Blatt 6 - userpages

Universität Koblenz-Landau
FB 4 Informatik
1
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans∗
2
Dipl.-Inform. Markus Bender∗
26.05.2017
Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 6
Abgabe bis 02.06.2017, 17:00 s.t.
Hinweis: In Belangen der Klausurzulassung ist dies ein Bonusblatt. Wenn Sie dieses Blatt
nicht einreichen, entstehen Ihnen keinen Nachteile bei der Klausurzulassung. Sie haben mit
dem Blatt aber die Möglichkeit zusätzliche Punkte im Bereich der Aussagenlogik zu erlangen
und Aufgabentypen erneut zu üben.
Aufgabe 6.1
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht und
begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F erfüllbar und ¬F erfüllbar ja
nein ist.
Kurze Begründung:
Es gibt eine aussagenlogische Formel F , sodass F unerfüllbar und ¬F erfüllbar
ist.
Kurze Begründung:
ja
nein Wir nehmen an, dass P 6= NP. Jede aussagenlogische Formel lässt sich in
polynomieller Zeit in eine Hornformeln umschreiben.
Kurze Begründung:
ja
nein Es gibt eine endliche, erfüllbare, aussagenlogische Klauselmenge, aus der man
mit dem Resolutionsskalkül die leere Klausel herleiten kann.
Kurze Begründung:
ja
nein Es gibt eine unerfüllbare, aussagenlogische Formel, aus der man mit dem Tableauskalkül kein geschlossenes Tableau herleiten kann.
Kurze Begründung:
ja
nein Aufgabe 6.2
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils an, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
Seien F, G beliebige aussagenlogische Formeln. F |= G gilt gdw. F ∧ ¬G un- ja
nein
erfüllbar.
Das Erfüllbarkeitsproblem aussagenlogischer Formeln (SAT) lässt sich in poly- ja
nomieller Zeit in ein semantisch äquivalentes Erfüllbarkeitsproblem in 3-KNF nein
(3-SAT) umschreiben.
Die Erfüllbarkeit einer aussagenlogischer Formeln, die in DNF ist, lässt sich ja
nein
in linearer Zeit feststellen.
ja
Die Erfüllbarkeit von Hornformeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar.
nein
Aufgabe 6.3
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (P → Q) ∨ R ↔ ¬R
a) Geben Sie eine Wahrheitstabelle an, in der Sie die Wahrheitswerte für sämtliche Teilformeln von F angeben.
b) Begründen Sie mithilfe der Wahrheitstabelle aus a) ob F erfüllbar, unerfüllbar, tautologisch ist.
Aufgabe 6.4
Sei Π = {P, Q, R}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F = (P ∨ ¬Q) ↔ (R → ¬Q)
Geben Sie mithilfe von Umformungen eine zu F semantisch äquivalente Formel F 0 an, die
in KNF ist.
Aufgabe 6.5
Sei Π = {P, Q, R, S, T, U, W }. Gegeben sei die folgenden Formel über Π:
F = T ∧ U ∧ (¬Q ∨ R) ∧ (Q ∨ ¬T ) ∧ (¬R ∨ ¬T ) ∧ (¬P ∨ ¬S ∨ W ) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ U )
a) Definieren Sie, wann es sich bei einer Formel um eine Horn-Formel handelt.
b) Geben Sie durch Ankreuzen an, welche der folgenden Formeln Horn-Formeln sind:
P
Horn nicht Horn P ∧Q
Horn nicht Horn P ∨Q
Horn nicht Horn (P ∨ ¬Q) ∧ (¬R ∨ S) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ R)
Horn nicht Horn (¬P ∨ ¬Q) ∧ (¬R ∨ ¬S ∨ ¬T )
Horn nicht Horn (P ∨ ¬Q) ∧ (¬P ∨ Q) ∧ ¬P
Horn nicht Horn c) Schreiben Sie die Formel F als Konjunktion von Implikationen auf.
d) Wenden Sie den Markierungsalgorithmus zur Überprüfung der Erfüllbarkeit von HornFormeln auf die im Schritt c) erzeugte Konjunktion von Implikationen an. Geben Sie
explizit für jeden Schritt an, welche Atome markiert werden, und wieso die Markierung
zustande kommt.
e) Verwenden Sie das Ergebnis aus d), um eine begründete Aussage zur Erfüllbarkeit von
F zu machen. Geben Sie im Falle der Erfüllbarkeit das Modell an, das in d) hergeleitet
wurde.
Aufgabe 6.6
Sei Π = {P, Q, R, S, T }. Gegeben sei die folgende Klauselmenge über Π:
M = {{Q}, {P, Q}, {¬Q, T }, {Q, R, ¬S}, {¬Q, R, ¬S}, {¬Q, S, T }, {¬P, ¬Q, R, T }}
a) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich die Klauselmenge M ? Begründen Sie kurz
Ihre Antwort.
b) Simplifizieren Sie die Klauselmenge M mithilfe der Subsumptionsregel und geben Sie
das Ergebnis der Simplifizierung, M 0 , an. Begründen Sie durch Angabe der Subsumptionsbeziehungen zwischen den entsprechenden Klauseln in M wie Sie M 0 hergeleitet
haben.
c) In welchem k-KNF-Fragment befindet sich M 0 ? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
Aufgabe 6.7
Sei Π = {P, Q, R, S}. Gegeben seien die folgende Formeln über Π:
F1 : P
F2 : Q ∨ R
F3 : ¬P ∨ ¬Q ∨ R
F4 : ¬Q ∨ R ∨ S
F5 : R
a) Bestimmen Sie eine Formel F , sodass
• F1 , F2 , F3 , F4 , F5 Teilformeln von F sind, und
• F1 ∧ F2 ∧ F3 ∧ F4 |= F5 gdw. F unerfüllbar ist.
b) Verwenden Sie das Resolutionskalkül um zu zeigen, dass F unerfüllbar ist und damit
auch F1 ∧ F2 ∧ F3 ∧ F4 |= F5 .
Aufgabe 6.8
Sei Π = {P, Q, R, S}. Gegeben sei die folgende Formel über Π:
F =
¬P → (Q ∧ S) ∧ (Q ∨ R) → (P ∧ R) ∨ (S → Q)
Zeigen Sie mithilfe des Tableaukalküls dass die Formel F allgemeingültig ist.
Aufgabe 6.9
Zeigen Sie mithilfe der strukturellen Induktion über den Aufbau von aussagenlogischen
Formeln, dass für jede aussagenlogische Formel F über Π eine Formel F 0 mit den folgenden
Eigenschaften existiert:
• F 0 ≡ F und
• F 0 besteht nur aus ⊥, >, Aussagenvariablen und dem Operator →.
∗1
∗2
B 225
B 224
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Bitte beachten Sie die Modalitäten zur Abgabe, die Sie unter http://userp.uni-koblenz.de/~mbender/
ss17logic.html einsehen können.
Bei Fragen zu Ihrer Korrektur wenden Sie sich an [email protected].