




op ∈ {∨, ∧, →, ↔}


1
falls F ∈ Π ∪ {>, ⊥}



1 + Länge(F )
falls F = ¬F1
1
Länge(F ) =

1 + Länge(F1 ) + Länge(F2 ) falls F = F1 op F2




op ∈ {∨, ∧, →, ↔}
Zeigen Sie mithilfe der strukturellen Induktion über den Aufbau von aussagenlogischen
Formeln, dass für jede aussagenlogische Formel F mit Aussagenvariablen in Π gilt:
1 + Tiefe(F ) ≤ Länge(F ).
∗1
∗2
B 225
B 224
[email protected]
[email protected]
www.uni-koblenz.de/~sofronie
www.uni-koblenz.de/~mbender
Bitte beachten Sie die Modalitäten zur Abgabe, die Sie unter http://userp.uni-koblenz.de/~mbender/
ss16logic.html einsehen können.
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