Blatt 7 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
05.06.2015
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 7
Abgabe bis 12.06.2015, 17:00 s.t.
Aufgabe 7.1
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht und
begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Es gibt eine endliche, unerfüllbare, aussagenlogische Klauselmenge, aus der ja
man mit dem Resolutionsskalkül nicht die leere Klausel herleiten kann.
nein Kurze Begründung:
Jede aussagenlogische Formel lässt sich in polynomieller Zeit in eine Formel
in 2-KNF umschreiben.
Kurze Begründung:
ja
nein Es gibt keine aussagenlogische Formel F , sodass F allgemeingültig und ¬F
unerfüllbar ist.
Kurze Begründung:
ja
nein Es gibt keine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F unerfüllbar ist.
Kurze Begründung:
ja
nein Es gibt keine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F erfüllbar
ist.
Kurze Begründung:
ja
nein Aufgabe 7.2
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. ¬F ∨ G all- ja
gemeingültig.
nein
Die Erfüllbarkeit einer aussagenlogischer Formeln, die in KNF ist, lässt sich ja
nicht in linearer Zeit feststellen.
nein
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. F ∧ ¬G un- ja
erfüllbar.
nein
Das Erfüllbarkeitsproblem aussagenlogischer Formeln (SAT) lässt sich nicht ja
in polynomieller Zeit in ein semantisch äquivalentes Erfüllbarkeitsproblem in nein
3-KNF (3-SAT) umschreiben.
Aufgabe 7.3
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (Q ∨ (P ↔ R)) → (P ∧ ¬R)
a) Geben Sie eine Wahrheitstabelle an, in der Sie die Wahrheitswerte für F angeben.
b) Begründen Sie mit Hilfe der Wahrheitstabelle aus a) ob F erfüllbar, unerfüllbar, tautologisch ist.
Aufgabe 7.4
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (Q → ¬R) ↔ (¬P ∨ ¬R)
Geben Sie mit Hilfe von Umformungen eine zu F semantisch äquivalente Formel F 0 an,
die in KNF ist.
Aufgabe 7.5
Sei Π = {P, Q, R, S, T }. Gegeben seien die folgenden Formeln über Π:
I) F1 = R ∧ ¬T ∧ (¬S ∨ T ) ∧ (P ∨ ¬Q) ∧ (¬R ∨ Q) ∧ (T ∨ ¬Q ∨ R) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ S)
II) F2 = R ∧ ¬T ∧ (¬Q ∨ S) ∧ (P ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ Q) ∧ (T ∨ ¬Q ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ ¬S ∨ S)
a) Welche der Formeln sind Horn-Formeln? Begründen Sie ihre Entscheidung kurz, vollständig und eindeutig.
b) Schreiben Sie die Formeln aus a), bei denen es sich um eine Horn-Formel handelt, als
Konjunktion von Implikationen auf.
c) Wenden Sie den Markierungsalgorithmus zur Überprüfung der Erfüllbarkeit von HornFormeln auf die im Schritt b) erzeugte Konjunktionen von Implikationen an. Geben Sie
explizit für jeden Schritt an, welche Atome markiert werden, und wieso die Markierung
zustande kommt.
d) Geben Sie für die Formeln aus a), die Horn-Formeln sind, an, ob sie erfüllbar oder
unerfüllbar sind. Begründen Sie kurz ihre Antwort mit Hilfe der Ergebnisse aus c); falls
eine dieser Formeln erfüllbar ist, geben Sie ein Modell an.
Aufgabe 7.6
Sei Π = {P, Q, R, S}. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{P, ¬Q, R}, {¬R, Q, S}, {¬S, ¬P, ¬R}, {¬S}, {Q}, {¬Q, R}}
a) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich die Klauselmenge M ? Begründen Sie kurz
Ihre Antwort.
b) Simplifizieren Sie die Klauselmenge M mit Hilfe der Subsumptionsregel und geben Sie
das Ergebnis der Simplifizierung, M 0 , an. Begründen Sie durch Angabe der Subsumptionsbeziehungen zwischen den entsprechenden Klauseln in M wie Sie M 0 hergeleitet
haben.
c) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich M 0 ? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
Aufgabe 7.7
Sei Π = {P, Q, R, S}. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{Q, ¬R, S}, {¬P, R}, {¬Q, ¬R}, {Q, ¬S}, {P }}
Untersuchen Sie mit Hilfe des Resolutionsskalküls, ob M erfüllbar, unerfüllbar, tautologisch
ist.
Aufgabe 7.8
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = ((¬R → P ) ∧ (P ∨ Q)) → ((R ∧ Q) ∨ P )
Zeigen Sie mit Hilfe des Tableaukalküls dass die Formel F allgemeingültig ist.
Aufgabe 7.9
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (Q ↔ P ) ∧ (P → R) ∧ (¬R ↔ Q) ∧ (P ∨ Q)
a) Transformieren Sie die Formel F in eine äquivalente Klauselmenge M .
b) Untersuchen Sie die Erfüllbarkeit von M mit Hilfe eines Klauseltableau mit starker
Konnektionsbedingung und Regularität (Modell-Elimination). Wenn M erfüllbar ist,
lesen Sie ein Modell aus dem Tableau ab und geben Sie dieses explizit an.
c) Untersuchen Sie die Erfüllbarkeit von M mit Hilfe eines Klauseltableau mit schwacher
Konnektionsbedingung. Das hier von Ihnen hergeleitete Tableau darf nicht mit dem
Tableau aus b) identisch sein. Wenn M erfüllbar ist, lesen Sie ein Modell aus dem
Tableau ab und geben Sie dieses explizit an.
Hinweis zu Notation: Bei den Klauseltableaux ist es ausreichend, wenn Sie kenntlich machen, was die Elternklausel eines Knotens war, d.h. die verwendeten Regeln müssen nicht
angegeben werden.
Aufgabe 7.10
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{¬Q}, {P, R}, {¬P, Q}}
Untersuchen Sie die Erfüllbarkeit von M mit Hilfe eines Klauseltableau. Wenn M erfüllbar
ist, lesen Sie ein Modell aus dem Tableau ab und geben Sie dieses explizit an.
Hinweis zu Notation: Bei den Klauseltableaux ist es ausreichend, wenn Sie kenntlich machen, was die Elternklausel eines Knotens war, d.h. die verwendeten Regeln müssen nicht
angegeben werden.
Aufgabe 7.11
Sei Π eine Menge von Aussagenvariablen. Seien die folgenden Funktionen auf aussagenlogischen Formeln über Π, wie folgt definiert:
Für jede aussagenlogische Formel F :


