Aufgabe 6.1 (5 + 10 Punkte)

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans
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Dipl.-Inform. Markus Bender ∗
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23.05.2012
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 6
Abgabe bis 06.06.12, 09:00 s.t.
Hinweis: Dieses Aufgabenblatt entspricht vom Aufbau, Umfang und der Punkteverteilung
einer Klausur über den bisherigen Stoff mit einer Dauer von 90 Minuten. Bitte beachten
Sie, dass diese Themen der Aussagenlogik nur einen Bruchteil des gesamten Stoffes der
Vorlesung darstellen, und in der Klausur entsprechend noch weitere Themen und Aufgaben
behandelt werden.
Aufgabe 6.1 (5 + 10 Punkte)
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht. Geben
Sie im Aufgabenteil b) noch jeweils eine kurze Begründung.
a)
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. F ∧ ¬G
unerfüllbar.
Es gibt endliche, unerfüllbare, aussagenlogische Klauselmengen, deren Unerfüllbarkeit nicht mit dem Resolutionnsskalkül gezeigt werden kann.
Die Erfüllbarkeit von Hornformeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar.
Jede aussagenlogische Formel lässt sich in polynomieller Zeit in eine Hornformeln umschreiben.
Das Erfüllbarkeitsproblem aussagenlogischer Formeln(SAT) lässt sich in
polynomieller Zeit in ein semantisch äquivalentes Erfüllbarkeitsproblem
in 3-KNF (3-SAT) umschreiben.
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
b)
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F unerfüllbar.
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F erfüllbar.
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. F ∧ G
erfüllbar.
Es gibt aussagenlogische Formeln, deren Unerfüllbarkeit mit Hilfe des Resolutionnsskalküls aber nicht mit der Hilfe des Tableaukalküls gezeigt werden kann.
Es gibt eine unerfüllbare Klauselmenge, deren Unerfüllbarkeit sich nicht
mit Hilfe des Resolutionnsskalküls (in Mengennotation) zeigen lässt.
Aufgabe 6.2 (5 Punkte)
Sei F = (¬P ∨ Q) ↔ (R → Q) eine aussagenlogische Formel. Geben Sie eine zu F
semantisch äquivalente Formel F 0 an, die in KNF ist.
Es muss dabei klar ersichtlich sein, auf welchem Wege Sie F 0 konstruiert haben.
Aufgabe 6.3 (2 + 2 + 11 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Formeln:
a) P ∧ ¬S ∧ (Q ∨ ¬T ) ∧ (¬Q ∨ S) ∧ (¬P ∨ T ) ∧ (R ∨ ¬T ∨ ¬U ) ∧ (¬P ∨ ¬Q ∨ U )
b) P ∧ S ∧ (¬P ∨ ¬S ∨ U ) ∧ (¬P ∨ R ∨ T ) ∧ (¬P ∨ T ∨ ¬U ) ∧ (Q ∨ ¬T ∨ ¬U )
1) Welche der Formeln sind Horn-Formeln? Begründen Sie ihre Entscheidung kurz, vollständig und eindeutig.
2) Beschreiben Sie kurz, vollständig und eindeutig unter welchen Umständen Sie den Markierungsalgorithmus für Horn-Formeln einsetzen dürfen um die (Un-)Erfüllbarkeit einer
Formel zu untersuchen. .
3) Verwenden Sie, falls möglich, den Markierungsalgorithmus um die (Un-)Erfüllbarkeit
der gegebenen Formeln zu untersuchen. Schreiben Sie die Formeln dazu zuerst in die
bekannte Implikationsschreibweise.
Aufgabe 6.4 (15 Punkte)
Untersuchen Sie mit Hilfe des Resolutionskalküls ob die Klauselmenge
{{P, ¬Q, ¬R}, {¬P, S}, {Q, ¬R}, {R, S}, {¬S}}
allgemeingültig, erfüllbar oder unerfüllbar ist.
Aufgabe 6.5 (15 Punkte)
Zeigen Sie mit Hilfe des Tableaukalküls dass die Formel
(P ∨ (¬P ∧ (¬Q ∧ R))) ∨ ((P ∨ R) → (Q ∧ R))
allgemeingültig ist.
Sie dürfen die Formel nicht umformen oder auf anderem Wege in eine andere Form bringen.
Aufgabe 6.6 (15 Punkte)
Verwenden Sie eines der Davis-Putnam-Verfahren (DP oder eine Version von DPLL) um
die Erfüllbarkeit der Formel
(R) ∧ (¬P ) ∧ (P ∨ R) ∧ (Q ∨ ¬R ∨ S) ∧ (¬Q ∨ ¬R ∨ S) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ ¬R ∨ ¬S)
zu untersuchen ist.
Aufgabe 6.7 (20 Punkte)
Sei Π eine Menge von aussagenlogische Variablen und Π0 ⊆ Π . Seien weiterhin A, A0 : Π →
{0, 1} Valuationen mit der Eigenschaft, dass A(P ) = A0 (P ) für alle P ∈ Π0 .
Zeigen Sie mit Hilfe von struktureller Induktion über den Aufbau von aussagenlogischen
Formeln, dass für alle Formeln F , deren Aussagenvariablen alle aus Π0 sind, A(F ) = A0 (F )
gilt.
∗1
B 225 [email protected] www.uni-koblenz.de/~sofronie
B 224 [email protected]
www.uni-koblenz.de/~mbender
Falls Sie die Lösung Ihrer Gruppe abgeben wollen, denken Sie bitten daran, die Namen, E-Mail-Adressen
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und Übungsgruppen zu notieren.
Bitte beachten Sie die folgenden zusätzlichen Modalitäten zur Abgabe von Übungsblättern:
• Die Abgabe ist freiwillig.
• Die Abgabe kann auf Papier oder digital erfolgen.
• Die Abgabe auf Papier erfolgt in der Vorlesung, oder in Raum B224.
• Die digitale Abgabe erfolgt per E-Mail als PDF-Datei (als Scan oder generiertes Dokument).
• Die Rückgabe/das Feedback erfolgt in den Übungsstunden oder per E-Mail.
• Abgaben, die nach der angegebenen Abgabefrist erfolgen, oder einen der genannten Punkte nicht
befolgen, werden nicht beachtet.