1
wenn F ∈ Π



0
wenn F ∈ {>, ⊥}
AV (F ) =

AV (F1 )
wenn F = ¬F1



AV (F ) + AV (F ) wenn F = F ◦ F , mit ◦ ∈ {∨, ∧, →, ↔}
1
2
1
2


wenn F ∈ Π ∪ {>, ⊥}
0
AO(F ) = 1 + AO(F1 )
wenn F = ¬F1


1 + AO(F1 ) + AO(F2 ) wenn F = F1 ◦ F2 , mit ◦ ∈ {∨, ∧, →, ↔}
(AV (F ) bezeichnet die Anzahl der Vorkommen von Aussagenvariablen in F ; AO(F ) bezeichnet die Anzahl der Vorkommen von logischen Operatoren in {¬, ∨, ∧, →, ↔} in F .)
Zeigen Sie mit Hilfe der strukturellen Induktion über den Aufbau von aussagenlogischen
Formeln, dass für jede aussagenlogische Formel F mit Aussagenvariablen in Π gilt:
AV (F ) − 1 ≤ AO(F ).
∗1
∗2
B 225
B 224
[email protected]
[email protected]
www.uni-koblenz.de/~sofronie
www.uni-koblenz.de/~mbender
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ss15logic.html einsehen können.
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